2017版考前三个月高考数学通用理科60练全集(含答案)

第1练小集合，大功能

[题型分析·高考展望]集合是高考每年必考内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度大多数为低档，有时候在填空题中以创新题型出现，难度稍高，在二轮复习中，本部分应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在常用逻辑用语、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用.同时注意研究有关集合的创新问题，研究问题的切入点及集合知识在相关问题中所起的作用.

体验高考

1.(2015·重庆)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则()

A.A＝B

B.A∩B＝?

C.A B

D.B A

答案 D

解析由于2∈A，2∈B，3∈A，3∈B，1∈A，1?B，故A，B，C均错，D是正确的，选

D.

2.(2015·福建)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于()

A.{－1}

B.{1}

C.{1，－1}

D.?

答案 C

解析集合A＝{i，－1，1，－i}，B＝{1，－1}，A∩B＝{1，－1}，故选C.

3.(2016·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B等于()

A.(－1，1)

B.(0，1)

C.(－1，＋∞)

D.(0，＋∞)

答案 C

解析A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，

则A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.

4.(2015·四川)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B等于()

A.{x|－1＜x＜3}

B.{x|－1＜x＜1}

C.{x|1＜x＜2}

D.{x|2＜x＜3}

答案 A

解析∵A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，

∴A∪B＝{x|－1＜x＜3}.

5.(2016·北京)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1，0，1，2，3}，则A∩B等于()

A.{0，1}

B.{0，1，2}

C.{－1，0，1}

D.{－1，0，1，2}

答案 C

解析由A＝{x|－2＜x＜2}，得A∩B＝{－1，0，1}.

高考必会题型

题型一单独命题独立考查

常用的运算性质及重要结论：

(1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A；

(2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A；

(3)A∩(?U A)＝?，A∪(?U A)＝U；

(4)A∩B＝A?A?B?A∪B＝B.

例1(1)(2015·广东)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N等于()

A.?

B.{－1，－4}

C.{0}

D.{1，4}

(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.

答案(1)A(2)4

解析(1)因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1，4}，所以M∩N＝?，故选A.

(2)由log2x≤2，得0＜x≤4，即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝(－∞，a)，由A?B，如图所示，则a＞4，即c＝4.

点评(1)弄清集合中所含元素的性质是集合运算的关键，这主要看代表元素，即“|”前面的表述.(2)当集合之间的关系不易确定时，可借助Venn图或列举实例.

变式训练1(1)(2015·浙江)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(?R P)∩Q等于()

A.[0，1)

B.(0，2]

C.(1，2)

D.[1，2]

答案 C

解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，

?R P ＝{x |0＜x ＜2}，

∴(?R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}，故选C.

(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |0≤ax ＋1≤3}，若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围.

解 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，

又∵B ＝{x |0≤ax ＋1≤3}＝{x |－1≤ax ≤2}，

∵A ∪B ＝B ，∴A ?B .

①当a ＝0时，B ＝R ，满足题意.

②当a ＞0时，B ＝{x |－1a ≤x ≤2a

}， ∵A ?B ，∴2a

≥2，解得0＜a ≤1. ③当a ＜0时，B ＝{x |2a ≤x ≤－1a

}， ∵A ?B ，∴－1a ≥2，解得－12

≤a ＜0. 综上，实数a 的取值范围为???

?－12，1. 题型二 集合与其他知识的综合考查

集合常与不等式、向量、数列、解析几何等知识综合考查.

集合运算的常用方法：

(1)若已知集合是不等式的解集，用数轴求解；

(2)若已知集合是点集，用数形结合法求解；

(3)若已知集合是抽象集合，用Venn 图求解.

例2 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a

＋b ).曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0

为两段分离的曲线，则( )

A.1

B.1

C.r ≤1

D.1

答案 A

解析 ∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，又∵OQ →＝2(a ＋b )，

∴|OQ →|2＝2(a ＋b )2＝2(a 2＋b 2＋2a ·b )＝4，

∴点Q 在以原点为圆心，半径为2的圆上.

又OP →＝a cos θ＋b sin θ，

∴|OP →|2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.

∴曲线C 为单位圆.

又∵Ω＝{P |0

中图中两段分离的曲线是指AB 与CD .故选A.

点评 以集合为载体的问题，一定要弄清集合中的元素是什么，范围如何.对于点集，一般利用数形结合，画出图形，更便于直观形象地展示集合之间的关系，使复杂问题简单化. 变式训练2 函数f (x )＝x 2＋2x ，集合A ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤2}，B ＝{(x ，y )|f (x )≤f (y )}，则由A ∩B 的元素构成的图形的面积是________.

答案 2π

解析 集合A ＝{(x ，y )|x 2＋2x ＋y 2＋2y ≤2}，可得(x ＋1)2＋(y ＋1)2≤4，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋2x ≤y 2＋2y }，可得(x －y )·(x ＋y ＋2)≤0.在平面直角坐标系上画出A ，B 表示的图形可知A ∩B 的元素构成的图形的面积为2π.

题型三 与集合有关的创新题

与集合有关的创新题目，主要以新定义的形式呈现，考查对集合含义的深层次理解，在新定义下求集合中的元素、确定元素个数、确定两集合的关系等.

例3 设S 为复数集C 的非空子集，若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集.下列命题：

①集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集；

②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；

③封闭集一定是无限集；

④若S 为封闭集，则满足S ?T ?C 的任意集合T 也是封闭集.

其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)

答案 ①②

解析 ①正确，当a ，b 为整数时，对任意x ，y ∈S ，x ＋y ，x －y ，xy 的实部与虚部均为整数；②正确，当x ＝y 时，0∈S ；③错误，当S ＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错，设S

＝{0}?T，T＝{0，1}，显然T不是封闭集，因此，真命题为①②.

点评解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.

变式训练3在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z，k＝0，1，2，3，4}.给出如下四个结论：

①2 016∈[1]；

②－3∈[3]；

③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④“整数a，b属于同一类”的充要条件是“a－b∈[0]”.

其中，正确结论的个数是()

A.1

B.2

C.3

D.4

答案 C

解析对于①：2 016＝5×403＋1，

∴2 016∈[1]，故①正确；

对于②：－3＝5×(－1)＋2，

∴－3∈[2]，故②不正确；

对于③：∵整数集Z被5除，所得余数共分为五类.

∴Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；

对于④：若整数a，b属于同一类，则

a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，

∴a－b＝5n1＋k－(5n2＋k)＝5(n1－n2)＝5n，

∴a－b∈[0]，若a－b＝[0]，则a－b＝5n，即a＝b＋5n，

故a与b被5除的余数为同一个数，

∴a与b属于同一类，

∴“整数a，b属于同一类”的充要条件是“a－b∈[0]”，

故④正确，∴正确结论的个数是3.

高考题型精练

1.(2015·天津)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(?U B)等于()

A.{2，5}

B.{3，6}

C.{2，5，6}

D.{2，3，5，6，8}

答案 A

解析 由题意知，?U B ＝{2，5，8}，则A ∩(?U B )＝{2，5}，选A.

2.(2015·陕西)设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N 等于( )

A.[0，1]

B.(0，1]

C.[0，1)

D.(－∞，1]

答案 A

解析 由题意得M ＝{0，1}，N ＝(0，1]，故M ∪N ＝[0，1]，故选A.

3.(2016·四川)集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则A ∩Z 中元素的个数是( )

A.3

B.4

C.5

D.6

答案 C

解析 由题意，A ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}，故其中的元素个数为5，选C.

4.设全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }，则图中阴影部分表示的区间是

( )

A.[0，1]

B.[－1，2]

C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)

D.(－∞，－1]∪[2，＋∞)

答案 C

解析 因为A ＝{x |0≤x ≤2}＝[0，2]，B ＝{y |－1≤y ≤1}＝[－1，1]，所以A ∪B ＝[－1，2]，所以?R (A ∪B )＝(－∞，－1)∪(2，＋∞).

5.已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}，则A ∪(?R B )等于( )

A.[－1，0]

B.[1，2]

C.[0，1]

D.(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 D

解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}＝{x |0＜x ＜2}，∴?R B ＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，∴A ∪(?R B )＝(－∞，1]∪[2，＋∞).

6.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝{－1，0，12

，2，3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )

A.1

B.3

C.7

D.31

答案 B

解析 具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，{12，