2、下列数列中，是概率分布的是（ ）
(A) 4,3,2,1,0,15
)(==x x
x p ； (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(==
x x p ； (D) 5,4,3,2,1,25
1
)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ，则有（ ）
(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=-
(C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D
4、设随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的增大，概率()σμ<-X P （ ）。
(A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定
5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方差，则下列结果错误．．
的是（ ）。
（A ）μ=X E ； （B ）2
σ=X
D ；（C ）())1(~122
2
--n S n χσ
； （D ）
())(~22
12
n X n
i i χσμ∑=-。
三、（本题满分12分） 试卷中有一道选择题，共有４个答案可供选择，其中只有１个答案是正确的。任一考生若会解这道题，则一定能选出正确答案；如果不会解这道题，则不妨任选１个答案。设考生会解这道题的概率为０.８，求：（１）考生选出正确答案的概率？
（２）已知某考生所选答案是正确的，他确实会解这道题的概率？
四、（本题满分12分）设随机变量X 的分布函数为??
?
??>≤≤<=1
1100
0)(2
x x Ax x x F ，试求常数A 及X 的概率密度函数)(x f 。
五、（本题满分10分）设随机变量X 的概率密度为x
e x
f -=2
1)(，)(+∞<<-∞x ，试求数学期望)(X E 和方差)(X D 。
六、（本题满分13分）设总体X 的密度函数为???
??<≥=-0
001)(22
x x xe
x f x
σσ ，其中0>σ 试求σ的矩估计量和极大似然估计量。
七、（本题满分12分）某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）
3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24
设测定值总体服从正态分布,但参数均未知，问在01.0=α下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25。（已知6041.4)4(995.0=t ）
八、（本题满分8分）设)X ,,X ,(X 1021 为来自总体)3.0,0(2N 的一个样本，求
??????>∑=101244.1i i X P 。（987.15)10(2
9.0=χ） 概率试统计模拟一解答
一、填空题（本题满分18分，每题3分）
1、0.6；
2、
2719； 3、34； 4、21
； 5、)10(2n χ；6、
)1(22
1--n t n S α 二、选择题（本题满分15分，每题3分）
1、Ｄ；
2、Ｃ；
3、Ｂ；
4、Ｃ；
5、Ｂ
三、（本题满分12分）解：设Ｂ－考生会解这道题，Ａ－考生解出正确答案
（１）由题意知：8.0)(=B P ，2.08.01)(=-=B P ，1)(=B A P ，25.04
1
)(==
B A P ， 所以85.0)()()()()(=+=B A P B P B A P B P A P , （２）941.0)
()()()(≈=
A P
B A P B P A B P
四、（本题满分12分）解：A A f F =?==+21)1()01(，而0
11)1lim()1()01(+→===+x f F ，
1=A
对)(x F 求导，得???≤≤=其它0
1
02)(x x x f
五、（本题满分10分）解：0)(=X E ；2=DX
六、（本题满分13分）矩估计：X dx e
x EX x ===-
∞
+?
σσσ
σ
,1
220
2
,
极大似然估计：似然函数()n x n
i x x x e x L n
i i 2121
21,∑
??
? ??==-
σ
σσ,
()02,ln 12
2=∑+-=??=n i i i x n x L σσσσ， ∑==n i i x n 1221σ
七、（本题满分12分）解：欲检验假设 0100:,25.3:μμμμ≠==H H
因2σ未知，故采用t 检验，取检验统计量n S
X t 0
μ-=
，今5=n ，252.3=x ，
013.0=S ，01.0=α，=--)1(2/1n t α6041.4)4(995.0=t ，拒绝域为 ≥-=
n s
X t 0
μ=--)1(2/1n t α6041.4，因t 的观察值6041.4344.05
/013.025.3252.3<=-=
t ，
未落入拒绝域内，故在01.0=α下接受原假设。
八、（本题满分8分）因)3.0,0(~2N X i ，故)10(~3.022
10
1χ∑=??
?
??i i X
概率统计模拟题二
本试卷中可能用到的分位数：
8595.1)8(95.0=t ，8331.1)9(95.0=t ，306.2)8(975.0=t ，2662.2)9(975.0=t 。
一、填空题（本题满分15分，每小题3分）
1、设事件B A ,互不相容，且,)(,)(q B P p A P ==则=)(B A P .
2、设随机变量X 的分布函数为：???
?
??
?≥<≤<≤--<=2
1
216.0113.01
)(x x x x x F
则随机变量X 的分布列为 。
3、设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布)2,1(N 和)1,0(N ，则
(1)P X Y +≤= 。
4、若随机变量X 服从[1,]b -上的均匀分布，且有切比雪夫不等式2
(1),3
P X ε-<≥
则
b = ,ε= 。
5、设总体X 服从正态分布)1,(μN ，),,,(21n X X X 为来自该总体的一个样本，则
∑=-n
i i
X
1
2)(μ服从 分布
二、选择题（本题满分15分，每小题3分）
1、设()0,P AB =则有（ ）。
(A)A B 和互不相容 (B)A B 和相互独立；(C)()0P A =或()0P B =；(D)
()()P A B P A -=。
2、设离散型随机变量X 的分布律为：()(1,2),k P X k b k λ===且0b >，则λ为（ ）。
(A)
11b +； (B) 11
b -； (C) 1b +； (D) 大于零的任意实数。 3、设随机变量X 和Y 相互独立，方差分别为6和3，则)2(Y X D -=（ ）。
(A) 9；(B) 15； (C) 21；(D) 27。
4、对于给定的正数α，10<<α，设αu ，)(2
n α
χ，)(n t α，),(21n n F α分别是)1,0(N ，)(2
n χ，)(n t ，),(21n n F 分布的下α分位数，则下面结论中不正确．．．
的是（ ）
（A ）αα--=1u u ； （B ）)()(2
21n n α
αχχ-=-；（C ）)()(1n t n t αα--=； （D ）)
,(1),(12211n n F n n F αα=-
5、设),,,(21n X X X (3≥n )为来自总体X 的一简单随机样本，则下列估计量中不是．．
总体期望μ的无偏估计量有（ ）。
(A)X ； (B)n X X X +++ 21； (C))46(1.021X X +?； (D)321X X X -+。
三、（本题满分12分）
假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：
（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；
（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
四、（本题满分12分） 设随机变量X
的分布密度函数为1()1x f x ?
0, x
试求： （1）常数A ； （2）X 落在11
(,)22
-内的概率； （3）X 的分布函数
)(x F 。
五、（本题满分12分）
设随机变量X 与Y 相互独立，下表给出了二维随机变量),(Y X 的联合分布律及关于X 和Y 边缘分布律中的某些数值,试将其余数值求出。
六、（本题满分10
100元，调换一台设备厂方需花费300
七、（本题满分12分）
设),,,(21n X X X 为来自总体X 的一个样本，X 服从指数分布，其密度函数为
??
?<≥=-0,00
,);(x x e x f x λλλ，其中0>λ为未知参数，试求λ的矩估计量和极大似然估计量。 八、（本题满分12分）
设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布，今随机抽取9名罪犯，其年龄如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，试以95%的概率判断犯罪青少年的年龄是否为18岁。
模拟二参考答案及评分标准 [基本要求：①卷面整洁，写出解题过程，否则可视情况酌情减分；
②答案仅供参考，对于其它解法，应讨论并统一评分标准。]
一、填空题（本题满分15分，每小题3分）
1、q p --1；
2、?
??? ??-4.03.03.0211；3、21)0(=Φ；4、2,3==εb ；5、)(2
n χ 注：第4小题每对一空给2分。
二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分） 1、D ；2、A ；3、D ；4、B ；5、B
三、（本题满分12分）解：设A={甲河流泛滥}，B={乙河流泛滥}……………………………1分
(1) 由题意，该地区遭受水灾可表示为B A ，于是所求概率为：
)()()()(AB P B P A P B A P -+= ……………………………2分
)/()()()(A B P A P B P A P ?-+=……………………………2分
27.03.01.02.01.0=?-+=…………………………………2分
(2))()()/(B P AB P B A P =
…1分 )
()
/()(B P A B P A P ?=………2分 15.02
.03
.01.0=?=
………………………………………………2分 四、（本题满分12分）解：(1)由规范性 dx x f ?
+∞
∞
-=)(1………………1分
dx x
A ?
--=1
1
2
1……1分 πA x A =-=1
1arcsin …1分
π1=∴A ………………………………………………………1分
(2)dx x
X P ?--=<<-2121211
1}2121{π ……………………………………2分 31arcsin 1
2
121
=-
=
x
π
……………………………………2分
(3)00)(1==-
dx x F x ，
时 ……………………………………………1分 )2
(arcsin 1
11
1)(111
2
π
π
π+
=
-=≤≤-?-x dx x x F x x
，
时………………1分
111
1
)(11
1
2
=-=>?-dx x x F x π，
时………………………………………1分
??
???>≤≤-+-<=∴
1
111)
2(arcsin 11
)(x x x x x F X π
π
的分布函数为………………1分
五、（本题满分12分）
解： 24
1
81616181=
-=?=+
a a …………………………………………………1分
4
3
411141=-=?=+e e ……………………………………………………1分 12181241414181=--=?=++b b a …………………………………………2分
21
4814181=?=??=f f ……………………………………………………2分
8
3
812181=-=?=+c f c …………………………………………………2分
3
1
412141=?=??=
g g b ……………………………………………………2分 4
1
12131=-=
?=+d g d b …………………………………………………2分 六、（本题满分10分）
解：设一台机器的净赢利为Y ，X 表示一台机器的寿命，……………………1分
??
?
??
≤≤<-=->=00102003001001100X X X Y ……………………………………………………3分
{}41
1
4
4
11P -∞
-=?
e dx e X x ＋＝＞……………………………………………………2分 {}41
1
4
14
110---==
≤
e dx e X P x ……………………………………………2分 ()64.331200100414
1=???
? ??--=--
e e
E η………………………………………………2分 七、（本题满分12分）
解：(1)由题意可知 λ
λ1
);()(=
=?+∞
∞
-dx x f X E …………………………………2分
令 11A m =，即X =λ
1
，…………………………………………………………2分
可得X 1=
λ，故λ的矩估计量为 X
1?=λ………………………………………2分 （2） 总体X 的密度函数为???<≥=-0,
00
,);(x x e x f x λλλ……………………1分
∴ 似然函数 ??
???≥=∏=-其它
，00
,,)(211
n n
i x x x x e L i
λλλ，……………………………2分
当),2,1(0n i x i =≥时，取对数得 ∑=-=n
i i x n L 1
ln )(ln λλλ，…………………1分
令
01)(ln 1=-=∑=n i i x n d L d λλλ，得x
1
=λ………………………………………1分 ∴ λ的极大似然估计量为 X
1?=λ
………………………………………………1分 八、（本题满分12分）
解：由题意，要检验假设 18:;18:10≠=μμH H ……………………………2分
因为方差未知，所以选取统计量 n
S X T 0
μ-=
…………………………………2分 又 306.2)8(,5.12,21,9,18975.00=====t s x n μ……………………2分
得统计量T 的观测值为 55.23
5.1218
21≈-=
t ……………………………………2分
)8(975.0t t > ，即落入拒绝域内，……………………………………………2分
∴ 能以95%的概率推断该市犯罪的平均年龄不是18岁。……………………2分
2009-2010 学年第 一 学期末考试试题3（A 卷）概率论与数理统计
本试卷中可能用到的分位数：
0.975(8) 2.3060t =，2622.2)9(975.0=t ,0.975 1.96u =，0.9 1.282u =
一、填空题（本题满分15分，每空3分）
1、设111
(),(|),(|)432
P A P B A P A B ===，则)(B P = 。
2、设随机变量X ~)1,0(N ，)(x Φ为其分布函数，则)()(x x -Φ+Φ=__________。
3、设随机变量X ~)5(E (指数分布)，其概率密度函数为50
5,()00,x x e f x x ->?=?≤?,用切比雪
夫不等式估计{}2P X EX -≥≤ 。
4、设总体X 在(1,1)μμ-+上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为 。
5、设随机变量X 的概率密度函数为 1
,[0,1]32
,
[3,6]()90,.
x x f x ?∈???∈=?????
若若其他 若k 使得{}2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________。
二、单项选择题（本题满分15分，每题3分）
1、A 、B 、C 三个事件不都．．
发生的正确表示法是（ ）。
（A ）ABC （B ） ABC （C ）A B C ?? （D ）A B C ??
2、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ ）。
（A ）+∞<<∞+=x x x F －,11)(21 （B ）200()0
1x F x x
x x
≤??=?>?
+?
（C ）-3()e ,-x F x x =∞<<+∞ （D ）431()arctan ,-42F x x x π=+∞<<+∞
3、设1)(=X E ，()2D X =，则=+2)2(X E （ ）。
（A ）11 （B ）9 （C ）10 （D ）1
4、设0121,,,X X X 是来自总体），90(~N X 的一部分样本，则210
22
1X 3X
X +服从
（ ）。
（A ）)1,0(N （B ）)3(t （C ）)9(t （D ）)9,1(F
5、设总体X ～),(2σμN ，其中2σ已知，)(x Φ为)1,0(N 的分布函数，现进行n 次独立
实验得到样本均值为x ，对应于置信水平1-α的μ的置信区间为x x εε-+（，），则ε由
（ ）确定。
（A
）1/2ασ?Φ=- ?? （B
）1/2αεσ?Φ=- ?? （C
）1ασ?Φ=- ?? （D
）
αΦ=??
三、（本题满分12分）某地区有甲、乙两家同类企业，假设一年内甲向银行申请贷款的概率为0.3，乙申请贷款的概率为0.2，当甲申请贷款时，乙没有申请贷款的概率为0.1；
求：（1）在一年内甲和乙都申请贷款的概率？
（2）若在一年内乙没有申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率？
四、（本题满分12分）设随机变量X 的概率密度函数为(1)01
()0kx x x f x -<
常数0>k ，
试求：（1）k ；（2）??????<<-212
1
X P ；（3）分布函数()F x .
五、（本题满分12分）设随机变量X 与Y 相互独立，其分布律分别为
律；
求：（1）()Y X ,的联合分布
??
? ??Y
X
E . （2）Y
X
Z =
的分布律； （3）六、（本题满分12分）设()Y X ,的联合概率密度为
()其他
1
0,100)1(,<<<
?
?-=y x y
x A y x f ,
（1） 求系数A ;
（2） 求X 的边缘概率密度()x f x ，Y 的边缘密度()y f y ；
（3） 判断X 与Y 是否互相独立； （4） 求{}1P X Y +≤.
七、（本题满分12分）
正常人的脉搏平均72次/每分钟，现在测得10例酏剂中毒患者的脉搏，算得平均次数为67.4次，样本方差为25.929。已知人的脉搏次数服从正态分布，试问：中毒患者与正常人脉搏有无显着差异（
0.05α=）
八、（本题满分10分）1．已知事件A 与B 相互独立，求证A B 与也相互独立.
2. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，1,
,n X X 是X 的简单随机样本，已知样本方差
2S 是总体方差的无偏估计，试证：
()
22
1
S X +是λ的无偏估计. 2009-2010 学年第 一 学期期末考试试题答案及评分标准3（A 卷）概率论与数理统计
一、填空题（本题满分15分，每小题3分）
1、
61； 2、1；3、100
1
；4、X ；5、[]31，
二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分）
1、D ；
2、B ；
3、A ；
4、C ；
5、A
三、（本题满分12分）
解：A ={甲向银行申请贷款 } B ={乙向银行申请贷款}
（1）
()()(()(1()))P A P B A P P AB A P B A ==-
3分
0.3(10.1)0.27=?-= 3分
（2）
()(|)
(|)()
P A P B A P A B P B =
3分
380
=
3分 四、（本题满分12分）解 （1） 由???+∞
∞
-=-=-==1
1
26/)()1()(1k dx x x k dx x kx dx x f .
得 6k =.
3分
（2）?=-=??????<<-21
021)1(6212
1
dx x x X P
3分
（3）()?∞
-=x
dt t f x F )(
2分, 当0≤x 时 =)(x F 0 1分
当10<)(x F 320
23)1(6x x dx x x x
-=-?
1分
当1≥x 时 =)(x F 1
1
分
230,0()32,011,1x F x x x x x ≤??
=-<≤??>?
… 1分
五、（本题满分12分） （1）（X ，Y ）的联合分布为：
4分
（2） Y
X
Z =
的分布律为：
4
分
（3）???
??Y X E =1522
4分
六、（本题满分12分） 解：（1）由于1),(=?
?
+∞∞-+∞
∞
-dydx y x f 2分
所以：212100
11[][]122A x x y -=,11
122
A ??=, A =4 1分
（2）当10<2100
1
()4(1)4(1)[]2(1)2x f x x ydy x y x =-=-=-?
所以：
?
?
?<<-=其他01
0)1(2)(x x x f X 2分
当10<2100
1
()4(1)4[]22y f y x ydx y x x y =-=-=?
所以：???<<=其他0
1
02)(y y x f Y
2分
（3）所有的,(,)x y ∈-∞+∞，对于(),()()x y f x y f x f y =都成立
∴X 与Y 互相独立
2分
（4） {}1
1
14(1)x P X Y x dx
ydy -++≤=-??
2分
2233410
12112[]2334x x x x x x =--++-11
242
=?= 1分 七、（本题满分12分） 解：由题意得，),(~2σμN X
H 0：720==μμ H 1：720=≠μμ
2分
)1(~/0
-μ-=
n t n
S X T 3分
0H 的拒绝域为{()}1/29W t t α-=>
3分
其中 929.5,4.67,10===S X n 代入
2622.2)9(453.210
/929.5724.67975.0=>=-=
t t
2分
所以，拒绝H 0 ，认为有显着差异。
2
分
八、（本题满分10分）
1 、 A 与B 相互独立 ()()()P AB P A P B ∴=） 1分
从而() ()P AB P A B =1()P A B =-
1[()()()]P A P B P AB =-+- 2分
因此：A 与B 相互独立 2分
2、X 服从参数为λ的泊松分布，则λλ==)(,)(X D X E
n
X D X E λ
λ=
=)(,)( 2分
λ=)(2S E ，22)(λλ+=i X E ，故()
λ=??
?
???+221S X E ，
2分
因此()
22
1
S X +是λ的无偏估计. 1分
期末考试试题4
试卷中可能用到的分位数：0.975(25) 2.0595t =，0.975(24) 2.0639t =，0.975 1.960u =，
645.195.0=u
