2020年吉林省中考数学试卷
2020年吉林省中考数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1．（2分）6-的相反数是( )
A ．6
B ．6-
C ．
16 D ．1
6
- 2．（2分）国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为( )
A ．611.0910?
B ．71.10910?
C ．81.10910?
D ．80.110910? 3．（2分）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（2分）下列运算正确的是( ) A ．236a a a =
B ．235()a a =
C ．22(2)2a a =
D ．32a a a ÷=
5．（2分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则α∠的大小为( )
A ．85?
B ．75?
C ．65?
D ．60? 6．（2分）如图，四边形ABCD 内接于O ，若108B ∠=?，则D ∠的大小为( )
A ．54?
B ．62?
C ．72?
D ．82?
二、填空题（每小题3分，共24分） 7．（3分）分解因式：2a ab -= ． 8．（3分）不等式317x +>的解集为 ．
9．（3分）一元二次方程2310x x +-=根的判别式的值为 ． 10．（3分）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x 天可以追上慢马，根据题意，可列方程为 ．
11．（3分）如图，某单位要在河岸l 上建一个水泵房引水到C 处．他们的做法是：过点C 作CD l ⊥于点D ，将水泵房建在了D 处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 ．
12．（3分）如图，////AB CD EF ．若
1
2
AC CE =，5BD =，则DF = ．
13．（3分）如图，在ABC ?中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若ADE ?的面积为1
2
，则四边形DBCE 的面积为 ．
14．（3分）如图，在四边形ABCD 中，AB CB =，AD CD =，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．以点B 为圆心，BO 长为半径画弧，分别交AB ，BC 于点E ，F ．若30ABD ACD ∠=∠=?，1AD =，则EF 的长为 （结果保留)π．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：2(1)(1)1a a a ++--，其中7a =．
16．（5分）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A ，B ，C ，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A 卡片的概率．
17．（5分）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数． 18．（5分）如图，在ABC ?中，AB AC >，点D 在边AB 上，且BD CA =，过点D 作//DE AC ，并截取DE AB =，且点C ，E 在AB 同侧，连接BE ．求证：DEB ABC ???．
四、解答题（每小题7分，共28分） 19．（7分）图①、图②、图③都是33?的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A ，B ，C 均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与AB 重合的线段MN ，使MN 与AB 关于某条直线对称，且M ，N 为格点．
（2）在图②中，画一条不与AC 重合的线段PQ ，使PQ 与AC 关于某条直线对称，且P ，Q 为格点．
（3）在图③中，画一个DEF ?，使DEF ?与ABC ?关于某条直线对称，且D ，E ，F 为格点． 20．（7分）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B 相距35m 的C 处，用高1.5m 的测角仪CD 测得该塔顶端A 的仰角EDA ∠为36?．求塔AB 的高度（结果精确到1)m ． （参考数据：sin360.59?=，cos360.81?=，tan360.73)?=
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B 在函数(0)k
y x x
=>的图
象上（点B 的横坐标大于点A 的横坐标），点A 的坐标为(2,4)，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，
过点B 作BC x ⊥轴于点C ，连接OA ，AB ． （1）求k 的值．
（2）若D 为OC 中点，求四边形OABC 的面积．
22．（7分）2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A （享受美食）、B （交流谈心）、C （室内体育活动）、D （听音乐）和E （其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．
减压方式 A
B
C D
E
人数 4
6
37 8
5
减压方式 A
B
C
D
E
人数 2
1
3 3
1
减压方式 A
B
C
D
E
人数
6
5
26
13
10
（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处． （2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23．（8分）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L ，在整个过程中，油箱里的油量y （单位：)L 与时间x （单位：)min 之间
的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为 L ，机器工作的过程中每分钟耗油量为 L ． （2）求机器工作时y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围． （3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值．
24．（8分）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD 和AEFG 按图①方式摆放，其中5AD AG ==，9AB =．点D ，G 分别在边AE ，AB 上，CD 与FG 相交于点H ． 【探究】求证：四边形AGHD 是菱形．
【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD ，将平行四边形纸片AEFG 绕着点A 顺时针旋转一定的角度，使点F 与点C 重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为 ． 【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG 绕着点A 继续顺时针旋转一定的角度，使点E 与点B 重合，连接DG ，CF ，如图③，若4
sin 5
BAD ∠=
，则四边形DCFG 的面积为 ．
六、解答题（每小题10分，共20分） 25．（10分）如图，ABC ?是等边三角形，4AB cm =，动点P 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速运动，过点P 作PQ AB ⊥，交折线AC CB -于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQD ，使点A ，D 在PQ 异侧．设点P 的运动时间为()(02)x s x <<，PQD ?与ABC ?重叠部分图形的面积为2()y cm ．
（1）AP 的长为 cm （用含x 的代数式表示）． （2）当点D 落在边BC 上时，求x 的值．
（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线213
22
y x bx =-++与x 轴正半轴交于点A ，
且点A 的坐标为(3,0)，过点A 作垂直于x 轴的直线l ．P 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作PQ l ⊥于点Q ，M 是直线l 上的一点，其纵坐标为3
2
m -+．以PQ ，QM
为边作矩形PQMN ．
（1）求b 的值．
（2）当点Q 与点M 重合时，求m 的值．
（3）当矩形PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值．
（4）当抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．
2020年吉林省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1．（2分）6-的相反数是( ) A ．6
B ．6-
C ．
1
6
D ．16
-
【分析】根据相反数的定义，即可解答． 【解答】解：6-的相反数是6， 故选：A ．
【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义． 2．（2分）国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为( ) A ．611.0910?
B ．71.10910?
C ．81.10910?
D ．80.110910?
【分析】科学记数法的表示形式为10n a ?的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数． 【解答】解：711090000 1.10910=?， 故选：B ．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ?的形式，其中1||10a <，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 3．（2分）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层也是一个小正方形， 所以左视图是选项A ， 故选：A ．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是掌握简单组合体的三视图的定义，注意：从左边看得到的图形是左视图． 4．（2分）下列运算正确的是( ) A ．236a a a =
B ．235()a a =
C ．22(2)2a a =
D ．32a a a ÷=
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A 、235a a a =，原计算错误，故此选项不符合题意；
B 、236()a a =，原计算错误，故此选项不符合题意；
C 、22(2)4a a =，原计算错误，故此选项不符合题意；
D 、32a a a ÷=，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D ．
【点评】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 5．（2分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则α∠的大小为( )
A ．85?
B ．75?
C ．65?
D ．60?
【分析】先根据直角三角板的性质得出ACD ∠的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：如图所示，
60BCD ∠=?，45BCA ∠=?，
604515ACD BCD BCA ∴∠=∠-∠=?-?=?，
180180901575D ACD α∠=?-∠-∠=?-?-?=?， 故选：B ．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180?是解答此题的关键． 6．（2分）如图，四边形ABCD 内接于O ，若108B ∠=?，则D ∠的大小为( )
A ．54?
B ．62?
C ．72?
D ．82? 【分析】运用圆内接四边形对角互补计算即可．
【解答】解：四边形ABCD 内接于O ，108B ∠=?， 180********D B ∴∠=?-∠=?-?=?， 故选：C ． 【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）分解因式：2a ab -= ()a a b - ． 【分析】直接把公因式a 提出来即可． 【解答】解：2()a ab a a b -=-．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a 是解题的关键． 8．（3分）不等式317x +>的解集为 2x > ．
【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可得答案． 【解答】解：317x +>， 移项得：371x >-， 合并同类项得：36x >， 系数化为1得：2x >， 故答案为：2x >．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的步骤． 9．（3分）一元二次方程2310x x +-=根的判别式的值为 13 ． 【分析】根据一元二次方程根的判别式△24b ac =-即可求出值． 【解答】解：1a =，3b =，1c =-，
∴△249413b ac =-=+=．
所以一元二次方程2310x x +-=根的判别式的值为13． 故答案为：13．
【点评】本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式． 10．（3分）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x 天可以追上慢马，根据题意，可列方程为 (240150)15012x -=? ．
【分析】设快马x 天可以追上慢马，根据两马的速度之差?快马出发的时间=慢马的速度?慢马提前出发的时间，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：设快马x 天可以追上慢马， 依题意，得：(240150)15012x -=?． 故答案为：(240150)15012x -=?．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 11．（3分）如图，某单位要在河岸l 上建一个水泵房引水到C 处．他们的做法是：过点C 作CD l ⊥于点D ，将水泵房建在了D 处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 垂线段最短 ．
【分析】根据垂线段的性质解答即可．
【解答】解：过点C作CD l
⊥于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题考查了垂线段的定义和性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题．
12．（3分）如图，////
AB CD EF
．若
1
2
AC
CE
=，5
BD=，则DF
=10．
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到
1
2
BD
DF
=，然后根据比例性质求DF的长．
【解答】解：////
AB CD EF，
∴
1
2
BD AC
DF CE
==，
22510
DF BD
∴==?=．
故答案为10．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．（3分）如图，在ABC
?中，D，E分别是边AB，AC的中点．若ADE
?的面积为
1
2
，则四边形DBCE的面积为
3
2
．
【分析】根据三角形中位线定理得到//
DE BC，
1
2
DE BC
=，证明ADE ABC
??
∽，根据相似三角形的性质求出ABC
?的面积，即可得到答案．
【解答】解：D，E分别是ABC
?的边AB，AC的中点，
DE
∴是ABC
?的中位线，
//
DE BC
∴，
1
2
DE BC
=，
ADE ABC
∴??
∽，
∴22
11
()()
24
ADE
ABC
S DE
S BC
?
?
===，
ADE ?的面积为
12
， ABC ∴?
的面积为2，
∴四边形DBCE 的面积13222
=-
=， 故答案为：
32
． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 14．（3分）如图，在四边形ABCD 中，AB CB =，AD CD =，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．以点B 为圆心，BO 长
为半径画弧，分别交AB ，BC 于点E ，F ．若30ABD ACD ∠=∠=?，1AD =，则EF 的长为
1
2
π （结果保留)π．
【分析】利用SSS 证明ABD CBD ???，根据全等三角形的对应角相等即可得出30ABD CBD ∠=∠=?，ADB CDB ∠=∠，1CD AD ==，即可求得60ABC ∠=?，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD AC ⊥，且AO CO =，进一步求得60ACB ∠=?，即可求得
90BCD ∠=?，
根据含30?角的直角三角形的性质即可求得OB ，然后根据弧长公式求得即可． 【解答】解：在ABD ?与CBD ?中， AB CB AD CD BD BD =??
=??=?
， ()ABD CBD SSS ∴???，
30ABD CBD ∴∠=∠=?，ADB CDB ∠=∠，1CD AD ==， 60ABC ∴∠=?，
AD CD =，ADB CDB ∠=∠， BD AC ∴⊥，且AO CO =， 903060ACB ∴∠=?-?=?，
90BCD ACB ACD ∴∠=∠+∠=?， 在Rt BCD ?中，30CBD ∠=?， 22BD CD ∴==，
在Rt COD ?中，30ACD ∠=?， 11
22
OD CD ∴==，
13222
OB BD OD
∴=-=-
=， ∴EF 的长为：
3
60121802
π
π=， 故答案为1
2
π．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，含30?角的直角三角形的性质，弧长的计算等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：2(1)(1)1a a a ++--，其中7a =． 【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值即可． 【解答】解：原式22211a a a a =+++-- 3a =． 当7a =时， 原式37=．
【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值． 16．（5分）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A ，B ，C ，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A 卡片的概率．
【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两张卡片中含有A 卡片的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
A B C A AA BA CA
B
AB
BB
CB C
AC
BC
CC
A 卡片的有5种情况，
∴小吉同学抽出的两张卡片中含有A 卡片的概率为59
．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验． 17．（5分）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．
【分析】设乙每小时做x 个零件，甲每小时做(6)x +个零件，根据时间=总工作量÷工作效率，即可得出关于x 的分式方程，解之并检验后即可得出结论． 【解答】解：设乙每小时做x 个零件，甲每小时做(6)x +个零件，
根据题意得：
90
60
6x x
=
+， 解得：12x =，
经检验，12x =是原方程的解，且符合题意， 答：乙每小时做12个零件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18．（5分）如图，在ABC ?中，AB AC >，点D 在边AB 上，且BD CA =，过点D 作//DE AC ，并截取DE AB =，且点C ，E 在AB 同侧，连接BE ．求证：DEB ABC ???．
【分析】由//DE AC ，根据平行线的性质得出EDB A ∠=∠，又BD CA =，DE AB =，利用SAS 即可证明DEB ABC ???． 【解答】证明：//DE AC ， EDB A
∴∠=∠．
在DEB ?与ABC ?中， DE AB EDB A BD CA =??
∠=∠??=?
， ()DEB ABC SAS ∴???．
【点评】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
四、解答题（每小题7分，共28分） 19．（7分）图①、图②、图③都是33?的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A ，B ，C 均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．
（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．
（3）在图③中，画一个DEF
?，使DEF
?与ABC
?关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
【分析】（1）根据对称性在图①中，画一条不与AB重合的线段MN并且与AB对称即可；（2）根据对称性即可在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ并且与AC对称；
（3）根据对称性在图③中，画一个DEF
?，使DEF
?与ABC
?关于某条直线对称即可．【解答】解：（1）如图①，MN即为所求；
（2）如图②，PQ即为所求；
（3）如图③，DEF
?即为所求．（答案不唯一）．
【点评】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质．
20．（7分）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m 的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角EDA
∠为36?．求塔AB的高度（结果精确到1)
m．（参考数据：sin360.59
?=，cos360.81
?=，tan360.73)
?=
【分析】设AB与DE交于点F．在Rt ADF
?中，利用三角函数定义求出AF，即可得出答案．
【解答】解：设AB与DE交于点F，如图所示：
由题意得：DF AB
⊥， 1.5
BF CD m
==，35
DF BC m
==，
在Rt ADF
?中，90
AFD
∠=?，tan
AF EDA
DF
∠=，
tan36350.7325.55() AF DF m
∴=??≈?=，
25.55 1.527()
AB AF BF m
∴=+=+≈；答：塔AB的高度约27m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B 在函数(0)k
y x x
=>的图
象上（点B 的横坐标大于点A 的横坐标），点A 的坐标为(2,4)，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，
过点B 作BC x ⊥轴于点C ，连接OA ，AB ． （1）求k 的值．
（2）若D 为OC 中点，求四边形OABC 的面积．
【分析】（1）将点A 的坐标为(2,4)代入(0)k
y x x
=>，可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点B 的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
【解答】解：（1）将点A 的坐标为(2,4)代入(0)k
y x x
=>，
可得248k xy ==?=，
k ∴的值为8；
（2）k 的值为8，
∴函数k y x =
的解析式为8y x
=， D 为OC 中点，2OD =，
4OC ∴=，
∴点B 的横坐标为4，将4x =代入8y x
=
， 可得2y =，
∴点B 的坐标为(4,2)，
()11
242421022
AOD OABC ABCD S S S ?∴=+=??++?=四边形四边形．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的特征和四边形的面积，运用数形结合思想是
解答此题的关键．
22．（7分）2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．
（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．
（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．
【分析】（1）根据抽取样本的原则，为使样本具有代表性、普遍性、可操作性的原则进行判断；
（2）样本中“采取室内体育锻炼减缓压力”的占26
60
，因此估计总体600人的
26
60
是采取室内
体育锻炼减缓压力的人数．
【解答】解：（1）小新同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，小莹同学调查的只是男生，不具有代表性，小静同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造成偏差．
（2）
26
600260
60
?=（人)，
答：该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的大约有260人．
【点评】本题考查样本估计总体的统计方法，理解选取样本的原则是正确判断的前提．五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：)L与时间x（单位：)
min之间的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为3L，机器工作的过程中每分钟耗油量为L．
（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到机器每分钟加油量和机器工作的过程中每分钟耗油量； （2）根据函数图象中的数据，可以得到机器工作时y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）根据（2）中的函数解析式和（1）中的加油的速度，令函数值为302÷，即可得到相应的x 的值． 【解答】解：（1）由图象可得，
机器每分钟加油量为：30103()L ÷=，
机器工作的过程中每分钟耗油量为：(305)(6010)0.5()L -÷-=， 故答案为：3，0.5；
（2）当1060x <时，设y 关于x 的函数解析式为y ax b =+， 1030
605a b a b +=??
+=?
， 解得，0.535a b =-??=?
，
即机器工作时y 关于x 的函数解析式为0.535(1060)y x x =-+<；
（3）当3302x =÷时，得5x =，
当0.535302x -+=÷时，得40x =，
即油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值是5或40． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24．（8分）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD 和AEFG 按图①方式摆放，其中5AD AG ==，9AB =．点D ，G 分别在边AE ，AB 上，CD 与FG 相交于点H ． 【探究】求证：四边形AGHD 是菱形．
【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD ，将平行四边形纸片AEFG 绕着点A 顺时针旋转一定的角度，使点F 与点C 重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为 56 ． 【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG 绕着点A 继续顺时针旋转一定的角度，使点E 与点B 重合，连接DG ，CF ，如图③，若4
sin 5
BAD ∠=
，则四边形DCFG 的面积为 ．
【分析】【探究】先由平行四边形的性质得//AE GF ，//DC AB ，进而得四边形AGHD 是平行四边形，再结合邻边相等，得四边形AGHD 是菱形；
【操作一】这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和实际为平行四边形ABCD 和平行四边形AEFG 的周长和，由此求得结果便可；
【操作二】证明AMD AMG ???得90AMD AMG ∠=∠=?，解Rt ADM ?得DM ，再证明四边形DCFG 为矩形，由矩形面积公式求得结果． 【解答】解：【探究】四边形ABCD 和AEFG 都是平行四边形， //AE GF ∴，//DC AB ，
∴四边形AGHD 是平行四边形， AD AG =，
∴四边形AGHD 是菱形；
【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：
()()2()2()2(95)2(95)56
ME EF MC AD DM AM AG GN AN BN BC NF ME AM AG EF NF GN AD BC DM MC AN BN AE AG AB AD +++++++++++=+++++++++++=+++=?++?+=，
故答案为：56；
【操作二】由题意知，5AD AG ==，DAB BAG ∠=∠， 又AM AM =，
()AMD AMG SAS ∴???， DM GM ∴=，AMD AMG ∠=∠， 180AMD AMG ∠+∠=?， 90AMD AMG ∴∠=∠=?， 4sin 5
BAD ∠=
， ∴
4
5
DM AD =， 4
45
DM AD ∴=
=， 8DG ∴=，
四边形ABCD 和四边形AEFG 是平行四边形， ////DC AB GF ∴，9DC AB GF ===， ∴四边形CDGF 是平行四边形， 90AMD ∠=?，
90CDG AMD ∴∠=∠=?， ∴四边形CDGF 是矩形， 8972DCFG S DG DC ∴=?=?=矩形，
故答案为：72． 【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，矩形的面积计算，平行四边形的周长计算，【操作一】的关键是将所求图形的周长和转化为规则图形（平行四边形）的周长计算，体现了转化思想的重要性，【操作二】关键是解直角三角形求得矩形的边长． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25．（10分）如图，ABC ?是等边三角形，4AB cm =，动点P 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速运动，过点P 作PQ AB ⊥，交折线AC CB -于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQD ，使点A ，D 在PQ 异侧．设点P 的运动时间为()(02)x s x <<，PQD ?与ABC ?重叠部分图形的面积为2()y cm ．
（1）AP 的长为 2x cm （用含x 的代数式表示）． （2）当点D 落在边BC 上时，求x 的值．
（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．
【分析】（1）根据动点P 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速运动，可得AP 的长为2xcm ； （2）当点D 落在BC 上时，如图1，42BP AB AP x =-=-，根据PQD ?等边三角形，ABC ?是等边三角形，证明APQ BDP ???，进而可得x 的值； （3）根据题意分三个部分进行画图说明：①如图2，当2
03
x <时，②如图3，当点Q 运动到与点C 重合时，当
2
13
x <时，如图4，设PD 、QD 与BC 分别相交于点G 、H ，③如图5，当12x <<时，点Q 运动到BC 边上，设PD 与BC 相交于点G ，分别表示出y 关于x 的
函数解析式即可． 【解答】解：（1）动点P 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速运动， AP ∴的长为2xcm ； 故答案为：2x ；
（2）当点D 落在BC 上时，如图1， 42BP AB AP x =-=-，
PQ AB ⊥， 90QPA ∴∠=?，
PQD ?等边三角形，ABC ?是等边三角形， 60A B DPQ ∴∠=∠=∠=?，PQ PD =， 30BPD ∴∠=?， 90PDB ∴∠=?， PD BC ∴⊥，
()APQ BDP AAS ∴???， 2BD AP x ∴==， 2BP BD =， 424x x ∴-=，
解得23
x =
； （3）①如图2，当2
03
x
<时，
在Rt APQ ?中，2AP x =，60A ∠=?， tan 6023PQ AP x ∴=?=，
PQD ?等边三角形，
1
22
PQD S ?∴=?223333x x x cm =，
所以233y x =；
②如图3，当点Q 与点C 重合时，