浅谈数形结合思想(1)
浅谈数形结合思想在解题中的应用
珥陵高中 许一爱
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，将数与形相互转化来解决数学问题的思想方法．某些数量关系的问题可以借助于它们图形的性质，使问题变得直观而形象；某些涉及图形的问题可以转化为数量关系，便获得简洁而一般的解法；还有些问题可以同时使用图形和数量关系，同样可以得到很简便的解法．因此，恰当的运用数形结合思想解题可以使许多数学问题变得形象而简单．
数形结合通常包括以形助数、以数助形、数形互助三方面．作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系式，用“数”的分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题，分析其几何意义，借助形的说明数形结合思想在解题中的运用．
一、以形助数
许多数（式）的问题，如果依据“数”所存在的背景，按照某种对应规律，把“数”迁移到“形”还原成基本图形，再运用基本图形的性质来解，就显得解法直观而形象．
例1 求函数13615)(22++-+=x x x x f
分析 由于)(x f 的解析式中含有两个根号， 根号内部是x 的二次式，用中学的代数方法很难 求出它的最大值，即使用高等数学中求导的方法， 虽然可求得)(x f 的最大值，但计算十分繁长，但 如果巧妙的用两点之间的距离公式的方法，问题 就简单了．
解 13615)(22++-+=x x x x f
＝2222)20()3()150()0(-+---+-x x
设)0,(),2,3(),15,0(x P B A ，如图1，那么求函数)(x f 的表达式就是，就是在x 轴上的动点P 到定点A 的距离减去P 到B 的距离，这时，点P B A ,,为顶点，组成PAB ?如图1．根据三角形两边之差小于第三边，那么当P 位于AB 和轴x 的交点C 的位置时，PB PA -最大，这时1572)215()30()(22-=-+-==-=AB CB CA x f ．
例2 求函数sin 2
cos 2
x y x -=-的最大值和最小值．
分析 如果单纯从代数角度考虑这个题目， 因为分子，分母都有变量x ，当x 使y 的分子取最大(小)值时，但分母却并不是最小(大)值，所以用sin x 和cos x 的有界性，难以求
得y 的最大(小)值．若令(cos ,sin )A x x ，(2,2)B ， 点A 在单位圆上，如图2，则可以将y 看成是 点A 与定点B 连线AB 的斜率设为k ．
解 直线AB 可以表示为(2)(2)y k x -=-， 直线与圆221x y +=相切，切点为1M 和2M 。 则求函数最值的问题转化为求斜率最值的问题． 因为圆心O 到直线的距离为1，
1=，化简得23830k k -+=
，解得k =
例3 已知,,a b c R ∈，求证
:22221
()3
a b c a b c ++≥++．
分析 这道题如果单纯从代数角度入手，凭我们作题的经验是很繁杂的，这时就可以解 将原不等式化为
2222
()33
a b c a b c ++++≥．因为题目中涉及 很多一次方和二次方，所以不妨设二次函数
2y x =，则可将2(,)a a ，2(,)b b ，2(,)c c 看作
是这曲线的三个点，那么题目就可以看作是求证这三个点纵坐标的平均值2
3
，
和横坐标平均值
3
a b c
++平方的关系，由此可以联想到这三点构成的三角形重心222(,)33
a b c a b c ++++．如图3，作出函数2y x =的图象，,,A B C 三点在2y x =上，分别表
示2(,)a a ，2(,)b b ，2(,)c c ．G 是三角形的重心．GP x ⊥轴于点P 且与曲线2y x =交于点M ，
则222(,)33a b c a b c G ++++，2
(,())33a b c a b c M ++++．显然有G P M P ≥．即
2222()33
a b c a b c ++++≥．
二、以数助形
以数助形是数形结合的又一妙用，它的思想与以形助数相反，运用代数方法来解决涉及到的图形问题．
例4 如图4，E 是正方形ABCD 外接圆AD 上任一点，求证
:EA EC +=，
.22AB EB EC EA -=?
分析 这是“形”的问题，但形中隐数，把它转化为“数”的问题来解决要简单的多． 证明 在△EAB 中和△EBC 中如图7由余弦定理得
,45cos 2222??-+=EB EA EB EA AB
.45cos 2222??-+=EB EC EB EC BC
由BC AB =得
,02222=-+?-AB EB EA EB EA
.02222=-+?-AB EB EC EB EC
∴EA ，EC 是方程02222=-+-AB EB EBx x 的两根，
由韦达定理得： EB EC EA 2=+，.22AB EB EC EA -=?
以数助形主要是解决一类在图形上无法直观看出或作出所需的结论，要通过一定的代数推理与计算，方能准确求得结果．
例5 在△ABC 中AB =5，
AC =7，BC =8点P 是△ABC 的内切圆周上一点．求P 到△ABC 三个顶点的距离的平方和=S 2
2
2
PC PB PA ++的最值．
解 如图5，由余弦定理可得ABC ∠=600，令A (5，0)，B (0，0)，C (4， 34)．设内切圆圆心为'O ，半径为r ，D 为⊙'O 与AB 边的切点．
∵3)(21
=-++=CA CA BC AB OD ，
∴在Rt O OD '?中，.30'0tg OD D O = 即x =3，'O (3，3)，⊙'O 方程为
.3)3()3(22=-+-y x
设P (θcos 33+，θsin 33+) ．
(02)θπ≤≤是O ' 上任意一点，则 =S 2
2
2
PC PB PA ++=θsin 656-当23π=
θ时，62m ax =S ；当2
π
=θ时，.50m in =S 图4
三、数形互助
有些例型的题目，单纯的用以形助数，或以数助形求解都得不到简洁的方法，这时就要将“数”与“形”结合起来运用。在数形互助互助结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则．当然在运用数形结合的思想时，应掌握以下几点：
1)善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系； 2)正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系；
3)切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图． 例6 若1cos cos =+βα，求βαsin sin +的范围．
解 如图6，设角α，β的终边与单位圆分别交于A ，B 两点，那么
A (αcos ，αsin )，
B (βcos ，βsin )，设弦BA 的中点为P (x 0，y 0)，则
.2
sin sin ,212cos cos 00β
αβα+==+=
y x 显然，当α，β变化时，弦AB 的中点
P 的轨迹为弦CD ，2
1
=x ，2323≤≤-y ，
即],23,23[0-
∈y ∴].3,3[sin sin -∈+βα结合的思想，也就是从函数的图象与性质两个不同的侧面全面反映函数的特征．
例7 方程x x 212=-的解的个数为（ ） （A ）0；（B ）1；（C ）2；（D ）3． 错解 在同一坐标系中画出函数12-=x y
和x y 2=的图象．由图可知两图象有1分析 此题由于草图粗糙而导致误判． 事实上，考察函数12-=x y 和x y 2=的增长 “速度”变化，即知它们有2个交点， 故正确答案应为（C ）
上例说明熟悉函数解析式与熟悉函数图象性质同样重要，熟练而正确地勾画出图象的轮廓是数形结合的基础．
数形结合思想实质上是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和
形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的辅助作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．由此可见，运用数形结合思想来解决问题的关键是能通畅地进行数、形之间的相互转换，
任何一种思想的形成，都需要一个长期的体验过程．与其他的数学思想类似，数形结合思想的确立，也必然要经历一个由感性到理性、由模糊到清晰、由生疏到成熟的发展过程．数形结合的思想方法，其最大的优点是非常直观，常常能启发思维．最大的缺点是图象总有局限性，如果图形绘制的不够准确，常常引起误解或漏解．因此，我们在用数形结合分析问题时，应尽可能地伴以严密的逻辑推理，使掌握方法和发展能力有机地结合起来．
关于数形结合思想的教学方式浅谈
关于数形结合思想的教学方式浅谈 资料来源：大学生教育资源 我有幸参加了由省教科所组织的四川省教育教学共同体举办的关于“小学生数形结合能力的研究”论坛，全省30个共同体研究单位进行了三年级和六年级数形结合能力调查与分析，共同体学校对此项工作非常重视，都给出了分析报告。论坛中来自7所学校的一线教师带来了七堂精彩的数形结合课，有以形来揭示数的《路程速度时间》、《相遇问题》、《合理安排提高效率》、《比赛场次》，有以数来表示形的《点阵中的规律》、《组合图形》、《方向与位置》等，七节课为此次论坛数形结合能力研究提供了很多研究素材，特别是经过小组讨论、专家点评、专家讲座后，给我的教学方法提供了启发。 通过本次论坛，通过与专家面对面的评课、议课结合自己的教学实际和本次对三、六年级的数形能力的调查与分析，主要对以下问题提出了质疑： ●数形结合中“数”与“形”谁先谁后? ●教师在数学教学中如何充分渗透数形结合的思想? ●通过直观的图形揭示数，是否影响了学生的抽象思维能力? ●如何在教学中很好地通过数抽象出图形，看图提问题、解决问题? ●数学课堂中能否建立一种数一形一数或形一数一形的数
学教学模式? ●在高段教学中，数形怎样结合才能促进学生主动发展? 在这次论坛中，通过专家对课例的点评和对数形结合的理解，结合课例对一线教师提出的质疑作出了解答，使一线教师对数形结合在实际教学中要注意的问题有了更深入的理解和认识，使我由最初的迷茫发展至现在的茅塞顿开，达到了参与这次论坛的目的。 一、数形结合是一种数学思考方法 数形结合是数学思考、数学研究、数学应用、数学教学的基本方式，数形结合是双向过程，要处理好数与形的结合，要根据教材的特点和学生的思维水平而定。 1．就教材内容而言，对于较新、较难的教学内容、对于学习较困难的学生可先形后数，用形来表示数，学生通过形来表示数量之间的关系；对于后继教材和较容易理解的内容可先数后形，通过数来揭示形。 2．就学生的年龄特征而言。中低段学生是以具体形象思维为主，实施先形后数，让学生从形中读懂重要的数学信息，并整理信息，提出数学问题并加以解决，对于逻辑思维能力较强的中高段学生，应该逐步过渡到先数后形，如在教学分数的乘、除法意义，教学长方体、正方体、圆柱体的拼、截引起的面积变化时，让学生通过画出直观图形，能让学生很快找出面的变化，
数形结合思想方法
八、数形结合思想方法 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合一是一个数学思想方法，应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系，其次是借助于数的精确性来阐明形的某些属性。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化。 Ⅰ、再现性题组： 1. 设命题甲：0 浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透 摘要:“数”与“形”之间密不可分,它们相互转化,相辅相成。在教学中渗透数形结合的思想,可把抽象的数学概念直观化,帮助学生形成概念;可使计算中的算式形象化,帮助学生在理解算理的基础上把握算法；可将复杂问题简朴化,在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。 关键词：数形结合；小学数学;数学思想 美国教育心理家布鲁纳也指出：掌握基本的数学思想方法,能使数学更易于理解和更利于记忆,领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法是解决数学问题所采用的方法。它是数学概念的建立、数学规律的归纳、数学知识的掌握和数学问题解决的基础。在人的数学研究中,最有用的不仅仅是数学知识，更重要的是数学思想方法。小学数学中常用的数学思想方法中“数形结合”思想尤为重要。那么在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？以下根据自身的数学教学实践谈谈自己的粗浅见解。 数、形是数学中两大基本概念之一，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展而展开的。“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”,在探讨“形”的性质时,又往往离不开“数”。“数形结合“的思维方法，便是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。 本文先解读“数形结合”思想,浅谈其历史性及重要意义,后结合实践重点探讨“数形结合”在小学数学教学中的实际应用和实施途径。 一.了解小学数学教材中蕴涵的主要数学思想方法 数学思想:符号思想，集合思想,对应思想，化归思想。 数学方法: （1)思维方法:分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎 (2) 一般方法：观察、实验、比较、分类、联想、类比、化归、猜想 （３)数学特点较强的方法：函数法、数学模型法、数形结合法、统计法、变换法、分析法、综合法 (4)数学技能：换元法、代入法、系数比较法、合并同类项法、因式分解法、判别式法、配方法、加减消元法、代入消元法、待定系数法、恒等变形法、公式法、构造法、通分母、去括号 在小学数学教学中渗透的数学思想和方法,是以数学方法为主,一般称为数学思想方法，包括思维方法与数学技能。、 二、“数形结合”，由来已久?早在数学被抽象、分离为一门学科之前,人们在生活中度量长度、面积和体积时,就已经把数和形结合起来了。在宋元时期，我国古代数学家系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特 课题：中职常见的三种数学思想方法 教学目标：1.理解数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想； 2.学会用数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想 等三种思想解答实际数学问题。 教学重点：帮助学生树立数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想。 教学难点：数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想在实际数学问题中的应用。 教学方法：讲练结合及世界大学城空间网络教学 教学设计： Ⅰ.新课讲授 （一）专题一：数形结合思想 1．数形结合的含义 (1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形 的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法． 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化， 抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数 学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合． (2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大 致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数 形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数 的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规 范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的， 如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 角度一：利用数形结合讨论方程的解或图像交点 [例1]函数f(x)＝x 1 2 － ? ? ? ? ?1 2 x 的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 方法规律：讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解. 强化训练：1．方程log3(x+2)=2x解的个数为 角度二：利用数形结合解不等式或求参数问题 [例2]使log2(－x) 包头师范学院 本科毕业论文 题目：小学数学教学中学生数形结合思想的培养学生姓名：刘广鑫 学号：0807840068 学院：教育科学学院 专业：小学教育 班级：08级小教2班 指导教师：王志东教授 二〇一二年五月 摘要 通过研究数形结合思想及其形成途径，从而深刻的理解数形结合的内容及其它的形成途径，在结合个案分析来深刻体会数形结合在小学教学中的应用，在实际的数学学习过程中，培养学生的直觉思维能力、发散思维能力和学生的创造思维能力，并使学生通过数形结合思想转变自己的学习观念，并养成良好的思维意识和树立辩证的唯物主义世界观。 关键词：思想方法；数形结合；渗透 Abstract By research number shaped combination thought and formed way,to deep of understanding number shaped combination of content and the other of formed way,in combination case analysis to deep experience number shaped combination in primary school teaching in the of application,in actual of mathematics learning process in the, training students of intuition thinking ability,and divergent thinking ability and students of created thinking ability,and makes students by number shaped combination thought change themselves of learning concept,and habit good of thinking consciousness and set dialectical of materialism world. Key word：Method of thinking number shape union penetration 数 形 结 合 ———高考解题的一把利刃 山东 胡大波 数形结合思想的实质是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来，具有直观、明了、易懂等优越性，如能准确把握，威力巨大．这也是高考考查的重点，让我们看看其在函数中的神奇效果． 一、研究函数的性质 例1 （2005年北京卷13题）对于函数()f x 定义域中任意的1212()x x x x ≠，，有如下结论： ①1212()()()f x x f x f x +=g ；②1212()()()f x x f x f x =+g ； ③1212()()0f x f x x x ->- ；④1212()()22x x f x f x f ++??< ??? ． 当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是___． 解析：作出图象如图1，由图可知④不正确；而①显然不成立；②为运算律，成立；③表示12x x -与12()()f x f x -同号，由增函数的定义知：()lg f x x =在其定义域上为增函数成立．所以答案为：②③． 点评：本题综合考查函数的概念、图象及性质，选项③侧重考查单调性，选项④考查函数图象，若用代数方法研究，难度较大，通过图象的特征及其变化趋势则容易判断． 二、研究函数的最值 例2 （2006年全国Ⅱ理科12题）函数19 1()n f x x n ==-∑的最小值为（ ） ． （Ａ）190 （Ｂ）171 （Ｃ）90 （Ｄ）45 解析：绝对值往往是使试题增加难度的“添加剂”．如果试图进行分类讨论，几乎不可能完成，必须另寻妙法!1x -的几何意义是什么？是数轴上的点 x 到点1的距离，那么 12x x -+-就是点x 到点1与到点2的距离之和，如图2，当[1 2]x ∈，时，12x x -+-的最小值为1；又当x =2时，123x x x -+-+-的最小值为2；…，依次类推，当x =10 数形结合思想 1. 数形结合思想的概念。 数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，数和形之间是既对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形是指几何图形和函数图象。在数学的发展史上，直角坐标系的出现给几何的研究带来了新的工具，直角坐标系与几何图形相结合，也就是把几何图形放在坐标平面上，使得几何图形上的每个点都可以用直角坐标系里的坐标(有序实数对)来表示，这样可以用代数的量化的运算的方法来研究图形的性质，堪称数形结合的完美体现。数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。如解决不等式和函数问题有时用图象解决非常简捷，几何证明问题在初中是难点，到高中运用解析几何的代数方法有时就比较简便。 2. 数形结合思想的重要意义。 数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，使得原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法和解决方案。如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形。另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点，这时就需要用数来表示，如一个角是不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。换句话说，就是形也离不开数。因此，数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大。 3. 数形结合思想的具体应用。 数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形 浅谈小学数学数形结合思想 发表时间：2014-08-01T08:44:54.437Z 来源：《教师教育研究（教学版）》2014年7月供稿作者：陈月英[导读] 数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。陈月英/广西陆川县温泉镇泗里小学 〔摘要〕数与形是数学教学研究对象的两个侧面,把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题,就是数形结合思想。 〔关键词〕小学数学数学方法运用 一、数形结合的思想方法 数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。 二、集合的思想方法 把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法，继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所体现。在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。 如用圆圈图(韦恩图)向学生直观的渗透集合概念。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。 三、函数的思想方法 恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。在小学数学教学中，教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想。 函数思想在人教版一年级上册教材中就有渗透。如让学生观察《20以内进位加法表》，发现加数的变化引起的和的变化的规律等，都较好的渗透了函数的思想，其目的都在于帮助学生形成初步的函数概念。 四、极限的思想方法 极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。 现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；在循环小数这一部分内容中，1÷3=0.333……是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的；在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。 五、化归的思想方法 化归是解决数学问题常用的思想方法。化归，是指将有待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。客观事物是不断发展变化的，事物之间的相互联系和转化，是现实世界的普遍规律。数学中充满了矛盾，如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等，实现这些矛盾的转化，化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难为容易，都是化归的思想实质。任何数学问题的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程，是一个等价转化的过程。化归是基本而典型的数学思想。 在教学平面图形求积公式中，就以化归思想、转化思想等为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善了学生的认知结构。 六、归纳的思想方法 在研究一般性性问题之前，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从而归纳出一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。在解决数学问题时运用归纳思想，既可认由此发现给定问题的解题规律，又能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的原理或命题。因此，归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法，也是思维过程中的一次飞跃。 七、符号化的思想方法 数学发展到今天，已成为一个符号化的世界。符号就是数学存在的具体化身。英国著名数学家罗素说过：“什么是数学?数学就是符号加逻辑。”数学离不开符号，数学处处要用到符号。怀特海曾说：“只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的。”数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。 总之，小学数学除渗透运用了上述各数学思想方法外，还渗透运用了转化的思想方法、假设的思想方法、比较的思想方法、分类的思想方法、类比的思想方法等。在教学中，教师要既重视数学知识、技能的教学，又注重数学思想、方法的渗透和运用，这样无疑有助于学生数学素养的全面提升，无疑有助于学生的终身学习和发展。 浅谈小学数形结合思想方法 摘要：数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，在小学数学教学与解决问题中广泛应用，本文介绍相关概念并结合人教版小学数学教材，初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用，提出培养数形结合思想方法的策略。 关键词：小学数学；数形结合 1.数形结合思想方法的概念 数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和互相转化来解决问题的思想方法。1数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，在小学数学教学与解决问题中广泛应用，包含“以形助数”和“以数解形”两个方面：前者借助形的直观性来阐明抽象的数之间的关系；后者是利用数的精确性、规范性与严密性来阐明形的某些属性。数形结合思想方法使数与形两种信息互相转换并且优势互补，从而能够将复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。2 2.数形结合思想在各个学习领域的渗透与应用 小学数学分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”这四个学习领域，数形结合思想在这四个领域中都得到了广泛的应用。我通过对教材的分析，初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用。 2.1数形结合思想方法在“数与代数”知识领域中的渗透与应用 数是十分抽象的，教材在编排上充分利用了数形结合，帮助孩子理解数的含义。如，一年级上册1~5的认识这一课时： 教材的内容与目标体现以下两方面：（1）体会“形”的直观性。借助各种实物图作为直观工具，帮助学生理解数字的含义。（2）了解可以用数来描述几何图形。通过让学生用相应数量的小棒摆一摆图形的过程，引导学生数一数，增强用数的量化来描述形，让学生初步感受数中有形、形中有数的思想。 除此之外，在加减法的计算学习中，利用画图来直观呈现各种信息，帮助学生分析数量关系；在乘法口诀的学习中，利用各种图形（点子图、数轴、表格）帮助学生理解乘法的意义和口诀的推导；在分数的学习中，为了让学生能够理解分数的含义，教材运用了大量的图形作为直观手段；在小数的学习中，利用尺子、线段、正方形等直观手段帮助学生理解小数的意义与性质；在方程的学习中，利用天平图作为直观手段，理解等式的性质，利用画线段图帮助学生理解数量关系……可以说，数形结合思想在“数与代数”的学习中无处不在，应用十分广泛。 2.2数形结合思想方法在“图形与几何”知识领域中的渗透与应用 1王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海:华东师范大学出版社,2014:65. 2毕保洪,贺家兰.数形结合思想的应用[J].中学教与学,2017,1:15-16. 数学思想方法专题：数形结合思想 【教学目标】 知识目标 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。 能力目标 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。 情感目标 在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。 【教学重难点】 重点：对数形结合思想方法的考查包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，代数问题几何化，几何问题代数化。 难点：一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征，关键在于恰当应用图形来体现数的几何意义，巧妙运用数的精确性和严密性，来揭示形的某些属性。 【考情分析】 在高考中，利用客观题的题型特点来考查数形结合的思想方法，突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形来解决问题的意识，而在解答题中对数形结合思想的考查是由“形”到“数”的转化为主。高考题对数形结合思想方法的考查，一方面是通过解析几何或平面向量考查一些几何问题，如何用代数方法来处理，另一方面，有一些代数问题则依靠几何图形的构造和分析辅助解决，历年来高考试卷中的许多试题都富有鲜明的几何意义，运用数形结合思想可迅速做出正确的判断。 【知识归纳】 数形结合思想包含“数形结合”和“形数结合”两方面，“数形结合”就是将代数的问题转化为图形形式的问题，利用图形形式解决问题；“形数结合”就是将图形的问题转化为代数的问题，利用代数的方法解决问题。 应用数形结合的思想，可实现以下类型的数与形的转化： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围，求零点的个数； (3)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题、比较大小关系和证明不等式； (5)构建立体几何模型将代数问题几何化； (6)建立坐标关系，研究图形的确定形状、位置关系、性质等. 【考点例析】 题型1：数形结合思想在集合中的应用 例1．设平面点集{ } 22 1(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ??=--≥=-+-≤??? ? ，则B A ?所表示的平 面图形的面积为（ D ） A ． 34π B ． 35π C ． 47π D ． 2 π 数形结合的思想 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意 义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。 浅谈数形结合思想的应用 ——蒋海朋摘要：数学是在客观上研究数量关系和空间形式的一门科学，用通俗易懂的话来概括就是数学是研究“数”和“形”的一门科学。数相对于形来说更为抽象，形相对于数来说较为直观，在研究学习中，数与形是相辅相成、息息相关的。对于这个问题，本人在结合自己学习的总结以及前人所提供的经验，并且查阅相关资料，对于这个话题做一个简单的分析。文中的例子都是本人在学习中总结的历年高考、中考的试题以及模拟题，有很强的代表性。 关键词：数形结合数学思想应用 1 引言 1.1问题提出的背景 纵观数学发展的历史进程，数学家们早已把“数”和“形”联系在一起。早在公元300年之前，欧几里得的著作《几何原本》，他从几何的角度出发去研究和处理等价的代数问题；笛卡尔利用坐标为根基，通过代数为途径来研究几何问题，进而创立了解析几何学；化圆为方、三等分角、立方倍积这些几何难题都通过代数的方法得以完美解决。 数学往往被分为两大类：代数、几何。虽然他们被分为两类，但他们绝不是相互独立的，反而是密切相关的。很多代数上的问题计算量很大，看似非常复杂，甚至无从下手，但是利用了图形之后就会发现问题迎刃而解，直观的图形很容易反映图形的性质；很多几何问题因为辅助线相对复杂想不到，导致无法进一步研究，但是往往我们利用坐标系能够把几何问题转化成代数问题，同样也做到了化 繁为简。这就是数学上常用的数形结合思想。 1.2问题研究的意义 伟大的数学家华罗庚就曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”这两句诗充分直观得反映了“数”与“形”这两者密不可分的联系。应用数形结合思想来思考问题就是要求我们结合代数的准确论证和图形的直观描述来发现问题的解决途径的一种思想方法。由此可见，数形结合思想对于数学解题方面的应用来说是十分重要的，但老师往往仅仅把它当做一种思想一谈而过，照着课本讲课，没有引导学生进一步思考，导致很多学生都不能具体有序地应用这种思想。 2 数形结合思想的重要地位 2.1使用数形结合思想的意义 数形结合思想无疑是连接“数”和“形”的桥梁，几何的直观形象和数量关系的严谨他们各有优点，在应用过程中有目的有计划地将“数”与“形”结合在一起，根据题目的已知条件，整合“数”和“形”的相关信息，巧妙结合，从而建起它们中间的桥梁，兼取两者之优，能让我们的解题更为轻松。 数形结合的思想方法(1)---讲解篇 一、知识要点概述 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 二、解题方法指导 1．转换数与形的三条途径： ①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 ②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 ③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。 2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法： ①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。 ②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。 ③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式 的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。 三、数形结合的思想方法的应用 (一)解析几何中的数形结合 解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的. 1. 与斜率有关的问题 【例1】已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶x+my+m=0 数形结合在小学数学中的应用 数形结合在小学数学中的应用 【内容提要】数形结合思想是一个重要的思想方法，在小学和中学，无论是在教师的课堂教学，对数学概念的理解，还是学生思维和解题能力的培养等方面，数形结合都为其奠定了坚实的基础。本课题主要通过分析自己亲身体会的中小学数学问题，发现数形结合思想在初等数学中的应用，加深对数形结合的理解。 【关键词】数形结合思想，数学应用 【正文】数与形一直以来都是数学的主题,即使如今的数学有着庞大的分支，仍不可磨灭它的影响力。华罗庚先生的打油诗：“数无形，少直观；形无数，少入微”向我们展现了数与形密不可分的关系。简单的说，数与形就是抽象与形象的表现，数形结合更加有利于学生对知识的理解，单纯的数使知识缺乏直观性，同样的如果只有形就少了几分严密性。然而，数形结合思想就是将本是相互独立的两方面结合起来，做到我中有你，你中有我。数形结合思想在小学和中学数学中有着许多巧妙的应用，比如在最初学习计数时，为了加深小朋友们对数字的记忆，教师常常会用形象的图形或者实物与数字对应；计数是学习数学的基础，教师往往会利用生活中的物品，例如铅笔、糖果、苹果等辅助数数、运算；每个班级都会对学生进行标号，也就是学号，久而久之，当某人说一个数时，你会联想到这个人；复杂的数学题考验你强大的逻辑思维，代数和几何是中学的两大基础，代数中加入具体形象的图像，帮助理清题意，拓展思路，几何中渗透代数，发散思维，解决问题等等。 数形结合思想在小学数学的应用，我们学习数形结合并不单单为了解题，更应该将它上升为一种思想，学习数学的转向灯。数形结合思想已经贯穿数学学习的全部，小学是数学萌芽的阶段，在这个阶段，小学生的大脑并没有完全发育，他们对数的理解往往要依靠生活中他自己比较熟悉的事物，也就是“形”。如今“怎样开发小学生的数学思维能力”已经是近几年小学数学教育者一直思考的问题。我们可以发现近几年在小学数学课本中的每一个概念教学，教师都通过各种实物、事例或者图形逐步引导学生观察、分析、比较从中揭示其本质， 数形结合思想 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位,其“数”与“形”结合，相互渗透,把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题，几何问题相互转化，使抽象思维与形象思维有机结合。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件与结论之间的内在联系,既分析其代数意义又提示其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合，寻求解题思路，使问题得到解决。运用这一数学思想,要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。 一、选择题 １．设()y f x = 的图象经过点(1,2)--（ ) A.(2,1)- B ．(8,1)-- C.(4,-解:已知得(1)2f -=-,∴1(2)1f --=- 令1 222 x -= +,得8x =-，故选答案 ２.已知函数32 ()f x ax bx cx d =+++A.(,0)b ∈-∞ Ｂ.(0,1)b ∈ C.b 解:根据图象可知()(1)(2)f x ax x x =--展开得32()32f x ax ax ax =-+ 与32()f x ax bx cx d =+++比较系数知b 3．方程1 sin()44 x x π-=的实根个数是( ) A ．2 B.３ 解:分别作出sin(y x = 与直线1 :4 l y x =的图象如下 只须考虑[4,4]x ∈-时交点个数，得答案 B. 4．设Ｐ (,) x y 是圆22(1)1x y +-=上的任意一点,欲使不等式 0x y c ++≥恒成立,则c 的取值范围是( ） A.[11]-- B.1,)+∞ C.(1) D.(,1]-∞ 解:由线性规划知识知0x y c ++≥表示点P 在直线:0l x y c ++=的上方 ∴圆在l 上方，即圆心(0,1)到l 的距离大于（或等于）1 1, ∴1c （舍去）或1c ≤,得答案D. 5.已知()()()2f x x a x b =---（其中a b <)且α、β是方程()0f x =的两根(αβ<)，则实数,,,a b αβ的大小关系是( ） Ａ．a b αβ<<< Ｂ.a b αβ<<< C.a b αβ<<< Ｄ.a b αβ<<< 解:易知,a b 是()()()0g x x a x b =--= ∵()()2f x g x =-，作(),()f x g x 得答案Ａ. 6．平面上整点(横、纵坐标都是整数的点）到直线54 35 y x =+的最小值是( ） A. 170 B.85 C. 120 D ．1 30 解：直线方程化为2515120x y -+=,设整点坐标为(,)m n ，则距离 d = = ∵5(53)051015m n -=±±±或或或 ∴min |5(53)12|2m n -+=，此时2,4m n == ∴min 85 d ==，此时整点为(2,4),选答案B ． ) 浅谈数形结合思想方法的渗透 数形结合思想是数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法，数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想，是解决许多数学问题的有效思想，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数，以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化。华罗庚教授对此有精辟概述：“数无形，少直观；形无数，难入微”。那么如何在教学中渗透数形结合的思想。下面谈谈自己的看法： 一、教师要深入研究教材，有效渗透数形结合 小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法①？在学生获得知识和解决问题的过程中能有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、对比、分析、抽象、概括的过程中看到数学知识蕴涵的思想。如一年级下册“两位数加减一位数和整十数“35-2和35-20内容时，教师可提出问题，这两题怎么计算？让学生说出算法，再根据学生的回答分别写出支形图，并写出想的过程，然后进一步追问：“有没有不同的算法？”激发学生思考，开拓学生的学习思维。最后进一步问：计算35-2，能不能先用十位上的3减2等于1，结果35-2等于15对吗？让学生思考讨论，产生思维的碰撞，让学生的思维碰撞出智慧的火花。接下来让学生用摆小棒验证，教师可充分利摆小棒，使学生明白：因为35中的3表示3个十，5表示5个1，计数单位不同，所以不能用十位上的3减2，可以用5个1减2个1等于3个1，它们的计数单位都是1，再和3个十合并起来等33。通过摆小棒有效地渗透数形结合，使问题简明直观。教师要深入研究教材，弄清编排的意图，吃透教材，才能用好教材，有效渗透数形结合思想，彰显了数学学习的价值，通过摆小棒这个活动让学生感受到简单推理的过程，获得一些简单推理的经验就可以了。在教师的引导下，让学生明白这两题是把相同数位相加减的算理，这是教材编排的意图，也是本节课的重点。学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法？在教学时，应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然，知其所以然”。渗透数学思想，路漫漫兮，任重而道远，作为孩子们的导师，我们应该充分根据孩子们的发展规律，适当地利用教材，在教学过程中巧妙地渗透思想，培 数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法。 正恩格斯曾经说过:"数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。"在数学领域中包含着两大研究对象,即"数"与"形",这两大研究对象既是对立的又是统一的,它们是数学发展的内在因素。纵观数学知识的发展长河中,数形结合始终是发展的一条主线,并且数与形相结合能够让学生在实际应用中对知识的运用更加广泛和深入。在初中数学教学中教师要特别重视将数形结合的思想渗透到教学环节中,以此来让学生感受到数形结合的伟大力量,促进学生生成数形结合的思想,让学生在以后的数学学习中受益 1.数形结合思想的涵义 “数”早期是古代的计数，现在表示数量的概念；“形”早期是古代的形状，现在表示空 间的概念。家欧几里得用自己毕生精力完成《几何原本》这一千古流芳的巨著，这是体现数形转化的文字资料。柏拉图说过，只有数学存在的实体才具备永恒的可理解性，任何科学都只有建立在几何学带来的概念和模式上，才可以解释现象表面背后的结构和关系。教育家波利亚也曾说：“画一个图，并用符号表示”。 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等等。 2.数形结合思想的发展浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透
三种数学思想方法教案
小学生数形结合思想的培养
数形结合思想数形结合思想数形结合
数形结合思想
浅谈小学数学数形结合思想
浅谈小学数形结合思想
数学思想方法专题数形结合思想
数形结合的思想
浅谈数形结合思想的应用
高中数学的数形结合思想方法-全(讲解+例题+巩固+测试)
数形结合在小学数学中的应用
数形结合思想
浅谈数形结合思想方法的渗透
数形结合思想的含义 数与形是数学中两个最古老
- 浅谈数形结合思想的教学-模板
- 算法合集之《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》
- 数形结合思想
- 浅谈初中数形结合思想的培养论文大赛
- 浅谈数形结合思想方法的渗透
- 浅谈数形结合思想的培养
- 浅谈数形结合思想方法的渗透
- 以形助数,以数解形——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用
- 数形结合思想在小学数学教学中的渗透
- 浅谈数形结合思想
- 浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透
- 浅谈数形结合思想如何教学
- 以形助数-以数解形——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用
- 浅谈数形结合思想在小学数学中的应用
- 浅谈数形结合思想的应用
- 浅谈数形结合思想在初中数学教学中的应用
- 浅谈数形结合思想在小学数学教学中的应用
- 论文浅论数形结合思想在小学数学课堂中的应用
- 关于数形结合思想的教学方式浅谈
- 浅谈数形结合的思想