有限单元法部分课后题答案
1.1 有限单元法中“离散”的含义是什么?有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的?位移有限元法的标准化程式是怎样
的?
(1)离散的含义即将结构离散化,即用假想的线或面将连续体分割成数目有限
的单元,并在其上设定有限个节点;用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体,而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。
(2)给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律,即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。因节点位移个数是有限的,故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。
(3)有限元法的标准化程式:结构或区域离散,单元分析,整体分析,数值求解。
1.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?各自的物理意义是什么?两
者有何区别?单元刚度矩阵的性质:对称性、奇异性(单元刚度矩阵的行列式为零)。整体刚度矩阵的性质:对称性、奇异性、稀疏性。单元 Kij 物理意义 Kij 即单元节点位移向量中第 j 个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时,在第 j 个自由度方向引起的节点力。整体刚度矩阵 K 中每一列元素的物理意义是:要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移,而其他节点位移都保持为零的变形状态,在所有个节点上需要施加的节点荷载。
2.2 什么叫应变能?什么叫外力势能?试叙述势能变分原理和最小势能原理,并回答下述问题:势能变分原理代表什么控制方程和边界条件?其中附加了哪些条件?
(1)在外力作用下,物体内部将产生应力ζ和应变ε,外力所做的功将以变形能的形式储存起来,这种能量称为应变能。
(2)外力势能就是外力功的负值。
(3)势能变分原理可叙述如下:在所有满足边界条件的协调位移中,那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值,即势能的变分为零
δ∏p=δ Uε+δV=0
此即变分方程。对于线性弹性体,势能取最小值,即
δ2∏P=δ2Uε+δ2V≥0
此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。
势能变分原理代表平衡方程、本构方程和应力边界条件,其中附加了几何方程和位移边界条件。
2.3 什么是强形式?什么是弱形式?两者有何区别?建立弱形式的关键步骤是什么?
等效积分形式通过分部积分,称式
∫ΩCT(v)D(u)dΩ+∫ΓET(v)F(u)dΓ
为微分方程的弱形式,相对而言,定解问题的微分方程称为强形式。
区别:弱形式得不到解析解。建立弱形式的关键步骤:对场函数要求较低阶的连续性。2.4 为了使计算结果能够收敛于精确解,位移函数需要满足哪些条件?为什么?
只要位移函数满足两个基本要求,即完备性和协调性,计算结果便收敛于精确解。
2.6 为什么采用变分法求解通常只能得到近似解?变分法的应用常遇到什么困难?Ritz 法收敛的条件是什么?
(1)在 Ritz 法中,N 决定了试探函数的基本形态,待定参数使得场函数具有一定的任意性。如果真实场函数包含在试探函数之内,则变分法得到的解答是精确的;如果试探函数取自完全的函数序列,则当项数不断增加时,近似解将趋近于精确解。然而,通常情况下试探函数不会将真实场函数完全包含在内,实际计算时也不可能取无穷多项。因此,试探函数只能是真实场函数的近似。可见,变分法就是在某个假定的范围内找出最佳解答,近似性就源于此。
(2)采用变分法近似求解,要求在整个求解区域内预先给出满足边界条件的场函数。通常情况下这是不可能的,因而变分法的应用受到了限制。
(3)Ritz 法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性,也就是说,如果试探函数满足完备性和连续性的要求,当试探函数的项数趋近于无穷时,则 Ritz 法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。
3.1 构造单元形函数有哪些基本原则?
形函数是定义于单元内坐标的连续函数。单元位移函数通常采用多项式,其中的待定常数应该与单元节点自由度数相等。为满足完备性要求,位移函数中必须包括常函数和一次式,即完全一次多项式。多项式的选取应由低阶到高阶,尽量选择完全多项式以提高单元的精度。若由于项数限制而不能选取完全多项式时,也应使完全多项式具有坐标的对称性,并且一
个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。有时为了使位移函数保持一定阶次的完全多项式,可在单元内部配置节点。然而,这种节点的存在将增加有限元格式和计算上的复杂性,除非不得已才加以采用。形函数应保证用它定义的位移函数满足收敛要求,即满足完备性要求和协调性条件。
3.1 构造单元形函数有哪些基本原则?试采用构造单元的几何方法,构造 T10 单元的形函数,并对其收敛性进行讨论。
通常单元位移函数采用多项式,其中的待定常数由节点位移参数确定,因此其个数应与单元节点自由度数相等。根据实体结构的几何方程,单元的应变是位移的一次导数。为了反映单元刚体位移和常应变即满足完备性要求,位移函数中必须包含常数项和一次项,即完全一次多项式。
3.3 何谓面积坐标?其特点是什么?为什么称其为自然坐标或局部坐标?
(1)三角形单元中,任一点 P(x,y)与其 3 个角点相连形成 3 个子三角形,其位置可以用下述称为面积坐标的三个比值来确定:
L1=A1/A L2=A2/A L3=A3/A
其中 A1,A2,A3 分别为 P23,P31,P12 的面积。
(2)面积坐标的特点:
a T3 单元的形函数 Ni 就是面积坐标 Li
b 面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关。
c 三个节点的面积坐标分别为节点 1(1, 0, 0)、节点 2(0, 1, 0)、节点
3(0, 0,
1),形心的面积坐标为(1/3, 1/3, 1/3)。
d 单元边界方程为 Li=0(i=1,2,3)
e 在平行于 23 边的一条直线上,所有点都有相同的面积坐标 L1(L1 对应的三角形具有相同的高和底边),而且 L1 就等于此直线至 23 边的距离与节点 1 至23 边的距离之比值。
f 面积坐标与直角坐标互为线性关系。
(3)面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关,故称为局部坐标或自然坐标。
4.1 与平面问题相比,轴对称问题有何特点?在有限元表达格式上有何区别?
轴对称问题是空间问题的一种特殊情况,结构的几何形状、约束条件及荷载分
布都对称于某个轴,其位移、应变、应力等也对称于此轴,而与环向坐标无关。
4.2 试用体积坐标构造 10 节点四面体单元的形函数并讨论收敛性。
5.1 何谓等参单元?等参单元具有哪些优越性?在等参单元计算中,数值积分的
阶次是否越高越好?为什么?
等参单元(简称等参元)就是坐标变换和单元内的等变量(通常是位移函数)采
用相同的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。
优越性:一,有些工程结构的形状比较复杂,如果用直边单元离散这些结构将需
要大量的单元才能得到较好的近似,而曲边的等参单元可非常方便的离散复杂结
构。二,如果在单元内多取些节点,单元便具有较多的位移自由度,从而就能够插值
表示较复杂的单元内部位移场,这样也就提高了单元本身的精度。三,等参单元刚度矩阵、荷载矩阵的计算是在规则单元域内进行的,因此不管被积函数多么复杂都可
方便的采用标准化数值分析。在等参单元计算中,数值积分的阶次并不是越高越好,
5.6 何谓位移的零能模式?在什么条件下会发生零能模式?
对应于某种非刚体位移模式,减缩积分时高斯点上的应变正好等于零,此时的
应变能当然也为零,这种非刚体位移模式称为零能模式。采用减缩积分时会发生零
能模式。
6.1 对于杆系结构单元,为什么要在局部坐标系内建立单元刚度矩阵?为什么
还要坐标变换?
(1)在局部坐标系内可以更方便的建立单元刚度矩阵。
(2)在整体分析中,对所有单元都应采用同一个坐标系即整体坐标系 X Y,否则
围绕同一节点的不同单元对节点施加的节点力不能直接相加。因此,在进行整体分
析之前,还需要进行坐标转换工作,把局部坐标系中得出的单元刚度方程转换成整体
坐标系中的单元刚度方程,从而得出整体坐标系中的单元刚度矩阵。
6.2 有哪几种梁弯曲理论?如何用中性轴位移确定梁内任一点的位移?
工程梁理论、剪切梁理论、通用梁理论、空间梁理论。梁弯曲理论(包括工程
梁理论和剪切梁理论)在弹性力学基本假定的基础上引入了某些附加假定,将问题归
结为求解中性轴位
移,而梁内任一点的位移都可以通过中性轴位移来表示。
7.1 在薄板弯曲理论中做了哪些假设?如何用中面位移确定板内任一点的位移?
假设:(1)板厚度方向的挤压变形可忽略不计,即εZ=0。
(2)在板弯曲变形中,中面法线保持为直线,且仍为弹性曲面(挠度曲面)的法线,即直法线假设。
(3)薄板中面只发生弯曲变形,没有面内的伸缩变形,即中面水平位移。
(u)z=0=(v)z=0 =0 薄板的全部位移、应力和应变分量都可以用板的挠度ω来表示,而薄板小挠度弯曲被
简化为中面的弯曲问题,只要中面挠度ω确定,任何点的位移都可确定。薄板
内不等于零的应变分量有如下三个:
εx=бu/бx=-z б2ω/бx2
εy=бv/бy=-б2ω见P116,式(7.3a) r xy=бu/бy+бv/бx=-2z
б2ω/бxбy
7.2 薄板单元和厚板单元的基本假设有什么不同?各自是怎样选择节点位移参数的?
不同点:薄板单元假设横向纤维无挤压,板的中面法线变形后仍保持为直线,该直线垂直于变形后的中面,但是厚板单元的假设考虑横向变形的影响,板的中面法线变形后仍基本保持为直线,但该直线不再垂直于变形后的中面,法线绕坐标轴的转角不再是挠度的导数,而是独立的变量。
7.3 在薄板单元中,节点力矩与薄板内力有何区别?
节点力矩 Mxi, Myi 是集中力矩,而板内力矩 Mx, My 是分布力矩,此外,两者的正负号规定也不相同,因为 Mx, My 与应力正负号的规定相应。
8.1 薄壳理论有哪些假设?与薄板理论的假设有何异同?厚壳分析中引入了何种假设?与厚板理论的假定有何异同?
薄壳理论的假设:薄壳发生微笑变形时,忽略沿壳体厚度方向的挤压变形;且认为直法线假设成立,即变形后中面法线保持为直线且仍为中面的法线;壳体变形时中面不但发生弯曲,而且面内也将产生面内伸缩变形;折板假设;非耦合假设。
与薄板理论的假设的相同点:直法线假设和法向(板厚度方向)的纤维无挤压假设均成立。不同点:薄板中面只发生弯曲变形,没有面内的伸缩变形,即中面水平位移为零,而壳体变形时中面不但发生弯曲,而且也将产生面内伸缩变形。
厚壳分析的假设:变形前后的中曲面法线变形后仍基本保持为直线,但因横向
剪切变形的缘故,该直线不再垂直于变形后的中曲面,此外,壳体厚度方向的挤压变形可以忽略。
与厚板理论的假设的相同点:中面法线变形后仍基本保持为直线,但因横向剪
切变形的缘故,该直线不在垂直于变形后的中面。厚度方向的挤压变形忽略不计。
不同点:厚板理论的假设中,中面内的线位移可以忽略,而厚壳理论的假设中,
中面内的位移不可忽略,并且厚壳的位移场可用中面位移表示。
8.2 何谓平板型壳单元?在分析这种单元时都做了哪些假设?应用平板型壳单
元可能会出现什么问题,如何解决?简述形成平板型壳单元刚度矩阵的基本思路。
将壳体划分为有限个单元,它们都是曲面单元。但是,当网格足够小时,壳块将足够扁平,可近似地视为平板单元,它们拼成的折板体系可近似代替原来的光滑壳体结构,每一个足够小的网格就称为平板型壳单元。
假设:(1)理论假设:薄壳发生微笑变形时,忽略沿壳体厚度方向的挤压变形,且认为直法线假设成立,即变形后中面法线保持为直线且仍为中面的法线。(2)折板假设(3)非耦合假设。
出现的问题:1.单元共面问题整体刚度矩阵‖k‖=0. (交于某节点的所有单元都位于同一平面内)的平衡方程,并删去 Qz 方向的平衡
2.虚拟旋转刚度为排除‖k‖=0.而无法求解的困难,可在局部坐标系内建立上述特殊节点,方程 0=0,另采用在这些特殊节点上给以任意的虚拟刚度系数
KQ2Qz=0。经坐标变换,整体坐标于该节点平衡方程条件有唯一解。
3.新型平面膜单元采用虚拟旋转刚度零判断是否单元共面,故增加编程复杂性,在平面膜元角上增加旋转自由度 Qz 使其有对应的刚度。
8.3 面内变形与弯曲变形之间非耦合的假设是针对什么提出的?试说明单元组装时,面内效应与弯曲效应两者的耦合将会出现。
面内变形与弯曲变形之间非耦合的假设是针对局部坐标系下的单元提出的。
9.1 减少问题自由度的措施有哪些?各自的基本概念如何?
恰当的利用结构的对称性、采用子结构技术等,可以使求解方程组上的自由度数大为降低。结构的对称性:假想地将结构沿其中的某平面对折,若两部分的形状、材料性质和约束条件完全重合,则称该平面为对称面,称该结构为对称结构。若荷载随结构对折后相互重合,则称为对称荷载;若须将对称面某一边的荷载改变正负号后才与另一边的荷载重合,则称为反对称荷载。
子结构技术:在大型复杂结构的有限元分析中,可将原结构分成若干区域,每个区域作为一个子结构,这些子结构在其公共边界上互相连接起来。结构计算可分几
步进行:首先逐个分析各子结构,并凝聚掉各自的内部自由度;然后把全部子结构组
合起来进行整体分析,从而得到总体求解方程。采用子结构法的关键之处在于,内部节点的自由度在子结构的刚度矩阵形成以后可以凝聚掉,因此子结构实质上是具有
内部自由度的超单元。 9.3 为什么说位移法中应力解的精度低于位移解?如何改善等参单元的应力结果?如何改善常应变三角形单元的应力结果?在位移有限单元法中,位移沿单元边界是连续的,而位移的导数通常是不连续的,因此在单元边界上应力是不连续的;基本未知量是位移,而单元应变和应力是由位移求导得到的,因此应力的
精度要比位移的精度低。对于等参单元的应力,采用单元内应力修匀或分片应力修匀。对于三角形常应变单元,通常采用应力平均的方法处理计算结果。
9.4 在无法获得精确解的条件下,如何进行误差估计?试说明这样做的合理性?
由于无法获得精确解,故一般是以修匀后的改进值作为“精确解”来进行误差估计。通过与精确值误差范数对比,发现这样做是非常有效的。
9.6 什么是阶谱单元?
阶谱单元(hierarchical element)就是在低阶单元形函数不变的情况下,构造新增节点的形函数,从而增加形函数的阶次。
25、有限元法的基本思想:有限元法把连续体离散成有限个单元,每个单元的场函数只包含有限个待定节点参量的简单场函数,这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权参量方程可建立有限个待定参量的代数方程组,求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。
26、构造单元形函数有哪些基本原则?
形函数是定义于单元内坐标的连续函数。单元位移函数通常采用多项式,其中的待定常数应该与单元节点自由度数相等。为满足完备性要求,位移函数中必须包括常函数和一次式,即完全一次多项式。多项式的选取应由低阶到高阶,尽量选择完全多项式以提高单元的精度。若由于项数限制而不能选取完全多项式时,也应使完全多项式具有坐标的对称性,并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。有时为了使位移函数保持一定阶次的完全多项式,可在单元内部配置节点。然而,这种节点的存在将增加有限元格式和计算上的复杂性,除非不得已才加以采用。形函数应保证用它定义的位移函数满足收敛要求,即满足完备性要求和协调性条件。
27、何为剪切闭锁现象?为何会出现?
剪切闭锁现象:计算得到的挠度等于零。之所以出现这种现象,是因为构造单元时假设挠度和转角都是独立的。
28、剪切梁单元的基本假定有哪些?
a、假设横向纤维无挤压;
b、法平面变形后仍为平面,但不再垂直于变形后的中性轴。