上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理教案资料

上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理

第十六章 二次根式

第一节 二次根式的概念和性质

16.1 二次根式

1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。

2． 二次根式的性质 ①???≤-≥==)

0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a b

a b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式

1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．

2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式

16.3 二次根式的运算

1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．

2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，

即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a

3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．

4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．

二次根式的运算法则：

≥0)

).0,0(≥≥=?b a ab b a

=a ≥0,b>0）

n =≥0)

第十七章 一元二次方程

17.1 一元二次方程的概念

1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程

2．一般形式y=ax 2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项

17.2 一元二次方程的解法

1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法

2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法

3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a

---= , = ； △=2

4b ac -≥0

17.3 一元二次方程的判别式

1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：

△＞0时，方程有两个不相等的实数根

△＝0时，方程有两个相等的实数根

△＜0时，方程没有实数根

2．反过来说也是成立的

17.4 一元二次方程的应用

1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根

2．把二次三项式分解因式时；

如果2

4b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式

如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式

3． 实际问题：设，列，解，答 第十八章 正比例函数和反比例函数

18.1．函数的概念

1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量

2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量

3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =

4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值

18.2 正比例函数

1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例

2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数

k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数

3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像

4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =

5． 正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且有如下性质：

（1）当k ＜0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大

（2）当k ＜0时 ，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小

18.3 反比例函数

1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例

2．解析式形如(0)k y k k x

=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数 反比例函数的定义域是不等于零的一切实数 3．反比例函数(0)k y k k x =

≠是常数,有如下性质： （1）当k ＞0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小

（2）当k ＜0时 ，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大

18.4函数的表示法

1．把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达------解析法

2．把两个变量之间的依赖关系用图像来表示------图像法

3．把两个变量之间的依赖关系用表格来表示------列表法

第十九章 几何证明

19.1 命题和证明

1．我们现在学习的证明方式是演绎证明，简称证明

2．能界定某个对象含义的句子叫做定义

3．判断一件事情的句子叫做命题；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题

4．数学命题通常由题设、结论两部分组成

5．命题可以写成“如果……那么……”的形式，如果后是题设，那么后是结论

19.2 证明举例

1．平行的判定，全等三角形的判定

19.3 逆命题和逆定理

1．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，二第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题

2．如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理

19.4线段的垂直平分线

1. 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

2、 逆定理：和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 19.5 角的平分线

1、角的平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边距离相等。

2、逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 19.6 轨迹

1、和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线

2、在一个叫的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线

3、到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆

19.7 直角三角形全等的判定

1．定理1：如果直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L ）

2．其他全等三角形的判定定理对于直角三角形仍然适用

19.8 直角三角形的性质

1．定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

2．推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30o ，那么它所对的直角边等于斜边的一半

3．推论2：在直角三角形中，如果一条之骄傲便等于斜边的一般，那么这条直角边所对的角等于30o

19.9 勾股定理

1．定理：在直角三角形中，斜边大于直角边

2．勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方

3．勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形

19.10 两点间距离公式

1．如果直角坐标平面内有两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，那么A 、B 两点的距离

AB =

八年级 下册

第二十章 一次函数

20.1 一次函数的概念

1．一般地，解析式形如(0)y kx b k b k =+?≠是常数,的函数叫做一次函数；

一次函数的定义域是一切实数

2．一般地，我们把函数y c =（c 为常数）叫做常值函数

20.2一次函数的图像

1．列表、描点、连线

2．一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距

3．一般地，直线(0)y kx b k b k =+?≠是常数,与y 轴的交点坐标是（0，b ），

直线的截距是b

4．一次函数y kx b =+（b ≠0）的图像可以由正比例函数y kx =的图像平移得到 当b ＞0时，向上平移b 个单位，当b ＜0时，向下平移b 的绝对值个单位

5．一元一次不等式与一次函数之间的关系（看图）

20.3一次函数的性质

1． 一次函数(0)y kx b k b k =+?≠是常数,具有以下性质：

当k ＞0时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大

当k ＜0时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小 一次函数()0y kx b k =+≠

0b > 0b = 0b <

0k >

0k <

①如图所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②如图所示，当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③如图所示，当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④如图所示，当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）． 20.4一次函数的应用

1．利用一次函数及图像解决实际问题

第二十一章 代数方程

21.1一元整式方程

1．12ax =（a 是正整数），x 是未知数，a 是用字母表示的已知数。于是，在项ax 中，字母a 是项的系数，我们把a 叫做字母系数，我们把a 叫做字母系数，这个方程是含字母系数的一元一次方程

2．如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式， 那么这个方程叫做一元整式方程

3．如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），那么这方程就叫做一元n 次方程；其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方程 21.2二项方程

1．如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程；一般形式为0n ax b +=（0,0a b ≠≠，n 是正整数）

2．解一元n （n ＞2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根

3．对于二项方程0n

ax b +=（0,0a b ≠≠）

当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根

当n 为偶数时，如果ab ＜0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如

果ab ＞0，那么方程没有实数根

21.3可化为一元二次方程的分式方程

1．解分式方程，可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，转化为正式方程来解

2．注意将所得的根带入最简公分母中检验是否为增根（也可带入方程中）

3．换元法可将某些特殊的方程化繁为简，并且在解分式方程的过程中，避免了出现解高次方程的问题，起到降次的作用

21.4无理方程

1．方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程

2．整式方程和分式方程统称为有理方程

3．有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程

4．解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解，解简单无理方程的一般步骤

5．注意无理方程的检验必须带入原方程中检验是否为增根

21.5二元二次方程和方程组

1．仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程

2．关于x 、y 的二元二次方程的一般形式是：220ax bxy cy dx ey f +++++=

（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不是零；当b 为零时，a 与d 以及c 与e 分别不全为零）

3．仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2。像这样的方程组叫做二元二次方程组

4．能是二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程

5．方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解

21.6二元二次方程组的解法

1．代入消元法

2．因式分解法

21.7列方程（组）解应用题

第二十二章四边形

22.1多边形

1．由平面内不在同一直线上的一些线段收尾顺次联结所组成的封闭图形骄傲做多边形2．组成多边形每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点3．多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角

4．对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余个边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形

5．多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）×180°

6．多边形的一个内角的邻补角叫做多边形的外角

7．对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有的外角的和叫做多边形的外角和

8．多边形的外角和等于360°

22.2平行四边形

1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；用符号

2．（1）性质定理1：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等简述为：平行四边形的对边相等

（2）性质定理2：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等简述为：平行四边形的对角相等

（3）夹在平行线间的平行线段相等

（4）性质定理3：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分（5）性质定理4：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点

3．（1）判定定理1：如果一个四边形两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（2）判定定理2：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

（3）判定定理3：如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形

（4）判定定理4：如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

22.3特殊的平行四边形

1．有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形

2．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

3．矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角

2：矩形的两条对角线相等

菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等

2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

4．矩形的判定定理1：有三个内角是直角的四边形是矩形

2：对角线相等的平行四边形是矩形

菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形

2.：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

5．有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形

6．正方形的判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形

2：有一个内角是直角的菱形是正方形

7．正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等

2：正方形的两条对角线相等，并互相垂直，每条对角线平分一组对角22.4梯形

1．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形

2．梯形中，平行的两边叫做梯形的底（短—上底；长—下底）；不平行的两边叫做梯形的腰；两底之间的距离叫做梯形的高

3．有一个角是直角的梯形叫做等腰梯形

4．两腰相等的梯形叫做等腰梯形

22.5等腰梯形

1．等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底商的两个内角相等

2．性质定理2.：等腰梯形的两条对角线相等

3．等腰梯形判定定理1：在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形

4．判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形

22.6三角形、梯形的中位线

1．联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

3．联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线

4．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

22.7平面向量

1．规定了方向的线段叫做有向线段，有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，我们把前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向

2．既有大小。又有方向的量叫做向量，向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）

3．方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的量

4．方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量

5．方向相同或相反的两个向量叫做平行向量

22.8平面向量的加法

1．求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法

2．求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量收尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量，这样的规定叫做向量加法的三角形法则

3．一般地，我们把长度为零的向量叫做零向量

4．向量的加法满足交换律、结合律

22.9平面向量的减法

1．已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法

2．在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量；求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形法则

3．减去一个向量等于加上这个向量的相反向量

4．向量加法的平行四边形法则第二十三章概率初步

23.1确定事件和随机事件

1．在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件

2．在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件

3．必然事件和不可能事件统称为确定事件

4．那些在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机时间，也称为不确定事件23.2事件发生的可能性

23.3时间的概率

1．用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率

2．规定用0作为不可能事件的概率；用1作为必然时间的概率

3．事件A的概率我们记作P（A）；对于随机事件A，可知0＜P（A）＜1

4．如果一项可以反复进行的试验具有以下特点：

（1）试验的结果是有限个，各种结果可能出现的机会是均等的；

（2）任何两个结果不可能同时出现

那么这样的试验叫做等可能试验

5．一般地，如果一个试验共有n个等可能的结果，事件A包含其中的k个结果，那么事件A的概率P（A）=事件A包含的可能结果数／所有的可能结果总数=k／n

6．列举法、树状图、列表

23.4概率计算举例

上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理

上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理 第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 二次根式 1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。 2． 二次根式的性质 ①???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④ )0,0(>≥=b a b a b a ; 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． ~ 二次根式的运算法则： =(a+b) ≥0) ).0,0(≥≥=?b a ab b a =a ≥0,b>0） n =≥0)

第十七章 一元二次方程 一元二次方程的概念 1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax 2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 一元二次方程的解法 … 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a ---= , = ； △=2 4b ac -≥0 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 △＝0时，方程有两个相等的实数根 △＜0时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 ) 一元二次方程的应用 1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根 2．把二次三项式分解因式时； 如果2 4b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式 如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 3． 实际问题：设，列，解，答 第十八章 正比例函数和反比例函数 ．函数的概念 1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量 2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量 % 3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x = 4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，

沪教版初中数学教案

因式分解法解方程 学习目标 1、会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法 2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性 3、学会与同学进行交流，勇于从交流中发现最优解法。用因式分解法解某些一元二次方程 学习难点： 怎样杜绝用因式分解方法解一元二次方程时漏根或丢根现象的产生 1、我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？ 2、把下列各式因式分解. （1）x2－x （2） x2－4x （3）x＋3－x（x＋3） （4）（2x－1）2－x2 二、探究学习： 1．尝试： （1）、若在上面的多项式后面添上=0，你怎样来解这些方程？ （1）x2－x =0 （2） x2－4x=0 （3）x＋3－x（x＋3）=0 （4）（2x－1）2－x2=0 2．概括总结． 1、你能用几种方法解方程x2－x = 0？ 解：x2-x＝0， x(x-1)＝0， 于是x＝0或x-3＝0． ∴x1=0，x2=3 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 可见，能用因式分解法解的一元二次方程须满足什么样的条件？ （1）方程的一边为0 （2）另一边能分解成两个一次因式的积 3.概念巩固： （1）一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次方程为和， 方程的根是 . (2)已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（） A.只有一个根x= B.只有一个根x=0 C.有两个根x1=0,x2= D.有两个根x1=0,x2=- (3)方程（x+1）2=x+1的正确解法是（）

A.化为x+1=1 B.化为（x+1）（x+1-1）=0 C.化为x2+3x+2=0 D.化为x+1=0 4.典型例题： 例1、用因式分解法解下列方程： （1）x2=-4x（2）（x+3）2-x（x+3）=0 （3）6x2-1=0 （4）9x2+6x+1=0 （5）x2-6x-16=0 例2、用因式分解法解下列方程 （1）（2x－1）2=x2（2）（2x-5）2-2x+5=0 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）通过移项把一元二次方程右边化为0 （2）将方程左边分解为两个一次因式的积 （3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程 （4）解这两个一元一次方程，它们的解是原方程的解 例 3用适当方法解下列方程 （1）4（2x-1）2-9（x+4）2=0（2）x2-4x-5=0 (3)(x-1)2=3 （4）（x－1）2－6（x－1）+9=0 - 1 - 致易教育数学教研组版权所有翻版必究

沪科版八年级数学下册教案

第1课时二次根式的概念 1．了解二次根式的概念；(重点) 2．理解二次根式有意义的条件；(重点) 3．理解a(a≥0)是一个非负数，并会应用a(a≥0)的非负性解决实际问题．(难点) 一、情境导入 1．小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是8平方厘米，那么它的边长是多少？ 2．已知圆的面积是6π，你能求出该圆的半径吗？ 大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！ 二、合作探究 探究点一：二次根式的概念 【类型一】二次根式的识别 (2015·安顺期末)下列各式：①1 2；②2 x；③x2＋y2；④－5；⑤35， 其中二次根式的个数有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有①③满足题意．故选B. 方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：①含有二次根号“”；②被开方数为非负数．两者缺一不可． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】二次根式有意义的条件 代数式 x＋1 x－1有意义，则x的取值范围是( ) A．x≥－1且x≠1 B．x≠1 C．x≥1且x≠－1 D．x≥－1 解析：根据题意可知x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－1且x≠1.故选A. 方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非负数；(2)若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数； (3)若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 探究点二：利用二次根式的非负性求值 【类型一】 利用被开方数的非负性求字母的值 (1)已知a ，b 满足2a ＋8＋|b －1|＝0，求2a －b 的值； (2)已知实数a ，b 满足a ＝b －2＋2－b ＋3，求a ，b 的值． 解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可． 解：(1)由题意知???2a ＋8＝0，b －1＝0， 得2a ＝－8，b ＝1，则2a －b ＝－9； (2)由题意知? ??b －2≥0，2－b ≥0，解得b ＝2.所以a ＝0＋0＋3＝3. 方法总结：①当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0；②当题目中，同时出现a 和－a 时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得a ＝0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型二】 与二次根式有关的最值问题 当x ＝________时，3x ＋2＋3的值最小，最小值为________． 解析：由二次根式的非负性知3x ＋2≥0，∴当3x ＋2＝0即x ＝－23 时，3x ＋2＋3的值最小，此时最小值为3.故答案为－23 ，3. 方法总结：对于二次根式a ≥0(a ≥0)，可知其有最小值0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计 本节课的内容是在我们已学过的平 方根、算术平方根知识的基础上，进一步引入二次根式的概念．教学过程中，应鼓励学生积极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件

上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理教学提纲

上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理 第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 16.1 二次根式 1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。 2． 二次根式的性质 ①???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a b a b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 16.3 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 二次根式的运算法则： ≥0) ).0,0(≥≥=?b a ab b a =a ≥0,b>0） n =≥0) 第十七章 一元二次方程

17.1 一元二次方程的概念 1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax 2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 17.2 一元二次方程的解法 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a ---= , = ； △=2 4b ac -≥0 17.3 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 △＝0时，方程有两个相等的实数根 △＜0时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 17.4 一元二次方程的应用 1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根 2．把二次三项式分解因式时； 如果2 4b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式 如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 3． 实际问题：设，列，解，答 第十八章 正比例函数和反比例函数 18.1．函数的概念 1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量 2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量 3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x = 4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值 18.2 正比例函数 1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例 2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数

上海中考数学知识点总结新 (1)

中考数学复习资料 第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）

1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根（3—10分） 1、平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 ”。 正数a的平方根记做“a 2、算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 （3—6分） 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 把一个数写做n a 10?±的形式，其中101<≤a ，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。 考点五、实数大小的比较 （3分） 1、数轴

沪科版八年级数学上册教案全集 【新教材】

沪科版八年级数学上册全册教案 第11章平面直角坐标系 11.1 平面上点的坐标 第1课时平面上点的坐标(一) 教学目标 【知识与技能】 1.知道有序实数对的概念,认识平面直角坐标系的相关知识,如平面直角坐标系的构成:横轴、纵轴、原点等. 2.理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系,能写出给定的平面直角坐标系中某一点的坐标.已知点的坐标,能在平面直角坐标系中描出点. 3.能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系来描述点的位置. 【过程与方法】 1.结合现实生活中表示物体位置的例子,理解有序实数对和平面直角坐标系的作用. 2.学会用有序实数对和平面直角坐标系中的点来描述物体的位置. 【情感、态度与价值观】 通过引入有序实数对、平面直角坐标系让学生体会到现实生活中的问题的解决与数学的发展之间有联系,感受到数学的价值. 重点难点 【重点】 认识平面直角坐标系,写出坐标平面内点的坐标,已知坐标能在坐标

平面内描出点. 【难点】 理解坐标系中的坐标与坐标轴上的数字之间的关系. 教学过程 一、创设情境、导入新知 师:如果让你描述自己在班级中的位置,你会怎么说? 生甲:我在第3排第5个座位. 生乙:我在第4行第7列. 师:很好!我们买的电影票上写着几排几号,是对应某一个座位,也就是这个座位可以用排号和列号两个数字确定下来. 二、合作探究,获取新知 师:在以上几个问题中,我们根据一个物体在两个互相垂直的方向上的数量来表示这个物体的位置,这两个数量我们可以用一个实数对来表示,但是,如果(5,3)表示5排3号的话,那么(3,5)表示什么呢? 生:3排5号. 师:对,它们对应的不是同一个位置,所以要求表示物体位置的这个实数对是有序的.谁来说说我们应该怎样表示一个物体的位置呢? 生:用一个有序的实数对来表示. 师:对.我们学过实数与数轴上的点是一一对应的,有序实数对是不是也可以和一个点对应起来呢? 生:可以. 教师在黑板上作图:

上海中考数学知识点梳理

上海中考数学知识点梳理 第一单元数与运算 一、数的整除 1．内容要目 数的整除性、奇数和偶数、因数和倍数、素数和合数，公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数、分解素因数；能被2和5整除的正整数的特征。 2．基本要求 （1）知道数的整除性、奇数和偶数、素数和合数、因数和倍数、公倍数和公因素等的意义；知道能被2、5整除的正整数的特征。 （2）会用短除法分解素因数；会求两个正整数的最大公因素和最小公倍数。 3．重点和难点 重点是会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。 难点是求两个正整数的最小公倍数。 4．知识结构 二、实数 1．内容要目 实数的概念，实数的运算。近似计算以及科学记数法。 2．基本要求 （1）理解开方及方根的意义，知道无理数的概念，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。（2）理解实数概念，掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算的法制，会正确进行实数的运算。 （3）会用计算器进行实数的运算，初步掌握估算、近似计算的基本方法和科学记数法。 3．重点和难点 重点是理解实数概念，会正确进行实数的运算。 难点是认识实数与数轴上的点的一一对应关系。 4．知识结构

第二单元 方程与代数 一、整式与分式 1．内容要目 代数式，整式的加减法，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，积的乘方。 单项式的乘法和除法，单项式与多项式的乘法，多项式除以单项式，多项式的乘法。 乘法公式：22222()();()2a b a b a b a b a ab b +-=-±=±+ 因式分解：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法。 分式，分式的基本性质，约分，最简分式，通分，分式的乘除法，分式的加减法，整数的指数幂，整数指数幂的运算。 2．基本要求 （1）理解用字母表示数的意义；理解代数式的有关概念。 （2）通过列代数式，掌握文字语言与数学式子的表述之间的转换，领悟字母“代”数的数学思想；会求代数式的值。 （3）掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则，掌握平方差公式、两数和（差）的平方公式。 （4）理解因式分解的意义，掌握提取公因式法、公式法、二次项系数为1时的十字相乘法、分组分解法等因式分解的基本方法。 （5）理解分式的有关概念及其基本性质，掌握分式的加、减、乘、除运算。 （6）理解正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，掌握有关整数指数幂的乘（除）、乘方等运算的法则。 说明 ①在求代数式的值时，不涉及繁难的计算；②不涉及繁难的整式运算，多项式除法中的除式限为单项式；③在因式分解中，被分解的多项式不超过四项，不涉及添项、拆项等技巧；④不涉及繁复的分式运算。 3．重点和难点 重点是整式与分式的运算，因式分解的基本方法，整数指数幂的运算。 难点是选择适当的方法因式分解及代数式的混合运算。 4．知识结构

上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理

上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理

数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 17.2 一元二次方程的解法 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式 242b b ac x a --=：22124422b b ac b b ac x x a a -+---= , = ； △=24b ac -≥0 17.3 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 △＝0时，方程有两个相等的实数根 △＜0时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 17.4 一元二次方程的应用 1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根 2．把二次三项式分解因式时；

如果24 -≥0，那么先用公式法求出方程的两 b a c 个实数根，再写出分解式 如果24 -＜0，那么方程没有实数根，那此二 b a c 次三项式在实数范围内不能分解因式 1．实际问题：设，列，解，答 第十八章正比例函数和反比例函数 18.1．函数的概念 1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量 2．在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许取之范围内，变量y随变量x的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为 函数解析式() = y f x 4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y是自变量x的函数，那么对于x在定义域内去顶的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值 18.2 正比例函数 1．如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例

2017年沪科版八年级上册数学全册教案及教学反思

第11章平面直角坐标系 11.1平面上点的坐标 第1课时平面上点的坐标(一) 教学目标 【知识与技能】 1.知道有序实数对的概念,认识平面直角坐标系的相关知识,如平面直角坐标系的构成:横轴、纵轴、原点等. 2.理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系,能写出给定的平面直角坐标系中某一点的坐标.已知点的坐标,能在平面直角坐标系中描出点. 3.能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系来描述点的位置. 【过程与方法】 1.结合现实生活中表示物体位置的例子,理解有序实数对和平面直角坐标系的作用. 2.学会用有序实数对和平面直角坐标系中的点来描述物体的位置. 【情感、态度与价值观】 通过引入有序实数对、平面直角坐标系让学生体会到现实生活中的问题的解决与数学的发展之间有联系,感受到数学的价值. 重点难点 【重点】 认识平面直角坐标系,写出坐标平面内点的坐标,已知坐标能在坐标平面内描出点. 【难点】 理解坐标系中的坐标与坐标轴上的数字之间的关系. 教学过程 一、创设情境、导入新知 师:如果让你描述自己在班级中的位置,你会怎么说? 生甲:我在第3排第5个座位.

生乙:我在第4行第7列. 师:很好!我们买的电影票上写着几排几号,是对应某一个座位,也就是这个座位可以用排号和列号两个数字确定下来. 二、合作探究,获取新知 师:在以上几个问题中,我们根据一个物体在两个互相垂直的方向上的数量来表示这个物体的位置,这两个数量我们可以用一个实数对来表示,但是,如果(5,3)表示5排3号的话,那么(3,5)表示什么呢? 生:3排5号. 师:对,它们对应的不是同一个位置,所以要求表示物体位置的这个实数对是有序的.谁来说说我们应该怎样表示一个物体的位置呢? 生:用一个有序的实数对来表示. 师:对.我们学过实数与数轴上的点是一一对应的,有序实数对是不是也可以和一个点对应起来呢? 生:可以. 教师在黑板上作图: 我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴.水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;竖直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴交点为原点.这样就构成了平面直角坐标系,这个平面叫做坐标平面. 师:有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一个有序实数对来表示了.现在请大家自己动手画一个平面直角坐标系. 学生操作,教师巡视.教师指正学生易犯的错误.

上海初二数学知识点总结和八年级学习方法汇总

上海初二数学知识点总结和八年级学习方法汇总 第十一章三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个

性质叫三角形的稳定性. 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面， 13.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. ⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180° ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. ⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形.②边形共有条对角线.

初中数学知识点口诀

初中数学知识点归纳. 有理数的加法运算 同号两数来相加，绝对值加不变号。异号相加大减小，大数决定和符号。互为相反数求和，结果是零须记好。【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。有理数的减法运算 减正等于加负，减负等于加正。 有理数的乘法运算符号法则 同号得正异号负，一项为零积是零。合并同类项 说起合并同类项，法则千万不能忘。只求系数代数和，字母指数留原样。去、添括号法则 去括号或添括号，关键要看连接号。扩号前面是正号，去添括号不变号。括号前面是负号，去添括号都变号。解方程 已知未知闹分离，分离要靠移完成。移加变减减变加，移乘变除除变乘。平方差公式 两数和乘两数差，等于两数平方差。积化和差变两项，完全平方不是它。完全平方公式 二数和或差平方，展开式它共三项。首平方与末平方，首末二倍中间放。和的平方加联结，先减后加差平方。完全平方公式 首平方又末平方，二倍首末在中央。和的平方加再加，先减后加差平方。解一元一次方程 先去分母再括号，移项变号要记牢。同类各项去合并，系数化“1”还没好。求得未知须检验，回代值等才算了。解一元一次方程 先去分母再括号，移项合并同类项。系数化1还没好，准确无误不白忙。因式分解与乘法 和差化积是乘法，乘法本身是运算。积化和差是分解，因式分解非运算。因式分解 两式平方符号异，因式分解你别怕。两底和乘两底差，分解结果就是它。

两式平方符号同，底积2倍坐中央。 因式分解能与否，符号上面有文章。 同和异差先平方，还要加上正负号。 同正则正负就负，异则需添幂符号。 因式分解 一提二套三分组，十字相乘也上数。 四种方法都不行，拆项添项去重组。 重组无望试求根，换元或者算余数。 多种方法灵活选，连乘结果是基础。 同式相乘若出现，乘方表示要记住。【注】一提（提公因式）二套（套公式）因式分解 一提二套三分组，叉乘求根也上数。 五种方法都不行，拆项添项去重组。 对症下药稳又准，连乘结果是基础。 二次三项式的因式分解 先想完全平方式，十字相乘是其次。 两种方法行不通，求根分解去尝试。 比和比例 两数相除也叫比，两比相等叫比例。 外项积等内项积，等积可化八比例。 分别交换内外项，统统都要叫更比。 同时交换内外项，便要称其为反比。 前后项和比后项，比值不变叫合比。 前后项差比后项，组成比例是分比。 两项和比两项差，比值相等合分比。 前项和比后项和，比值不变叫等比。 解比例 外项积等内项积，列出方程并解之。 求比值 由已知去求比值，多种途径可利用。 活用比例七性质，变量替换也走红。 消元也是好办法，殊途同归会变通。 正比例与反比例 商定变量成正比，积定变量成反比。 正比例与反比例 变化过程商一定，两个变量成正比。 变化过程积一定，两个变量成反比。 判断四数成比例 四数是否成比例，递增递减先排序。 两端积等中间积，四数一定成比例。 判断四式成比例 四式是否成比例，生或降幂先排序。 两端积等中间积，四式便可成比例。

沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.1 (1) 多边形的内角和 教案

1 / 6

（2）三角形的内角和是；如何推导的？ （3）在中，已知，那么。 2、预习课本66~68页，写下你认为重要的知识点和存在的疑惑： 3、简单应用 （1）六边形的内角和是，十二边形的内角和是 . （2）如果多边形的内角和为，那么它是边形. 角形内角和公式的推导，为新课多边形的学习打下基础。 二、课堂学习概念学习： 1．这是几边形？ 提问：我们能否参照三角形的定义，尝试给多边形下个定义？ 多边形：叫做多边形。 说明：三角形是最简单的多边形．由n条线段组成的多边形就称为n边形．如由四条线段组成的多边形就称为四边形，由五条线段组成的多边形就称为五边形．学生根据三角形有关概念，尝 试得出多边形有关概念。体会 类比思想 通过类比三角形有关 概念，明确多边形的 有关概念 关于多边形的边、顶 点、内角等概念，可 以通过类比三角形引 入；关于多边形的对 角线，可直接进行定 义。对这些概念的描 述结合图形解说，同

概念4：多边形的对角线：联结多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 多边形内角和公式的推导 提出问题: 我们知道三角形内角和是，那么四边形的内角和是多少度？五边形、六边形、七边形……n边形呢？ 学生尝试探究、解决问题： 请大家独立完成下表： 多边形 的边数图形 从一个顶点 出发的对角 线条数 分割出的 三角形的个数 多边形的 内角和学生尝试分割多边形，并完成 表格的填写，自己得出n边形 多边形的内角和。 转化以及字母代数的 数学思想。 4 / 6

板书设计 22.1(1) 多边形的内角和 一、多边形的定义 二、多边形的基本概念 边，顶点，内角，对角线，凹多边形 三、多边形的内角和定理 n边形内角和：（n-2）180 四、定理运用 6 / 6

上海初二八年级(上)数学知识点详细总结

上海,初,二八,年级,上,数学,知识点,详细,总结,《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o等 二、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 表示方法：记作“”，读作根号a。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 注意: 的双重非负性： 3、立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。 表示方法：记作 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 三、二次根式计算 1、含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。 2、性质： （1） （2） （3）（） （4）（） 3、化简二次根式：把二次根式被开方数的完全平方因式移到根号外。例：。(字母因式由根号内移到根号外时，必须考虑字母因式隐含的符号） 4、最简二次根式：化简后的二次根式需同时符合以下两个条件：⑴被开方数中各因式的指数

上海初中数学知识汇总

初中数学知识汇总 第一章 实数一、重要概念 1. 数的分类及概念 说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏） 2）有标准 2. 非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0） 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.积为1。 4．相反数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。 5．数轴：①定义（“三要素”） ②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数） 定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n（n为自然数） 7．绝对值：①定义（两种）： 代数定义： 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 1．运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2．运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律） 3．运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右”（如5÷×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例典型例题 1．已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│ =b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，（a≠0，b≠0），判断a、b的符号。 ★重点★实数的有关概念及性质，实数的运算 第二章 代数式一、重要概念 1.代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 整式和分式统称为有理式。

2021年八年级数学下册 .极差 教案 沪科版

2021年八年级数学下册 22.1极差教案1 沪科版教学目标 知识与技能 1、理解极差的概念，知道极差等于一组数据中最大数与最小数的差。 2、引导学生发现极差能反映一组数据中两个极端值之间的差异情况，是刻画一组数据离散程度的一个统计量。 3、能够列举几个利用极差进行比较的实例。 4、生体会数学与生活密切相关 过程与方法 通过一系列富有启发性、层层深入的问题，引导学生广泛思考和探索。通过对解决问题的反思获得解决问题的经验，结实显示生活中的现象。 情感态度与价值观 通过与生活实际紧密联系的大量问题的解决，引发学生学习数学的兴趣，体会数学源于生活；通过与数据集中趋势比较学习，培养学生独立思考、勇于创新的科学精神，并形成实事求是的科学态度。 重点：极差概念的理解 难点：极差概念的引入 教学过程 教学设计与师生互动

第一步：创设情景： 问题：为了比较甲、乙两种棉花品种的好坏，任意抽取每种棉花各10棵，统计它们结桃数的情况如下： 你认为两种棉花哪种结桃情况较好？ 操作：让学生在各个的学习小组中讨论、解释、交流自己的发现.教师可以参与到某个或几个小组中倾听。在小组学习中讨论、交流发现另一个统计量极差（它有别于平均数、众数、中位数），极差反映了一组数据的离散程度。 思考：你能获取什么信息呢？ 发现1.甲种棉花结桃的最多数目为89，最少数目为79，其差为10；乙种棉花结桃的最多数目为91，最少数目为76，其差为15。 发现 2.乙种棉花的结桃数据较甲种棉花的结桃更分散，分散的程度较大，说明棉花的结桃情况越不稳定。 通过以上发现可知：甲种棉花的结桃情况较乙种棉花好

第二步：归纳总结：极差定义：一组数据的最大数据与最小数据的差叫这组数据的极差。 表达式：极差=最大值－最小值 总结： 1. 极差是刻画数据离散程度的最简单的统计量 2. 特点是计算简单 3. 极差是利用了一组数据两端的信息，但不能反映出中间数据的分散状况 注意：极差反映一组数据两个极端值之间的差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不科学的，要了解其他的统计量，在此为下一节的内容埋下伏笔。 第三步；随堂练习： 1、一组数据：473、865、368、774、539、474的极差是，一组数据1736、1350、-2114、-1736的极差是 . 2、一组数据 3、-1、0、2、X的极差是5，且X为自然数，则X= . 3、下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（） A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差 4、一组数据X 、X …X 的极差是8，则另一组数据2X +1、2X +1…，2X +1

最新上海初中数学知识点总结

上海初中数学知识点大全 1、一元一次方程根的情况 △=b2-4ac 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 当△<0时，一元二次方程没有实数根 2、平行四边形的性质： ①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。 ③平行四边形的对边/对角相等。 ④平行四边形的对角线互相平分。 菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。 ③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。 矩形与正方形： ①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。 ②矩形的对角线相等，四个角都是直角。 ③对角线相等的平行四边形是矩形。 ④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。 ⑤一组邻边相等的矩形是正方形。 多边形：

①N边形的内角和等于（N-2）180度 ②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度） 平均数：对于N个数X1，X2…X N，我们把（X1+X2+…+X N）/N叫做这个N个数的算术平均数，记为X 加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。 二、基本定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行 11、同旁内角互补，两直线平行 12、两直线平行，同位角相等 13、两直线平行，内错角相等

沪教版八年级数学上册教案

第11章平面直角坐标系 11.1 平面上点的坐标 第1课时平面上点的坐标(一) 教学目标 【知识与技能】 1.知道有序实数对的概念,认识平面直角坐标系的相关知识,如平面直角坐标系的构成:横轴、纵轴、原 点等. 2.理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系,能写出给定的平面直角坐标系中某一点的坐标.已知点的坐标,能在平面直角坐标系中描出点. 3.能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系来描述点的位置. 【过程与方法】 1.结合现实生活中表示物体位置的例子,理解有序实数对和平面直角坐标系的作用. 2.学会用有序实数对和平面直角坐标系中的点来描述物体的位置. 【情感、态度与价值观】 通过引入有序实数对、平面直角坐标系让学生体会到现实生活中的问题的解决与数学的发展之间有联系,感受到数学的价值. 重点难点 【重点】 认识平面直角坐标系,写出坐标平面内点的坐标,已知坐标能在坐标平面内描出点. 【难点】 理解坐标系中的坐标与坐标轴上的数字之间的关系. 教学过程 一、创设情境、导入新知 师:如果让你描述自己在班级中的位置,你会怎么说? 生甲:我在第3排第5个座位. 生乙:我在第4行第7列. 师:很好!我们买的电影票上写着几排几号,是对应某一个座位,也就是这个座位可以用排号和列号两个 数字确定下来. 二、合作探究,获取新知 师:在以上几个问题中,我们根据一个物体在两个互相垂直的方向上的数量来表示这个物体的位置,这两 个数量我们可以用一个实数对来表示,但是,如果(5,3)表示5排3号的话,那么(3,5)表示什么呢? 生:3排5号. 师:对,它们对应的不是同一个位置,所以要求表示物体位置的这个实数对是有序的.谁来说说我们应该怎样表示一个物体的位置呢?

最新上海初二八年级(上)数学知识点详细总结

《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 表示方法：记作“a ”，读作根号a 。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。 表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 0≥a 注意:a 的双重非负性： a ≥0 3、立方根 一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3 =a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。 表示方法：记作3a

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 三、二次根式计算 1、含有二次根号“ ”；被开方数a 必须是非负数。 2、性质： （1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a （3）)0,0(≥≥?=b a b a ab （)0,0(≥≥=?b a ab b a ） （4）)0,0(>≥=b a b a b a （)0,0(>≥=b a b a b a ） 3、化简二次根式：把二次根式被开方数的完全平方因式移到根号外。例： 2332182=?=。 (字母因式由根号内移到根号外时，必须考虑字母因式隐含的符号） 4、最简二次根式：化简后的二次根式需同时符合以下两个条件：⑴被开方数中各因式的指数都为1；⑵被开方数不含分母。这样的二次根式叫做最简二次根式。 将一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种情况： ⑴如果被开方数是分式或分数（包括小数），先利用商的自述平方根的性质把它写成分式的形式，然后再分母有理化； ⑵如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解质因数，然后把能开方的因式或因数开出来，从而将式子化简。 化二次根式为最简二次根式的步骤： ⑴把被开方数分解质因数，化为积的形式； ⑵把根号内能开方的的因数移到根号外； ⑶化去根号内的分母，若被开方数的因数中有带分数要化成假分数，小数化成分数。 5、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式。例：18、22、 221。（判断是不是同类二次根式：首先，要看它们是不是最简二次根式；其次，看这些最简二次根式的被开方数是否相同） 6、二次根式的加法、减法：⑴化简，化成最简二次根式；⑵合并同类二次根（即将被开方数相同的二次根式的系数进行合并） 7、二次根式的乘法、除法：⑴先完成根号内乘除，再化简二次根式；⑵小数化分数，带分数化假分数；⑶字母需考虑取值范围（不要忽视隐含条件）。 8、分母有理化：把分子和分母都乘以一个适当的代数式，使分母不含根号，这种计算