第一章 极限与连续(汇总)

极限与配合第一章教案

第一章光滑圆柱形结合的极限与配合 §1-1 基本术语及其定义 一、孔和轴 孔——通常指工件各种形状的内表面，包括圆柱形内表面和其它由单一尺寸形成的非圆柱形包容面。 轴——通常指工件各种形状的外表面，包括圆柱形外表面和其它由单一尺寸形成的非圆柱形被包容面。 二、尺寸的术语及其定义 1．尺寸 尺寸——用特定单位表示长度大小的数值。长度包括直径、半径、宽度、深度、高度和中心距等。 尺寸由数值和特定单位两部分组成。例如30 mm。 注：机械图样中，尺寸单位为mm时，通常可以省略单位。 2．基本尺寸（D，d） 基本尺寸——由设计给定，设计时可根据零件的使用要求，通过计算、试验或类比的方法，并经过标准化后确定基本尺寸。 注：孔的基本尺寸用“D”表示；轴的基本尺寸用“d”表示。 3．实际尺寸（Da，da） 实际尺寸——通过测量获得的尺寸。

由于存在加工误差，零件同一位置的实际尺寸不一定相等。4．极限尺寸 极限尺寸——允许尺寸变化的两个界限值。 允许的最大尺寸称为最大极限尺寸； 允许的最小尺寸称为最小极限尺寸。 三、偏差与公差的术语及其定义 1．偏差 偏差——某一尺寸（实际尺寸、极限尺寸等）减其基本尺寸所得的代数差。 分类： （1）极限偏差——极限尺寸减其基本尺寸所得的代数差称为极限偏差。 （2）实际偏差——实际尺寸减其基本尺寸所得的代数差称为实际偏差。 （1）极限偏差 上偏差——最大极限尺寸减其基本尺寸所得的代数差。 孔： ES=Dmax － D 轴： es=dmax －d 下偏差——最小极限尺寸减其基本尺寸所得的代数差。 孔： EI=Dmin －D

轴： ei=dmin －d （2）实际偏差 实际尺寸减其基本尺寸所得的代数差称为实际偏差。合格零件的实际偏差应在规定的上、下偏差之间。 【例1－1】某孔直径的基本尺寸为φ50mm，最大极限尺寸为φ50.048mm，最小极限尺寸为φ50.009mm，求孔的上、下偏差。 【例1－2】计算轴φ60mm -0.012+0.018的极限尺寸。若该轴加工后测得实际尺寸为φ60.012mm，试判断该零件尺寸是否合格。

第一章函数与极限复习提纲

第一章函数与极限复习提纲 一、函数 知识点：1、函数的定义域、性质的判断（有界性、奇偶性、单调性、周期性） 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会！！ 4、函数关系的建立 如1、下列函数中属于偶函数的是（ D. ） A. x x y sin +=； B. x x y sin 2+=； C . x x y cos +=； D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成？ （1）x x f 2ln )(= 解：u y ln =，x u 2= （2）x y 2cos = 解：2u y = ，x u cos = （3）5)13(+=x y 解：5u y =， 13+=x u （4）3 2 1-= x y 解：3 1u y =，12-=x u （5）x y 2cos ln = 解：u y ln =，v u cos =，x v 2= 3、旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过20公斤免费；超过20公斤部分，每公斤收费0.20元；超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。 解 0, 0.2(20), 2050 0.3(50)6, 50 x y x x x x ≤≤?? =-<≤??-+>? 4、某公司生产某种产品，总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元，又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2 25x P -=,求x 为多少时公司总利润最大？ 解 成本函数C （x ）=固定成本+可变成本 所以x x C 10200)(+= 收入函数x x x x x p x R 2521 )225()(2+-=?- =?= 利润函数200152 1)10200(2521)()()(2 2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L 令015)('=+-=x x L 得15=x 因为驻点唯一，又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在，所以当15=x 时，() L x

第一章函数、极限、连续

第一章 函数 极限 连续 1.1 数列极限的求法 一 基本概念 数列极限、数列收敛、数列发散 1. 数列极限：lim n n x a →∞ = 描述语言：当n 充分大时，数列一般项n x 无限趋于（无限接近，充分接近）某个确定的常数a ，则称a 就是数列{}n x 的极限． “N ε-”语言：0ε?>，N ?，当n N >时，有n x a ε-<． 二 基本结论 1. 收敛数列性质：唯一性；有界性；保号性；子序列的收敛性． 2. 单调有界原理：单调有界数列必有极限；或叙述为：单调增加有上界必有极限，单调减少有下界必有极限． 3. 夹逼法则：若n n n y x z ≤≤，n N >，且lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==，则lim n n x a →∞ =． 4. 数列极限运算法则：设lim n n x A →∞ =，lim n n y B →∞ =，那么 （1）lim()n n n x y A B →∞ ±=±； （2）lim n n n x y AB →∞ ?=； （3）lim (0)n n n x A B y B →∞ =≠． （4）lim() n y B n n x A →∞ = 5. 两个重要极限：10 lim(1)e x x x →+=；0sin lim 1x x x →=． 这两个极限公式可以推广为：当0x x →时，()0f x →，则 1() lim(1()) e f x x x f x →+=；0sin () lim 1() x x f x f x →=． 三 基本方法 数列极限的未定式（不确定型）有八种形式： 00；∞∞ ；0?∞；∞±∞；1∞；0 ∞；00；无限个无穷小的和．

大一高数第一章--函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限

第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为

第1章 函、极限与连续

第1章 函数、极限与连续 §1.1 函数 习题1-1 1．求下列函数的自然定义域： (1)1y x = (2)y =； (3)1 arcsin 2x y -=； (4)1arctan y x =； (5)y = ； (6)2 1log (16)x y x -=- (7)11ln 1x y x x -=+； (8)arcsin lg 10x y ??= ??? ． 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？ (1)2()lg f x x =与()2lg g x x =； (2)()f x x = 与2()g x =； (3)21y x =+与21x y =+； (4)y = y x =； (5)y = y = (6)1y =与22sec tan y x x =-． 3．设sin ,3 ()0,3x x x x π?π?

是奇函数． 7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)2 2 (1)y x x =-； (2)2 3 3y x x =-； (3)2 x x e e y -+= ； (4)cos sin x y x x e =； (5)tan sec 1y x x =-+； (6)(3)(3)y x x x =-+． 8．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： (1)cos(1)y x =-； (2)tan y x x =； (3)2sin y x =； (4)cos 4y x =； (5)cos y x x =； (6)1sin y x π=+． 9．设函数()f x 在数集X 上有定义，试证：函数()f x 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界． 10．证明：()sin f x x x =在(0,)+∞上是无界函数． 11．某公司全年需购某商品1000台，每台购进价为4000元，分若干批进货，每批进货台数相同，一批商品售完后马上进下一批货，每进货一次需消耗费用2000元，如果商品均匀投放市场（即平均年存量为批量的一半），该商品每年每台库存费为进货价格的4﹪．试将该公司全年在该商品上的投资总额表示为批量的函数． 12．某运输公司规定某种商品的运输收费标准为：不超过200千米，每吨千米收费6元；200千米以上，但不超过500千米，每吨千米收费4元；500千米以上，每吨千米收费3元．试将每吨的运费表示为路程的函数． §1.2 初等函数 习题1-2 1．求下列函数的反函数： （1 ）y = （2） (0)ax b y ad bc cx d += -≠+； （3）11x y x -=+； （4）1ln(2)y x =++ ； （5）2sin 3 66y x x π π??=-≤≤ ??? ； （6）221x x y =+． 2．设1,0 ()0,00x f x x x ? ，求2 (1),(1)f x f x --．

第一章 函数与极限的练习解答

一、P21：1；5 1.设），（），（∞+∞=55--A ，） ，【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。 解：),5()3,(+∞-∞= B A )5,10[-=B A ),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A )5,10[)()\(\--=--=B A A B A A 5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？ （1） x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D ),0(+∞=g D 。 （2） 2 )(,)(x x g x x f == 解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。 （3） 3 3 4 )(x x x f -=， 3 1)(-?=x x x g 解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。 （4） x x x g x f 2 2tan sec )(,1)(-== 解：不同。定义域不同，R D f = },1,0,2 { ±=+ ≠=k k x x D g π π。 二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）； P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16. 4.求下列函数的自然定义域：

（1） 23+=x y ； 解：32023-≥?≥+x x 。即：),3 2 [+∞-=D 。 （3）211x x y --=； 解：???≤≤-≠????≥-≠1 10 0102 x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。 （5） x y sin =； 解：0≥x 。即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ； 解：42131≤≤?≤-≤-x x 。即：]4,2[=D 。 （9）)1ln(+=x y 解：101->?>+x x 。即：),1(+∞-=D 6.设,3 ,3,0,sin )(ππ?≥

函数极限与连续习题(含答案)

基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经 过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、 已知四个命题：(1)若 f (x ) 在 x 0 点连续，则 f (x ) 在 x → x 0 点必有极限 2)若 f (x )在x → x 0点有极限，则 f (x )在x 0点必连续 3)若 f (x )在x → x 0点无极限，则 f (x )在x = x 0点一定不连续 (4)若 f (x ) 在 x = x 0 点不连续，则 f (x ) 在 x → x 0 点一定无极限。 其中正确的命题个数是( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、若 lim f ( x ) = a ，则下列说法正确的是( C ) x →x 0 A 、 f (x )在x =x 0处有意义 B 、 f (x 0)=a C 、 f (x )在x = x 0处可以无意义 D 、x 可以只从一侧无限趋近于x 0 3、下列命题错误的是( D ) A 、函数在点x 0 处连续的充要条件是在点x 0 左、右连续 B 、函数 f (x )在点x 0处连续，则lim f (x )= f (lim x ) 0 x →x 0 x → x 0 C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数 f (x )有lim f (x ) = f (x 0) x → x 0 0 4、已知f (x )= 1 ，则lim f (x +x )- f (x )的值是( C ) x x →0 x 11 A 、 B 、 x C 、 - D 、 - x x 2 x 2 5、下列式子中，正确的是( B ) x 2 + ax + b 6、lim x +ax +b =5，则a 、b 的值分别为( A ) x →1 1 - x A 、- 7和6 B 、7和- 6 C 、- 7和- 6 D 、7和6 7、已知f (3) = 2, f (3) = -2,则lim 2x - 3 f (x )的值是( C ) x →3 x - 3 8、l x i →m a 3 x x --3a a =( D ) A 、lim x = 1 B 、lim x -1 = 1 C 、lim x -1=1 x →0 x x →1 2(x -1) x →-1 x - 1 lim x x → 0 x =0 A 、-4 B 、0 C 、8 D 、不存在 D 、

第一章 函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞<

1第一章 函数与极限答案

第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）

函数极限与连续习题加答案(供参考)

第一章 函数、极限与连续 第一讲：函数 一、是非题 1．2x y = 与x y =相同； （ ） 2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. )0(2 >=x x y 是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ） 6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ ） 7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ） 8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。 （ ） 二、填空题 1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 对称； 2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2 +x f 的定义域是 ； 3.1 22+=x x y 的反函数是 ； 4.1)(+=x x f ，2 11 )(x x += ?，则]1)([+x f ?＝ ， ]1)([+x f ?＝ ； 5.)2(sin log 2+=x y 是由简单函数 和 复合而成； 6.1)(2 +=x x f ，x x 2sin )(=?，则)0(f ＝ ，___________)1(=a f ， ___________)]([=x f ?。 三、选择题 1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ）

A 、x 3sin B 、13+x C 、x x +3 D 、x x -3 2.设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（ ） A 、1 B 、－1 C 、2 D 、－2 3.)sin()(2x x x f -=是（ ） A 、有界函数 B 、周期函数 C 、奇函数 D 、偶函数 四、计算下列各题 1.求定义域5 23arcsin 3x x y -+-= 2.求下列函数的定义域 (1)342+-=x x y (2)1 142++ -=x x y (3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg = 3.设2 )(x x f =，x e x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g x f f x f g x g f ；

高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点

第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。

第一讲 函数极限连续1003

第一讲 函数、极限与连续 一、考试要求 1． 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3． 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4． 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5． 理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极 限存 在与左、右极限之间的关系。 6． 掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。 7． 掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极 限求极限的方法。 8． 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷 小量求极限。 9． 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10． 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质 （有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 11. 掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。 二、内容提要 1、函数 （1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系. （2）复合函数: y=f(u), u=??()[()]x y f x ?=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域. （3）分段函数: 注意，)}(),(min{)},(),(max{,)(x g x f x g x f x f 为分段函数. （4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。 （5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性 * 注：1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。 特别：若)(x f 为偶函数且)0(f '存在，则0)0(='f 2、若)(x f 为偶函数，则?x dt t f 0)(为奇函数； 若)(x f 为奇函数，则?x a dt t f )(为偶函数； 3、可导周期函数的导函数为周期函数。 特别：设)(x f 以T 为周期且)(0x f '存在，则)()(00x f T x f '=+'。 4、若f(x+T)=f(x), 且0 )(0 =? T dt t f ，则?x dt t f 0 )(仍为以T 为周期的周期函数. 5、设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则

【精品】第一章极限与连续

第一章 极限与连续 第一节 函数 函数是微积分研究的对象,中学数学应用“集合”与“对应”已经给出了函数概念，并在此基础上讨论了函数的一些简单性质.在这里除对中学数学的函数及其性质重点复习外，根据需要将对函数作进一步讨论。 一、函数的概念 在日常生活、生产活动、经济活动中，经常遇到各种不同的量。这些量可分为两类。一类是常量，一类是变量.而在某个变化过程中往往会出现多个变量，这些变量之间不是彼此孤立的，而是相互联系和制约的，一个量的变化会引起另一个量的变化，如：球的半径r 与该球的体积V 的关系可用式子3 4π3 V r = 给出，当半径r 在[0,)+∞内任取一个值时，体积V 有确定的值与之对应,我们称体积V 是半径r 的函数。 1.函数的概念 定义1 设有两个变量x 、y ,如果变量x 在一个非空数集D 内每取一个数值时，变量y 按照某个对应法则f 都有唯一一个确定的数值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记作()y f x =.其中x 称为自变量，y 称为因变量或函数，f 是函数符号，表示y 与x 的对应规则，有时函数符号也可用其他字母表示，如

()y g x =,()y x ?=等.数集D 称为函数的定义域。 当自变量x 在其定义域内取定某确定值0x 时，因变量y 按照所给函数关系 ()y f x =求出的对应值0y 称为当0x x =时的函数值，记作0|x x y =或0()f x .函数值 的集合称为函数的值域. 例1 已知2()321f x x x =-+，求(0)f ，1 ()2 f ,()f x -，(1)f a +. 解：2(0)302011f =?-?+= 21113()3()2()12224 f =?-?+= 22()3()2()1321f x x x x x -=?--?-+=++ 22(1)3(1)2(1)1342f a a a a a +=?+-?++=++ 例2 求下列函数的定义域 （1)2 ()531f x x x =++ （2)2()23 x f x x x =-- （3）()f x = （4)()ln(21) f x x =-

同济大学(高等数学)_第一章_函数极限

第一篇 函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节 集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合 讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ?，读作“a 不属于A ”. 一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ. 集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成 A ={1,2,3,4,5}； 第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =； （2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+ N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+； （3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；

2015函数、极限与连续习题加答案

2015函数、极限与连续习题加答案

制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续 2 第一章 函数、极限与连续 第一讲：函数 一、是非题 1 ． 2 x y =与 x y =相同； 2. ) 1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. ) 0(2>=x x y 是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ） 6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个；

制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续 3 （ ） 7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ） 8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。 （ ） 二、填空题 1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 对称； 2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则) 1(2 +x f 的定义域 是 ； 3. 1 22+=x x y 的反函数是 ； 4.1)(+=x x f ，2 11)(x x +=?，则]1)([+x f ?＝ ， ]1)([+x f ?＝ ； 5.) 2(sin log 2 +=x y 是由简单函数 和 复合而成； 6.1 )(2 +=x x f ，x x 2sin )(=?，则)0(f ＝ ， ___________)1 (=a f ， _ __________)]([=x f ?。

制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续 4 三、选择题 1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ） A 、 x 3 sin B 、1 3 +x C 、 x x +3 D 、 x x -3 2.设5 4)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为 （ ） A 、1 B 、－1 C 、2 D 、－2 3.) sin()(2 x x x f -=是（ ） A 、有界函数 B 、周期函数 C 、奇函数 D 、偶函数 四、计算下列各题 1.求定义域5 23arcsin 3x x y -+-= 2.求下列函数的定义域

答案高等数学第一章函数与极限试题

答案： 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为 ?+=x C dt t f x F 0 )()(，且).()(x f x F =' 当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见 f(x)为奇函数； 反过来，若f(x)为奇函数，则? x dt t f 0 )(为偶函数，从而 ?+=x C dt t f x F 0 )()(为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2 2 1x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0 x f x ，所以 x=0为第二类间断点； 0)(lim 1=+ →x f x ，1)(lim 1 -=- →x f x ，所以x=1为第一类间断点，故 应选(D).

【评注】 应特别注意：+∞=-+ →1 lim 1x x x ，.1 lim 1-∞=-- →x x x 从而 +∞=-→+ 1 1lim x x x e ，.0lim 1 1 =-→- x x x e 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C ∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = 2 1111lim )11() 11)(11(lim 0 =++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 D 10 C 解 原式 16 1821lim )2()cos 1(tan lim 32 030=?=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极 的每项作等价替换，则 原式0)2(l i m 3 =-=→x x x x .

第一讲函数极限连续(学生用).docx

高等数学 第一讲函数、极限、连续 I ?考试要求 1.理解函数概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数概念，了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限Z间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数I'可断点的类型. 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最人值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质. H.考试内容 —.函数 （-）函数的概念对应关系，定义域 （二）函数的性质 1?有界性3M>0, 均有\f（x）\ M2有下界 /（兀）有界o /（兀）有上界II有下界 2.单调性Xfx i .f （兀2）），单调增加（减

少）.

3.周期性3r>0,Vx€(-oo,+oo),均有/(x + T) = /(x)侧称/⑴为周期函数 4.奇偶性 VXG (-/,/),均有/(-%) = f(x) ( -/(X )),则于(兀)为偶(奇)函数. 【例1】设F\x) = f(x),则下列结论正确的是( )? (A) 若/'(X )为奇函数，则尸(兀)为偶函数. (B) 若/⑴ 为偶函数，则F ⑴为奇函数. (C) 若/(兀)为周期函数，则F(x)为周期函数. (D) 若/(X )为单调函数，则F(x)为单调函数. (三)函数的类型 1. 基本初等函数 y = C, y - x ,u , y - a x , y = y = sinx , y = cos , y = arcsinx f y = arccos . 2. 复合函数 名合一 y 二 /(w), u =(p{x)「：〉y 二 /(0(x)) 一拆多 3?反函数)，=/(兀)，x= 4. 初等函数 5. 隐函数 F(x, y) = 0 (x+y = 0, y = sinxy ). 6?幕指函数 f(xY (x) = ^(x),n/(v),/(x) >0. 隐含的分段函数 ①,y=|/(兀)|,② y =[/(兀)],③ y = sgn /(%) ④y = max {/(x),g(x)}=心巴心网, _ \x = rcos3 9?极坐标方程r = 询,\ .八 [y =厂 sm& 二.极限 (一) 极限定义 7.分段函数: /；(%),%< x 0 f (x\x>x y = mm{f(x\g(x)} = /(兀)+ g(x)-|/(x)-gCr)| 2 &参数方程(数一.二要求) x =(p(t) y = 0(/)

函数极限和连续试题及答案

极限和连续试题（A 卷） 1.选择题（正确答案可能不止一个）。 （1）下列数列收敛的是（ ）。 A . n n x n n 1)1(--= B . n x n n 1)1(-= C . 2 sin πn x n = D . n n x 2= （2）下列极限存在的有（ ）。 A . x x sin lim ∞ → B . x x x sin 1 lim ∞→ C . 121lim 0-→x x D . 1 21 lim 2+∞→n n （3）下列极限不正确的是（ ）。 A . 2)1(lim 1 =+-→x x B . 11 1 lim =+→x x C . ∞=-→2 12 4 lim x x D . +∞=+→x x e 20 lim （4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（ ）。 A . )0(12 →--x x B . )0(sin →x x x C . )(+∞→-x e x D . )0()1 sin 2(12→-+x x x x （5）如果函数.0;0;0,1sin ,,sin 1 )(>=