高等数学测试题一(极限、连续)答案

高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案）

一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 当0x →+时，（A ）无穷小量。

A 1sin x x

B 1

x e C ln x D 1

sin x x

2、点1x =是函数31

1()1131x x f x x x x -

==??->?

的（C ）。

A 连续点

B 第一类非可去间断点

C 可去间断点

D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。

A 充分非必要条件

B 必要非充分条件

C 充要条件

D 无关条件

4、已知极限22

lim()0x x ax x

→∞++=，则常数a 等于（A ）。

A -1

B 0

C 1

D 2

5、极限2

01

lim cos 1

x x e x →--等于（D ）。

A ∞

B 2

C 0

D -2

二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x

→∞

-=2

e -

2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常

数A=3

3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2

1()2

x f x -=，

则函数值(0)f =0

4、 111lim[

]1223(1)

n n n →∞+++??+L =1

5、 若lim ()x f x π

→存在，且sin ()2lim ()x x

f x f x x ππ

→=

+-，则lim ()x f x π→=1

二、解答题

1、（7分）计算极限 222111

lim(1)(1)(1)23n n

→∞-

--L 解：原式=132411111

lim()()()lim 223322

n n n n n n n n →∞→∞-++???=?=L

2、（7分）计算极限 3

0tan sin lim x x x

x →-

解：原式=2

322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2

x x x x x x

x x x x x x x →→→--===

3、（7分）计算极限 1

23lim()21

x x x x +→∞++

解：原式= 11

122

11

22

21lim(1)lim(1)1212

11lim(1)lim(1)11

22

x x x x x x x x x e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++

=+?+=++ 4、（7分）计算极限

1

x e →-解：原式=201

sin 12lim 2

x x x

x →=

5、（7分）设3214

lim 1

x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值

解：因为1

lim(1)0x x →-+=，所以 3

2

1

lim(4)0x x ax x →---+=，

因此 4a = 并将其代入原式

321144(1)(1)(4)

lim lim 1011

x x x x x x x x l x x →-→---++--===++

6、（8分）设3()32,()(1)n

x x x x c x αβ=-+=-，试确定常数,c n ，使得

()()x x αβ:

解：

32221()32(1)(2)

(1)(2)3

lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x c

α→=-+=-+-+=∴==-Q 此时，()()x x αβ: 7、（7分）试确定常数a ，使得函数21sin 0()0

x x f x x

a x

x ?

>?

=??+≤?

在(,)-∞+∞内连续

解：当0x >时，()f x 连续，当0x <时，()f x 连续。

002

1

lim ()lim sin 0

lim ()lim()x x x x f x x x f x a x a +

-

→→→→===+= 所以 当0a =时，()f x 在0x =连续

因此，当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞内连续。

8、（10分）设函数()f x 在开区间(,)a b 内连续，12a x x b <<<，试证：在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使得

11221212()()()()(0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>>

证明：因为()f x 在(,)a b 内连续，12a x x b <<<，所以 ()f x 在12[,]x x 上连续，由连续函数的最大值、最小值定理知，()f x 在12[,]x x 上存在最大值M 和最小值m ，即在12[,]x x 上，()m f x M ≤≤，所以

12112212()()()()t t m t f x t f x t t M +≤+≤+，又因为 120t t +>，所以

112212

()()

t f x t f x m M t t +≤

≤+，由连续函数的介值定理知：存在

12(,)(,)c x x a b ∈?，使得

112212

()()

()t f x t f x f c t t +=+，即

11221212()()()()(0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>> 证毕。

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