2008-2009第一学期《高等数学》期末试卷A和答案

2008-2009第一学期《高等数学》期末试卷A

学号： 姓名： 学院：

一、填空

1．设)(l i m

,1][)(0

x g x x g x +→+=则= ，)(lim 0

x g x -→= ，)(lim 0

x g x →= 。

2．设=+?+?+=??)()]()[(,2)(a c c b b a c b a

则 。

3．过两点（4，0，-2）和（5，1，7）且平行于ox 轴的平面方程为 。 4．设=++=dy x a x y x x a 则, 。 5．由曲线x y x y cos ,sin ==以及直线2

,0π

==x x 所围图形的面积由积分可表

示为

。

二、选择

1．若??'=',)()(dx x g dx x f 则必有 。

（A ）)()(x g x f = （B ）dx x g dx x f )()(??= （C ）c x g x f +=)()( （D ）0)()(=-x g x f

2．设函数0)(x x x f =在处连续，若)(0x f x 为的极值点，则必有 。 （A ）0)(0='x f （B ）0)(0≠'x f （C ）)(0)(00x f x f '='或不存在 （D ）)(0x f '不存在

3．设==-=a prj b a b

则},1,2,2{},4,3,4{ 。

（A ）1 （B ）2

1

（C ）2 （D ）3

4．若l x ax x x =+++-→1

4

lim

31，则 。 （A ）3,6==l a （B ）3,6=-=l a （C ）6,3==l a （D ）6,3-=-=l a 5．函数x

x

y ln =

的单调增加区间为 。

（A ）（0，e ） （B ）（1，e ） （C ）（e ，∞+） （D ）（0，∞+）

三、计算题

1．求下列导数或微分

（1） 设)()(x x x f ?=，其中)(x ?在0=x 处连续，求)0(f '

（2） 已知02|,0

1sin 23=???=+-+=t y

dx dy

y t e t t x 求 （3） 设2222

,,sin dx

dy

dx y d x y 求=

2．计算下列极限 （1）?

?-+→x x x dt

t t t dt

t 0

2

30

)sin (lim

2 （2）)(lim x x x x x -+++∞

→

3．计算下列积分 （1）?--11

2

45x

xdx （2）?

++330

2

2

1)51(x

x dx

（3）?

dx x

x ln （4）?-dx x x

3 4．求函数x e x x f |2|)(-=在[0，3]上的最大、最小值。

四、若)(x f 在[0，1]上有二阶导数，且)()(,0)0()1(2x f x x F f f ===，

证明：在（0，1）内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξF

答 案

一、填空：

1．1，0，不存在 2．4 3．029=--z y

4．x x a x x a a ax )ln 1(ln 1++?+- 5．dx x x dx x x ??-+-4

24

)cos (sin )sin (cos ππ

π

二、选择

1．C 2．C 3．C 4．C 5．C 三、计算题

1．（1）解：)0()(lim 0

)

0()(lim

)0(00??==--='→→x x f x f f x x （2）解：

26+=t dt

dx

在01sin =+-y t e y ，两端对t 求导：

0c o s s i n =-+dt

dy t e t dt dy e y

y

t e t e dx dy y y sin 1cos -=? )26)(sin 1(cos +-=

∴t t e t

e dx dy y y 又0=t 时，1,0==y x

2

|0e dx dy t =∴

= （3）解：22222

2sin 4cos 2,cos 2x x x dx

y d x x dx dy -== xdx dx dx x x dy 2,cos 222== 22c o s x dx

dy

=∴

2．（1）解：（洛必达法则）

原式=x x x x x x x x x x sin lim 2)sin (2lim 3

030-=-?→→

12cos 13lim

22

0=-=→x

x x

（2）原式=2

1

111111lim

lim

3=

+++

+

=+++++∞

→+∞

→x

x x

x

x x x x x x x 3．（1）解：2

45x

x -

在（-1，1）上为奇函数

0=∴积分

（2）解：设tdt dx t x 2sec ,tan ==

原式=?

?

+=

+6

6

222sin 41cos sec )tan 51(sec ππdt t

t

t

t tdt

=8/06/)sin 2arctan(21

)

sin 2(1)sin 2(21

6/02πππ==+?t t t d （3）解：?

??-==dx x x

x x x xd dx x

x 2ln 2ln 2ln

c x x x +-=4ln 2 （4）解：c x x x dx

dx x dx x x +-+-=-+-=

-?

?

?

36)3(3

1

33

33

23

4．解：???<<-<<--='???≤<-≤≤--=3

2,)1(2

0,)1()(,32,)2(2

0,)2()(x e x x e x x f x e x x e x x f x

x x

x 可见在（0，3）内1=x 是)(x f 的驻点，)(2x f x 是=的不可导点。 因3)3(,0)2(,)1(,2)0(e f f e f f ====

0)2(,)3(3==∴f e f 最小值为最大值为

四、证：上二阶可导在上二阶可导

在]1,0[)(,]1,0[)(x F x f ∴ 又0)(),1,0(,0)0(,0)1()1(11='∈?∴===ξξF F f F 使得

又

0)0(),()(2)(2=''+='F x f x x xf x F ,0)(),1,0(),0(1=''?∈?∴ξξξF 使得

高等数学第七版下册复习纲要

第七章：微分方程 一、微分方程的相关概念 1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解. 通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解. 特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解. 3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解； 也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中. 二、微分方程的常见类型及其解法 1. 可分离变量的微分方程及其解法 (1).方程的形式：dx x f dy y g )()(= . (2). 方程的解法：分离变量法 (3). 求解步骤 ①. 分离变量，将方程写成dx x f dy y g )()(=的形式； ②. 两端积分： ??=dx x f dy y g )()(，得隐式通解C x F y G +=)()(； ③. 将隐函数显化. 2. 齐次方程及其解法 (1).方程的形式： ?? ? ??=x y dx dy ?. (2).方程的解法：变量替换法 (3). 求解步骤 ①．引进新变量x y u = ，有ux y =及dx du x u dx dy +=； ②．代入原方程得：)(u dx du x u ?=+； ③．分离变量后求解，即解方程x dx u u du =-)(?； ④．变量还原，即再用 x y 代替u . 3. 一阶线性微分方程及其解法 (1).方程的形式： )()(x Q y x P dx dy =+. 一阶齐次线性微分方程:0)(=+y x P dx dy . 一阶非齐次线性微分方程: 0)()(≠=+x Q y x P dx dy .

高等数学A(一)期末试题及答案

大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 考试时间 ………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。……………… 一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e 1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ． (3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-? 10211dx x 2π . (5) =?∞ +121dx x 1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 21. (2) 设x x x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B) (A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1. (4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C) (A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对. (5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D) (A) ?=')()(x f dx x f . (B) C x f dx x f dx d +=?)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x -='?. (D) )())((0x f dt t f x ='?. 三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 6 2)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学同济第七版下册课后答案

1.设 u =a -b +2c ， v =-a +3b -c .试用 a ， b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（ -a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形 . 证 如图 8-1，设四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ，已知 AM =MC ， DM MB . 故 AB AM MB MC DM DC . 即 AB// DC AB |=| DC |，因此四边形 ABCD 3.把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1， D 2， D 3， D 4 ，再把各 分点与点 A 连接 .试以 AB =c, BC=a 表向量 D 1A , D 2A , D 3A , D A . 4 证 如图 8-2，根据题意知 1 5 1 5 1 5 BD 1 D 1D 2 D 2D 3 a, a, a, 1 5 D 3D 4 a, 1 故 D 1A =-（ 1） =- a- c AB BD 5

2 D 2A =-（ AB BD 2）D 3A =-（ AB BD 3）=- a- c 5 3 =- a- c 5 4 D A =-（ AB BD 4） =- a- c. 4 5 4.已知两点 M 1（ 0， 1， 2）和 M 2（ 1， -1， 0） . 试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2及 -2M 1M 2 . M 1M 2 =（ 1-0， -1-1， 0-2） =（ 1， -2， -2） . 解 -2M 1M 2 =-2（ 1， -2， -2） =（ -2， 4， 4） . 5.求平行于向量 a =（ 6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 6 7 6 , , 11 11 11 （ 6， 7， -6）= ， = a 11 其中 a 62 72 ( 6)2 11. 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （ 1， -2， 3）， B （ 2， 3， -4）， C （ 2， -3， -4） ， D （ -2， -3， 1） . 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点 在第三卦限 . 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各 点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4， 3）， C （ 3， 0， 0）， D （ 0，

《高等数学A》课程试卷)期末卷A

学《高等数学A 》课程试卷 ____________ 学院（系） _____ 年级 __________ 专业 主考教师：高数 A 教学组 试卷类型：（A 卷）200662 2.由球面z 4 2 x y 2 和锥面z x 2 y 2 所围成的区域为 ，则 之体积是 n 2 4 r 2 2 n n 2 2 (A ) d dr rdz ; (B ) d 4 d sin d 0 0 0 2n n 2 2 ,2 2 x 2 4 x 2 y 2 (C ) d d sin d ; (D ) dx 2 dy dz 。 2 2 x 2 2 2 2 X V Z 3 ?设是椭球面匸7 ? 1 上半部分之外侧，则展妙 y2dzdx zdxdy 1 (A ) J2 n ； (B ) —V 2 n (C ) 4 二n (D ) —/ 2 n 。 3 3 3 6 4.正项级数 1 1 1 L 之和等于 。 1 2 3 2 3 4 3 4 5 (A ) 1; (B ) 1 . (C ) 1 . (D ) 1 —。 2 3 4 二、填空题： （每小 题 5分， 共20分） 2 2 1. __________________________________________________________ 设f x, y 2x 2xy y 4x 3，则它的最小值等于 __________________________________________________________ 。 2 2 2 2. __________________________________________________________________ 设 是整个球面 x y z 9，取外侧，则 ° zdxdy 的值是 ___________________________________________________ 。 (A) 5 x 1 4 y 2 z 3 0 ； (B) 5 x 1 4 y 2 z 3 0 ； (C) 5 x 1 4 y 2 z 3 0 ； (D) 5 x 1 3 y 2 z 3 0 。 （ ） 。 、选择题 （每小题 5分，共20分） 1 ?设曲线 为球面x 14和平面x y z 0之交线，则曲线 在点1,2, 3处的法平面为

高等数学第七版课后练习题

1、已知函数2,02 ()2,24x f x x ≤≤?=?-<≤? ，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。 2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3 ()f x 的定义域。 3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。 (1)(1)f x + (2)()(0)f ax a ≠ (3)(sin )f x (4)(sin 1)f x + 4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件？ 1 (1)() y f x = (2)y = (3)log ()(0a 1)a y f x a =>≠且 (4)arccos ()y f x = 5、求下列函数的定义域。 22(1)16x y x = +- 2 (2)arcsin 3x y -= (3)y =+ 6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。 211(1)()ln ;()2ln f x x g x x ==g 2222(2)()1;()sin cos f x g x x x ==+ 33(2)(3) (3)()3;()2 x x f x x g x x -+=+= - 44(4)()()1f x g x x ==- 7、设函数()2,()55x f x g x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x +-的表达式。 8、设2 ()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。 9、设2 2 11 (),()f x x f x x x +=+ 求。 10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。 11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数。 (1)()sin f x x x =g (2)()sin f x x tgx =+ (3)()f x = (4)()ln(f x x = 2(5)()f x x x =- 12、判断下列函数的奇偶性。 3(1)()f x x x =+ (2)()cos f x x x =? (3)()(0)tgx f x x x = ≠ (4)()ln(f x x x =- 13、求下列函数的周期。

高数A试卷A

整理范本编辑word！

word ！ 1．动点(,,)M x y z 到平面yOz 的距离与到(1,2,1)-的距离相等，则该动点(,,)M x y z 的轨迹方程为 ； 2. 设2 sin()z x y =，则2z x y ?=?? ； 3. 改变二次积分的积分次序 2 220 (,)y y dy f x y dx =? ? ； 4. 已知级数 1 n n a a ∞ ==∑，则级数11 ()n n n a a ∞ +=+=∑ ； 三、计算与解答题(每小题8分，共64分) 1、计算 D xydxdy ??，其中D 是由2y x =，0y =，2x =所围成的闭区域. 2、设(,)x z f x y y =+，且f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ???. 、求过点(1,1,1)且平行于向量(1,1,2)a =-和(1,2,3)β=-的平面的方程.

整理范本编辑word ！ 4、求过点(0,1,2)且与平面3410x y z -+=垂直相交的直线方程． 5、计算2 2L xydx x dy +? ，其中L 是2 2y x =+上从点(0,2)A 到点(2,6)B 的一段弧. 6、将给定的正数a 分为三个正数之和，问这三个数各为多少时，它们的乘积最大？

word ！ 7、计算zdxdydz Ω ???，其中Ω是由曲面2 2z x y =+及平面4z =所围成的闭区域． 、求幂级数21 1 n n nx ∞ -=∑的和函数.

整理范本编辑word ！ 四、证明题（6分） 已知lim 1n n u →∞ =，证明级数 1 1 1 1 n n+n ()u u ∞ =- ∑收敛．

高等数学a)下期末试卷及答案

南京邮电大学2010/2011学年第二学期 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ??1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(1 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面 x y x 22 2≤+内的那部分面积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ?- θπ π ρ ρθcos 20 22 2 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2 d d (D ) ??- θ π πρρθcos 202 2 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数

∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+121n n n (C ) ∑∞ =+111sin n n (D ) ∑∞ =13! n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

高等数学试卷A 试题及答案解析

郑州轻工业学院 2009-2010学年第二学期高等数学试卷A 试卷号：A20100621（1） 一、单项选择题（每题3分，共15分） 1．设函数3 ()=f x x x +，则定积分22 ()=f x dx -? （ A ） (A) 0； (B) 8； (C) 2 ()f x dx ? ； (D) 20 2()f x dx ?． 2．设D 是圆域2 21,x y +≤ 函数f 为D 上的连续函数，则D f dxdy =??( A ) （A ）102()f d πρρρ?； （B ） 1 4()f d πρρρ?； （C ）1 20 2()f d π ρρ? ； （D ） 0 4()f d ρ πρρρ?． 3．微分方程x xe y y 2'2=-''的特解y *的形式为 ( A ) （A ）x e b ax x 2)(+；（B ）x e b ax 2)(+；（C ）x xe 2；（D ）x e c bx ax 22)(++． 4．曲面3 2 2 211x xy xz y z ---=在点(3,1,-2)处的法线方程是( D ) （A ）1831321211x y z +-+==-； （B ）3 1 2 21211x y z --+= =； （C ）1831321211x y z +-+==； （D ）31 2 21 211 x y z --+= =-． 5．下列级数中收敛的是 ( D ) （A ） ∑∞ =11 n n n n ； （B ） ∑∞ =++1 )2(1 n n n n ； （C ）∑∞ =?123n n n n ； （D ）2 4 (1)(3)n n n ∞ =-+∑． 二、填空题（每题3分，共15分） 1．微分方程02=-'+''y y y 的特征方程为 220r r +-= ． 2．设L 是曲线2 2 2 x y a +=，则对弧长的曲线积分22 )L x y ds +=? （32a π． 3．设()f x 是以2π为周期的函数，且0,0 ()1,0x f x x ππ-≤

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "

9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学A试卷答案

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2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学A 》试卷 考试说明： 1、考试为闭卷，考试时间为150分钟； 2、满分为150分； 3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效； 4、密封线左边各项要求填写清楚完整。 一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必 写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分） 1．2 31 sin 5 3lim x x x x -∞→＝ ． 2．垂直于直线162=-y x 且与曲线5323-+=x x y 相切的直线方程为 ． 3．设 ),,(w v u f 为三元可微函数 ，),,(1 y y x x y x f z =，则 y z ??= ． 4．幂级数 ∑∞ =-1 )3(n n n x 的收敛域 为 ． 5．n 阶方阵A 满足 0323=+-E A A ，(E 为n 阶单位阵 ) ，则 1-A ＝ ． 姓名：_____________准考证号：______________________报考学校 报考专业： ----------------------------------------------------------------------------------------密封线-------------------------------------------------------------------------------------------------

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，，A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的W K域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学A卷答案

高等数学A 卷参考答案 一、1—5 D B D A B 6—10 C D A C A 二、11、[-4,4] 12、14 13、5 14、)32(333 x xe x + 三、15、解：原式=5) 5)(5(lim 5 x --+→x x x =5lim 5 +→x x =5+5 =10 16、解：原式=1) 1(sin 21 x lim --→x x =)1)(1() 1x )1(sin 21 x lim +-+-→x x x （ =)1x 1) 1(sin 2 21 x lim +?--→（x x =)1x 1) 1(sin lim lim 1 2 21x +?--→→（x x x )1(1lim 1 +?=→x x ＝1+1 ＝2 17、解：' ')2sin (x x y = =2 ''2sin )()2sin x x x x x -（ = 2 2sin 2cos 2x x x x - 18、解：'')]1ln [+=x y （ ＝ 1 1 +x ＝1)1(-+x '1''])1[(-+=x y 2 1 1)1(1 )1(1+- =+-=--x x 2'')12(1)2(+- =y ＝9 1 -

19、原式 解：e e x x x x x x ==+=+=∞ →?∞ →2 1 2 12 1 ])11[() 11(lim lim 20、 解：方程左右两边同时求导得 2 51211 21)25(01212546' 64'6''4++= +=+=--+?y x y x y y x y y y 四、21 解：（1）因为曲线1742=+y x 与4=x 相交于A 、B 点 所以把4=x 代入方程得 17164=+y ，1+-=y 又因为A 点位于B 点上方 所以 A(4，1)，B(4,-1) (2) 对1742=+y x 左右两边同时求导： 3 ''3' '42420 42)17()(y x y y y x y x -==+=+ 又由（1）知A （4，1），所以过点A 的切线方程斜率为 21 4423 4 1'-=??-===x y y 所以，过点A 的切线方程为)4(21--=-x y ，即 092=-+y x

高等数学第七版下册答案

高等数学第七版下册答案 篇一：同济大学《高等数学》第五版上册答案(详解) 版下高等数学2第十一章答案[1] txt>1.计算下列对弧长的曲线积分：（1） ? l ，其中l为圆周x2?y2? a2，直线 y?x 及x轴在第一象限内所围成的 扇形的整个边界； （2） ? ? x2yzds，其中?为折线abcd，这里a、b、c、d依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、 (1,0,2)、(1,3,2)； （3） ? l y2ds，其中l为摆线的一拱x?a(t?sint)，y?a(1?cost)(0?t?2?). 2. 有一段铁丝成半圆形y?，其上任一点处的线密度的大小等于该点的 纵坐标，求其质量。 解曲线l的参数方程为x?acos?,y?asin??0????? ds? ??ad? 依题意??x,y??y，所求质量m? 22 yds?asin?d??2a??l ? 习题11-2对坐标的曲线积分 1.计算下列对坐标的曲线积分：（1） ?(x l

2 ?y2)dx，其中l是抛物线y? x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； （2） (x? y)dx?(x? y)dy222 l，其中为圆周（按逆时针方向绕行）； x?y?a22?l x? y （3） ? ? xdx?ydy?( x?y?1)dz，其中?是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线； （4） ? dx?dy?ydz，其中?为有向闭折线abca，这里a、b、c依次为点(1,0,0)、 ? (0,1,0)、(0,0,1)； 2.计算 ?l (x?y)dx?(y?x)dy，其中l是： （1）抛物线y2?x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段； （3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线x?2t2 ?t?1，y?t2?1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。 3.把对坐标的曲线积分 ? l p(x,y)dx?q(x,y)dy化成对弧长的曲线积分，其中l为：（1）在xoy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)； （2）沿抛物线y?x2 从点(0,0)到点(1,1)；

《高等数学A》课程试卷)期末卷A.pdf

一、选择题（每小题 5分，共20分）1．设曲线为球面22214x y z 和平面0x y z 之交线，则曲线在点1,2,3处的法平面为（）。 （A ）514230x y z ； （B ）514230x y z ； （C ）514230x y z ； （D ）513230x y z 。 2．由球面224z x y 和锥面22z x y 所围成的区域为，则之体积是（）。 （A ）22π24000d d d r r r z ；（B ）π2π224000d d sin d ; （C ）π 2π222000d d sin d ；（D ）222 2224220d d d x x y x x y z 。 3．设是椭球面22 2 1421x y z 上半部分之外侧，则4 2 d d d d d d x y z y z x z x y 。 （A ）1 2π3；（B ）22π3；（C ）42π3；（D ）1 2π6。 4．正项级数111 123234345L 之和等于。 （A ）1；（B ）1 2；（C ）1 3；（D ）1 4。 二、填空题：（每小题5分，共20分） 1．设22,2243f x y x xy y x ，则它的最小值等于。 2．设是整个球面2229x y z ，取外侧，则dxdy z ò的值是。 3．设是螺线cos ,sin ,x a t y a t z bt 的一段，起点为,0,0a ，终点,0,4πa b ， 则2d d 1d yz x x zx y y xy z 。 学《高等数学A 》课程试卷 ＿＿＿＿＿＿学院(系)＿＿＿＿年级＿＿＿＿＿专业 主考教师：高数A 教学组试卷类型：（A 卷）2006.6.2

高等数学同济第七版上册课后答案

习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为

0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a

大一第一学期期末高数A试卷及答案

高等数学I 1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 2 2βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=--+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f ' (C) )(a f ' （D ） ) (31 a f ' 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++ - . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直 线l 的方程为 13 1211--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） . 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-.