数学知识点汇集

整式运算

1.整式的加减

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。

去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

整式的加减：去括号，合并同类项。

2.整式的乘除

(1)单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，用相同字母指数的和作为积里这个字母的指数，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积里的一个因式。

(2)单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

(3)多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

(4)单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，被除式单有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。

(5)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

分式的性质与运算

1.分式的性质

分母中含有字母的有理式叫做分式。

分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的代数式，分式的值不变。

2.分式的符号法则

分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3.分式的运算

(1)分式的加减：同分母分式相加减：分母不变，分子相加。异分母分式相加减：先通分，化为同分母分式，再相加。

(2)分式的乘法：分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母。

(3)分式的除法：除以一个式子，等于乘以这个式子的倒数。

(4)分式的乘方：分子、分母分别乘方，再求商。

直线射线线段

直线特征：一是“直”的；二是向两方无限延伸的；三是没有粗细。

直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点。

射线的表示方法：用射线的端点和射线上任一点来表示。

直线上的两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。

线段的表示方法：用两个大写字母表示，记做线段AB或线段BA；用一个小写字母表示，记做线段a。

【三者的联系】将线段向一端延长得到射线，向两端延长得到直线，将射线向另一方向延长得到直线，即线段是射线的一部分，线段、射线是直线的一部分。

【三者的区别】直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点；线段可以向两个方向延伸，射线可以向一个方向延伸，直线不能再延伸；表示直线和线段的两个字母可以交换位置，而表示射线的两个字母不能交换位置。

三角形

1.三角形基本概念

定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。

中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形的面积。

高：从三角形的一个顶点(三角形任意两条边的交点)向其对边所作的垂线段(顶点至对边垂足间的线段)，叫做三角形的高。

角平分线：平分三角形的其中一个角的线段叫做三角形的角平分线，它到两边距离相等。(注：一个角的平分线是射线，平分线的所在直线是这个角的对称轴。)

中位线：任意两边中点的连线。

2.等腰三角形

定义：有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。

性质：

(1)等腰三角形的两个底角相等。

(2)等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高重合。

(3)等腰三角形的两底角的平分线相等。

(4)等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

(5)等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高。

(7)等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

3.等边三角形

定义：等边三角形(又称正三角形)，为三边相等的三角形。

性质：

(1)等边三角形的内角都相等，且均为60°。

(2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合。(三线合一)

(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。

(4)等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。(四心合

一)

4.直角三角形

定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形(Rt三角形)。

性质：

(1)直角三角形的两个锐角互余。

(2)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

(4)直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。

(5)摄影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项。

角

我们把有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

把1度的角60等分，每一份所对的角叫做1分角。记作1′，1°=60′。

把1分的角60等分，每一份所对的角叫做1秒角。记作1″，1′=60″。

平角及周角：一条射线绕它的端点旋转，当终边与始边成一条直线时，所成的角叫做平角.终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫周角。

角的平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

互为余角：如果两角之和为90°，那么这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。

互为补角：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角。

补角、余角的性质：同角或等角的补角相等。同角或等角的余角相等。

对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延伸线，这两个角是对顶角。两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。

多边形

由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连接且不相交所组成的封闭图形叫做多边形。在不同平面上的多条线段首尾顺次连接且不相交所组成的图形也被称为多边形，是广义的多边形。

多边形的定理：

n边形的内角和等于180°×(n-2)。

n边形共有n×(n-3)÷2个对角线。

n边形过一个顶点引出所有对角线后，把多边形分成n-2个三角形。

推论：

(1)任意凸形多边形的外角和都等于360°。

(2)多边形对角线的计算公式：n边形的对角线条数等于1/2·n(n-3)。

(3)在平面内，各边相等，各内角也都相等的多边形叫做正多边形。

多边形外角和定理：n边形外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°

多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和

等于n·180°。

1.平行四边形

定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

性质：

(1)平行四边形对边平行且相等。

(2)平行四边形两条对角线互相平分。

(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。

判定：

(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形。

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

(4)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.矩形

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

性质：

(1)矩形的四个角都是直角。

(2)矩形的对角线相等。

(3)具备平行四边形的性质。

判定：

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。

(2)对角线相等的平行四边形是矩形。

(3)有三个角是直角的四边形是矩形。

相交线平行线

相交线：在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。

平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，两条互相重合的直线视为同一条直线。

平行线的公理：

(1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

(2)平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

平行线的判定方法：

(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

(3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

(4)两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。

(5)在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。

平行线的性质：

(1)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线平行，同位角相等。

(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线平行，内错角相等。

(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线平行，同旁内角互补。

垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。