应用斯涅尔公式求解最速下降曲线问题研究

１６９６年，Ｊｏｈａｎｎ　Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ（１６６７～１７４８）年提出最速下降曲线的问题：设有Ａ、Ｂ两点，Ｂ点的高低较Ａ点低，但不再Ａ点的正下方。假定Ａ、Ｂ之间连有一曲线轨道，而让一个刚性小球沿着轨道由Ａ点降到Ｂ点。如果不考虑摩擦力，那么什么样的曲线会使得下降所需的时间最短？［１］——这就是最速下降曲线问题（也叫摆线问题）。

最速下降曲线是一类求极值问题，但他与初等微积分求某个函数在自变量处取极值不同，它寻找的是众多函数中的一个，使得相应的数值为最大或最小。它是一类自变量为函数的函数的极值问题，即变分问题［２］。变分问题的求解较为复杂，本文从理论推导入手，得出求解该类问题的一种数值算法。

本文第２节建立最速下降曲线的物理模型，在应用数学理论求解过程中得出最速下降曲线满足斯涅尔公式的结论；第３节提出应用斯涅尔公式的求解最速下降曲线的数值算法；第４节分析计算结果并讨论几种特殊最速下降曲线；第５节得出本文的总结提出优化及后期工作问题；第６节给出算法的实现。

１　最速下降曲线物理模型的求解过程

问题的提出：Ａ点与Ｂ点不在同一铅垂线上，有质量为ｍ的刚性小球，从Ａ点以零初始速度沿曲线路径下滑到Ｂ点，忽略阻力。求下滑时间最短的一条路径（即最速下降曲线）。Ａ点坐标，Ｂ点坐标如图１。

假设任意

下降路径为

（１）

y (x )满足条件y (0)=0，y (x n )

=y n ，

（２）

当小球落到位置时所具有的速度为，重

力加

速度为

（３） （４）

曲线微积分中

有

（５）

由公式（４）（５）得出

（６）

小球总下降时长T

[y(x)]

有

，

，

（７）

求特殊

的一条曲

线

，使得

取极小值，这条曲线

就是我们要找的最速下降曲线。

要使泛函公式（７）在处取得极

值，即变分为零

（８）

参考图二将

连续的曲线离散化为n+1个点，第ｉ点的坐标为(xi,yi )￡?i=0，１，１，２．．．n 。设定y 0,y 1……y i ……y n 为已知数x 0,x 1……x i

(x)

n ，只要计算未知数，即

可确定曲线

，将求曲线问题转换为求x 0,x 1……x i ……x n

问题。

将公式（

７）

用差分方程表示为

（９）

公式（９）存在极值的条件

，

i=1,

2......n －１ （１０）

（９）式代入（１０）式得

（１１）

（１２）

　（１３）

（１４）

（１５）

公式（１２）（１３）（１４）（１５）带入公式（１１）得出

（１６）公式（１６）即是光学原理中的斯涅尔公

式［３］

。得出结论，沿着最速下降曲线运动的小球，在任何一点的入射角正弦与出射角正弦的比值等于入射速度与出射速度的比值。一种特殊情况，当sina i 接近１时，假设小球继续下降有vi +1>1，若sinaa i +1>1，则假设不成立，小球的下一个位置将会上升，此时的小球已经降至曲线的最低点。这种情况对应着光学中的全反射现象。本文所提出的算法也考虑了这一因素。

２ 最速下降曲线的数值计算算法

因为我们设y 0,y 1……y i ……y n 定为已知数，所以每一点的入射速度与出射速度是确定的，根据公式（１６），可以得出每一点的入射角度即决定了出射角度，也就是说第一点的入射角度即决定了整条最速下降曲线。若想求一条通过固定点的最速下降曲线，可以采用不断修正入射角度，直至曲线与固定点的最小距离在指定误差范围内即可。

第一步，设定初始入射角，当前点位置，入射角修正值为零；第二步，修正初始入射角；第三步，根据当前点入射角，入射速度，出射速度，确定出射角，确定下一点位置，若出射速度为零，则跳至第五步，出射角要考虑反射问题；第四步，将下一点设置为当前点，跳至第三步；第五部，计算整条曲线与要到达的固定点的最

应用斯涅尔公式求解最速下降曲线问题研究

王东

（电子科技大学光电信息学院 成都 ６１００５４）

摘　要：本文首先从最速下降曲线的物理模型入手，应用变分理论推导得出最速下降曲线和斯涅尔公式之间的关系，提出一种基于斯涅尔公式求解最速下降曲线的数值算法，并讨论分析计算结果，最后给出算法的详细实现。关键词：最速下降曲线 斯涅尔公式

中图分类号：０１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２－３７９１（２００８）０３（ｂ）－０１８６－０２

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北京文化创意产业中几个重要的传统领域，如新闻出版、文化艺术、广播影视等领域，国有资本仍是市场主体，非公有制资本发展相对薄弱，目前仍存在较大的市场化不足问题。集中表现在渠道垄断、资源垄断等问题比较突出，行业内文化企业处于非公平、非充分竞争状态。根据第一次全国经济普查数据，文化艺术行业中规模以上国有单位（包括登记注册类型中的国有、国有联营、国有独资公司）收入比重为９０．８％；新闻出版业国有单位收入比重为７７．９％；广播、电视、电影行业的国有单位收入比重为８２．２％。

国有资本在这新闻出版、文化艺术、广电影视等行业所占比重过高，影响和制约了民营企业和外资在这几个行业的发展，也在一定程度上影响了资源配置的效率和产业发展的活力，对北京文化创意产业发展带来不利影响。

４．２北京民营企业在文化创意产业中总体发展偏弱，个体规模也较小

北京民营企业“十五”以来，在文化创意产业发展迅速，也显示了民营文化企业所具有相当突出的发展潜质。但从企业数量、从业人员人数、营业收入等指标综合来看，产业规模还比较小（见表１）。从民营企业的个体规模来看：经济普查数据显示，民营企业的户均从业人员为１０．６人／户，户均营业收入１１７．２万元／户。从事文化创意产业的北京民营企业多数是小企业，小企业的数量占到企业总数的９０％以上。

民营企业机制灵活、富有创意等优势还没有获得较好发挥，北京民营企业在文化创意产业还有较大成长空间。

４．３民营企业在文化创意产业行业发展不均衡，一些行业发展偏弱

北京民营文化创意产业在各行业发展水平相差很大。总体上看：民营企业在软件、网络及计算机服务，旅游、休闲娱乐，设计服务三个行业发展较好，而在新闻出版，广播、电视、电影，文化艺术三个行业发展偏弱。北京民营企业在文化创意产业发展的不均衡现象比较明显。造成行业发展不均衡的主要原因是文化体制改革滞后，新闻、影视等行业的市场化程度不高。

５ 结语

５．１北京民营企业在文化创意产业的多个行业占有突出优势

随着北京民营企业在文化创意产业的快速发展和壮大，目前在印刷、文化用品制造、影视节目制作、演出娱乐、音像制作发行、出版物分销和广告业等行业，民营资本投资活跃，所占比重较大。民营企业在设计服务，艺术品交易，软件、网络和计算机服务这三个行业发展较好，优势地位突出，无论在企业数量、从业人数、营业收入等方面占有重要地位。

５．２民营企业为北京文化创意产业多元化发展做出了贡献

本文以北京会议及展览服务业为例进行说明。近年来，随着北京会展市场的逐步放开，为民营企业的发展提供了很好的发展机遇。到２００５年，北京民营企业占到３４．９％，股份合作、股份有限与有限责任制企业占２６．５８％，港澳台与外资独资或合资合作企业占２．０５％，其他类型企业占１％。

此外，近几年来，随着北京文化市场的逐渐开放吸引了大量的社会资本进入动画制作、网络游戏、新媒体等新兴文化创意产业领域，民营企业在这些新兴文化创意产业获得较快、较好的发展。也涌现了一批有规模，有市场影响的企业，如三辰动漫、光宇思维、金山公司等。

５．３北京民营文化创意企业未来发展建议

从本文前面的分析可以看到，近几年来，北京民营企业在文化创意产业发展很快，已经成为推动北京文化创意产业发展

的重要力量。但是也看到民营文化创意企业发展中所存在的一些重要问题，如北京文化创意产业的企业主体结构也相对单一，在新闻出版业国有资本的比重超过７０％。这将从两方面影响北京文化创意产业的发展。一方面，个体、私营等民营企业的机制灵活、成长性好等优势，还没有在文化创意产业中发挥出来，影响了文化创意产业的发展；另一方面，经过２０多年的发展，北京民营经济的实力已经非常壮大，存在大量的民间资本，国有资本比重过高，民间资本比重低，不利用北京文化创意产业的发展。文化创意产业未来要成为首都经济的支柱产业，需要个体、私营等民营企业的支持。

目前，北京的文化创意产业还处于起步阶段，从事文化创意企业的民营企业大多都是中小企业，为帮助这些中小企业抵御风险、共享信息，需要搭建面向游戏、动漫、影视、音乐、广告、建筑等数字内容制作企业的公共技术和服务平台，来降低数字内容制作中小企业进入门槛和运营成本。

北京市文化创意产业中，新闻出版、文化艺术、广播影视领域仍然存在市场化不足的问题，而文化内容创意和交易传播环节的审批和管制的束缚及国有资本的垄断，将阻碍社会资本进入。我们还需要进一步放宽市场准入条件和领域，改善北京文化创意产业的投资环境，以为文化创意产业的发展创造良好的自由空间。

此外，应当充分利用北京文化创意产业专项资金等相关政策，为中小企业提供系列配套的优惠政策和激励措施，加大对动漫网游、设计创意等文化创意行业中小民营企业的支持力度。鼓励商业银行重点支持中小文化创意企业，支持社会力量建立风险投资和担保公司，为中小文化创意企业提供融资服务。通过多方面的

努

力，

来改善民营企业的融资环境。

图３

小距离，若最小距离小于指定误差，则认为曲线到达固定点，计算结束，否则，计算入射角的修正值，跳至第二步；

３ 计算结果分析

图三绘制了五条最速下降曲线，这五条终点分别是（１，１）、（２，１）、（３，１）、（４，１）、（２，２）。由图上可以看出终点为（２，１）、（３，１）、（４，１）这３条最速下降曲线，小球都先沿着下坡到最低点，再沿着上坡到达各自的终点。这种看似距离长但确用时最短也体现了最速下降曲线的奇妙之处。

在算法中，设定不同的加速度值，过

同一点的最速下降曲线是相同的，很容易验证最速下降曲线与加速度大小无关的结论。最速下降曲线这些漂亮的力学性质，有人比喻为Ｔｒｏｙ战争中的海伦，而使其拥有“几何中的海论”的雅号［１］。

４ 结语

本文推导出斯涅尔公式应用在最速下降曲线问题上的理论依据，从而提出一种数值算法，并通过计算结果简单阐述最速下降曲线的特殊性质。

在作者提出的算法实现中，确定初始入射角采用的是取中值法，若采用黄金分

割法是否会减少运算次数，作者没有尝试。另外最速下降曲线的等时性作者没有在文章中讨论，还有待后期的继续研究。

５ 附录算法的Ｍａｔｌａｂ实现

程序下载　ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｕｅｓｔｃ．ｅｄｕ．ｃｎ／ｗｅｂ３／ｗａｎｇｄｏｎｇ／ｂａｉ．ｒａｒ

参考文献

［１］　曹亮吉．摆线——几何中的海伦［Ｍ］．科

学月刊第十五卷第四期，１９８４，９．

［２］　老大中．变分法基础［Ｍ］．国防工业出版

社，２００４，９．

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