专题(3)全等三角形之角平分线截长补短
D
第22 题
A
图形专题（3）全等三角形的证明
例题分析
1.如图，△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于F 点，求证：点F 在∠A 的平分线上。
2．已知，如图四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=900，∠BAD=600,PA 平分∠BAD,PD 平分∠ADC. （1）求证：PB=PC;
(2)点M 、N 为线段AB 、AD 上两点，当∠MPN=600
,PD=2时，求△AMN 的周长.
3．如图，已知等边△ABC ，P 在AC 延长线上一点，以PA 为边作等边△APE,EC 延长线交BP 于M ，连接AM,
求证：（1）BP=CE ； （2）试证明：EM-PM=AM.
22题
P
B
E
4．（1）如图①，△ABC 中，AB = AC ，过B 点任作射线l ，在l 上取一点D ，使∠ABD =∠
ACD ，AM ⊥BD 于M ．求证：BM = DM + DC ．
（2）如图②，△ABC 中，过B 点任作射线l ，在l 上取一点D ，使∠ABD =∠ACD ，
AM ⊥BD 于M ，且BM = MD + CD ．求证：AB = AC ．
A
B
C
M
D 图 ②
A
B
C M
D 图 ①
强化训练
1.已知AC//BD,∠CAB 和∠DBA 的平分线EA 、EB 与CD 相交于点E. 求证:AB=AC+BD.
3．已知四边形ABCD 是正方形，M 、N 分别是边BC ，CD 上的动点．
(1)如图①，设O 是正方形ABCD 对角线的交点，若OM ⊥ON ，求证：BM=CN ， (2)在(1)的条件下，若正方形ABCD 的边长为4cm ，求四边形MONC 的面积； (3)如图②，若∠MAN=45°试说明△MCN 的周长等于正方形ABCD 周长的一半．
4． 如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（－1，0），点C 的坐标是（1，0），点D 为y 轴上一点，点A 为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO,过D 作D M ⊥AC 于M. ⑴求证：∠ABD=∠ACD ；
⑵若点E 在BA 延长线上，求证：AD 平分∠CAE ；
⑶当A 点运动时，AC AB AM
的值是否发生变化？
若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由
5、如图10，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，CA=CB ，D 是斜边AB 的中点，E 是DA 上一点，过
点B 作BH ⊥CE 于点H ，交CD 于点F.
（1）求证：DE=DF ；
（2）若E 是线段BA 的延长线上一点，其它条件不变，（1）中的 结论仍成立吗？若成立，请画出图形并证明；若不成立，请说明理由.
6.如图，等腰直角△ABC 中，AC=BC, ∠ACB=900
,∠A 、∠B 、∠C 的平分线交于点P 。 (1)求证：AB=CP+BC;
(2)若∠A 、∠B 的外角平分线以及∠C 的平分线交于点P,(1)中结论是否仍成立？请画出图形，并写出结论（不需要证明）
22 题（2）
22题（1）
A
B
C
A
E C
D
B
图10
A
H C D F
E
A
C
B D
D
C
B
A
7、己知，△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥AB ，垂足为D ，P 是BC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC 垂
足分别为E 、F ，
求证：① PE+PF=CD.
② PE – P F=CD.
8.已知，如图，BD 是△ABC 的角平分线，AB=AC, （1）若BC=AB+AD,请你猜想∠A 的度数，并证明；
（2）若BC=BA+CD,求∠A 的度数
（3）若∠A=100°,求证：BC=BD+DA
F E
D
C A
B G P F
E
D
C A B G P
全等三角形辅助线之截长补短和倍长中线(原题+解析)
全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线 一．填空题（共1小题） 1．（2015秋?宿迁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC 交BC于D．若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是．二．解答题（共10小题） 2．（2010秋?涵江区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD． 3．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）．4．（2013秋?藁城市校级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN 经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E． （1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系请你直接写出这个数量关系，不要证明． 5．已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由． 6．（2012秋?西城区校级期中）已知：如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，F是CD中点，连BF交AC于点E，∠ABE+∠CEB=180°，判断BD与CE 的数量关系，并证明你的结论． 7．（2010秋?丰台区期末）已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是△ABC内的一点，且AD=AC，若∠DAC=30°，试探究BD与CD的数量关系并加以证明． 8．已知点M是等边△ABD中边AB上任意一点（不与A、B重合），作∠DMN=60°，交∠DBA外角平分线于点N． （1）求证：DM=MN； （2）若点M在AB的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN”是否依然成立请你画出图形并证明你的结论． 9．（2015春?闵行区期末）如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E 是CD上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE． 10．已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．求证：BE+DF=AE．11．（2010秋?巢湖期中）如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE．
初中数学全等三角形截长补短
全等三角形——截长补短法 一、知识梳理： 截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等. 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 二、典型例题： 例1、如图，在ABC ?中，60BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数. 及时练习： 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． 例2、已知ABC ?中，60A ∠ =，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． D O E C B A
M D C B A P C B A 及时练习： 如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=，0 40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ， BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 例3、如图．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ． 求证：AE =BC +CE ． 及时练习： 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ， ∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( ) A . a B . k C . 2 k h + D . h 例4、以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，连结CD 、BE 相交于点O ． 求证：OA 平分DOE ∠．
尺规作图角平分线
一、尺规作图 1. 作一个角等于已知角的方法 已知：∠AOB ，求作：∠A ′O ′B ′=∠AOB. 作法： 1.以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ； 2.画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′； 3.以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D ′； 4.过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB. 2. 先任意画出一个△ABC.再画一个△A ′B ′C ′，使 A ′ B ′=AB , B ′C ′=BC ，C ′A ′ =CA. O A B C D O′ A′ B′ C′ D′
作法： 画一个△A′B′C′，使A′B′=AB, A′C′=AC，B′C′=BC ： （1）画B′C′=BC； （2)分别以点B′,C′为圆心，线段AB，AC长为半径 画弧，两弧相交于点A′; (3)连接线段A′B′，A′C′. 二、角的平分线 导入： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P 点建成两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连. 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2: 新修建的两条管道的长有什么关系，画来看一看. 角的平分线的画法 图12.3-1是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？
作已知角的平分线的方法. 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：（1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N. (2)分别以点M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC 即为所求（如图). 理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“SSS ”． 拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线． 注意： “大于 MN 的长为半径画弧”是因为若以小或等于 MN 的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交． 如图所示，已知∠AOB ，求作：∠AOM ＝ ∠AOB. 1 2 12 12 14
【精品】三角形角平分线专题讲解
【关键字】精品 二由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是笔直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
a全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法
手拉手模型 要点一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点 结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA平分∠BOC 变形： 例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD ?，连结AE与CD，?与BCE 证明 （1）DBC ? ? ABE? (2)AE与DC之间的夹角为? 60 (3)BH平分AHC ∠ 变式精练1：如图两个等边三角形ABD ?，连结 ?与BCE AE与CD， 证明（1）DBC ? ABE? ? （2）AE与DC之间的夹角为? 60
（3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 变式精练2：如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ??? (2）AE 与DC 之间的夹角为?60 (3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立 （2）AG 是否与CE 相等 （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分AHE ∠ 例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立 （2）AG 是否与CE 相等 （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分AHE ∠ 例4：两个等腰三角形ABD ?与BCE ?，其中 BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，
三角形角平分线专题讲解(精选.)
二由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这 种尝试与猜想是在一定的规律基本之图1-1 B
上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠∠，如取，并连接、，则有△≌△，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1． 如图 1-2，，平分∠，平分∠， 点E 在上，求证：。 分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。 简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证明。自已试一试。 例2． 已知：如图 1-3，2，∠∠，，求证⊥ 图1-2 D B C
全等三角形作辅助线专题一重点截长补短法可
D C B A E D F C B A 全等三角形作辅助线经典例题 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全 等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中 的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻 转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形） 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是 之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等 1：已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. E D C B A 中考应用： 以ABC ?的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90, BAD CAE ∠=∠=? 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC ?为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是； （2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A沿逆时针方向旋转?θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）
三角形中线与角平分线专题(二)
.. 三角形中线与角平分线专题（二） 1、三角形外角平分线的四个经典结论： 结论一：三角形任意两个角平分线的夹角与第三个角的数量关系 已知如图1，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求∠P 与∠A 的数量关系. 01902P A ∠=+∠ 结论二：三角形任意两个角相邻的外角的平分线说夹角与第三个角的关系． 已知如图2，BP 平分外角CBE ∠，CP 平分外角BCF ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 01902P A ∠=-∠ 结论三：三角形中任意一个角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个角的关系 如图，BP 平分ABC ∠，CP 平分外角ACD ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 12 P A ∠=∠ 结论四：结论三延伸 如图，CE BE 、分别平分ACD ABC ∠∠和，连结EA ，则EA 为HAC ∠的平分线 21A E F B C 2 1P B A C
.. 应用举例： 例1：在四边形ABCD 中，?=∠120D ，?=∠100A 、ABC ∠、ACB ∠的角平分线的交 与点E ，试求BEC ∠的度数. 例2：在ABC ?中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 DEF ?，试判断DEF ?的形 状. 例3：如图3，在ABC ?中，延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相较于1A 点， BC A 1∠与CD A 1∠的平分线交与2A 点，以此类推，若?=∠96A ，则=∠5A ， =∠n A . 图三 图四 例4：点M 是ABC ?两个角的平分线的交点，点N 是ABC ?两个外角的平分线的交点， 如果∠CMB ∶∠CNB=3∶2，那么=∠CAB 例5：（ 2011年省是中考题）△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的角∠ABC 平分线BP 交于 点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______．
全等三角形截长补短拔高练习(含答案)
八年级数学全等三角形辅助线添加之截长补短 （全等三角形）拔高练习 试卷简介:本讲测试题共两个大题，第一题是证明题，共7个小题，每小题10分；第二题解答题，2个小题，每小题15分。 学习建议:本讲内容是三角形全等的判定——辅助线添加之截长补短，其中通过截长补短来添加辅助线是重点，也是难点。希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线，进而构造出全等的三角形。 一、解答题(共1道，每道20分) 1.如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且AE=（AD+AB）.问：∠1和∠2有何关系？ 答案： 解：∠1+∠2=180° 证明：过点C作CF⊥AN于点F，由于AC平分∠NAM，所以CF=CE，则在Rt△ACF和Rt△ACE 中 ∴△ACF≌△ACE（HL），∴AF=AE，由于2AE=AD+AB，所以AB-AE=AF-AD ∴DF=BE，在△CFD和△CEB中所以△CFD≌△CEB（SAS），∴∠2=∠FDC，又∠1+∠FDC=180°，∴∠1+∠2=180°。 解题思路：见到角平分线就要想到作垂直，找到全等关系是解决此类问题的关键 易错点：找到三角形全等的所有条件
试题难度：四颗星知识点：三角形 二、证明题(共8道，每道10分) 1.如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD于E，求证：CE=BD. 答案： 延长CE交BA的延长线于点H，由BE平分ABC，BE CE，得CE=EH=CH。 又1+H=90°,，2+H=90° 1= 2 在△ACH和△ABD中 HAC=DAB=90° AC=AB 1= 2 △ACH≌△ABD（ASA） CH=BD CE=CH=BD 解题思路： 根据题意，要证明CE=BD，延长CE与BA，由题意的垂直平分线可得CE的两倍长CH，只需证明CH=BD即可，很显然有全等可以证明出结论 易错点：不能正确利用题中已知条件BF平分∠ABC，CE⊥BD于E，做出辅助线，进而解答。试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质 2. 如图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE．求证：AE－BE＝DF．
三角形角平分线部分经典题型
1．如图1所示，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为________cm． 图1图2 2．如图2所示，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则ΔABD的面积是（） A ．mn 3 1 B． mn 2 1 C．mn D．2mn 3．如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶ DB＝3∶5，则点D到AB的距离是。 4．如图，已知BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是。 5．如图，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2， 则两平行线间AB、CD的距离等于。 6.AD是△BAC的角平分线，自D向AB、AC两边作垂线，垂足为E、F，那么下列结论中错误的是( ) A、DE=DF B、AE=AF C、BD=CD D、∠ADE=∠ADF 7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（） Ａ．三条中线的交点Ｂ．三条高的交点 Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点 8.已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠BOC= 。 9.如图，已知相交直线AB和CD，及另一直线EF。如果要在EF上找出与AB、CD距离相等的点，方法是，这样的点至少有个，最多有个。 3题图 D C B A z .. ..
z .. .. D C B A 10.如图所示，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6 cm,则△DEB 的周长为( )。 A.9 cm B.5 cm C.6 cm D.不能确定 11.如图，AB //CD ,CE 平分∠ACD ，若∠1=250 ，那么∠2的度数是 . 12．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠ C ．OA OB = D ．AB 垂直平分OP 13．如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠ABD ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD?相等吗？说明理由． 14、如图所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90° 求证：AB ＝AC ＋CD ． 15、如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180° 16、如图，∠ACB=90°,AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE. 求证：△ACD ≌△CBE. O B A P A B C D E D C A B E
八年级数学 全等三角形截长补短法专题
A D B C E 图2-1 截长补短法 人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中， ?? ?==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180° 例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB . 求证：CD =AD +BC . 分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2 在△FCE 与△BCE 中， ?? ? ??=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1. A B C D 图1-1 F E D C B A 图1-2 A D B C E F 1 234 图2-2
三角形 角平分线部分经典题型
1．如图1所示，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ． 图1 图2 2．如图2所示，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则ΔABD 的面积是（ ） A ． B ． C ．mn D ．2mn 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝900 ，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。 4．如图，已知BD 是∠ABC 的内角平分线，CD 是∠ACB 的外角平分线，由D 出发，作点D 到BC 、AC 和AB 的垂线DE 、DF 和DG ，垂足分别为E 、F 、G ，则DE 、DF 、DG 的关系是 。 5．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 。 6.AD 是△BAC 的角平分线，自D 向AB 、AC 两边作垂线，垂足为E 、F ，那么下列结论中错误的是( ) A 、DE=DF B 、AE=AF C 、BD=CD D 、∠ADE=∠ADF 7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） Ａ．三条中线的交点 Ｂ．三条高的交点 Ｃ．三条边的垂直平分线的交点 Ｄ．三条角平分线的交点 8.已知△ABC 中，∠A=80°，∠B 和∠C 的角平分线交于O 点，则∠BOC= 。 9.如图，已知相交直线AB 和CD ，及另一直线EF 。如果要在EF 上找出与AB 、CD 距离相等的点，方法是 ，这样的点至少有 个，最多有 个。 mn 31mn 2 13题图 D C B A
全等三角形~截长补短
1 2 截长补短 截长补短”是几何证明题中十分重要的方法， 通常用来证明几条线段的数量关系， 即若 题目条件或结论中含有 a b c ”的条件，需要添加辅助线时可以考虑 截长补短”的方法。 另外的较短线段。 补短法: ①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等 于较长线段。即延长a ，得到b ，证：a b ①延长较短线段中的一条， 使延长后的线段等于较长线段, 一条较短线段。 即延长a ，得到c ,证：b c-a 。 例1.已知：如图，在 △ ABC 中，△仁△Z, △ B=2AC .求证: 1.补短法: 证明：如图，延长 AB 到E ,使BE=BD ，连接DE . △ △ABD 是 △BDE 的一个外角 △ △ABDME + △BDE ABE=BD △ △EMBDE △ △ABD=2 △E △ △ABD=2 △C △ △EMC 在 AADE 和 AADC 中 △ △ADE △△ADC (AAS )截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段, 再设法证明较长线段的剩余线段等于 然后证明延长出来的部分等于另 AC=AB+BD . AD AD
1 2 证明：如图，在 CD 上截取CF=CB . △CE 平分△CBD 在△CFE 和 △CBE 中 △AE=AC △AC=AB + BE=AB + BD 2.截长法: 证明：如图，在 AC 上截取AF=AB ，连接DF . 在△ABD 和△AFD 中 AB AF AD AD △ △ABD △△AFD ( SAS ) △ ABMAFD , BD=FD △ △B=2 △C △ △AFD =2 △C △ △AFD 是^DFC 的一个外角 △ △AFD me + 舉DC △ AFDCmC ADF=FC ABD=FC △AC=AF+FC=AB+BD 例2.如图，在四边形 ABCD 中，△ A=AB=90，点 E 为AB 边上一点，且 DE 平分△ ADC ， CE 平分△ BCD .求证：CD=AD+BC . CF CB CE CE
作已知角的平分线教案(教学设计)
作已知角的平分线 一、教材分析 1、教材所处的地位和前后联系： “作已知角的平分线”是华东师大版数学八年级上册第十三章《全等三角形》中第四节尺规作图的内容。七年级时学生已经学习过尺规作图的前两种基本作图：“作一条线段等于已知线段”和“作一个角等于已知角”，本节的第一课时和第二课时带领学生做了回顾，所以严格地说这节课是本学期尺规作图部分真正的新课——第三种基本作图，位于全等三角形之后学习，给本节课提供了充分的理论依据，同时它也是下节课“经过一已知点作已知直线的垂线”的基础。 2、教学目标： 根据大纲要求和教材的特点，结合八年级学生的实际水平，本节课我确定了如下教学目标： (1)知识与技能目标：通过真正的实践操作，掌握作已知角的平分线的方法及步骤， 了解作图的语言，能说明作图的道理。 (2)过程与方法目标：经历动手操作和推理论证活动，发展学生的逻辑思维能力，积 累数学活动的经验，在动手实践中学会与人合作、彼此交流。 (3)情感与态度目标：培养学生的作图能力及动手能力，获得动手的乐趣和成就感， 体会数学作图语言和图形的和谐统一。 3、教学重点： 规范使用尺规，掌握作已知角的平分线的方法及步骤。 4、教学难点： 能用恰当的数学语言表述作图过程。 二、教法分析 本节课主要采用教师直观演示，学生实验操作的教学方法，让学生亲身经历知识的形成过程，有利于学生更好地理解与应用数学，更能获得动手的乐趣和成就感，增强学习数学的兴趣和信心。因此在教法上，尽可能地组织学生自主动手、参与实践的数学活动，并且自己进行推理论证操作的正确性，培养学生的逻辑思维能力。教学中充分发挥学生“爱动”的年龄特点，调动学习数学的积极性，促使学生进入最佳的学习状态。 教学准备：白板，投影仪，尺规。 三、学法指导 根据初二学生的认知特点，以学生原有知识经验为基础，从直观动手出发，以观察、操作、感受、推理论证的学习方法为主，动手实践与合作交流是学生本节课的主要学习方
三角形角平分线部分经典题型.docx
1如图1所示，在△ ABC中，∠ A= 90°, BD平分∠ ABC AD= 2 Cm ,则点D到BC的距离为___________ cm. 2. 如图2所示，在Rt Δ ABC中，∠ C = 90°, BD是∠ ABC的平分线，交 AC于D,若CD = n, AB = m, 则Δ ABD的面积是（） 1 1 A . -mn B. — mn C. mn D. 2mn 3 2 3. 如图，在△ ABC中，∠ C= 900, BC= 40, AD是∠ BAC的平分线交BC于D,且DC： DB= 3 : 5,则点D到AB的距离是________ 。 4. 如图，已知BD是∠ ABC的内角平分线，CD是∠ ACB的外角平分线，由D出发，作点D到 BC3题题图和AB 的垂线DE DF和DG垂足分别为 E F、G贝U DE DF、DG的关系是__________________________ 5. _________________________________ 如图，已知AB// CD O为∠ A∠ C的角平分线的交点, 则两平行线间AB CD的 距离等于______________________________ 。 6. AD是厶BAC的角平分线，自D向AB AC两边作垂线，垂足为E、F,那么下列结论中错误的是 （） A DE=DF B 、AE=AF C、BD=CD D∠ ADE玄ADF 7. 到三角形三条边的距离都相等的点 是这个三角形的（） A.三条中线的交点 E.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 8. 已知△ ABC中，∠ A=80°,∠ B和∠ C的角平分线交于O点，则∠ BOC= ___ 。 9. 如图，已知相交直线AB和CD及另一直线EF。如果要在EF上找出与AB CD距离相等的点，方 法 是___________ ,这样的点至少有________ 个，最多有___ 个。 OEL AC于E,且0E=2
全等三角形之截长补短法
例题1 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD． 考点：全等三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析：利用已知条件，求得∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ABD≌△AED（AAS），∴AE=AB．∵AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD． 解答：证法一：如答图所示，延长AC，到E使CE=CD，连接DE． ∵∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD， ∴∠B=∠CAB=45°，∠E=∠CDE=45°， ∴∠B=∠E． ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2 在△ABD和△AED中， ∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD， ∴△ABD≌△AED（AAS）． ∴AE=AB． ∵AE=AC+CE=AC+CD， ∴AB=AC+CD． 证法二：如答图所示，在AB上 截取AE=AC，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2． 在△ACD和△AED中， AC=AE，∠1=∠2，AD=AD， ∴△ACD≌△AED（SAS）． ∴∠AED=∠C=90，CD=ED， 又∵AC=BC，
∴∠B=45°． ∴∠EDB=∠B=45°． ∴DE=BE， ∴CD=BE． ∵AB=AE+BE， ∴AB=AC+CD． 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系． 例题2 图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）． 考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系． 专题：计算题． 分析：可延长AD到E，使AD=DE，连BE，则△ACD≌△EBD得BE=AC，进而在△ABE中利用三角形三边关系，证之． 解答：证明：如图延长AD至E，使AD=DE，连接BE． ∵BD=DC，AD=DE，∠ADC=∠EDB ∴△ACD≌△EBD∴AC=BE 在△ABE中，AE＜AB+BE，即2AD＜AB+AC∴AD＜（AB+AC） 点评：本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握．
《作已知角的平分线》word版 公开课一等奖教案
当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 学生自主学习学案
一．回顾： 如图，已知AC平分∠PAQ，则∠PAC ，∠CAQ和∠PAQ之间有怎样的关系？ 二、自主学习 自学内容： 阅读课本87页，13.4.3作已知角的平分线 亲自动手完成作图： 已知：如图，∠AOB 求作：∠AOB的平分线 作法： 1、在射线OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE。 2、分别以D、E为圆心，适当长（大于线段DE的长的一半）为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C。 3、作射线OC。 射线OC就是所求的射线.
4.作出图中三角形三个角的平分线。（不写画法，保留作图痕迹） 5. 已知：如图，∠AOC和∠ COB互为邻补角 （1）用尺规分别作∠AOC和∠ COB的平分线OE和OF； （2） OE和OF有怎样的位置关系？并说明理由。 当堂检测： 导学方案114页：自主测评1.2难点探究 本节课学习了什么内容？你有哪些收获？ 本课教学反思 本节课主要采用过程教案法训练学生的听说读写。过程教案法的理论基础是交际理论，认为写作的过程实质上是一种群体间的交际活动，而不是写作者的个第4题 B A C
三角形、角平分线及练习综述
三角形单元复习与巩固 知识网络 目标认知 学习目标 1.了解三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质； 2.掌握三角形的内角和及多边形的内角和公式； 3.通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和； 4.会利用多边形的内角和公式求多边形的边数、角度数、外角度数等； 5.掌握多边形内角和性质的应用. 重点 三角形的三边关系,以及三角形内角和定理的综合应用. 难点 本章的难点是镶嵌问题，它综合运用到多边形内角和以及正多边形等知识. 知识要点梳理 知识点一：三角形的有关的概念 1.三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边上的公共点叫做三角形的顶点，相邻两边所组
成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. 注意：通过三角形的定义可知，三角形的特征有：①三条线段；②不在同一条直线上； ③首尾顺次连接. 这是判定是否是三角形的标准. 2.三角形的表示方法：“三角形”用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”. 3.三角形的分类 4.三角形的三边关系 ①三边关系性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系. ②三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围. 注意：①这里的“两边”指的是任意的两边. 对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；②三角形的三边关系是“两点之间，线段最短”的具体应用. 知识点二：三角形的高、中线、角平分线 1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. 注意： ①三角形的高线是一条线段； ②锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形的内部，它们的交点是直角的顶点. ③三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心. 2.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线. 注意： ①三角形的中线是一条线段； ②三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形； ③三角形三条中线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的重心.
(精品)全等三角形——截长补短法
D C B A 全等三角形——截长补短法 一、知识梳理： 截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等. 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 二、典型例题： 例1、如图，在ABC ?中，60BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数. 及时练习： 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． 例2、已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．
N E B M A D M D C B A D O E C B A 及时练习： 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系? 例3、如图．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ． 求证：AE =BC +CE ． 及时练习： 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ， ∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( ) A . a B . k C . 2 k h + D . h 例4、以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，连结CD 、BE 相交于点O ． 求证：OA 平分DOE ∠．
三角形中线与角平分线专题(二)
三角形中线与角平分线专题（二） 1、三角形外角平分线的四个经典结论： 结论一：三角形任意两个角平分线的夹角与第三个角的数量关系 已知如图1，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求∠P 与∠A 的数量关系. 01902P A ∠=+∠ 结论二：三角形任意两个角相邻的外角的平分线说夹角与第三个角的关系． 已知如图2，BP 平分外角CBE ∠，CP 平分外角BCF ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 01902P A ∠=-∠ 结论三：三角形中任意一个角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个角的关系 如图，BP 平分ABC ∠，CP 平分外角ACD ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 12 P A ∠=∠ 结论四：结论三延伸 如图，CE BE 、分别平分ACD ABC ∠∠和，连结EA ，则EA 为HAC ∠的平分线 21A E F B C 2 1P B A C
应用举例： 例1：在四边形ABCD 中，?=∠120D ，?=∠100A 、ABC ∠、ACB ∠的角平分线的交与点E ，试求BEC ∠的度数. 例2：在ABC ?中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 DEF ?，试判断DEF ?的形状. 例3：如图3，在ABC ?中，延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相较于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线交与2A 点，以此类推，若?=∠96A ，则=∠5A ，=∠n A . 图三 图四 例4：点M 是ABC ?两个角的平分线的交点，点N 是ABC ?两个外角的平分线的交点， 如果∠CMB ∶∠CNB=3∶2，那么=∠CAB 例5：（ 2011年省是中考题）△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______．
全等三角形专题——截长补短练习
全等三角形专题 ——截长补短 角的平分线具有其特有的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用，而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊的方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗。 1、 如图， AD BC //,点E 在线段AB 上，ADE CDE ∠=∠,DCE ECB ∠=∠, 求证：CD=AD+BC 2、已知如图，1=2∠∠，P 为BN 上一点，且PD BC ⊥于点D,且0 180 BAP BCP ∠+∠=， 求证：AB+BC=2BD 2、 已知，如图在ABC 中，2 C B ∠ = ∠,12∠=∠, 求证：AB=AC+CD 4、已知ABC 中，0 60A ∠=,BD ，CE 分别评分ABC ∠和ACB ∠，BD,CE 交于点O ，试判断BE,CD,BC 的数量关系，并加以证明。 5、如图所示，ABC 是边长为1的等边三角形，BDC 是顶角为0 120的等腰三角形，以D 为顶点的一个 060的MDN ∠,点M ，N 分别在AB,AC 上，求AMN 的周长。 6、如图，在ABC 中，0 60BAC ∠=,AD 是BAC ∠的平分线，且AC=AB+BD,求ABC ∠的度数。 7、已知如图，ABCD 是正方形，FAD FAE ∠=，求证：BE+DF=AF 8、在ABC 中，2B C ∠=∠，且AD BC ⊥于D ，求证：CD=AB+BD
全等三角形在中考中必考题型 1、已知，在中ABC ，0C=90∠，AC=BC ，直线ｌ绕点Ａ旋转，过点Ｂ，Ｃ分别向直线ｌ做垂线，垂足 分别是点Ｄ、点Ｅ。 （１）如图１，求证：ＢＤ＋ＣＥ＝ＡＥ； （２）当直线ｌ绕点Ａ顺时针转到如图２，则ＢＤ、ＣＥ 、ＡＥ 之间满足的数量关系 是 2、已知ABCD ，连接ＡＣ，ＡＣ＝ＡＢ，Ｅ为线段ＢＣ上的一动点，Ｆ为直线ＤＣ上一动点，且EAF B ∠=∠。 （１）如图（１） ，当060B ∠=时，求证：ＣＥ＋ＣＦ＝CA 。 3、已知ABC ，有一个以P 为顶点的角，且1 2 APE ACD ∠=∠，将此角的顶点放在边BC 上，角的一边始 终经过点A ，另一边与ACB ∠的外角的平分线交于点E 。 （1）如图1，当ABC 三角形为等边三角形时，求证：CP+CE=CA 。 4、在中Rt ABC 中，090ACB ∠=，AC=BC ，点P 为BC 所在直线上一点，分别过点B 、C 作直线AP 的垂线，垂足分别为点D ，X 。 （1）当点P 在线段BC 上时，如图1，求证：2AD BD CE -= （2）当点P 在CB 的反向延长线上时，如图2，线段AD 、BD 、CE 三者之间满足的数量关系是 B