数列专题复习
一、选择题
1.(广东卷)已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =225a ,2a =1,则1a = A.
2
1 B.
2
2 C. 2
D.2
2.(安徽卷)已知
为等差数列,
,则
等于
A. -1
B. 1
C. 3
D.7
3.(江西卷)公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项,
832S =,则10S 等于
A. 18
B. 24
C. 60
D. 90 .
4(湖南卷)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知23a =,611a =,则7S 等于【 】
A .13
B .35
C .49
D . 63
5.(辽宁卷)已知{}n a 为等差数列,且7a -24a =-1, 3a =0,则公差d =
(A )-2 (B )-12
(C )12
(D )2
6.(四川卷)等差数列{n a }的公差不为零,首项1a =1,2a 是1a 和5a 的等比中项,则数列的前10项之和是
A. 90
B. 100
C. 145
D. 190
7.(湖北卷)设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ],则{2
1
5+},
[
215+],2
1
5+
A.是等差数列但不是等比数列
B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
8.(湖北卷)古希腊人常用小石子在沙滩上摆
成各种性状来研究数,例如: . 他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16…
这样的
数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是
A.289
B.1024
C.1225
D.1378
9.(宁夏海南卷)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2
110m m m
a a a -++-=,2138m S -=,则m =
(A )38 (B )20 (C )10 (D )9 .
10.(重庆卷)设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =
A .2744
n n
+
B .2533
n n
+
C .2324
n n
+
D .2n n +
11.(四川卷)等差数列{n a }的公差不为零,首项1a =1,2a 是1a 和5a 的等比中项,则数列的前10项之和是
A. 90
B. 100
C. 145
D. 190 .
二、填空题
1(浙江)设等比数列{}n a 的公比12
q =,前n 项和为n S ,则44
S a = .
2.(浙江)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,则4S ,84S S -,128S S -,1612S S -成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ,则4T , , ,
1612
T T 成等比数列.
3.(山东卷)在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a .
4.(宁夏海南卷)等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1,216n n n a a a +++=,则{n a }的前4项和4S = . 三.解答题
1.(广东卷文)(本小题满分14分)已知点(1,3
1)是函数,0()(>=a a x f x 且1≠a )
的图象上一点,等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ,且前n 项和n S 满足n S -1-n S =n
S +
1+n S (2n ≥).(1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式;
(2)若数列{
}11+n n b b 前n 项和为n T ,问n T >2009
1000的最小正整数n 是多少? .
2(浙江文)(本题满分14分)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,2n S kn n =+,*n N ∈,
其中k 是常数.
(I ) 求1a 及n a ; (II )若对于任意的*m N ∈,m a ,2m a ,4m a 成等比数列,求k 的值.
3.(北京文)(本小题共13分)设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N P *=+∈>. 数列{}n b 定义如下:对于正整数m ,m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.(Ⅰ)若11,2
3
p q ==-,求3b ;
(Ⅱ)若2,1p q ==-,求数列{}m b 的前2m 项和公式;(Ⅲ)是否存在p 和q ,使得32()m b m m N *=+∈?如果存在,求p 和q 的取值范围;如果不存在,请说明理由.
参考答案:一、选择题
1.【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得()2
2841112a q a q a q ?=,即22q =,又因为等比
数列}{n a
的公比为正数,所以q =
故212a a q =
==,选B
2.【解析】∵1
35105
a
a a ++=即3
3105a
=∴335a =同理可得4
33
a
=∴公差4
32
d a
a =-=-∴
204(204)1a a d =+-?=.选B 。【答案】B
3.答案:C 【解析】由
2
437
a a a =得
2111(3)(2)(6)
a d a d a d +=++得
1230
a d +=,再由
81568322S a d =+
=得 1278a d +=则12,3d a ==-,所以10190
10602
S a d =+=,.故选C
4.解:
172677()7()7(311)49.222
a a a a S +++====故选C.
或由211
6131
5112
a a d a a a d d =+==?????=+==??, 716213.a =+?= 所以1777()7(113)49.2
2
a a S ++===故选
C.
5.【解析】a 7-2a 4=a 3+4d -2(a 3+d)=2d =-1 ? d =-12
【答案】B
6.【答案】B 【解析】设公差为d ,则)41(1)1(2d d +?=+.∵d ≠0,解得d =2,∴10S =100
7.【答案】B
【解析】可分别求得1122??
=
????
?
,1=.则等比数列性质易得三者构成等比数列.
8.【答案】C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2
n n a n =+,同理可
得正方形数构成的数列通项2n b n =,则由2n b n =()n N +∈可排除A 、D ,又由
(1)2
n n
a n =
+知n a 必为奇数,故选C.
9.【答案】C 【解析】因为{}n a 是等差数列,所以,112m m m a a a -++=,由2
110m m m
a a a -++-=,得:2m a -2m a =0,所以,m a =2,又2138m S -=,即
2
)
)(12(121-+-m a a m =38,即(2m
-1)×2=38,解得m =10,故选.C 。
10.【答案】A 解析设数列{}n a 的公差为d ,则根据题意得(22)22(25)d d +=?+,
解得1
2
d =或0d =(舍去),所以数列{}n a 的前n 项和2(1)1722244n n n n n S n -=+?=+ 11.【答案】B 【解析】设公差为d ,则)41(1)1(2d d +?=+.∵d ≠0,解得d =2,∴10S =100 二、填空题
1.【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式,通过对
数列知识点的考查充分体现了通项公式和前n 项和的知识联系.
【解析】对于443
1444134(1)1,,151(1)
a q s q s a a q q a q q --==∴==-- .
2.答案: 81248
,T T T T 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查
了数列中等差数列和等比数列的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力.
3.【解析】:设等差数列}{n a 的公差为d ,则由已知得??
?
++=+=+6472111d a d a d a 解得132
a d =??
=?,所以61513a a d =+=. 答案:13.【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.
4.【答案】152
【解析】由216n n n a a a +++=得:116-+=+n n
n q q q ,即062=-+q q ,0q >,解
得:q =2,又2a =1,所以,112a =,2
1)
21(21
44--=S =152。
三、解答题
1.【解析】(1)()113f a ==Q ,()13x
f x ??
∴= ???
()1113a f c c =-=- ,()()221a f c f c =---????????2
9
=-, ()()32
3227
a f c f c =---=-???????? . 又数列{}n a 成等比数列,2
213421
81233
27
a a c a ===-=-- ,所以 1c =;
又公比2113a q a ==,所以1
2112333n n
n a -??
??
=-=- ? ?
??
??
*n N ∈ ;
1n n S S --=
=Q ()2n ≥
又0n b >
0>
, 1=;
数列构成一个首相为1公差为1
()111n n =+-?=
, 2n S n =
当2n ≥,
()2
21121n n n b S S n n n -=-=--=-
;
21n b n ∴=-(*n N ∈);
(2)12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++L ()1111133557
(21)21n n =++++???-?+K
1111111111112323525722121n n ????????=-+-+-++- ? ? ? ?-+????????K 11122121
n
n n ??=-= ?++??; 由1000
212009n n T n =
>
+得10009n >,满足10002009
n T >的最小正整数为112.
2.解析:(Ⅰ)当1,111+===k S a n ,
12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n (*) 经验,,1=n (*)式成立, 12+-=∴k kn a n (Ⅱ)m m m a a a 42,, 成等比数列,m m m a a a 422.=∴,
即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ,整理得:0)1(=-k mk , 对任意的*∈N m 成立, 10==∴k k 或
3.解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、
分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题. (Ⅰ)由题意,得112
3
n a n =-,解1132
3
n -≥,得203
n ≥. .
∴1132
3
n -≥成立的所有n 中的最小整数为7,即37b =.
(Ⅱ)由题意,得21n a n =-, 对于正整数,由n a m ≥,得12
m n +≥.
根据m b 的定义可知
当21m k =-时,()*m b k k N =∈;当2m k =时,()*1m b k k N =+∈. ∴()()1221321242m m m b b b b b b b b b -++
+=++
++++
+
()()1232341m m =+++
+++++
++????
()()213222
m m m m m m ++=
+=+. (Ⅲ)假设存在p 和q 满足条件,由不等式pn q m +≥及0p >得m q n p
-≥.
∵32()m b m m N *=+∈,根据m b 的定义可知,对于任意的正整数m 都有
3132m q
m m p
-+<
≤+,即()231p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立.
当310p ->(或310p -<)时,得31p q
m p +<--(或231
p q m p +≤--),
这与上述结论矛盾!
当310p -=,即13
p =时,得2103
3
q q --≤<--,解得213
3
q -≤<-.
∴ 存在p 和q ,使得32()m b m m N *=+∈;
p 和q 的取值范围分别是13
p =,213
3
q -≤<-. .
2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S n +2?S n =36,则n = A .5 B .6 C .7 D .8 【答案】D 【解析】解法一:由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+,S n +2=(n +2)2,由S n +2?S n =36得,(n +2)2?n 2=4n +4=36,所以n =8. 解法二:S n +2?S n =a n +1+a n +2=2a 1+(2n +1)d =2+2(2n +1)=36,解得n =8.所以选D . 【易错点】对S n +2?S n =36,解析为a n +2,发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中,若28641,2a a a a ==+,则a 6的值是________. 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0),∵a 2=1,则由8642a a a =+得6422q q q =+,即42 20q q --=,解得q 2=2, ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差(比)数列基本量的计算是解决等差(比)数列题型时的基础方法,在高考中常有所体现,多以选择题或填空题的形式呈现,有时也会出现在解答题的第一问中,属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路: (1)设基本量a 1和公差d (公比q ). (2)列、解方程组:把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量.
专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 答案部分 2019年 1.解析:对于B ,令2 104x λ-+=,得12 λ=, 取112a = ,所以211 ,,1022n a a ==
所以54 65109 323232a a a a a a ?>???> ???? ?>??M ,所以6 10432a a ??> ???,所以107291064a > >故A 正确.故选A . 2.解析:(1)设数列{}n a 的公差为d ,由题意得 11124,333a d a d a d +=+=+, 解得10,2a d ==. 从而* 22,n a n n =-∈N . 由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得 () ()()2 12n n n n n n S b S b S b +++=++. 解得()2 121n n n n b S S S d ++= -. 所以2* ,n b n n n =+∈N . (2 )*n c n = ==∈N . 我们用数学归纳法证明. ①当n =1时,c 1=0<2,不等式成立; ②假设() *n k k =∈N 时不等式成立,即12h c c c +++ 近几年全国卷高考文科 数列高考题汇总 Company Document number:WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 数列高考题 近几年全国高考文科数学数列部分考题统计及所占分值 一.选择题 1. [2015.全国I 卷.T7]已知{}n a 是公差为1的等差数列,{}n n S a n 为的前项和,8S =44S ,则 10a =( ) A . 172 B .19 2 C .10 D .12 2.[2015.全国II 卷.T5]设n S 等差数列{}n a 的前n ,项和。若1353a a a ++=,则5S =( ) A .5 B .7 C .9 D .11 3.[2015.全国II 卷.T9]已知等比数列{}n a 满足11 4 a =,35a a = 44(1)a -,则2a =( ) A .2 B .1 C .12 D .18 4.[2014.全国II 卷.T5]等差数列{}n a 的公差为2,若2a ,4a ,8a 成等比数列,则{}n a 的前n 项 n S =( )A .()1n n + B .()1n n - C . ()12 n n + D . ()12 n n - 5.[2013.全国I 卷.T6]设首项为1,公比为2 3 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( ) A .21n n S a =- B .32n n S a =- C .43n n S a =- D .32n n S a =- 6.[2012.全国卷.T12]数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为( ) A .3690 B .3660 C .1845 D .1830 二.填空题 全国文科数列 1.数列的概念和简单表示法 (1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式). (2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 2.等差数列、等比数列 (1) 理解等差数列、等比数列的概念. (2) 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式. (3) 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 并能用等差数列、等比数列有关知识解决相应的问题. (4) 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷文科) (17)(本小题满分12分) 已知等比数列{}n a 中,113a = ,公比13q =. (I )n S 为{}n a 的前n 项和,证明:12 n n a S -= (II )设31323log log log n n b a a a =+++L ,求数列{}n b 的通项公式. 2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)数学(文科) (12)数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{n a }的前60项和为D (A )3690 (B )3660 (C )1845 (D )1830_ (14)等比数列{n a }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q =___-2____ 2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 (6)设首项为1,公比为23 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( D ) (A )21n n S a =- (B )32n n S a =- (C )43n n S a =- (D )32n n S a =- (17)(本小题满分12分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =,55S =-。 (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列2121 1{}n n a a -+的前n 项和。 解:(17)(1)设{a n }的公差为d ,则S n =1(1)2 n n na d -+。 由已知可得111330,1, 1.5105,a d a d a d +=?==-?+=-?解得 {}n =2-.n a a n 故的通项公式为 (2)由(I )知212111111(),(32)(12)22321 n n a a n n n n -+==----- 从而数列21211n n n a a -+?????? 的前项和为1111111-+-++)2-1113232112n n n n -=---L (. 2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标I 文科卷) (17)(本小题满分12分) 已知{}n a 是递增的等差数列,2a ,4a 是方程2 560x x -+=的根。 (I )求{}n a 的通项公式; (II )求数列2n n a ?????? 的前n 项和. 数列 1(2017山东文)(本小题满分12分) 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) {}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ??????的前n 项和n T . 2(2017新课标Ⅰ文数)(12分) 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求S n ,并判断S n +1,S n ,S n +2是否成等差数列。 3((2017新课标Ⅲ文数)12分) 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=K . (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列21n a n ????+?? 的前n 项和. 4(2017浙江)(本题满分15分)已知数列{x n }满足:x 1=1,x n =x n +1+ln(1+x n +1)(n N *∈). 证明:当n N *∈时, (Ⅰ)0<x n +1<x n ; (Ⅱ)2x n +1? x n ≤12 n n x x +; (Ⅲ)112 n -≤x n ≤212n -. 112()2 n n n n x x x x n *++-≤∈N . 5(2017北京理)(本小题13分) 设{}n a 和{}n b 是两个等差数列,记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???, 其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数. (Ⅰ)若n a n =,21n b n =-,求123,,c c c 的值,并证明{}n c 是等差数列; (Ⅱ)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n m ≥时, n c M n >;或者存在正整数m ,使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列. 6(2017新课标Ⅱ文)(12分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的前n 项和为n T ,11221,1,2a b a b =-=+=. (1)若335a b +=,求{}n b 的通项公式; (2)若321T =,求3S . 7(2017天津文)(本小题满分13分) 已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*()n S n ∈N ,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于 0, 专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 答案部分 2019年 1.解析 (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q , 依题意得2 662,6124q d q d =+?? =+?解得3 .2d q =??=? 故14(1)331, 6232n n n n a n n b -=+-?=+=?=?. 所以,{}n a 的通项公式为(){}31, n n a n n b *=+∈N 的通项公式为() 32n n b n *=?∈N . (Ⅱ)(i )()()()() 22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=?+?-=?-. 所以,数列(){} 221n n a c -的通项公式为()() 221941n n n a c n *-=?-∈N . (ii ) ()()22221 1 1 1 2211n n n n i i i i i i i i i i i i c a c a a c a a ====-??=+-=+??∑∑∑∑ () () 12212439412n n n n i i =??- ?=?+?+?- ??? ∑ ( )( )21 1 41432 52 914 n n n n ---=?+?+? -- ()211* 2725212 n n n n --=?+?--∈N . 2010-2018年 1.【解析】∵113 n n a a +=-,∴{}n a 是等比数列 又243a =-,∴14a =,∴()1010101413313113 S -????-- ? ? ?????==-+ ,故选C . 2.D 【解析】由数列通项可知,当125n 剟,n N +∈时,0n a …,当2650n 剟, n N +∈ 时,0n a …,因为1260a a +>,2270a a +>???∴1250,,,S S S ???都是 1.(本题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =, (1)证明:数列{}n a 是等比数列; (2)若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=,12b =,求数列{}n b 的通项公式. 2.(本小题满分12分) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式; (Ⅱ)设b n=(4﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n. 5.已知数列{a n}满足,,n∈N×. (1)令b n=a n+1﹣a n,证明:{b n}是等比数列; (2)求{a n}的通项公式. 1.解:(1)证:因为34-=n n a S (1,2,)n =,则3411-=--n n a S (2,3,)n =, 所以当2n ≥时,1144n n n n n a S S a a --=-=-, 整理得14 3 n n a a -= . 5分 由34-=n n a S ,令1n =,得3411-=a a ,解得11=a . 所以{}n a 是首项为1,公比为4 3 的等比数列. 7分 (2)解:因为14 ()3 n n a -=, 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=,得114 ()3 n n n b b -+-=. 9分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b =1)34(33 41)34(1211 -=--+--n n , (2≥n ), 当n=1时也满足,所以1)3 4 (31-=-n n b . 2.解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由23269a a a =得32 34 9a a =所以21 9 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=,所以113 a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。 (Ⅱ )111111log log ...log n b a a a =+++ (12...) (1) 2 n n n =-++++=- 故 12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311 n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 历年数列高考题汇编 1、(全国新课标卷理) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ?? ??的前项和. 解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由 2 3 26 9a a a =得 3234 9a a =所以 21 9q = .有条件可知a>0,故 13q = . 由 12231 a a +=得 12231 a a q +=,所以 113a = .故数列{a n }的通项式为a n =13n . (Ⅱ ) 111111 log log ...log n b a a a =+++ (12...)(1)2 n n n =-++++=- 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n - + 2、(全国新课标卷理)设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=g (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S 解(Ⅰ)由已知,当n ≥1时, 111211 [()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L 21233(222)2n n --=++++L 2(1)12n +-=. 而 12, a =所以数列{ n a }的通项公式为 21 2n n a -=. (Ⅱ)由 21 2n n n b na n -==?知 3521 1222322n n S n -=?+?+?++?L ① 从而 235721 21222322n n S n +?=?+?+?++?L ② ①-②得 2352121 (12)22222n n n S n -+-?=++++-?L . 即 211 [(31)22] 9n n S n +=-+ 3.设}{n a 是公比大于1的等比数列,S n 为数列}{n a 的前n 项和.已知S 3=7,且 a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列.(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)令Λ2,1,ln 13==+n a b n n ,求数列}{n b 的前n 项和T n . . 4、(辽宁卷)已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10 欢迎共阅 数列高考题 近几年全国高考文科数学数列部分考题统计及所占分值 二.填空题 7.[2015.全国I 卷.T13]在数列{}n a 中,1n 1n 2,2a a a +==,n S 为{}n a 的前n 项和。若-n S =126,则n =. 8.[2014.全国II 卷.T14]数列{}n a 满足121 ,21n n a a a += =-,则1a = 9.[2013.北京卷.T11]若等比数列{}n a 满足2420a a +=,3540a a +=,则公比q =;前n 项和n S =。 10.[2012.全国卷.T14]等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若32S 3S 0+=,则公比q = 11.[2012.北京卷.T10]已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若2 1 1= a ,23S a =,则2a =,n S =_______。 12.[2011.北京卷.T12]在等比数列{}n a 中,若141 ,4,2 a a ==则公比q =;12n a a a ++?+=. 13.[2009.北京卷.T10]若数列{}n a 满足:111,2()n n a a a n N *+==∈,则5a =;前8项的和8S =.(用数字作答) 三.解答题 14.[2016.全国II 卷.T17](本小题满分12分) 等差数列{}n a 其中[]x 表示不超过x 15.[2016.全国(I )求23,a a ; (II )求{}n a 15.[2016.北京卷已知{}n a (Ⅰ)求{}n a (Ⅱ)设n n c a =16.[2015.北京卷(Ⅰ)求{a (Ⅱ)设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.问:6b 与数列{}n a 的第几项相等? 17.[2014.全国I 卷.T17](本小题满分12分) 已知{}n a 是递增的等差数列,2a ,4a 是方程2560x x -+=的根。 (I )求{}n a 的通项公式; (II )求数列2n n a ?? ???? 的前n 项和. 数列高考题 近几年全国高考文科数学数列部分考题统计及所占分值 2016 年2015 年2014 年2013 年2012 年2011 年2010 年 I 卷II 卷III 卷I 卷II 卷I 卷II 卷I 卷II 卷 题号17 17 17 7、13 5、9 17 5、16 6、17 17 12、14 17 17 分值12 分12 分12 分10 分10 分12 分10 分17 分12 分10 分12 分12 分一.选择题 1. [2015.全国I 卷.T7]已知{a n} 是公差为 1 的等差数列,S n为{a n}的前n项和,S8 =4 S4 ,则a10 =( ) A.17 2 B. 19 2 C.10 D.12 2.[2015. 全国II 卷.T5]设S n 等差数列{ a n } 的前n,项和。若a1 a3 a5 3 ,则S5 =() A.5 B.7 C.9 D.11 1 3.[2015. 全国II 卷.T9]已知等比数列{a n} 满足a1 ,a3a5 = 4(a4 1) ,则a2 =() 4 A.2 B.1 C.1 2 D. 1 8 4.[2014. 全国II 卷.T5]等差数列a n 的公差为2,若a2 ,a4 ,a8 成等比数列,则a n 的前n项S n =() A.n n 1 B.n n 1 C.n n 2 1 D. n n 2 1 5.[2013. 全国I 卷.T6]设首项为1,公比为2 3 的等比数列{a } 的前n项和为 n S ,则() n A.S n 2a n 1 B.S n 3a n 2 C.S n 4 3a n D.S n 3 2a n 6.[2012. 全国卷.T12]数列a n 满足n a +- a =n-,则a n 的前60 项和为() n n 1 ( 1) 2 1 A.3690 B.3660 C.1845 D.1830 二.填空题 7.[2015. 全国I 卷.T13]在数列a n 中,a a a , S n 为 1 2, n 1 2 n a 的前n 项和。若- S n =126,则n n = . 1 8.[2014. 全国II 卷.T14]数列{a n} 满足 1 2 a ,a 2 n 1 a n ,则a1 = 1. (福建卷)已知等差数列 }{n a 中,12497,1,16a a a a 则==+的值是( ) A .15 B .30 C .31 D .64 2. (湖南卷)已知数列 }{n a 满足 ) (1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+,则 20a = ( ) A .0 B .3- C .3 D .23 3. (江苏卷)在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3 ,前三项和为21,则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列,则( ) (A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a L 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠,则( ) (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 6. (山东卷) {}n a 是首项1a =1,公差为d =3的等差数列,如果n a =2005,则序号n 等于( ) (A )667 (B )668 (C )669 (D )670 7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2,且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39,则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4; (B) 5; (C) 6; (D) 7。 8. (湖北卷)设等比数列 }{n a 的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数列,则q 的值为 . 9. (全国卷II ) 在83和27 2之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为______ 10. (上海)12、用n 个不同的实数 n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列,每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。 对第i 行in i i a a a ,,,21Λ,记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=,!,,3,2,1n i Λ=。例如:用1,2,3可得数阵 如图,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以,2412312212621-=?-?+-=+++b b b Λ,那么,在 用1,2,3,4,5形成的数阵中, 12021b b b +++Λ=_______。 11. (天津卷)在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且 )( )1(12* +∈-+=-N n a a n n n , 高考数列选择题部分 (2016全国I )(3)已知等差数列{}n a 前9项的和为27,10=8a ,则100=a (A )100 (B )99 (C )98 (D )97 (2016上海)已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列条 件中,使得() * ∈ 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ,(P Q P Q ≠表示点与不重合). 若1n n n n n n n d A B S A B B +=,为△的面积,则 A .{}n S 是等差数列 B .2 {}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 1.【2015高考重庆,理2】在等差数列{}n a 中,若2a =4,4a =2,则6a = ( ) A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 2.【2015高考福建,理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的 零点,且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p q + 的值等于( ) A .6 B .7 C .8 D .9 3.【2015高考北京,理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是( ) A .若120a a +>,则230a a +> B .若130a a +<,则120a a +< C .若120a a <<,则2a > D .若10a <,则()()21230a a a a --> 4.【2015高考浙江,理3】已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S ,若3a , 4a ,8a 成等比数列,则( ) A. 历年高考《数列》真题汇编 1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中,113a =,公比13q =. (I )n S 为{}n a 的前n 项和,证明:12n n a S -= (II )设31323log log log n n b a a a =+++L ,求数列{}n b 的通项公式. 解:(Ⅰ)因为.31)31(311n n n a =?=-,23113 11)311(3 1n n n S -=--= 所以,2 1n n a S -- (Ⅱ)n n a a a b 32313log log log +++=Λ ).......21(n +++-= 2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2 )1(+-=n n b n 2、(2011全国新课标卷理) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?????? 的前项和. 解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由23269a a a =得32349a a =所以219 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=,所以113a = 。故数列{a n }的通项式为a n =13n 。 (Ⅱ )111111log log ...log n b a a a =+++ 故12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 所以数列1{ }n b 的前n 项和为21n n -+ 3、(2010新课标卷理) 2017年高考试题分类汇编(数列) 考点1 等差数列 1.(2017·全国卷Ⅰ理科)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=, 648S =,则{}n a 的公差为 C A .1 B .2 C .4 D .8 2.(2017·全国卷Ⅱ理科)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则 11n k k S ==∑ . 21n n + 3.(2017·浙江)已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是 “465+2S S S >”的 C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点2等比数列 1.(2017·全国卷Ⅲ理科)设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-,则 4a =____.8- 2.(2017·江苏卷)等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知 374S = ,6634 S =,则8a = . 32 3.(2017·全国卷Ⅱ理科)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远 望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是: 一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍, 则塔的顶层共有灯 B A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏 考法3 等差数列与等比数列综合 1.(2017·全国卷Ⅲ理科)等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0.若2a ,3a , 6a 成等比数列,则{}n a 前6项的和为 A A .24- B .3- C .3 D .8 历年数列高考题大全答 案 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 历年高考《数列》真题汇编 1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中,113 a =,公比1 3q =. (I )n S 为{}n a 的前n 项和,证明:12n n a S -= (II )设31323log log log n n b a a a =++ +,求数列{}n b 的通项公式. 解:(Ⅰ)因为.31)3 1 (311 n n n a =?=-,23113 11)311(3 1n n n S -=--= 所以,2 1n n a S -- (Ⅱ)n n a a a b 32313log log log +++= ).......21(n +++-= 2 ) 1(+- =n n 所以}{n b 的通项公式为.2 ) 1(+- =n n b n 2、(2011全国新课标卷理) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由23269a a a =得32349a a =所以21 9 q = 。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=,所以113a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。 (Ⅱ?)111111log log ...log n b a a a =+++ 故 1211 2()(1)1 n b n n n n =-=--++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21 n n -+ 3、(2010新课标卷理) 设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= 专题六 数列 第十五讲 等差数列 2019年 1. (2019全国Ⅰ文18)记S n 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知95S a =-. (1)若34a =,求{}n a 的通项公式; (2)若10a >,求使得n n S a ≥的n 的取值范围. 2. (2019全国Ⅲ文14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若375,13a a ==,则10S =___________. 3.(2019天津文18)设{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,公比大于0,已知113a b ==,23b a = ,3243b a =+. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)设数列{}n c 满足21,,,n n n c b n ??=???奇偶为数为数求()* 112222n n a c a c a c n N +++∈L . 4.(2019江苏8)已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若 25890,27a a a S +==,则8S 的值是 . 2010-2018年 一、选择题 1.(2017浙江)已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >” 是“465+2S S S >”的 A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 2.(2015新课标2)设n S 是数列}{n a 的前n 项和,若3531=++a a a ,则=5S A .5 B .7 C .9 D .1 3.(2015新课标1)已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若844S S =, 则10a = A .172 B .192 C .10 D .12 4.(2014辽宁)设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列1{2}n a a 为递减数列,则 A .0d < B .0d > C .10a d < D .10a d > 5.(2014福建)等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若132,12a S ==,则6a = A .8 B .10 C .12 D .14 6.(2014重庆)在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=,则7a = A .5 B .8 C .10 D .14 7.(2013新课标1)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1m S -=-2,m S =0,1m S +=3,则m = A .3 B .4 C .5 D .6 8.(2013辽宁)下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题: {}1:n p a 数列是递增数列; {}2:n p na 数列是递增数列; 3:n a p n ?????? 数列是递增数列; {}4:3n p a nd +数列是递增数列; 其中的真命题为 A .12,p p B .34,p p C .23,p p D .14,p p 9.(2012福建)等差数列{}n a 中,1510a a +=,47a =,则数列{}n a 的公差为 A .1 B .2 C .3 D .4 10.(2012辽宁)在等差数列{}n a 中,已知48+=16a a ,则该数列前11项和11=S A .58 B .88 C .143 D .176 11.(2011江西)设{}n a 为等差数列,公差2d =-,n s 为其前n 项和,若1011S S =,则1a = A .18 B .20 C .22 D .24 文科数列大纲版试题 1、(08)已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=,,则7a = 2、(08)在数列{}n a 中,11a =,122n n n a a +=+. (Ⅰ)设12 n n n a b -= .证明:数列{}n b 是等差数列; (Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S . 3、(08)等差数列{}n a 中,410a =且3610a a a ,,成等比数列,求数列{}n a 前20项的和20S . 4、(09)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若972S =,则249a a a ++=_______________. 5、(09)设等差数列{n a }的前n 项和为n s ,公比是正数的等比数列{n b }的前n 项和为n T , 已知1133331,3,17,12,},{}n n a b a b T S b ==+=-=求{a 的通项公式. 6、(09)设等比数列{n a }的前n 项和为n s 。若3614,1s s a ==,则4a = 7、(09)已知等差数列{n a }中,,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s . 8、(10)已知各项均为正数的等比数列{n a },123a a a =5,789a a a =10,则456a a a = 9、(10)记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,设312S =,且1232,,1a a a +成等比数列,求n S . 10、(10)如果等差数列{}n a 中,3a +4a +5a =12,那么1a +2a +?…+7a = 11、(10)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且 1212112()a a a a +=+,345345 11164()a a a a a a ++=++ (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设21()n n n b a a =+ ,求数列{}n b 的前n 项和n T 。 12、(11)设n S 为等差数列的前n 项和,若11a =,公差2,d =,224,k k S S +-=则k= (A )8 (B )7 (C )6 (D)5 13、(11)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知26a =,13630a a +=,求n a 和n S 。 14、(12)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,112,1+==n n a S a ,则n S = 。 15、(12)已知数列{}n a 中,,11=a 前n 项的和n n a n S 3 2+=。 数列高考真题全国卷文 科 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】 数列(2011-2015全国卷文科) 一.等差数列、等比数列的基本概念与性质 (一)新课标卷 1.(201 2.全国新课标12)数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为( ) (A )3690 (B )3660 (C )1845 (D )1830 2.(2012.全国新课标14)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若S 3+3S 2=0,则公比q =_____-2 (二)全国Ⅰ卷 1.(2013.全国1卷6)设首项为1,公比为 3 2 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( ) (A )n S =2a n -1 (B )n S =3a n -2 (C )n S =4-3a n (D ) n S =3-2a n 2.(2015.全国1卷7)已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若844S S =,则10a =( ) (A ) 172 (B )19 2 (C )10 (D )12 3.(2015.全国1卷13)数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和,若 126n S =,则n = . 6 (三)全国Ⅱ卷 1.(2014.全国2卷5)等差数列{}n a 的公差为2,若2a ,4a ,8a 成等比数列, 则{}n a 的 前n 项和n S =( ) (A ) ()1n n + (B )()1n n - (C ) ()12 n n + (D) ()12 n n -近几年全国卷高考文科数列高考题汇总
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