高三数学考试卷-含答案
高三数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B =U
（A ）{|13}x x -<<
（B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x <<
（D ）{|23}x x << 2．在复平面内，复数
2i 1i -对应的点的坐标为 （A ）(1,1) （B ）(1,1)- （C ）(1,1)-- （D ）(1,1)-
3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是
（A ）1y x =-+ （B ）2(1)y x =- （C ）sin y x = （D ）1
2y x = 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为
（A ）2
（B ）6
（C ）30
（D ）270
5．若12
2log log 2a b +=，则有 （A ）2a b = （B ）2b a = （C ）4a b = （D ）4b a =
6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的
三视图如图所示，则截去．．
的几何体是 （A ）三棱锥 （B ）三棱柱 （C ）四棱锥 （D ）四棱柱
7．函数()sin()f x x ?=+的图象记为曲线C ．则“(0)(π)f f =”是“曲线C 关于直线π2x =
对称”的
（A ）充分而不必要条件
（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件 8．已知A ，B 是函数2x y =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =
的距离相等， 则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是
（A ）(,1)-∞-
（B ）(,2)-∞- （C ）(,3)-∞- （D ）(,4)-∞-
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．若函数()()f x x x b =+是偶函数，则实数b =____．
10．已知双曲线22
221x y a b
-=的一个焦点是(2,0)F
，其渐近线方程为y =，该双曲线的方程是____．
11．向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格
的边长为1，那么?=a b ____．
12．在△ABC 中，3a =，3
C 2π∠=
，△ABC
，则b =____；c =____． 13．已知点(,)M x y 的坐标满足条件10,10,10.x x y x y -??+-??-+?
≤≥≥设O 为原点，则OM 的最小值是____．
14．已知函数2,2,()1, 3.x x x c f x c x x
?+-?=?
-，则实数c 的取值范围是____．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分） 已知函数2π()2sin cos(2)3
f x x x =-+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1()2
f x -≥．
16．（本小题满分13分）
已知数列{}n a 是公比为13
的等比数列，且26a +是1a 和3a 的等差中项． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，求n T 的最大值．
17．（本小题满分13分）
某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A ，B 两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为1A 的学生中有40%是男生，等级为2A 的学生中有一半是女生．等级为1A 和2A 的学生统称为A 类学生，等级为1B 和2B 的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图．
表1 图2
（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A 类学生的人数； （Ⅱ）某5人得分分别为45,50,55,75,85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组
成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生”的概率；
（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B 类女生占女生总数的比例为1k ，B
类男生占男生总数的比例为2k ．判断1k 与2k 的大小．（只需写出结论）
18．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，1AA AC =.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F .
（Ⅰ）求证：1A C ⊥平面1ABC ；
（Ⅱ）求证：1//A A EF ；
（Ⅲ）记四棱锥11B AA EF -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为V .若
116V V =，求BF BC
的值.
19．（本小题满分14分） 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>过(2,0)A ，(0,1)B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；
（Ⅱ）设点Q 在椭圆C 上．试问直线40x y +-=上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平
行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分13分）
已知函数2()ln 2f x x x x =-．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为
(2)(1)f f -；
（Ⅲ）比较(1.01)f 与 2.01-的大小，并加以证明．
北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末
高三数学（文科）参考答案及评分标准
2018.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．A 2．B 3．D 4．C
5．C6．B 7．C8．B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．010．2
2
13y x -=11．4
12．11314．1[,)4-+∞；1[,1]2
注：第12，14题第一空2分，第二空3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)3
f x x x =-+
ππ1cos2(cos2cos sin 2sin )33
x x x =--?-?[ 4分]
32cos2122
x x =-+[ 5分] π
)13
x -+， [ 7分] 所以()f x 的最小正周期2ππ2T =
=． [ 8分] （Ⅱ）因为π2x ≤≤0，所以ππ2π2333
x --≤≤．[10分]
所以 ππsin(2)sin()33x --=≥，[12分] 所以1()2
f x -≥．[13分]
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为26a +是1a 和3a 的等差中项，
所以2132(6)a a a +=+．[ 2分]
因为数列{}n a 是公比为13
的等比数列， 所以1112(6)39
a a a +=+，[ 4分] 解得127a =．[ 6分] 所以1411()3
n n n a a q --=?=．[ 8分] （Ⅱ）令1n a ≥，即41()13
n -≥，得4n ≤，[10分] 故正项数列{}n a 的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1．[11分] 所以当3n =，或4n =时，n T 取得最大值，[12分]
n T 的最大值为34123729T T a a a ==??=．[13分]
17．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）依题意得，样本中B 类学生所占比例为(0.020.04)1060%+?=，[ 2分]
所以A 类学生所占比例为40%．[ 3分]
因为全市高中学生共20万人，
所以在该项测评中被评为A 类学生的人数约为8万人．[ 4分] （Ⅱ）由表1得，在5人（记为,,,,a b c d e ）中，B 类学生有2人（不妨设为,b d ）． 将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种．[ 6分]
依次为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),
ab cde ac bde ad bce ae bcd bc ade bd ace be acd cd abe (,),(,)ce abd de abc ．[ 8分]
所以“甲、乙两组各有一名B 类学生”的概率为63105
=．[10分] （Ⅲ）12k k <．[13分]
18．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面11AA C C ，所以1A C AB ⊥．[2分]
在三棱柱111ABC A B C -中，因为1AA AC =，所以四边形11AA C C 为菱形， 所以 11A C AC ⊥．[3分]
所以1A C ⊥平面1ABC ．[5分]
（Ⅱ）在三棱柱111ABC A B C -中，
因为11//A A B B ，1A A ?平面11BB C C ，[6分]
所以1//A A 平面11BB C C ．[8分]
因为平面1AA EF I 平面11BB C C EF =，
所以1//A A EF ．[10分]
（Ⅲ）记三棱锥1B ABF -的体积为2V ，三棱柱11ABF A B E -的体积为3V .
因为三棱锥1B ABF -与三棱柱11ABF A B E -同底等高，
所以
2313V V =，[11分] 所以 1233213
V V V V =-=.
因为 116
V V =， 所以 3131624V V =?=.[12分] 因为三棱柱11ABF A B E -与三棱柱111ABC A B C -等高，
所以△ABF 与△ABC 的面积之比为
14，[13分] 所以
14
BF BC =．[14分]
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =．[ 2分]
所以椭圆C 的方程为2
214x y +=．[ 3分]
设椭圆C 的半焦距为c ，则c ==[ 4分]
所以椭圆C 的离心率c e a =
=[ 5分]
（Ⅱ）由已知，设(,4)P t t -，00(,)Q x y ．[ 6分] 若PAQB 是平行四边形，则PA PB PQ +=u u u r u u u r u u u r ，[ 8分]
所以00(2,4)(,3)(,4)t t t t x t y t --+--=--+，
整理得002, 3x t y t =-=-．[10分]
将上式代入220044x y +=，
得22(2)4(3)4t t -+-=，[11分]
整理得2528360t t -+=， 解得185
t =
，或2t =．[13分] 此时182(,)55
P ，或(2,2)P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形， 所以存在182(,)55P ，或(2,2)P 满足题意．[14分]
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）函数2()ln 2f x x x x =-的定义域是(0,)+∞，
导函数为()2ln 2f x x x x '=+-．[ 1分]
所以(1)1f '=-，又(1)2f =-，
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =--．[ 3分] （Ⅱ）由已知(2)(1)4ln 22f f -=-．[ 4分]
所以只需证明方程2ln 24ln22x x x +-=-在区间(1,2)有唯一解． 即方程2ln 4ln20x x x +-=在区间(1,2)有唯一解．[ 5分] 设函数()2ln 4ln 2g x x x x =+-，[ 6分]
则()2ln 3g x x '=+．
当(1,2)x ∈时，()0g x '>，故()g x 在区间(1,2)单调递增．[ 7分] 又(1)14ln 20g =-<，(2)20g =>，
所以存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0g x =．[ 8分]
综上，存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为 (2)(1)f f -．[9分]
（Ⅲ）(1.01) 2.01f >-．证明如下：[10分]
首先证明：当1x >时，()1f x x >--．
设2()()(1)ln 1h x f x x x x x =---=-+，[11分]
则()2ln 1h x x x x '=+-．
当1x >时，10x ->，2ln 0x x >，
所以()0h x '>，故()h x 在(1,)+∞单调递增，[12分]
所以1x >时，有()(1)0h x h >=，
即当1x >时，有()1f x x >--．
所以(1.01) 1.011 2.01f >--=-．[13分]