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高二数学讲义(53)选择结构

江苏省泰兴中学高二数学讲义（53）

选择结构

【本课重点】

流程图符号描述算法, 识别简单流程图描述的算法. 【预习导引】

1、流程图中表示判断框的是（） A ．矩形框 B ．菱形框 C ．平行四边形框 D 圆角矩形框

2、将两个数2,1==b a 交换，使1,2==b a ，下面语句正确的是（）

A ．a b b a ←←,

B ．b a a b ←←,

C ．a b b c c a ←←←,,

D ．c a a b b c ←←←,,

3、下面四个问题中必须用条件结构才能实现的个数是

①已知梯形上下底为a ,b ，高为h ，求梯形面积；②求方程ax +b =0（a 、b 为常数）的根；

③求三个数a,b,c 中的最小数； ④求函数1,0()2,0x x f x x x -≥?=?+

的函数值.

【典例练讲】

例1、根据流程图，回答下面问题：

（1）当输入的x=-1时，则输出的结果是（2）当输出的结果是y=4时，则输入的x= （3）写出满足该流程图的函数.

例2、根据下面算法， S1：输入一个实数x ；

S2：如果2x ≤,则输出y=-2;否则输出2

2y x x =- S3：结束算法. （1）用流程图表示：

（2）满足该流程图的函数是；

（3）思考如何用算法表示：将绝对值函数2

|2|y x x =--写成分段函数形式？并用相应的

流程图表示.

例3、用流程图描述求一元二次不等式2

0(0)++>≠ax bx c a 的解集的过程.

江苏省泰兴中学高二数学课后作业（53）

班级: 姓名: 学号：

1、下列语句中正确的有

（1）顺序结构中一定有选择结构；（2）选择结构中一定有循环结构；

（3）算法中的变量与函数中的自变量含义相同；（4）将a 赋值于b ，b 的新值即为a. 2、如图所示的流程图所描述的算法功能是 3、如图是求某函数值的流程图，

则满足该流程图的函数是

4、下面一个算法中，输入a 的不同值，填写输出的结果： S1 输入a

S4 3a a ←+ S2 若3a >则转到S4 S5 输出a S3 转到S5

S6 结束

当a ＝3时，输出结果为_________；当a ＝3.5时，输出结果为__________ 5、下图是一个算法流程图，如果输入x 的值是

，则输出S 的值是

6、在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ：2

4x y =的焦点为F ，定点)

22(A ，若射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN=

7、如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2

，直

线l ：1

y x =

与椭圆E 相交于A ，B 两点，25AB =，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N. （1）求,a b 的值；（2）求证：直线MN 的斜率为定值

8、已知()ln x

f x a x a =--e ，其中常数0a >．（1）当a =e 时，求函数()f x 的极值；

（2）若函数()y f x =有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：121

1x x a a

<<<<.

人教版八年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共29讲)

八年级数学讲义目录

专题01 整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：m n m n a a a +?=， ()m n mn a a =，()n n n ab a b =， (0)m n m n a a a a -÷=≠，01(0)a a =≠，1 (0)p p a a a -= ≠．学习指数运算律应注意： 1．运算律成立的条件； 2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．例题与求解【例1】（1）若n 为不等式200 3006n >的解，则n 的最小正整数的值为．（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）（2）已知21x x +=，那么432 222005x x x x +--+= ．（“华杯赛”试题）（3）把26 (1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++L ，则 121086420a a a a a a a ++++++= ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）若5 4 3 2 37629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则 ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ．（创新杯训练试题）解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．

青岛版小学数学知识结构脉络图

青岛版小学数学知识结构脉络图同和小学魏建 6.常见的量（1）认识长度、面积、体积、容积、质量、时间等单位和单位间的进率（2）不同单位的改写数与运算数与代数比与例比式与方程常见的量 1.数的认识（1）整数、小数、分数、百分数和负数的意义、读写，认识数的组成、数位和计算单位。（2）整数、小数、分数、百分数和负数的大小比较。（3）大数的改写，分数、小数、百分数的互化。（4）因数和倍数的认识，知道奇数、偶数、合数、质数的概念，会求最小公倍数合作大公因数。 2.数的运算（1）整数、小数、分数、百分数的四则混合运算算理和计算方法（2）四则混合运算的顺序和简便计算（3）用四则混合运算解决问题 3.运算定律和基本性质（1）认识加法运算定律、乘法运算定律（2）减法和除法的性质（3）积、商的变化规律（4）分数、小数、比和比例的基本性质 4.比与比例（1）比和比例的认识（2）比例的基本性质，利用比例的基本性质解比例（3）正比例和反比例的意义和判断，用正、反比例解决实际问题（4）比例尺=图上距离：实际距离，比例尺的分类 5.式与方程（1）用字母表示数、数量关系和公式（2）方程和等式的意义（3）等式的基本性质，以及用等式的基本性质解方程（4）列方程解决问题

平面图形图形与变换图形与位置1.线（1）认识直线、射线和线段（2）认识平行与垂直（3）图形与几何立体图形 2.角（1）认识角（2）角的大小和分类（3）量角和画角 3.多边形的认识（1）认识三角形，知道三角形的特性、三角形的分类和内角和（2）认识正方形、长方形（3）认识平行四边形和梯形的特征（4）认识圆的各部分组成及相互关系 4.求平面图形的周长和面积（1）求长方形、正方形、三角形和圆的周长（2）求三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形和圆的面积 5.立体图形（1）认识长方体、正方体、圆柱、圆锥的特征（2）求长方体、正方体、圆柱的表面积（3）求长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积或容积（8） 6.图形变换（1）轴对称图形和轴对称变换（2）平移和旋转现象及作图（3）图形按比例放大或缩小（9） 7.位置（1）认识8个方向（2）用方向和距离确定物体的位置（3）用数对确定物体的位置（10）

七年级数学上册培优辅导讲义(人教版)

新人教版七年级数学上册培优辅导讲义第1讲与有理数有关的概念考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A ．－18% B ．－8% C ．＋2% D ．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ．－5吨 B ．＋5吨 C ．－3吨 D ．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___ 【例２】在－227 ，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数????????????????? 正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数，0.033. 3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．

高中数学知识点完整结构图

高中数学知识点1 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????

学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版新编)

第1讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. A B C D E F A C D E F P Q R

问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21 ∠AOC ∴ ∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝2 1∠BOC ＋2 1 ∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠ AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠ BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° C E F E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图）

人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)

九年级讲义目录

专题01 二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题）【例2】化简（1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2 （五城市联赛试题）

（3 （北京市竞赛试题）（4 （陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

高中数学立体几何学科老师辅导讲义

北辰教育学科老师辅导讲义

V πr 2 h(即πr 2 l) 31πr 2 h 31πh(r 21+r 1r 2+r 2 2) 3 4πR 3 表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台上、下底面半径，R 表示半径。四．题型解析：题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 。（1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。图1 图2 题型2：柱体的表面积、体积综合问题例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（） A ．2 3 B ．3 2 C ．6 D ． 6

图

图图图

题型8：球的体积、表面积例15．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积。点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。例16．如图所示，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积。点评：本题也可用补形法求解。将P —ABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R= 2 3 a ,下略。

初三数学培优辅导资料(6)(最新整理)

初三数学培优辅导资料（六） 1．如图，等腰Rt △ABC(∠ACB=90°)的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一条直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止。设CD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分(图中阴影部分)的面积为y ，则y 与x 之间的函数的图象大致是( ) 2、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b ﹣2a =0；②abc ＜0；③a ﹣2b +4c ＜0；④8a +c ＞0．其中正确的有（）A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为（4，0）∠AOC =60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N （点M 在点N 的上方），若△OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t ≤4），则能大致反映S 与t 的函数的图象是（） A B C D 4、如图，抛物线与x 轴正半轴交于点A （3，0）2 32--=x ax y .以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF ,则点E 的坐标是 .5．如图所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），…… ，P n （x n ，y n ）在函数y=x 9（x ＞0）的图象上，△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，……，△P n A n －1A n …… 都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2，……，A n-1A n ，都在x 轴上，则y 1+y 2 = ．y 1 + y 2 + … + y n = ． 6、如图，将二次函数y=x2﹣3的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持第15 题

新人教版八年级数学下册培优辅导资料(全册)48359

`新人教版八年级数学下册辅导资料（01）姓名：________ 得分：_____ 一、知识点梳理： 1、二次根式的定义. 一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。两个非负数：（1）a ≥0 ；（2） a ≥0 2、二次根式的性质：（1）.()0≥a a 是一个________ 数；（2） () =2 a __________（a ≥0）（3）()() () ?? ? ???=?==0_______0_______ 0_______2a a a a a 3、二次根式的乘除：积的算术平方根的性质： )0,0(≥≥?=b a b a ab ，二次根式乘法法则： __________=?b a （a ≥0,b ≥0）商的算术平方根的性质： b a b a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥= b a b a b a 1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号； 3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的．二、典型例题：例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵ x x -+2) 1(0 ⑶13-+-x x ⑷12+x （5） 1 2 -+x x

小结：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2：化简：（1）|21|)22(2-+- （2）|3 254|)3253(2-+- 例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求 x y 的值． (2) 已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值．

人教版六年级下册数学知识结构图[1]

例1：什么叫比例比例的意义比例基本性质 2 例2例3：解比例 4：例5例6求实际、图上距离，比例尺 3：成正比例的量 4——例6：成反比例的量 7：正比例和反比例的比较：圆锥的体积计算例2：圆锥的重量计算：填写统计表：制作单式条形统计图：制作复式条形统计图数的改写数的整除分数小数的基本性质运算定律和简便算法简易方程例4：分数应用题例5：用比例解应用题质量单位名数的改写平面图形的周长和面积立体图形的表面积和体积

1.比例：表示两个相等的式子叫做比例。 2.基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。外项 3.组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 4.两个数相除又叫做两个数的比， 5.比的前项除以比的后项所得商，叫做比值。 6.比例的意义：两个比值相等的两个比，用等于连接起来 80：2＝200：5 80：200＝2：5 师：以上这些比中，有整数比也有小数比和分数比，只要两个比的比值相等，我们就可以用等号把它们连接起来。把两个比值相等的比用等号连接起来的式子叫比例式。这节课我们就来学习比例的意义。（板书课题）师：通过学习要求同学们明确比例的意义，掌握组成比例的条件，并根据不同要求，正确地列出比例式。师：什么叫比例？（启发学生回答并板书：表示两个比相等的式子叫做比例。）师：（1）比例是由几个比组成的？（两个）（2）是否任意的两个比都能组成比例呢？（不是）（3）组成比例的条件是什么？（比值相等）师：只要两个比的比值相等，就可以连成比例式。这就是判断两个比是否组成比例的条件。 7.正比例和反比例的意义正比例和反比例 - 正比例 1.、用文字来描述：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，正比例的图像是一条直线

高中数学同步辅导讲义 1.1.1集合

集合基本概念及题型分类学生用讲义一、基本知识 1.1.1 集合的相关概念 (1) 集合、元素的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就是这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。构成集合的每个对象叫做集合的元素。 (2) 元素用小写字母Λ,,,c b a 表示；集合用大写字母Λ,,,C B A 表示。 (3) 不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ。空集是一个特殊又很重要的集合，很多问题的考虑，要注意空集的情况，这是容易忽略的问题，在学习中还要记住常用集合的记法，在今后的学习中使用频率较高，如实数集和整数集的记号，正整数集和自然数集的记号。 (4) 集合的分类： ①按照集合中元素个数的多少，可分为???无限集有限集集合； ②按照集合中元素形式的不同，可分为? ??点集数集集合； ③集合还可以分为???集不可列集可列集合。 (5) 元素的性质： ①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可。也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在集合中就确定了。例如，“山东的地级市”构成一个集合，济南、青岛、烟台、临沂在这个集合中，北京、南京……不在这个集合中；“比较大的数”不能构成一个集合，因为组成它的元素是不确定的。 ②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个，也就是说集合中的元素是不重复出现的。例如：good 中的字母构成的集合为},,{d o g ，而不是},,,{d o o g 。集合的三个特性中，互异性往往是我们考虑不周的地方，如含字母的集合中，求出字母的值，要代回原来的集合中检验。 ③无序性：集合中的元素是无次序的，也就是说只要两个集合中的元素相同，这两个集合就相等。例如：},,{},,{},,{a b c c a b c b a ==。 (6) 常见集合的表示 1.1.2 集合与元素的关系元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种，如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作A a ∈，a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于A ，记作A a ?。 1.1.3 集合的表示法 a) 例举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法例如：方程062=--x x 的解的集合，可表示为}3,2{-，也可以表示为}2,3{-；又如方程组?? ?=-=+0 2y x y x

初三数学培优辅导资料(4)(最新整理)

B A 初三数学辅导资料（4） 1.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足 =，连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD 、DE ，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF ∽△AED ；②FG=2；③S △DEF=4．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）． 2、如图，扇形DOE 的半径为3 的菱形OABC 的顶点A ， C ，B 分别在O D ，O E ，弧ED 上，若把扇形DOE 围成一个圆锥，则此圆锥的高为（）A ． B. C D ． 1 23、如图，AB 是圆O 的直径，AC 交圆O 于E 点，BC 交圆O 于D 点，CD =BD ,∠C =70°,现给出以下四个结论：①∠A =70°,②AC =AB . ③AE =BE , ④,其中正确的结论的序号是（） 22CE AB BD ?=A.　①② B. ②③ C. ②④ D.　③④4．如图，⊙O 过四边形ABCD 的四个顶点，已知∠ABC ＝90o， BD 平分∠ABC ，则：①AD ＝CD ，BD ＝AB ＋CB ， ③点O 是∠ADC 平分线上的点，④， 2222AB BC CD +=上述结论中正确的个数为（）A ．4 个 B ．3个 C ．2个 D ．1个5.如图，A 、B 为⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A 、B 重合），我们称∠APB 为⊙O 上关于A 、B 的滑动角. 若⊙O 半径为 1，，则∠APB 的取值范围为 32≤ ≤AB （第10题图） D （第10题）

“” “” At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!

高中数学知识结构图(理科)

高中数学知识结构图集合的概念与表示方法集合集合的性质集合之间的关系与运算解析法函数的概念与表示方法列表法图像法定义域函数的三要素对应关系值域单调性奇偶性函数的性质周期性极值最值一次、二次函数反比例函数基本初等函数指数函数与对数函数图像、性质和应用函数函数的分类幂函数复合函数三角函数分段函数函数图像及其变换平移、对称、翻折和伸缩变换概念反函数存在条件与原函数的关系函数与方程函数的零点对应方程的解函数的应用建立函数模型任意角弧度制与三角函数同角三角函数关系诱导公式三角函数中的公式和角、差角公式二倍角公式与半角公式三角函数和差化积与积化和差公式正弦函数三要素三角函数余弦函数性质正切函数图像及其变换正弦定理解三角形余弦定理三角形面积

柱体结构椎体空间几何体台体三视图和直观图球体简单组合体表面积与体积点、直线、平面的位置关系点、直线、平面的关系直线、平面平行的性质和判定直线、平面垂直的性质和判定立体几何点到点的距离点到直线的距离空间距离点到平面的距离直线到平面的距离平行平面间的距离异面直线形成的角空间的角直线与平面形成的角倾斜角、斜率和截距点斜式斜截式直线直线与方程两点式截距式一般式直线之间的位置关系垂直与平行的条件圆与方程一般方程与标准方程几何圆点与圆的位置关系位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系解析几何圆锥曲线椭圆定义及标准方程双曲线性质离心率点到点的距离点到直线的距离平面距离点到圆的距离两平行线的距离直线到圆的距离相离圆的距离对称问题中心对称关于点对称轴对称关于直线对称平面向量概念向量加减法向量运算向量的数乘向量的数量积空间向量几何意义及应用

高二数学双曲线讲义

高二年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间： 11.23 一、知识点讲解（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

（3）双曲线的渐近线： ①求双曲线12 2 22=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到0x y a b ±=。 ②与双曲线122 22=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x ；（4）等轴双曲线为2 22t y x =-，其离心率为2 （4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12 222 >>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设双曲线)0,0(1222 2 >>=-b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、例题讲解。例1、如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（）（A ）3 （B ）5 （C ） 2 5 （D ）31+ 例2、设P 为双曲线2 2 112 y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（） A ． B ．12 C. D ．

高中数学知识结构框图

高中数学知识结构框图必修一：第一章集合集合含义与表示基本关系基本运算列举法{a,b,c,…} 描述法{x|p(x)} 图象法包含关系相等关系交集:A∩B={x|x∈A且x∈B} 并集:A∪B={x|x∈A或x∈B} 补集:{|} U C A x x U x A =∈? 且韦恩图; 数轴子集; 真子集函数概念定义域对应关系值域表示解析法图象法列表法性质单调性定义图象特征最值奇偶性定义图象特征:对称性映射映射的概念上升或下降第二章函数

第三章基本初等函数(Ⅰ) 基本初等函数(Ⅰ) 指数与指数函数指数根式n a 分数指数幂(0,,*,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 无理数指数幂运算性质指数函数定义(0,1) x y a a a =>≠ 图象: “一撇或一捺”，过点(0,1).见教材P91 性质: 位于x轴上方,以x轴为渐近线对数与对数函数对数定义：x a N x a N = 若则叫以为底的对数运算性质对数函数定义：log(0,1) a y x a a =>≠ 图象：位于y轴右侧，以y轴为渐近线.见教材P103 性质：过点（1，0） log()log log log log log log log a a a a a a n a a M N M N M M N N M n M ?=+ =- = () () r s r s r s rs r r r a a a a a ab a b + = = = 幂函数定义：y xα = 具体的五个幂函数 2 3 1 2 1 y x y x y x y x y x- = = = = = 特征：过点（1，1），当0 α>时在(0,) +∞ 上递增；当0 α<时，在(0,) +∞上递减。换底公式： log log(0,1,0,1,0) log c a c b b a a c c b a =>≠>≠> 图象：P109

人教版小学数学知识结构图

实用文档文案大全小学数学知识结构图数与计算数一数 1~5的认识和加减法 6~10的认识和加减法20以内的进位加法一上 20以内的退位减法数的认识（读、写、顺序、比较大小）

整十数加一位数相应的减法 100以内数的认识 100以内的加法和减法（一）整十数加、减整十数两位数加一位数、整十数（不进位）两位数减一位数、整十数（不退位）两位数加一位数（进位）

两位数减一位数（退位）两位数加、减两位数一下11~20各数的认识实用文档文案大全100以内的加法和减法（二）（笔算）两位数加、减两位数表内乘法（一）乘、除法的初步认识 2~6的乘法口诀（乘加、乘减）表内乘法（二） 7~9的乘法口诀万以内数的认识 1000以内的数的认识 10000以内的数的认识整百、整千数的加减法万以内的加、减法（一）口算：两位数加、减两位数笔算：几百几十加、减几百

表内除法（一）除法的初步认识用2~6的乘法口诀求商表内除法（二）用7~9的乘法口诀求商二下实用文档文案大全有余数的除法

多位数乘一位数分数的初步认识口算：整十、整百、整千乘一位（估算）笔算初步认识：平均分一个物体简单的大小比较、加减法三上三位数加、减（包括两位加进位成三位）万以内的加法和减法（二）（笔算）三下

钝角（与直角比较来认识）两位数乘两位数除数是一位数的除法口算：整十、整百、整千除一位几百几十除一位笔算口算：乘整十、整百（估算）笔算实用文档文案大全四上大数的认识亿以上数的认识用计算器计算（包括探索规律）亿以内数的认识三位数乘两位数口算：两位数乘一位数（进位）及相应的几百几十乘一位笔算：包括“因数和积的变化规律” 除数是两位数的除法口算：整十、整百、整千除一位几百几十除一位（估算）笔算：包括“商的变化规律” 小数的加法和减法

高二数学辅导讲义(排列组合二项式定理与概率)

高二数学辅导讲义（排列组合、二项式定理与概率）07、5、7 排列组合试题从解法上看，大致有以下几种：（1）有附加条件的排列组合问题，大多需用分类讨论的方法；（2）排列与组合的混合型问题，需分步骤，要用乘法原理解决；（3）元素不相邻问题常用插空法，相邻问题常用捆绑法；（4）排除法，将不符合条件的排列或组合剔除掉；（5）穷举法，将符合条件的所有排列或组合一一写出来，或写出一部分发现规律；（6）定序问题“缩倍法”，即若某几个元素必须保持一定的顺序，则可按通常排列后再除以这几个元素的排列数；（7）隔板法，例如：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？可将10个 C种方法。球排成一排，再用2块“隔板”将它们分成三个部分，有2 9 1、n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 2、同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有种 3、某班的10人中恰有班干部和团干部各5名：（1）班干部不全排在一起；（2）任何两名团干部都不相邻；（3）班干部和团干部相间排列。 4、有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数分别为2，3，4。上述问题各有多少种不同的分法？ 5、排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？ 6、一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？ 7、20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？ 8、从4名男生和3名女生中选4人参加某座谈会，若这四人中必须既有男生又有女生，则不同选法有 A．140种B．120种C．35种D．34种 9、从1、3、5、7中任取两个数字，从0、2、4、6、8中任取两个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有个（数字答） 10、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案有（） A.12 种 B.24种 C.36种 D.48种 11、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第

-2016六年级上数学培优辅导资料

2０15～2016上学期六年级数学培优资料（第一次) 第一部分:数与计算一、在○里填上“＞”、“＜"或“＝”． 98×167○981211×47○12112019×66○20192524×23○25 24 1211×(21+51)○1211×21＋51 3吨钢铁的51○１吨棉花的5 3 二、下面的( ）里可以填的最大整数是多少? (1)35×0。7５<）（5 （2）6）（×54<5 4 (３)85×4 ）（<1 三、计算题。１.直接写得数。 (1)4211×337= (2)176×51＝ (3)4。8×5 4= (4)91×137= (5)5017×3435= (6）6 5×1。4= ２。计算下面各题。（１)92＋97×7 （2)1-43×127 （3)1310×1526×8 3 (4)65×(5-32） (5)(43－21）×(43＋21) (６)97×32-7 2 3。用简便方法计算下面各题. （１）(43+54)×4×5 (2)（43×54）×4×5 (3)87×86 85

（４）(31+43＋65）×２4 (5）75-75×94(6）83×0.2５+41×85-4 1 (7)175×249+179×247(8)2519×317＋257×316（9）2０１5×2016 2015 第二部分：走进生活，解决问题 1、对比练习。 (1)一根绳子长３米，用去 21米,还剩多少米？ (2）一根绳子长3米，用去它的 21，还剩多少米？ (３）一根绳子长３米，第一次用去它的 21，第二次用去余下的21,这根绳子还剩多少米？ (4）一根绳子长3米,第一次用去它的 21，第二次用2 1米,这根绳子还剩多少米？ 2、分类讨论.

初二数学上册培优辅导讲义(人教版)

精品第12讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝2 1 ∠BOC ，∠FOC ＝ 21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋2 1∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE . 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm A B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2