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高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》技巧及练习题

新单元《推理与证明》专题解析

一、选择题

1．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；

丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发

现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

【答案】A

【解析】

【分析】

分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果．

【详解】

①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意；

②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；

③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；

④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意.综上所述，盗窃者是甲.

故选：A.

【点睛】

本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．

2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )

从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a，则a的值为( )

A．1008

20182

?B．1009

C．1008

20202

?D．1009

20202

【答案】C

【解析】

【分析】

根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】

解：第一行第一个数为：0112=?；第二行第一个数为：1422=?；第三行第一个数为：21232=?；第四行第一个数为：33242=?；

L L ，

第n 行第一个数为：1

n 2n n a -=?；

一共有1010行，

∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=?=?；故选C ．【点睛】

本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

3．已知点(10,3)P 在椭圆22

2:199

x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则

圆M 过点N 的切线方程为2

00x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为

（）

A ．13311x y +=

B ．

111099

x y += C ．

11133

x y += D ．

199110

x y += 【答案】C 【解析】

【分析】

先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】

因为点(10,3)P 在椭圆22

2:199

x y C a +=上，

故可得

21009

199

a +=，解得2110a =；由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为：

103111099

x y +=，整理可得11133x y

=. 故选：C. 【点睛】

本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.

4．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（）

A ．28

B ．76

C ．123

D ．199

【答案】C 【解析】【分析】【详解】由题观察可发现，

347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=，

294776,4776123+=+=，

即1010123a b +=, 故选C.

考点：观察和归纳推理能力.

5．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（）打碎了玻璃． A ．甲 B ．乙

C ．丙

D ．丁

【答案】D 【解析】【分析】

假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁．【详解】

假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾，假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意，所以是丁打碎了玻璃；故选：D 【点睛】

本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．

6．若数列{}n a 是等差数列，则数列12n

n a a a b n

++?+=

也为等差数列．类比这一性质可

知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12n

n c c c d n

++?+=

B ．12n

n c c c d n

????=

C ．12n n n

n c c c d n

++?+=

D ．12n n n d c c c =???? 【答案】D 【解析】【分析】

利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论．【详解】

解：Q 数列{}n a 是等差数列，则()12112

n n n

a a a a d n -++?++

=，

∴数列1211

n n a a a n b a d n ++?+-=

=+也为等差数列

Q 正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，

则()112

121111

n n n

n n c c c c c q c q c q

--???????==?

∴1

121111

n n n n n n d c c c c c q c q c q

--=????=????=

∴12n n n d c c c =????是等比数列

故选：D ．【点睛】

本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．

7．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：

记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（） A ．147 B ．294

C ．882

D ．1764

【答案】A 【解析】

【分析】

根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】依题意列表如下：

所以6

603020151210147S =+++++=.

故选：A 【点睛】

本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.

8．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为

212121111U kcq R R x x R x R x ??

=+-- ?+-+-??

，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示

两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -??

+-=+

???

，111x R x R R ??+=+ ???，221x R x R R ??-=- ??

?，且()1

211x x x -+≈-+，则U 的近似值为

（）

A ．2123

kcq x x R B ．212

kcq x x R - C ．2123

2kcq x x R D ．212

2kcq x x R

- 【答案】D 【解析】【分析】

将12121x x R x x R R -??+-=+

??，111x R x R R ??+=+ ???，221x R x R R ??

-=- ??

?代入U ，结合()

211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.

【详解】

221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ????????=+--=+

-- ?-+-+-??????????

++- ? ? ???????????

222

121211221111x x x x x x x x kcq R

R R R R R R ??--??????=+-+-+----?? ? ? ???????????

212

2kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】

本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

9．二维空间中圆的一维测度(周长)2l

r π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二

维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)3

V r π=

.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（）

A ．42r π

B ．43r π

C ．44r π

D ．46r π

【答案】A 【解析】

分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .

详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度，结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.

点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

10．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（） A ．大于2 B ．小于2

C ．不小于2

D ．不大于2

【答案】B

【解析】【分析】

把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到

ab bc ac ++的值的符号．【详解】

解：2a b c ++=Q ，

2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．

则2()ab bc ac ++

222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++

()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-

222222b b a a c c =-+-+-

()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++，

2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，

即()222

0a b c -++<，

2()4ab bc ac ++

即ab bc ac ++的值小于2．故选：B ．【点睛】

本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．

11．0=，则0x y ==，假设为( )

A ．,x y 都不为0

B ．,x y 不都为0

C ．,x y 都不为0，且x y ≠

D ．,x y 至少有一个为0

【答案】B 【解析】【分析】

根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果. 【详解】

0x y ==的否定为00x y ≠≠或，即x ，y 不都为0，选B.

【点睛】

本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.

12．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ?方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（）

A ．55

B ．500

C ．505

D ．5050

【答案】C 【解析】【分析】

因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2

123()n f n n

+++???+=，

即得解. 【详解】

因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，

所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和，又n 阶幻方有n 行（或n 列），

因此，2

123()n f n n

+++???+=，

于是12399100

(10)50510

f +++???++==．

故选：C 【点睛】

本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.

13．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A ．甲辰年 B ．乙巳年

C ．丙午年

D ．丁未年

【答案】C 【解析】【分析】

按照题中规则依次从年列举到

年，可得出答案。

【详解】

根据规则，年是己亥年，年是庚子年，年是辛丑年，年是壬寅年，

年是癸卯年，年是甲辰年，年是乙巳年，年是丙午年，故选：C 。

【点睛】

本题考查合情推理的应用，理解题中“干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题。

14．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A ．甲、乙、丙

B ．乙、甲、丙

C ．丙、乙、甲

D ．甲、丙、乙

【答案】A 【解析】【分析】

利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】

若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】

本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．

15．已知()()2739n

f n n =+?+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n ,

则最大的m 的值为( ) A ．30 B ．9 C ．36 D ．6

【答案】C 【解析】【分析】

依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】

由()(27)39n

f n n =+?+，得(1)36f =，

(2)336f =?，(3)1036f =?，

(4)3436f =?，由此猜想36m =.

下面用数学归纳法证明： (1)当1n =时，显然成立。

(2)假设n k =时，()f k 能被36整除，即

()(27)39k f k k =+?+能被36整除；

当1n k =+时,

1[2(1)7]39k k +++?+

3(27)391823k k k +??=+?+-+???

()

13(27)391831k k k -??=+?++-??

131k --Q 是2的倍数，

()

11831k -∴-能被36整除，

∴当1n k =+时，()f n 也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有

()(27)39n f n n =+?+能被36整除， m 的最大值为36.

故选：C. 【点睛】

本题主要考查的是数学归纳法的应用，解题的关键是熟练掌握数学归纳法解题的一般步骤，考查的是推理计算能力，是中档题.

16．观察下列各式：5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ，则20205的末四位数字为（） A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125

【答案】C 【解析】【分析】

根据5

53125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ，分析次数与末四位数字的关系，归纳其变化规律求解. 【详解】

因为5

53125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ，观察可知415k +的末四位数字3125，

425k +的末四位数字5625， 435k +的末四位数字8125， 445k +的末四位数字0625，

又202045044=?+，则20205的末四位数字为0625. 故选：C

【点睛】

本题主要考查数列中的归纳推理，还考查了理解辨析推理的能力，属于中档题.

17．已知()()()212

f x f x f x +=+， ()11f =（*x N ∈），猜想()f x 的表达式为（）

A ．()21f x x =+

B ．()422x f x =+

C ．()11f x x =+

D ．()221

f x x =+ 【答案】A

【解析】因为

()()()212

f x f x f x +=

+,所以

()()111

f x f x =++ ,因此

()()()()()11112

111221

x x f x f x f x =+-=+?=+,选A.

18．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式

1111++

+???

中“???”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程

11x x +

求得1

x =，类似上述过程，则231111333++++???=( ) A ．2 B ．

C ．3

D ．

【答案】B 【解析】【分析】由232311111131333333????

?+++???=++++??? ? ?????

，类比已知中的求法，可构造方程求得结果. 【详解】

232311111131333333?????+++???=++++??? ? ?????Q

∴可设23111333

x =

+++???，则31x x =+，解得：1

2x =

23111131133322++++???=+=∴

故选：B 【点睛】

本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形

为可以整体换元的方式.

19．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）

A．乙、丁可以知道自己的成绩B．乙可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩D．丁可以知道四人的成绩

【答案】A

【解析】

【分析】

根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.

【详解】

因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，

又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，

又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，

又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.

因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A.

【点睛】

本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.

20．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是

A．甲B．乙C．丙D．无法预测

【答案】A

【解析】

【分析】

若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。

【详解】

若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！

若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛盾！

若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名。

因此，第三名是甲，故选：A。

【点睛】

本题考查合情推理，突出假设法在推理中的应用，通过不断试错来推出结论，考查推理分析能力，属于中等题。

高考数学玩转压轴题专题4.4立体几何中最值问题

专题4.4 立体几何中最值问题一．方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。二．解题策略类型一距离最值问题 AB=，若线段DE上存在点P 【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且2 ⊥，则边CG长度的最小值为（）使得GP BP A. 4 B. 43 C. D. 23 【答案】D

又22002B G a （，，），（，，），所以2,2,,,2,.2 2ax ax BP x GP x a ???? =--=-- ? ?????u u u r u u u r () 24022ax ax PB PG x x a ?? =-++-= ??? u u u n r u u u r .显然0x ≠且2x ≠.所以22 1642a x x =--. 因为()0,2x ∈，所以(]2 20,1x x -∈.所以当221x x -=， 2a 取得最小值12.所以a 的最小值为23. 故选D. 【指点迷津】利用图形的特点，建立空间直角坐标系，设CG 长度为a 及点P 的坐标，求BP GP u u u r u u u r 与的坐标，根据两向量垂直，数量积为0，得到函数关系式22 16 42a x x = --，利用函数求其最值。举一反三 1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是_____。【答案】 3254 2?? ??

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =，（1）证明:数列{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。

~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式． {

、 ~

、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =，所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，整理得14 3 n n a a -=． 5分由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分（2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b