方程与不等式

第三部分：方程系与不等式

一，考点汇总

（一）方程（组）

1.要弄清一元一次方程及二元一次方程组的定义，方程（组）的解（整数解）等概念。

要熟练掌握一元一次方程，二元一次方程的解法。

2.要弄清一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系。

3.要弄清一元二次方程的定义，a x2 +bx+c=0(a 0),a,b,c均为常数，尤其a不为零要

切记。

4.要弄清一元二次方程的解的概念。

5.要熟练掌握一元二次方程的几种解法，如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为

一元一次方程的转化思想。

6.要加强一元二次方程与二次函数之间的综合的训练。

7.让学生理解化分式方程为整式方程的思想。

8.熟练掌握解分式方程的方法。

9.让学生学会行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的分析。

10.让学生掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训练。

（二）不等式与不等式组

1.不等式，一元一次不等式（组）及其解集的概念。

2.不等式的基本性质，一元一次不等式（组）解法以及解集的数轴表示。

3.解决不等式（组）的应用题，要求学生会将应用题里关于‘已知量’‘未知量’之间的关系用明确的不等式关系表示出来，并注意应用题中字母所表示的实际意义。

二，例题讲解

（一）一元一次方程以及应用

一、选择题

1. 某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销

售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打

A ．6折

B ．7折

C ．8折

D ．9折

2. 某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能

灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（ ）

（A ）54盏 （B ）55盏 （C ）56盏 （D ）57盏

3. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全

班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为

A ．(1)2070x x -=

B ．(1)2070x x +=

C ．2(1)2070x x +=

D ．(1)20702

x x -= 4.已知3是关于x 的方程2x －a=1的解,则a 的值是( )

A.－5

B.5

C.7

D.2

5.对于非零的两个实数a 、b ，规定a

b b a 11-=?，若1)1(1=+?x ，则x 的值为 A ．23 B ．31 C ． 21 D ． 2

1- 二、填空题

1.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和

25朵紫花搭配而成．乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成．丙种盆景由10朵红花、

18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花

一共用了 朵．

2.已知方程||x 2=，那么方程的解是 .

3.请写出一个解为x=2的一元一次方程：_____________。

4.某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规定每月基本用电量为a 度,超过部分电量的毎

度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费,某用户在5月份用电100度,共交

电费56元,则a = 度.

5.若2x =是关于x 的方程2310x m +-=的解，则的值为 ．

6.湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”.李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，

设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为______________.

三、解答题

1.目前“自驾游”已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上

高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了4.5小时；返回时

平均速度提高了10千米／小时，比去时少用了半小时回到舟山．

（1）求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程；

（2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：

y （元）的计算方法为：5++=b ax y ，其

中a （元／千米）为高速公路里程费，x （千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），b

（元）为跨海大桥过桥费．若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为295.4元，求轿

车的高速公路里程费a ．

2.江南生态食品加工厂收购了一批质量为10000千克的某种山货，根据市场需求对其进行粗

加工和精加工处理，已知精加工的该种山货质量比粗加工的质量3倍还多2000千克，求

粗加工的该种山货质量．

3.植树节期间,两所学校共植树834棵,其中海石中学植树的数量比励东中学的2倍少3棵,

两校各植树多少棵？

4.依据下列解方程0.30.5210.23

x x +-=的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。 解：原方程可变形为

352123x x +-= (__________________________) 去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (__________________________)

去括号，得9x+15=4x-2. （____________________________）

(____________________),得9x-4x=-15-2. (____________________________)

合并，得5x=-17. (合并同类项)

（____________________）,得x=175

-. （_________________________） 5.毕业在即，九年级某班为纪念师生情谊，班委决定花800元班会费买两种不同单价的留念

册，分别给50位同学和10位任课老师每人一本留做纪念。其中送给任课老师的留念册的单

价比给同学的单价多8元。请问这两种不同留念册的单价分别为多少元？

7.根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短

客运时间将由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260km,求提速后的

嘉兴 舟山 东海

火车速度.(精确到1km/h)

8.十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案

(简称“个税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，

并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表： 20%注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额。

“速算扣除数”是为了快捷简便计算个人所得税而设定的一个数。

例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2 600元，他应缴税款

可以用下面两种方法之一来计算：

方法一：按1～3级超额累进税率计算，即50035% + 1500310% + 600315% = 265(元)

方法二：用“月应纳税额3适用税率?速算扣除数”计算，即2600315% ? 125 = 265(元)

(1)请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整；

(2)甲今年3月缴了个人所得税1 060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少

元？

(3)乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴纳的税款恰

好不变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元？

（二） 一元二次方程

一、选择题

1、一元二次方程240x x c ++=中，0c <，该方程的解的情况是: ( )

A ．没有实数根

B ．有两个不相等的实数根

C ．有两个相等的实数根

D ．不能确定

2、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片

向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x 名学生，根据

题意，列出方程为( )

A. 2450)1(=-x x

B. 2450)1(=+x x

C. 2450)1(2=+x x .

D. 24502

)1(=-x x

3、如果关于x 的方程 kx 2 －2x －1=0有两个实数根，那么k 的取值范围是 （ ）

A ．10k k ≥-≠且

B ．10k k >-≠且

C ．1k ≥

D ．1k >

4、若关于x 的一元二次方程

()0122=-+-k x x k 的一个根为1，则k 的值为 ( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．0或1

5、已知方程x 2-3 2 x+1=0，求作一个一元二次方程使它的根分别是原方程各根的倒数，则这

个一元二次方程是（ ）

A ．x 2+3 2 x+1=0;

B ．x 2+3 2 x-1=0

C ．x 2-3 2 x+1=0

D ．x 2-3 2 x-1=0

6、下列方程中，无实数根的方程是（ ）。

（A ）012=+x （B ）02=+x x （C ）012=-+x x （D ）02=-x x

7、关于x 的方程(a －5)2x －4x －1＝0有实数根，则a 满足（ ）

A ．a ≥1

B ．a ＞1且a ≠5

C ．a ≥1且a ≠5

D ．a ≠5

8、m 是方程x 2+x-1=0的根，则式子m 3+2m 2+2009的值为( )

A.2008

B.2009

C.2010

D.2011

9．若a 为方程(x -17)2=100的一根，b 为方程(y -3)2=17的一根，且a 、b 都是正数，则a -b

的值为（ ）

A ．13

B ．7

C ． －7

D ． -13

10、k 为实数，则关于x 的方程01)12(2

=-+++k x k x 的根的情况是（ ）

（Ａ）有两个不相等的实数根； （Ｂ）有两个相等的实数根；

（Ｃ）没有实数根； （Ｄ）无法确定．

11、用配方法解方程x 2－2x －5=0时，原方程应变形为（ ）

A 、(x+1)2=6

B 、(x －1)2=6

C 、(x+2)2=9

D 、(x －2)2=9

12.一元二次方程2x =2x 的根为（ ）

A.x=2 B x=0 C x=±2 D.1x =0,2x =2

13．已知一元二次方程22x +5x-1=O 的两根为（ ） A.

25 B - 25 C 21 D.- 2

1 14、下列命题：①若b=2a+21c,则一元二次方程a 2x +box=O 必有一根为-2； ②若ac<0, 则方程 c 2

x +bx+a=O 有两个不等实数根；

③若2b -4ac=0, 则方程 c 2x +bx+a=O 有两个相等实数根；

其中正确的个数是（ ）

A ．O 个 B.l 个 C.2个 D ．3 个

15、根据下列表格中的对应值，?判断方程ax 2

+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的个数

是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．1或2

16、下列哪一个数与方程1693=-x 的根最接近（ ）

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

17、商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x ，则下面

所列方程正确的是( )

A 、256)x 1(2892=-

B 、289)x 1(2562=-

C 、256)x 21(289=-

D 、289)x 21(256=-

18. 关于x 的方程(3－a )x 2－2x ＋1＝0有实数根，则a 满足 ( )

A. a ≠3

B. a ≥2

C. a ＞2且a ≠3

D.

a ≥2且a ≠3

19.一元二次方程042=-x 的解是（ ）.

A ．21=x ，22-=x

B ．2-=x

C ．2=x

D ．21=x ， 02=x 20．设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）

A ．2006

B ．2007

C ．2008

D ．2009

（三）二元一次方程

一、选择题

1.某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，

其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，

若设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则方程组正确的是（ ）

A.???x+y=3012x+16y=400

B.???x+y=3016x+12y=400

C.???12x+16y=30x+y=400

D.???16x+12y=30x+y=400

2.某鞋店有甲、乙两款鞋各30双，甲鞋一双200元，乙鞋一双50元。该店促销的方式：买

一双甲鞋，送一双乙鞋；只买乙鞋没有任何优惠。若打烊后得知，此两款鞋共卖得

1800元，还剩甲鞋x 双、乙鞋y 双，则依题意可列出下列哪一个方程式？

A 1800)30(50)30(200＝－＋－y x

B ．1800)30(50)30(200＝－－＋－y x x

C. 1800)60(50)30(200＝－－＋－y x x

D ．1800])30(30[50)30(200＝－－－＋－y x x

3.在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11颗

馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每颗x 元，包子每颗y 元，

则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系？

A ．????=++=+9.09051125035y x y x

B ．???÷=++=+9

.09051125035y x y x

C ．??

??=+-=+9.09051125035y x y x D ．???÷=+-=+9.09051125035y x y x

4.二元一次方程21-=x y 有无数多个解，下列四组值中不是．．

该方程的解的是 A ．012x y =???=-?? B ．11x y =??=? C ．10x y =??=? D ．11x y =-??=-?

5.灾后重建，四川从悲壮走向豪迈.灾民发扬伟大的抗震救灾精神，桂花村派男女村民共15 人

到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15 包.请

问这次采购派男女村民各多少人？

A ．男村民3人，女村民12人

B ．男村民5人，女村民10人

C ．男村民6人，女村民9人

D ．男村民7人，女村民8人

6.下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）

A ．12xy x y =??+=?

B ． 52313x y y x -=???+=??

C ． 20135x z x y +=???-=??

D ．5723

z x y =???+=?? 7.方程组?

??=+=-422y x y x 的解是 A ．???==21y x

B ．???==13y x

C ．???-==20y x

D ．???==0

2y x

8.方程组31x y x y +=??-=-?

，的解是

A ．12.x y =??=?，

B ．12.x y =??=-?，

C ．21.x y =??=?，

D ．01.

x y =??=-?，

9.已知2,1x y =??=?是二元一次方程组7,1

ax by ax by +=??-=?的解，则a b -的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3

二、填空题

1.方程组237,38.

x y x y +=??-=?的解是 ．

2.如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，则买5束鲜花

和5个礼盒的总价为 元．

3.方程组257x y x y ì+=??í?-=??

的解是 . 4.已知x 、y 满足方程组???=+=+,42,52y x y x 则x －y 的值为 .

5.方程组524050x y x y --=??+-=?

的解是___________________. 6.方程组257x y x y ì+=??í?-=??

的解是 . 7.方程组237,38.x y x y +=??-=?

的解是 ． 8.若关于x ，y 的二元一次方程组3133x y a x y +=+??

+=?的解满足2x y +＜，则a 的取值范围______．

9.已知.a y x 3y x 3y 2的解的二元一次方程，是关于+=???==x 求（a+1）（a-1）+7的值

三、解答题

1.古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A 、

B 两个工程队先后接力完成。A 工程队每天整治12米，B 工程队每天整治8米，共用时20天。

（1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：

甲：???=+=+y x y x 812

?????=+=+8

12y x y x 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x,y 表示的意义，然后在方框中补

全甲、乙两名同学所列的方程组：

甲：x 表示 ，y 表示 ；

乙：x 表示 ，y 表示 ；

（2）求A 、B 两工程队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程）

2.为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针

对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，

跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．求自行车

路段和长跑路段的长度．

3.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60米，下

坡路每分钟走80米 ，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15

分钟.请问小华家离学校多远？

4.某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另

收费.甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了

23千米，付了35元”.请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，

每千米的车费是多少元？

5.食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂

对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A 、B 两种饮料均需加入同种

添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加

剂恰好生产了A 、B 两种饮料共100瓶，问A 、B 两种饮料各生产了多少瓶？

6.某县为鼓励失地农民自主创业，在2011年对60位自主创业的失地穷民进行了奖励，共计

奖励了10万元，奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自

主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励．问：该县失地农

民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的

农民分别有多少人？

7.解方程组：38.53 4.x y x y +=??-=?

8.去年秋季以来，我市某镇遭受百年一遇的特大干旱，为支援该镇抗旱，上级下拨专项抗旱

资金80万元用于打井．已知用这80万元打灌溉用井和生活用井共58口，每口灌溉用井

和生活用井分别需要资金4万元和0.2万元，求这两种井各打多少口？

9.解方程组：222,

230.x y x xy y -=??--=?

10．解方程：0)10553(4222=--+--y x y x 。

11.李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获

利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？

12.解方程组：???=+=②13y 2x ①113y -4x

13.某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球

拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8︰3︰2，且其单价和为130元．

⑴请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？

⑵若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个（副），羽毛球拍的数量是篮球数

量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？

14.解方程组：2360y x x xy =-??--=?

． 15.解方程组??? x －y =1 2x ＋y =2 （四）方程组

例1.用换元法解方程(x-

x 1)2-3x+x 3+2=0时，如果设x-x 1=y ，那么原方程可转化为( ) (A)y 2+3y+2=O (B)y 2—3y-2=0 (C)y 2+3y-2=0 (D)y 2-3y+2=0

例2．下图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长29 cm 的木

条上钻有6个圆孔，每个圆孔的直径均为2．5 cm ．两端与圆孔边缘及

任何相邻两孔边缘之间的距离都相等并设为X cm ，则x 为 ( )

A ．2

B ．2．15

C ．2．33

D ．2．36

例3、一元二次方程0422=++x x 的根的情况是 ( )

A 、有一个实数根

B 、有两个相等的实数根

C 、有两个不相等的实数根

D 、没有实数根

例4.关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为11=x ，22=x ，则c bx x ++2分解

因式的结果为_________________________；

例5.若关于x 的方程x 2

+px+1=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则p 的值是 ． 分析：一个实数的倒数是它的本身，这个实数是±1

例6.小红家春天粉刷房间，雇用了5个工人，干了10天完成；用了某种涂料150升，费用

为4800元；粉刷的面积是150m 2

．最后结算工钱时，有以下几种方案：

方案一：按工算，每个工30元； (1个工人干1天是一个工)；

方案二：按涂料费用算，涂料费用的30％作为工钱；

方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱12元．

请你帮小红家出主意，选择方案 付钱最合算(最省)． 例7.解方程：062)2(2=--+-x

x x x 例8.某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资

料上显示：若由两队合做，6天可以完成，共需工程费用10 200元；若单独完成此项工程，

甲队比乙队少用5天．但甲队每天的工程费用比乙队多300元，工程指挥部决定从这两个队

中选一个队单独完成此项工程，若从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队?为什么?

例9.为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲、乙、丙三个水厂，这三个水厂的

日供水量共计11．8万立方米，其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的

日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万立方米．

(1)求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米?

(2)在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600吨土石，运输公司派出A 型、B 型两种载

重汽车，A 型汽车6辆、B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A 型汽车3辆、B

型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完．那么每辆A 型汽车、每辆B 型汽车每次运土石

各多少吨?(每辆汽车运土石都以标准载重量满载)

（四）不等式与不等式组

例1.函数y=2-x 中，自变量x 的取值范围是( )

A ．x≠2 B．x≥2 C.x≤2D．x>2

例2．不等式2x+1≥5的解集在数轴上表示正确的是 ( )

例3．不等式组??

?-≤->+x x x 284133的最小整数解是 （ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．－1

分析：整数包括正整数、负整数和0

例4.不等式组 ???<+≥+3

201x x 的整数是（ ）

（A ） -1，0，1 （B ） -1，1 （C ） -1，0

（D ） 0，1 例5.如果最简二次根式83-a 与a 217-是同类根式，那么使x a 24-有意义的x 的

取值范围是 ( )

A ．x ≤10

B ．x ≥10

C ．x<1O

D ．x>10

例6.如图，数轴上表示的一个不等式组的解集，这个不等式组__________。

例7.我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联

系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价1．5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂

的优惠条件是：每份定价1．5元的价格不变，而制版费900元则六折优惠．且甲乙两厂都规

定：一次印刷数量至少是500份．

(1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系，并指出自变量x 的取值范

围．

(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案?如果这个中学要印制2000份录取通知书。那

么应当选择哪一个厂?需要多少费用?

三， 练习与作业

1，一元一次方程

一．选择题

1、红星中学初三（2）班十几名同学毕业前和数学老师合影留念，一张彩色底片要0.6元，扩

印一张相片0.5元，每人分一张，免费赠送老师一张（由学生出钱），每个学生交0.6元刚

好，相片上共有多少人（ ）

A ．13个

B ．12个

C ．11个

D ．无法确定

2．按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正数，最后输出的结果为656，则满

足条件的x 的不同值最多有 （ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

3、（北京四中2011中考模拟12）如图1，给出的是2007年4月份的日历，任意圈出一竖列

上相邻的三个数，请运用方程的思想来研究，你发现这三个数的和不可能是（ ）

（A ）27 （B ）40 （C ）54 （D ）72

4、关于x 的整式方程12mx x -=的解为正实数，则m 的取值范围是（ ）

A ．m ＞2

B ．m ＜2

C ．m ＞2且m ≠0

D ．m ＜2且m ≠0

5某商店的老板销售一种商品，他要以利润不低于进价的20%的价格出售，但为了获得更高的

利润，他以利润高出进价的80%的价格标价。如果你想买下标价为360元的这种商品，那么商

店老板最多愿降价（ ）

Ａ、80元 Ｂ、100元 Ｃ、120元 Ｄ、160元

二、填空题

1、如果x =2是方程12

x+a =－1的根，那么a 的值是 ． 2、某品牌的牛奶由于质量问题，在市场上受到严重冲击，该乳业公司为了挽回市场，加大了

产品质量的管理力度，并采取了―买二赠一‖的促销手段，一袋鲜奶售价1.4元，一箱牛奶18

袋，如果要买一箱牛奶，应该付款 元.

三、解答题

1、在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明

与他爸爸的对话(如图)，试根据图中的信息，解答下列问题：

(1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？

(2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？

2，一元二次方程

一、选择题

1.下列说法中

①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等

②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2

③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形

④Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边a ，b 分别是方程x2－7x ＋7=0的两个根，则AB 边上的

正确命题有（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

2.关于x 的方程

0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是

A ．1

B ．－1

C ．1或－1

D ． 2

3.一元二次方程(2)0x x -=根的情况是（ ）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

4.某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下

面所列方程中正确的是( )

A. ()2

2891256x -= B. ()2

2561289x -=

C. 289(1-2x)=256

D.256(1-2x)=289

5.关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）

A ．0

B ．8

C ．4±

D ．0或8

6. 方程(x+1)(x －2)=x+1的解是（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）－1，2 （D ）－1，3

7.一元二次方程0)1(=-x x 的解是（ ）

（A ）0=x （B ）1=x （C ）0=x 或1=x （D ）0=x 或1-=x

8.若一元二次方程式)2)(1()1(＋＋＋＋x x x ax bx ＋ 2)2(＝＋x 的两根为0、2，则

b a 43＋之值为何？

A ．2

B ．5

C ．7

D ． 8

9.如图(十三)，将长方形ABCD 分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形。

根据右图，若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则AD ：AB ＝？

A ．5：3

B ．7：5

C ．23：14

D ．47：29

10．关于方程式95)2(882=-x 的两根，下列判断何者正确？

A ．一根小于1，另一根大于3

B ．一根小于－2，另一根大于2

C ．两根都小于0

D ．两根都大于2 11. 已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）

A.1

B.2

C.-2

D.-1

12.已知一元二次方程x2－4x+3=0两根为x1、x2, 则x1·x2=（ ）.

A. 4

B. 3

C. －4

D. －3

13.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是

A ．221

0x x += B ．20ax bx c ++=

C ．(1)(2)1x x -+=

D ．223250x xy y --=

14.用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为

A ．2(1)6x +=

B ．2(2)9x +=

C ．2(1)6x -=

D ．2(2)9x -=

15.下列四个结论中，正确的是

A.方程x ＋x 1

=－2有两个不相等的实数根

B.方程x ＋x 1

=1有两个不相等的实数根

C.方程x ＋x 1

=2有两个不相等的实数根

D.方程x ＋x 1

=a （其中a 为常数，且|a|>2）有两个不相等的实数根

16.一元二次方程x2=2x 的根是

A ．x=2

B ．x=0

C ．x1=0, x2=2

D ．x1=0, x2=－2

17.已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a(a≠0)，则a －b 的值为

A ．－１

B ．0

C ．1

D ．2

18.关于x 的方程2

210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（ ）

A . k 为任何实数，方程都没有实数根

B . k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根

C . k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根

D. 根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相

等的实数根三种

19.已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++m k nx mx 有两个实数根，则下列关于判别式 mk x 42-的判断正确的是

(A) 042<-mk n (B) 042=-mk n (C) 042>-mk n (D) 042≥-mk n

20．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是

( )A.a<2 B,a>2 C.a<2且a ≠1 D.a<－22

21.已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）

A.1

B.2

C.-2

D.-1

22.已知3是关于x 的方程x2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是

－2 B. 2 C. 5 D. 6

23.若x1,x2(x1 ＜x2)是方程(x -a)(x-b) = 1(a < b)的两个根，则实数x1,x2,a,b 的大小关系为

A ．x1＜x2＜a ＜b

B ．x1＜a ＜x2＜b

C ．x1＜a ＜b ＜x2

D ．a ＜x1＜b ＜x2

24.某品牌服装原价173元，连续两次降价00x

后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）

A ．()2

001731127x += B ．()0017312127x -=

C ．()2

001731127x -= D ．()2

001271173x +=

25.若x1，x2是一元二次方程x2＋4x ＋3=0的两个根，则x1x2的值是

A ．4．

B ．3．

C ．－4．

D ．－3．

26.下列说法中

①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等

②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2

③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形

④Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边a ，b 分别是方程x2－7x ＋7=0的两个根，则AB 边上

正确命题有（ ）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

27.设一元二次方程（x-1）（x-2）=m(m>0)的两实根分别为α，β，则α，β满足

A. 1<α<β<2

B. 1<α<2 <β

C. α<1<β<2

D.α<1且β>2

28.一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ）

A ．－1

B ．2

C ．1和2

D ．－1和2

29.一元二次方程0)5)(3(=--x x 的两根分别为

A. 3, －5

B. －3，－5

C. －3,5

D.3，5

30.一元二次方程0)1(=-x x 的解是（ ）

（A ）0=x （B ）1=x （C ）0=x 或1=x （D ）0=x 或1-=x

二、填空题

1.某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分

率是

2.若x=2是关于x 的方程22

50x x a --+=的一个根，则a 的值为______.

3.若1x ，2x 是方程210x x +-=的两个根，则2212x x +=__________．

4.方程2x2+5x-3=0的解是 。

5.方程2

20x x -=的解为 .

6.一元二次方程0)1(=-x x 的解是

7.关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是x1=－2，x2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程2(2)0a x m b +++=的解是 。

8.孔明同学在解一元二次方程x2-3x+c=0时，正确解得x1=1，x2=2，则c 的值为 ．

9.已知a 、b 是一元二次方程x2－2x －1=0的两个实数根，则代数式（a －b ）（a ＋b －2）＋ab

的值等于________.

10．如图，邻边不等的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅

栏的总长度是6m ．若矩形的面积为4m2，则AB 的长度是 ▲ m （可利用的围墙长度超过

6m ）．

11.已知一元二次方程0562=--x x 的两根为a 、b ，则

b a 11+的值是____________． 12.某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到6

.345元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是_______________．

13.一元二次方程x2-4=0的解是 .

14.如果关于x 的方程2

20x x m -+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝______．

15.某小区2011年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方

米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．

16.已知关于x 的方程260x mx +-=的一个根为2,则m=_____,另一根是_______.

三、解答题

1. 如形的边长为（217x +）cm ，正六边形的边长为（22x x +）cm (0)x >其中.求这两段铁丝的

总长.

2.为落实国务院房地产调控政策，使―居者有其屋‖，某市加快了廉租房的建设力度．2011年市

政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿

元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．

(1)求每年市政府投资的增长率；

(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．

3.关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。

（1）求k 的取值范围；

（2）如果x1+x2－x1x2＜－1且k 为整数，求k 的值。

4.某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系.每盆

植入3株时，平均单株盈利3圆；以同样的栽培条件，若每盆没增加1株，平均单株盈利就

减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？

小明的解法如下：

解：设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有

()3x +株，平均单株盈利为()30.5x -元，由题意， 得()()330.510x x +-=.

化简，整理，的2320x x -+=.

解这个方程，得121, 2.x x ==

答：要使得每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株.

本题涉及的主要数量有每盆花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利等，请写出两个不同

的等量关系：

请用一种与小明不相同的方法求解上述问题。

5.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适

当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商

品降价x 元. 据此规律，请回答：

（1）商场日销售量增加 ▲ 件，每件商品盈利 ▲ 元（用含x 的代数式表示）；

（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100

元？

6.已知|a-1|+2+b =0，求方程x a

+bx=1的解.

7.解方程：()220x x x -+-=

8.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出

台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以

每平方米4860元的均价开盘销售。

（1）求平均每次下调的百分率。

（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供

选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

9.解方程x2－4x ＋1=0

10．选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。

题甲：已知关于x 的方程

222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足12123320x x x x ---=.求242(1)4a a a ++?-的值。

题乙：如图（12），在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD=2，BC=BD=3，

AC=4.

求证:AC ⊥BD

求△AOB 的面积

我选做的是 题

11.解方程：x2 + 4x ? 2 = 0； 12. （本题满分6分）解方程：x2＋3x ＋1=0．

13.汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加.据统计，2008年我市某种品牌汽车的

年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆.若该品牌汽车年产量的年

平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？

14. 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，

成为居民消费新的增长点。据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截

止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆。

求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年起，该市交通部门拟控制汽车总量，

要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2011年起每年报废

的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%。假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计

算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。

15.某商店以6元/千克的价格购进某干果1140千克,并对其起先筛选分成甲级干果与乙级干果

后同时开始销售,这批干果销售结束后,店主从销售统计中发现:甲级干果与乙级干果在销售过

程中每都有销售量,且在同一天卖完;甲级干果从开始销售至销售的第x 天的总销售量1y (千

克)与x 的关系为

2140y x x =-+;乙级干果从开始销售至销售的第t 天的总销售量2y (千克)与t 的关系为

22y at bt =+,且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表: t 1

2 3 2y

21 44 69

(1)求a 、b 的值.

(2)若甲级干果与乙级干果分别以元/千克和6元/千克的零售价出售,则卖完这批干果获得的毛

利润为多少元?

(3)此人第几天起乙级干果每 天的销售量比甲级干果每天的销售量至少多千克?(说明:毛利润=

销售总金额-进货总金额.这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计.)

16.某工厂计划生产A,B 两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：

A 种产品

B 种产品

成本（万元/件）

2 5 利润（万元/件）

1 3 （1）若工厂计划获利14万元，问A,B 两种产品应分别生产多少件？

（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？

（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．

17.已知关于x 的方程x2－2（k －1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.

（1）求k 的取值范围；（4分）

（2）若12121x x x x +=-，求k 的值. （6分）

18.随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资.尹进2008

年的月工资为2000 元，在2010 年时他的月工资增加到2420 元，他2011年的月工资按2008

到2010 年的月工资的平均增长率继续增长.

(1)尹进2o11年的月工资为多少?

(2)尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6 月份的月工资刚好购买若干本甲

种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2o11年6月份的月工资少了242 元，于是他

用这242 元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山

区的学校.请问，尹进总共捐献了多少本工具书?

3，二元一次方程

一．选择题

1．若1++y x 与()2

2--y x 互为相反数，则3)3(y x -的值为 （ ）

A.1

B.9

C.–9

D.27 2、已知()0332

=++++m y x x 中，y 为负数，则m 的取值范围是（ ） A. m ＞9 B. m ＜9 C. m ＞-9 D. m ＜-9

3、解方程组23739x y x y +=??+=? ，①－②得（ ） A ．32x = B. 32x =- C. 2x = D. 2x =-

二，填空题

1、方程组?

??=-=+56xy y x 的解是 . 2．已知x ，y 满足方程组23,37.x y x y -=??+=?

①② 求x +2y 的值为 ． 3、若关于x ，y 的二元一次方程组?

??=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为_______。

三．解答题

1、新年新举措——我县某工艺品销售公司今年一月份调整了职工的月工资分配方案，调整后

月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资＝销售每件的奖励金

额×销

售的件数）. 下表是甲、乙两位职工今年2月份的工资情况信息：

②

方程与不等式教案

专题五 一元一次方程 复习目的： 1、了解等式的概念，掌握等式的基本性质。 2、了解方程、方程的解及解方程的概念。 3、了解一元一次方程，二元一次方程组及其标准形式、最简形式。 4、会列一元一次方程解应用题，并根据应用题的实际意义检验求值是否合理。 5、能正确地列二元一次方程组解应用题。 考点透视 1、方程的相关概念 例1如果2x =是方程 1 12 x a +=-的根，那么a 的值是（ ）A 、0 B 、2C 、2- D 、6- 变式训练：已知关于x 的方程223=+a x 的解是1-=a x ,则=a 。 2、一元一次方程的解法 1）等式的性质：①等式两边同时加上（减去）同一个整式，等式仍然成立；②等式两边同时乘以（除以）同一个数（除数不能为0），等式仍然成立。 2）解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 例2、1）（2008自贡）方程063=+x 的解的相反数是（ ） A 、2 B 、－２ C 、3 D 、－3 2）（2008武汉）如果05.205.2002005-=-x ，那么x 等于（ ） A 、1814.55 B 、1824.55 C 、1774.55 D 、1784.45 3）解方程：①12223x x x -+-=-；②2 (1) 0.4(1)3430.24 x x -+-=- 3、一元一次方程的应用 1）列一元一次方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③找出相等关系；④列出方程；

⑤解方程；⑥检验作答。 2）列一元一次方程解应用题的常见题型：①等积变形问题，注意变形前后的面积（体积）关系；②比例问题，通常设每份数为未知数；③利润率问题，数量关系复杂，要特别注意，常用的相等关系是利润的两种不同表示方法，即利润=售价-进价=进价×利润率；④数字问题，注意数的表示方法；⑤工程问题，注意单位“1”的确定；⑥行程问题，分为相遇、追击、水流问题；⑦年龄问题等。 1、二元一次方程（组）及解的概念 二元一次方程：含有两个未知数，含未知数的项的最高次数为1，化成标准形式 )0,0(0≠≠=++b a c by ax 的整式方程。二元一次方程的解具有不定性。 例1、1）( 2008杭州) 已知?? ?-==1 1 y x 是方程32=-ay x 的解, 则a 的值是( ) A 、1 B 、3 C 、3- D 、1- 2）（2009桂林市）已知21x y =??=?是二元一次方程组7 1ax by ax by +=??-=? 的解，则a b -的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ． 2 D ．3 2、解二元一次方程组 例2、1）解方程组 ①? ??=-=+13234 2y x y x ②312523-=+=+x y y x 2）若方程1,3=-=+y x y x 和02=-my x 有公共解，则m 的取值为 。 3、二元一次方程组的应用 某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立即到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格：可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元。学校花去捐款96000元，正好可供2300人临时居住。 ①求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人大帐篷； ②学校现计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将这批帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷。如何安排甲、乙两种卡车可一次性将这批帐篷运往灾区？有哪几种方案？

方程与不等式专题测试试卷.docx

2014年中考数学总复习专题测试试卷（方程与不等式） 一、选择题 1．点 A(m 4，1 2m) 在第三象限，那么 m 值是（ ）。 1 Ｂ． m 4 1 m 4 Ｄ． m 4 Ａ． m Ｃ． 2 2 2．不等式组 x 3 ）。 x 的解集是 x> a ，则 a 的取值范围是（ a Ａ． a ≥3 B ． a =3 Ｃ． a >3 Ｄ． a <3 2x 1 3．方程 x 2－4 －1＝ x ＋ 2 的解是（ ）。 Ａ．－ 1 B ． 2 或－ 1 Ｃ．－ 2 或 3 Ｄ． 3 2-x x-1 4．方程 3 - 4 = 5 的解是（ ）。 Ａ． 5 B ． - 5 Ｃ． 7 Ｄ． - 7 5．一元二次方程 x 2 -2x-3=0 的两个根分别为（ ）。 A ．x 1=1，x 2 =-3 B ．x 1=1，x 2 =3 C ．x 1=-1 ， x 2=3 D ．x 1=-1 ，x 2=-3 a 2b ， 3 m 则 a b 的值为（ 6．已知 a ， b 满足方程组 ）。 2a b m ， 4 Ａ． 1 Ｂ． m 1 Ｃ． 0 Ｄ． 1 7． 若方程组 3x 5y m 2 2x 3 y m 的解 x 与 y 的和为 0，则 m 的值为（ ）。 Ａ．－ 2 B ．0 Ｃ． 2 Ｄ． 4 8．在一幅长 80cm ，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的 面积是 5400cm 2 ，设金色纸边的宽为 xcm ， 那么 x 满足的方程是（ ）。 A ．x 2+130x-1400=0 B ． x 2 +65x-350=0 C ．x 2-130x-1400=0 D ． x 2 -65x-350=0 2x m ＋1 x ＋1 9．若解分式方程 x －1 －x 2＋ x ＝ x 产生增根，则 m 的值是（ ）。 Ａ．－ 1 或－ 2 B ．－ 1 或 2 Ｃ． 1 或 2 Ｄ． 1 或－ 2 二、填空题 10．不等式 (m-2)x>2-m 的解集为 x<-1 ，则 m 的取值范围是 __________________。 11．已知关于 x 的方程 10x 2－(m+3)x+m － 7=0，若有一个根为 0，则 m=_________，这时方程的另一个根是 _________。 12．不等式组 x 2m 1 x m 的解集是 x ＜ m －2，则 m 的取值应为 _________。 2 三解答题 13．解方程： (1) (2x – 3) 2 = (3x – 2) 2

方程与不等式组知识点总结

方程与不等式组知识点总结 方程与方程组 一、一元一次方程的概念 1、方程含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，( ) 叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b 是常数项。 二、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式( ) 它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中( )叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如( )的一元二次方程。根据平方根的定义可知，( )是b的平方根，当( )时，( ) ，( )，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式( )，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有( )。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程( )( )的求根公式：( ) 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 四、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程( )中，( ) 叫做一元二次方程( )的根的判别式，通常用“( )来表示，即( ) 五、一元二次方程根与系数的关系 如果方程( )的两个实数根是( )( )，，那么( )，( )。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 六、分式方程 1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：

方程与不等式专题复习

《方程与不等式》教学与复习指导意见一、2017年《方程与不等式》考纲的要求 二、《方程与不等式》在2015、2016年各地市中考卷所占的分值

三、2015、2016年各地市呈现的类型 (一) 解方程 1、解分式方程： （2） 2 32+=x x 2、解一元二次方程： 3、解方程组： （二）解不等式或不等式组 1、解不等式： （1）2x +1＞3 （2）2x ＜4 2、解不等式组： （4） （6）并把解集在数轴上表示出来 212 x =（）220x x +=（）2250 x x +-=（4）220 x x -=（3）4 121 x y x y -=?? +=-?（）1248x y x y +=?? +=-?（）7(3)123 x x --≤解不等式： ，并把解集表示在数轴上 2 6(4)30 3 x x x x --+=+3411x x = +（）32321 x x = +（）13 (5) 122 x x x -=---210223 x x x ，（）ì+>??í?<+??260 310. x x --??（5）10 12 x x ->??≤? （）

（7）求不等式组210 25 x x x +>?? >-?的正整数解. （三）一元二次方程根的判别式 .1、一元二次方程2x 2 +3x+1=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ． 有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ． 无法确定 2、命题“关于x 的一元二次方程x 2 +bx+1=0，必有实数解．”是假命题．则在下列选项中，可以作为反例的是（ ） 3、若 关于x 的一元二次方程2 310ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 。 4、下列一元二次方程中，没有．．实数根的是 A ．0322 =--x x B ．012 =+-x x C ．0122 =++x x D ．12 =x 5、关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax －1＝0的根的情况是 A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 （四）方程（组）与不等式（组）的应用 1、方程的应用 闽北某村原有林地120公顷，旱地60公顷．为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20%．设把x 公顷旱地改造为林地，则可列方程为 A ．)120%(2060x x +=- B ．120%2060?=+x C ．)60%(20180x x +=- D ．120%2060?=-x 2、2、方程组的应用 （1）某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去

初中数学知识点总结：方程与不等式

初中数学知识点总结：方程与不等式 1、方程与方程组 一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。 解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。 二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。 一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程 1）一元二次方程的二次函数的关系 大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了

2）一元二次方程的解法 大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解 (1）配方法 利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解 (2)分解因式法 提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解

方程与不等式

第二章 方程式与不等式 一、考点综述 考点内容： 1、方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念 2、一元一次方程及其解法和应用；二元一次方程组及其解法和应用 3、用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法角一元二次方程 4、可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其应用 5、一元二次方程根的判别式及应用 6、不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集 7、不等式的基本性质 8、一元一次不等式（组）的解法及应用 二、例题精析 题型一：计算 例1解方程： ． 【解题思路】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可． 原方程变形为方程两边都乘以，去分母并整理得，解这个方程得．经检验，是原方程的根，是原方程的增根．∴原方程的根是． 【答案】． 【规律总结】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少． 例2． 【解题思路】解方程组的基本思路就是消元和降次，要根据方程组的特点选取适当方法． 由方程①可得， ∴.它们与方程②分别组成两个方程组： 224111 x x x x -=-+-) 1)(1(4121-+=+--x x x x x )1)(1(-+x x 022=--x x 1,221-==x x 2=x 1-=x 2=x 2=x ?????=+-=-. 03,04222xy x y x ?????=+-=-②xy x ①y x .03,04222()()022=-+y x y x 02,02=-=+y x y x 或???=+-=+04022xy x y x ? ??=+-=-04022xy x y x

中考数学专题练习方程与不等式

方程与不等式 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．已知关于的方程的解满足方程，则的值是( ) A. B. C. 2 D. 3 2．已知两数之和是10，比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 3．下列关于的方程中，有实数根的是( ) A． B． C． D． 4.分式方程的解为( ) A． B． C． D． 5.关于的不等式的解集如图，那么的值是（） A．－4 B．－2 C．0 D. 2 6.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%.那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（） A．甲 B．乙 C．丙 D．一样 7. 在＝－4，－1，0，3中,满足不等式组的值是（） A．－4和0 B．－4和－1 C．0和3 D．－1和0 8. ，是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数使成立则正确的是结论是( ) A．时成立 B．时成立 C．或2时成立 D．不存在 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 已知关于的一元一次方程的解是＝2，则的值为． 10．小明星期天到体育用品商店购买一个篮球花了120元，已知篮球按标价打八折，那么篮球的标价是元． 11. 已知是二元一次方程组的解，则的值为 . 12.已知关于的方程有一个根是，则的值为 . 13．若，是方程的两实数根，那么的值为 . 14．若关于的分式方程有增根，则的值是 . 15．已知直线经过点（1，﹣1），那么关于的不等式的解集是 .

16．小红在解方程组的过程中，错把看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知直线过点（3，1），则的正确值应该是． 三、解答题（本大题共8个小题，满分52分，需要有必要的推理与解题过程）. 17．（本题4分）解方程 18.（本题4分）解方程组： 19．（本题6分，每小题3分）解方程： ⑴. ⑵. 20．（本题6分）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来.

方程不等式的解法

滚动小专题(二) 方程、不等式的解法 类型1 方程(组)的解法 1．(2015·广州)解方程：5x ＝3(x －4)． 2．(2015·中山)解方程：x 2－3x ＋2＝0. 3．(2015·邵阳)解方程组：? ????2x ＋y ＝4，①x －y ＝－1.② 4．(2016·钦州)解方程：3x ＝5x －2 . 5．(2015·黔西南)解方程：2x x －1＋11－x ＝3. ． 6．(2015·荆州)解方程组：? ????3x －2y ＝－1，①x ＋3y ＝7.② 7．(2016·山西)解方程：2(x －3)2＝x 2－9. 类型2 不等式(组)的解法 8．(2016·舟山)解不等式：3x ＞2(x ＋1)－1. 9．(2016·淮安)解不等式组：? ????2x ＋13x ＋2.② 10．(2016·北京)解不等式组：?????2x ＋5＞3（x －1），①4x ＞x ＋72.② 11．(2016·苏州)解不等式2x －1＞3x －12 ，并把它的解集在数轴上表示出来．

12．(2016·广州)解不等式组：???2x ＜5，①3（x ＋2）≥x ＋4，② 并在数轴上表示解集． 13．(2016·南京)解不等式组???3x ＋1≤2（x ＋1），－x ＜5x ＋12， 并写出它的整数解． 类型3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 14．(2016·白银)已知关于x 的方程x 2＋mx ＋m －2＝0. (1)若此方程的一个根为1，求m 的值； (2)求证：不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 15．(2016·北京)关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1＝0有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围； (2)写出一个满足条件的m 值，并求此时方程的根． 16．(2016·梅州)关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不等实根x 1，x 2. (1)求实数k 的取值范围； (2)若方程两实根x 1，x 2满足x 1＋x 2＝－x 1·x 2，求k 的值． 17．(2016·十堰)已知关于x 的方程(x －3)(x －2)－p 2＝0. (1)求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足x 21＋x 22＝3x 1x 2，求实数p 的值．

方程与不等式 专题

专题二《方程与不等式》 ●中考点击 考点分析： 命题预测：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题．其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大；列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题．结合2007－2008年的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考查． 不等式与不等式组的分值一般占到5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题． 由此可见，在方程（组）与不等式（组）这一专题中，命题趋势将会是弱化纯知识性的考题，而更加热衷于数学知识在生活中的应用问题． ●难点透视 例1解方程： 2 241 1 1 x x x x - = -+- ． 【考点要求】本题考查了分式方程的解法． 【思路点拨】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可． 原方程变形为 ) 1)(1(41 21 -+= +- -x x x x x 方程两边都乘以)1)(1(-+x x ，去分母并整 理得022 =--x x ，解这个方程得1,221-==x x ．经检验，2=x 是原方程的根，1 -=x 是原方程的增根．∴原方程的根是2=x ． 【答案】2=x ． 【方法点拨】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少．

初中数学方程与不等式知识点复习汇总

方程与不等式是初中数学学习的巨头，属于基础知识的进阶，难度相对于基础有所提高，并且是今后学习的重中之重，为今后函数等学习奠基。方程是解决问题的必要手段，必须要学好，我们首先来看中考数学方程与不等式复习要求。 1、一元一次方程 了解一元一次方程及其相关概念，掌握等式的性质，了解解方程的基本目标，熟悉解一元 一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法． 掌握列一元一次方程解实际问题中的基本方法，熟悉列一元一次方程解实际问题中的基 本步骤．' 2．二元一次方程组． 了解二元一次方程组及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种 相关的等量关系；了解解二元一次方程组的基本目标，体会"消元"思想，掌握解二兀一次方 程组的代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法；进一步认识利 用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能 力． 3．不等式与不等式组． 了解一元一次不等式及其相关概念，能够列出不等式或不等式组表示问题中的不等关 系；掌握不等式的T性，质-，熟悉解一元一次不等式的一般步骤，掌握一元一次不等式的解法，并 能在数轴上表示出解集；了解不等式组及其相关概念，会解由两个一元一次不等式组成的不 等式组，并会用数轴确定解集；会利用不等式解决简单的实际问题· 4．一元二次方程．

认识一元二次方程及其有关概念，抓住"降次''这一基本策略，掌握配方法、公式法和因 式分解法等一元二次方程的基本解法，会列一元二次方程解决实际问题，体会一元二次方程 的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力· (一)方程和不等式的基本概念 1．方程．(1)等式和方程；(2)方程的解；(3)解方程 2．等式性质．性质1：等式两边都加上(或减去)同 等式； 性质2：等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不能是O) 3．不等式．(1)不等式；(2)不等式的解集；(3)解不等式· 4．不等式的基本性质，性质1：不等式的两边都加上(或减去)同 不等号的方向不变； 性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 (二)方程和不等式的解法．。 1．方程的解法．' (1)一元一次方程．任何一个一元一次方程，总可以通过变形化为：一=6(o≠o)的形式． 元一次方程有唯一解z=鲁("to)． (2)一元二次方程．任何关于z的一元二次方程，都可以化成：一2+h+c=o(。≠o)的形 一元二次方程的解法有以下几种． ①直接开平方法：这种方法用于解不含 当詈≤o时，则x='√一詈；当詈>o时，则方程无实根·

方程与不等式

B、方程与不等式 1、方程与方程组 一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指 数是1，这样的方程叫一元一次方程。②等式两边同时加上或减去或乘以或除 以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。 解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的 方程叫做二元一次方程。 二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一 个解。 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。 一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方 程 1）一元二次方程的二次函数的关系 大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二 次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次 方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了 2）一元二次方程的解法 大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也 有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解 (1）配方法 利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解 (2)分解因式法 提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候 也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解 (3)公式法 这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={- b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a 4）解一元二次方程的步骤： （1）配方法的步骤： 先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时 加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 (2)分解因式法的步骤： 把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这 里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形 式 (3)公式法 就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a， 一次项的系数为b，常数项的系数为c

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《方程与不等式》专题 第二讲：不等式（组）及应用 北京四中 梁威 知识回顾 ? 一元一次不等式 ，一元一次不等式的解法 ? 一元一次不等式组及其解集 类似于方程组，把含有相同未知数的几个一元一次不等式合在一起组 成一个一元一次不等式组，所有这些一元一次不等式的解集的______， 叫做这个不等式组的解集． ? 解一元一次不等式组的解法 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)利用_______确定它们的公共部分； (3)表示出这个不等式组的解集． ? 一元一次不等式(组)的应用 ? 一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0) 当函数值y ＝0时，一次函数转化为一元一次方程； 当函数值y ＞0或y ＜0时，一次函数转化为_____________，利用函数 图象可以确定x 的取值范围. 自主学习 1. 解不等式2 1687x x x +≤+- ，并在数轴上表示它的解集． 2. 解不等式组?? ???>+-≤+-x x x x 432,33)1(2在数轴上表示它的解集，并求它的整数解． 3. 关于x 的方程，如果3(x ＋4)－4＝2a ＋1的解大于 3 )43(414-=+x a x a 的解，求a 的取值范围．

4. 若关于x 的不等式组??? ??<++>+0,1234a x x x 的解集为x ＜2，求a 的取值范围． 5. 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供 调用，已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超 载的条件下，把300吨物资装运完．问：在已确定调用5辆A 型车的前提 下，至少还需调用B 型车多少辆? 6. 某工厂用如图(a)所示的长方形和正方形纸板，做成如图(b)所示的竖式 与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (a) (b) (1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共 100个，设做竖式纸盒x 个． 竖式纸盒(个) 横式纸盒(个) x 所用正方形纸 板张数(张) 2(100－x ) 所用长方形纸 板张数(张) 4x ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?

专题一 方程与不等式问题

第1课时 方程（组）与不等式（组）问题 方程（组）与不等式（组）是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程（组）与不等式（组）的知识来解决，在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系或不等关系，列出方程（组）与不等式（组）来解决，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。 近几年中考注重对学生“知识联系实际”的考查，实际问题中往往蕴含着方程与不等式，分析问题中的等量关系和不等关系，建立方程（组）模型和不等式（组）模型，从而把实际问题转化为数学模型，然后用数学知识来解决。 方程（组）与不等式（组）是代数中的重要内容，有的已知方程（组）的解求方程（组）、应用题的条件编制、也有根据方程进行数学建模等等．解决有关方程（组）与不等式（组）的 试题，首先弄清题目的要求；其次，充分考虑结果的多样性，使答案简明、准确．

类型之一 根据图表信息列方程(组)或不等式解决问题 在具体的生活中根据图示得到方程或不等式，由此解决实际问题，根本在于得到数量之间的关系。 1.（2008?河北省）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 g． 2.（2008年?济南市）教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同．请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格． 3.（2008?济南市）某厂工人小王某月工作的部分信息如下： 信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元；

方程与不等式问题(含答案)

二轮专题复习--方程（组）与不等式（组）问题 方程（组）与不等式（组）是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程（组）与不等式（组）的知识来解决，在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系或不等关系，列出方程（组）与不等式（组）来解决，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。 近几年中考注重对学生“知识联系实际”的考查，实际问题中往往蕴含着方程与不等式，分析问题中的等量关系和不等关系，建立方程（组）模型和不等式（组）模型，从而把实际问题转化为数学模型，然后用数学知识来解决。 方程（组）与不等式（组）是代数中的重要内容，有的已知方程（组）的解求方程（组）、应用题的条件编制、也有根据方程进行数学建模等等．解决有关方程（组）与不等式（组）的试题，首先弄清题目的要求；其次，充分考虑结果的多样性，使答案简明、准确． 类型之一根据图表信息列方程(组)或不等式解决问题 在具体的生活中根据图示得到方程或不等式，由此解决实际问题，根本在于 得到数量之间的关系。 1.（河北省）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果 冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 g． 2.（济南市）教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作 的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母 爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价 格相同．请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花 的价格．

3.（济南市）某厂工人小王某月工作的部分信息如下： 信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元； 信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件． 生产产品件数与所用时间之间的关系见下表： 所用总时间 生产甲产品件数(件) 生产乙产品件数(件) (分) 10 10 350 30 20 850 信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元． 根据以上信息，回答下列问题： （1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？ （2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？ 类型之二借助方程组合或不等式（组）解决方案问题 借助二元一次方程组和一元一次不等式（组）求解方案问题是中考一种新题型，考察了同学们综合运用方程组和不等式深入的分析、比较、归纳和说理的能力. 4.（济南市）某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型 号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李． （1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案； （2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．

(完整版)方程与不等式的知识点梳理

方程与不等式知识点梳理 1、方程与方程组 一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样 的方程叫一元一次方程。②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代 数式，所得结果仍是等式。 解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元 一次方程。 二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。 一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程 1）一元二次方程的二次函数的关系 大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中 表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次 函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面 直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是 该方程的解了 2）一元二次方程的解法 大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在 上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解 (1）配方法 利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解 (2)分解因式法 提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解 (3)公式法 这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a 3）解一元二次方程的步骤： （1）配方法的步骤： 先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的 一半的平方，最后配成完全平方公式 (2)分解因式法的步骤： 把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中

第二章 方程与不等式(组)复习教案

普文镇中学2014----2015学年下学期九年级面对面第二章 方程（组）与不等式（组）教案 主备人：唐泽燕 参与教师：兰艳李玉娇郭兵 肖兴斌李朝阳 授课班级： 授课教师：

第一节一次方程式（组） 教学目标： 1.理解方程、方程组，以及方程和方程组的解的概念 2.掌握解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤与方法，体会 “消元”的数学思想，会求二元一次方程的正整数解 3.能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方 程组来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性 教学重点： 解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤和方法 教学难点： 根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方程组学情分析： 教学手段及运用： 多媒体课件，运用多媒体课件让学生更容易观察理解 教学方法运用： 复习知识，教师讲解，学生练习 教学过程： 一、知识点复习 考点一等式的性质(2011版新课标新增内容) 性质1：等式两边加(或减）同一个数(或式子），结果仍相等.如果a=b,

那么 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相 等.如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么 考点二一元一次方程及解法 1. 方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方 程叫做一元一次方程. 2. 形式：任何一个一元一次方程都可以化成ax+b=0(a、b是常数， 且a≠0)的形式. 3. 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就 是方程的解. 4. 一元一次方程的解法 步骤具体做法 去分母在方程两边都乘以各分母的①____________(若未知数的 系数含有分母，则先去分母) 去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(若方程含有括 号，则去括号) 移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到 方程的另一边，注意移项时一定要改变符号 合并把方程化成ax=b(a≠0)的形式 系数化为1 方程两边都除以未知数的②______，得到方程的解③__________. 考点三二元一次方程（组）及其解法

方程与不等式教案

专题五 一元一次方程 复习目的: 1、了解等式的概念,掌握等式的基本性质。 2、了解方程、方程的解及解方程的概念。 3、了解一元一次方程,二元一次方程组及其标准形式、最简形式。 4、会列一元一次方程解应用题,并根据应用题的实际意义检验求值就是否合理。 5、能正确地列二元一次方程组解应用题。 考点透视 例1如果2x =就是方程 1 12 x a +=-的根,那么a 的值就是( )A 、0 B 、2C 、2- D 、6- 变式训练:已知关于x 的方程223=+a x 的解就是1-=a x ,则=a 。 2、一元一次方程的解法 1)等式的性质:①等式两边同时加上(减去)同一个整式,等式仍然成立;②等式两边同时乘以(除以)同一个数(除数不能为0),等式仍然成立。 2)解一元一次方程的一般步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1。 例2、1)(2008自贡)方程063=+x 的解的相反数就是( ) A 、2 B 、－２ C 、3 D 、－3 2)(2008武汉)如果05.205.2002005-=-x ,那么x 等于( ) A 、1814、55 B 、1824、55 C 、1774、55 D 、1784、45 3)解方程:①12223x x x -+-=-;②2 (1) 0.4(1) 3430.24 x x -+-=- 3、一元一次方程的应用 1)列一元一次方程解应用题的一般步骤:①审题;②设未知数;③找出相等关系;④列出方程;⑤解方程;⑥检验作答。 2)列一元一次方程解应用题的常见题型:①等积变形问题,注意变形前后的面积(体积)关系;②比例问题,通常设每份数为未知数;③利润率问题,数量关系复杂,要特别注意,常用的相等关系就是利润的两

中考方程和不等式专题

中考方程和不等式专题 【考点聚焦】 “方程与不等式”包括方程与方程组、不等式与不等式组两方面内容．“方程与不等式”均存在标准形式，其解法具有程序式化的特点是一种重要的数学基本技能．此外，“方程与不等式”也是刻画现实世界的一个有效的数学模型，在现实生活中存在大量的“方程与不等式”问题． “方程与不等式”是初中数学的核心内容之一．就解法与自身的应用来说，“方程与不等式”是初中数学最重要的基础知识之一，同时也是学习函数等知识的基础；就所蕴含的“方程思想和转化思想”而言，它更是培养同学们分析问题和解决问题思想方面的重要源泉和场所． 同时对“方程与不等式”的考查，一方面注重对其解法和与其它知识点联系的考查，另一方面更注重对其与现实生活的联系，加强对解决简单实际问题的数学考查． 在学业考试中所有题型均可出现，题量不小，而且难度将随着题型变化而变化． 【热点透视】 热点1：设计重结果的问题考查方程与不等式的有关概念 例1（1）二元一次方程组 3 20 x y x y -=- ? ? += ?的解是（） （A） 3 20 x y x y -=- ? ? += ?（Ｂ） 3 20 x y x y -=- ? ? += ? （C） 3 20 x y x y -=- ? ? += ?（D） 3 20 x y x y -=- ? ? += ? （2）不等式组 3 20 x y x y -=- ? ? += ?的解集在数轴上表示正确的是（） 分析：（1）小题对二元一次方程组的解法多样，供同学们选择的解题途径较多，即使同学们只从方程组的解的概念出发通过验算也能够解决问题，因而题目的效度较高．（2）小题通过对不等式组解集的选择，考查了同学们解不等式组的基本功． 解答：（1）（A）；（2）（B）． 点评：这样的问题由于只关心对同学们解答问题结果正确性的考查，具有较强的针对性，比较适合对

方程组与不等式组知识点

第二章 方程（组）与不等式(组) 方程与方程组解法总结 一元一次方程等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。 一元二次方程的解法 (1）配方法 (2)分解因式法 (3)公式法 解一元二次方程的步骤： （1）配方法的步骤： 先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 (2)分解因式法的步骤： 把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 (3)公式法 就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 4）韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=- a b ，二根之积= a c 也可以表示为1x +2x =-a b ,21x x =a c 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 5）一元一次方程根的情况 利用根的判别式I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III 当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根） 难点提示: 1.一元二次方程的根的判别式：

△=b 2+4ac ，当△>0 方程有两个不相等的实数根；当△=0 时 方程有两个相等的实数根；当△<0 方程没有实数根。 2.根与系数的关系： 若一元二次方程2ax +bx+c=0（a≠0）的两根为12,x x ，则1x +2x =- a b ，1x 2x ·= a c 。 反过来，以12,x x 为根的一元二次方程是(x-1x )(x-2x )=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程 2 ax +bx+c=0（a≠0）。 特殊的：对二次项系数为1的方程2x +px+q=0的两根为12,x x 时，那么1x +2x =-p ，1x . 2x =q 。反之，以1x ，2x 为根的一元二次方程是：(x-1x )(x-2x )=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：2x +px+q=0。 3.解分式方程的数学思想是转化为整式方程，方法为去分母法和换元法。 注意事项： 1.不等式的基本性质中 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用式子表示：如果a>b ，且c<0，那么ac