苏教版数学高一 必修1学业测评2.函数的单调性
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．如图2-2-2是定义在闭区间－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象，y ＝f(x)的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
图2-2-2
【解析】增区间为(－2,1)，(3,5)，减区间为(－5，－2)，(1,3)．
【答案】(－2,1)，(3,5)(－5，－2)，(1,3)
2．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f(a)－f(b)
a－b
＞0，
则必有________．(填序号)
①函数f(x)先增后减；
②函数f(x)先减后增；
③函数f(x)是R上的增函数；
④函数f(x)是R上的减函数．
【解析】由f(a)－f(b)
a－b
＞0知，当a＞b时，f(a)＞f(b)；当a＜b时，f(a)＜f(b)，
所以函数f(x)是R上的增函数．
【答案】③
3．函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且过点(－3,2)和(1，－2)，则|f(x)|<2的自变量x的取值范围是________．
【解析】由题意可知：当x∈(－3,1)时，－2 【答案】(－3,1) 4．函数f(x)＝|x|与g(x)＝x(2－x)的递增区间依次为________． 【解析】f(x)＝|x|＝ ?? ? ??x，x≥0， －x，x<0， 因此递增区间为0，＋∞)，函数g(x)＝x(2－x)为二次函数，开口向下，对称轴为x＝1，因此递增区间为(－∞，1]．【答案】0，＋∞)，(－∞，1] 5．函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________． 【解析】函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞，a－1]．要使函数在区间(－∞，4]上是减函数，需有(－∞，4]?(－∞，a－1]，所以a－1≥4，∴a≥5. 【答案】5，＋∞) 6．已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是________．(填序号) 【解析】因为函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，所以： ①当a＝0，y＝2ax＋b的图象可能是(1)；②当a＞0时，－b 2a≥0?b≤0，y ＝2ax＋b的图象可能是(3)；③当a＜0时，－b 2a≤0?b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是(4)．故y＝2ax＋b的图象不可能是(2)． 【答案】(2) 7．已知f(x)是定义在区间－1,1]上的增函数，且f(x－3)＜f(2－x)，则x的取值范围是________． 【解析】由题意，得 ?? ? ??－1≤x－3≤1， －1≤2－x≤1， x－3＜2－x， 解得1≤x ＜52，故满足条件的x 的取值范围是1≤x ＜5 2. 【答案】 ? ????? ????x ??? 1≤x ＜ 52 8．若f (x )＝ax ＋1 x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________. 【导学号：37590030】 【解析】 f (x )＝ ax ＋1x ＋2 ＝ ax ＋2a ＋1－2a x ＋2 ＝a ＋ 1－2a x ＋2 在区间(－2，＋∞)上是 增函数，结合反比例函数性质可知1－2a <0，∴a >12，则a 的取值范围是? ?? ?? 12，＋∞. 【答案】 ? ???? 12，＋∞ 二、解答题 9．已知函数f (x )＝ 2x －1 x ＋1 . (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )＝ 2x －1 x ＋1 在1，＋∞)上是单调增函数． 【解】 (1)由题意知x ＋1≠0， 即x ≠－1. 所以f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． (2)证明：任取x 1，x 2∈1，＋∞)，且x 1 2x 2－1x 2＋1 －2x 1－1x 1＋1 ＝(2x 2－1)(x 1＋1)－(2x 1－1)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1) ＝ 3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1) . ∵x1 又∵x1，x2∈1，＋∞)， ∴x2＋1>0，x1＋1>0. ∴f(x2)－f(x1)>0， ∴f(x2)>f(x1)． ∴函数f(x)＝ 2x－1 x＋1 在1，＋∞)上是单调增函数． 10．作出函数f(x)＝x2－6x＋9＋x2＋6x＋9的图象，并指出函数f(x)的单调区间． 【解】原函数可化为f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝ ?? ? ??－2x，x≤－3， 6，－3 2x，x>3. 图象如图所示． 由图象知，函数的单调区间为(－∞，－3]，3，＋∞)． 其中单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为3，＋∞)． 能力提升] 1．函数f(x)＝x2－2mx－3在区间1,2]上单调，则m的取值范围是________．【解析】f(x)的对称轴为x＝m，要使f(x)在1,2]上单调，则m不能在区间1,2]内部，∴m≥2或m≤1. 【答案】(－∞，1]或2，＋∞) 2．已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)，B(－3,2)在其图象上，则不等式－2 【解析】 ∵f (－3)＝2，f (0)＝－2， ∴f (0) ∵f (x )在R 上是减函数，∴0>x >－3， 故解集为{x |－3 3．已知f (x )＝??? (6－a )x －4a ，(x <1)， ax ，(x ≥1)是(－∞，＋∞)上的增函数，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 函数在(－∞，＋∞)上是增函数，需满足???? ? 6－a >0，a >0， 6－a －4a ≤a ， 解 不等式得a 的取值范围是1,6)． 【答案】 1,6) 4．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值________0(填“大于”或“小于”)． 【解析】 ∵f (－x )＋f (x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )， 又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0， ∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. ∵f (x )是定义在R 上的增函数， ∴f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)， f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)， f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0. 【答案】大于 5．讨论函数f(x)＝ax＋1 x＋2? ? ? ? ? a≠ 1 2在(－2，＋∞)上的单调性. 【导学号：37590031】 【解】f(x)＝ax＋1 x＋2 ＝a＋ 1－2a x＋2 ， 设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1 则f(x1)－f(x2)＝1－2a x1＋2 － 1－2a x2＋2 ＝(1－2a) x2－x1 (x2＋2)(x1＋2) ， ∵－2 (1)若a<1 2 ，则1－2a>0， ∴f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 则f(x)在(－2，＋∞)上为减函数． (2)若a>1 2 ，则1－2a<0. ∴f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1) 故f(x)在(－2，＋∞)上为增函数． 综上，当a<1 2 时，f(x)在(－2，＋∞)上为减函数； 当a>1 时，f(x)在(－2，＋∞)上为增函数． 2