初二数学解含字母的不等式(组)培优(详细解析)

解含字母不等式（组）培优训练

一．选择题

1．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．

2．不等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（）A．B．a≤C．≤a＜﹣1 D．a≥

3．若实数abc满足a2+b2+c2=9，代数式（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2的最大值是（）

A．27 B．18 C．15 D．12

4．已知非负数a，b，c满足条件a+b=7，c﹣a=5，设S=a+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值（）

A．5 B．6 C．7 D．8

5．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x．根据题意得（）

A．10x﹣5（20﹣x）≥120 B．10x﹣5（20﹣x）≤120

C．10x﹣5（20﹣x）＞120 D．10x﹣5（20﹣x）＜120

6．若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范

围是（）

A．m≥5 B．m＞5 C．m≤5 D．m＜5

7．若x＞0，y＞0，且x+y=12．则的最小值是．

8．已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c=0．

参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）

2．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．

【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．

【分析】先求出不等式组的解集（含字母a），因为不等式组有3个整数解，可逆推出a的值．（试题来源：）

【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，

∵，

∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．

若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；

若三个整数解为0，1，2，则；

解得．

故选：B．

【点评】解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

3．不等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（）A．B．a≤C．≤a＜﹣1 D．a≥

【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．

【分析】先求出不等式组的解集，然后根据整数解是1，2，3，4得到关于a的不等式组，解不等式组即可求解．注意要根据a的正负分情况讨论．

【解答】解：不等式0≤ax+5≤4可化为

解得

（1）当a=0时，得0≤﹣1，不成立；

（2）当a＞0时，得﹣≤x≤﹣，因为不等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，所以﹣≤1，﹣≥4，解得﹣5≤a≤﹣，与a＞0不符；

（3）当a＜0时，得﹣≤x≤﹣；因为不等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，所以≤a＜﹣1．

故选：C．

【点评】本题旨在考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

4．若实数abc满足a2+b2+c2=9，代数式（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2的最大值是（）

A．27 B．18 C．15 D．12

【考点】C2：不等式的性质．

【分析】根据不等式的基本性质判断．

【解答】解：∵a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，

∴﹣2ab﹣2ac﹣2bc=a2+b2+c2﹣（a+b+c）2①

∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc；

又（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2

=3a2+3b2+3c2﹣（a+b+c）2

=3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2②

①代入②，得3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2=3×9﹣（a+b+c）2=27﹣（a+b+c）2，∵（a+b+c）2≥0，

∴其值最小为0，

故原式最大值为27．

故选：A．

【点评】本题主要考查了不等式a2+b2≥2ab．

5．已知非负数a，b，c满足条件a+b=7，c﹣a=5，设S=a+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值（）

A．5 B．6 C．7 D．8

【考点】CE：一元一次不等式组的应用．

【分析】由于已知a，b，c为非负数，所以m、n一定≥0；根据a+b=7和c﹣a=5推出c的最小值与a的最大值；然后再根据a+b=7和c﹣a=5把S=a+b+c转化为只含a或c的代数式，从而确定其最大值与最小值．

【解答】解：∵a，b，c为非负数；

∴S=a+b+c≥0；

又∵c﹣a=5；

∴c=a+5；

∴c≥5；

∵a+b=7；

∴S=a+b+c=7+c；

又∵c≥5；

=12，即n=12；

∴c=5时S最小，即S

最小

∵a+b=7；

∴a≤7；

∴S=a+b+c=7+c=7+a+5=12+a；

=19，即m=19；

∴a=7时S最大，即S

最大

∴m﹣n=19﹣12=7．

故选：C．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是熟练掌握不等式的性质，求出S的最大值及最小值，难度较大．

6．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小

明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x．根据题意得（）

A．10x﹣5（20﹣x）≥120 B．10x﹣5（20﹣x）≤120

C．10x﹣5（20﹣x）＞120 D．10x﹣5（20﹣x）＜120

【考点】C8：由实际问题抽象出一元一次不等式．

【分析】小明答对题的得分：10x；小明答错题的得分：﹣5（20﹣x）．

不等关系：小明得分要超过120分．

【解答】解：根据题意，得

10x﹣5（20﹣x）＞120．

故选：C．

【点评】此题要特别注意：答错或不答都扣5分．

至少即大于或等于．

7．若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范

围是（）

A．m≥5 B．m＞5 C．m≤5 D．m＜5

【考点】CB：解一元一次不等式组．

【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．

【解答】解：解不等式2x﹣1＞3（x﹣2），得：x＜5，

∵不等式组的解集为x＜5，

∴m≥5，

故选：A．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

11．某射击运动爱好者在一次比赛中共射击10次，前6次射击共中53环（环数均是整数），如果他想取得不低于89环的成绩，第7次射击不能少于6环．【考点】C9：一元一次不等式的应用．

【分析】他想取得不低于89环的成绩，就是成绩要大于或等于89环，根据这个不等关系就可以列出不等式．

【解答】解：已知前6次射击共中53环，不低于89环，故89﹣53=36环

假设让最后3枪打最大值，则第7枪不得低于36﹣10×3=6环，如果少于6环，即使后面3枪都是10环，也不能打到89环．

【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质；题目充分运用三个相似的等腰三角形的对应边成比例的性质解题，体现了形数结合的思想．

17．若x＞0，y＞0，且x+y=12．则的最小值是13．

【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题．

【分析】将代数式转化为+，理解为A（x，0）到B（0，2）、C（12，3）的距离的最小值，利用勾股定理解答即可．

【解答】解：∵x+y=12，∴y=12﹣x，

原式可化为：=+，

即可理解为A（x，0）到B（0，2）、C（12，3）的距离的最小值．

如图：的最小值即B′

C的长度．

∵B′C==13，

∴的最小值为13．

故答案为：13

【点评】本题考查利用轴对称求最短路线的问题，难度较大，解题关键是将求代数式的值巧妙的转化为几何问题．

21．已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c=0．

【考点】C2：不等式的性质．

【分析】此题可以根据绝对值的意义结合不等式的性质进行分析．

【解答】证明：∵|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|

∴a2≥（b+c）2，b2≥（c+a）2，c2≥（a+b）2

∴a2+b2+c2≥（b+c）2+（c+a）2+（a+b）2=2（a2+b2+c2）+2ab+2bc+2ca

∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤0

∴（a+b+c）2≤0，而（a+b+c）2≥0

∴a+b+c=0．

【点评】一个数的绝对值和平方具有类似性，但出现绝对值时，可用平方求解．