专题11 连通器原理(解析版)

备战2020年中考物理学考练之20个重要规律:专题11 连通器原理专题学啥

1.连通器定义：

几个底部互相连通的容器，叫做连通器。注入同一种液体，在液体不流动时连通器内各容器的液面总是保持在同一水平面上。

2.连通器的原理：

连通器中只装入一种液体，在液体静止时，各容器中的液面总是相平的，或者说高度是相同的。

几个底部互相连通的容器，注入同一种液体，在液体不流动时连通器内各容器的液面总是保持在同一水平面上。连通器的原理可用液体压强来解释。若在U形玻璃管中装有同一种液体，在连通器的底部正中设想有一个小液片AB。假如液体是静止不流动的。左管中之液体对液片AB向右侧的压强，一定等于右管中之液体对液片AB向左侧的压强。因为连通器内装的是同一种液体，左右两个液柱的密度相同，根据液体压强的公式P=ρgh可知，只有当两边液柱的高度相等时，两边液柱对液片AB的压强才能相等。所以，在液体不流动的情况下，连通器各容器中的液面应保持相平。

3.连通器的原理有哪些应用：

（1）日常生活用品中的应用：茶壶、水壶、酒壶等；

（2）水利工程中的应用：船闸、过路涵洞；

（3）卫生保健方面的应用：洗手盆、地漏与下水管道之间的U形弯管；

（4）自动控制、方便控制方面的应用：锅炉水位计、自动喂水器等。

专题考法

【例题1】（经典题）利用所学相关物理知识证明：连通器中只装入一种液体，在液体静止时，各容器中的液面总是相平的，或者说高度是相同的。

【答案】见解析。

【解析】证明：如图所示，在U形玻璃管中装有同一种液体，在连通器的底部正中设想有一个液片AB。

液体是静止不流动的，则液片AB 受平衡力。

这时有 左管中之液体对液片AB 向右侧的压力F 左，一定等于右管中之液体对液片AB 向左侧的压力F 右。即F 左= F 右

叶片左侧和右侧受力面积相同，即S 左= S 右

根据压强公式P=F/S 得到叶片左侧和右侧受到压强相等，P 左= P 右

因为连通器内装的是同一种液体，左右两个液柱的密度相同。

根据液体压强的公式p=ρgh 可知，两边液柱的高度相等。h 左= h 右

证毕。

【例题2】（经典题）下图所示是两边管子粗细相同、足够高的连通器,其水平细管足够长,中间有一个可无摩擦移动的活塞.刚开始活塞固定不动,两管液面相平,左管液体是酒精(ρ酒精=0.8×103 kg/m 3),右管液体是水(ρ水=1.0×103kg/m 3).现松开活塞,重新稳定后（ ）

A .右边液面下降1cm

B .右边液面下降2cm

C .右边液面比左边液面低1cm

D .左右液面一样高

【答案】A

【解析】如图，水的密度大于酒精的密度，两侧高度相同，水对活塞压强大于酒精对活塞的压强。现松开活塞，活塞向左侧移动，重新稳定后，左侧液面上升，右侧液面下降。

活塞稳定后，左右两侧液体对其压强相等，P 左=P 右。

ρ酒精g （9+h ）=ρ水g （9-h ）

0.8×103 kg/m 3 ×（9+h ）=1.0×103kg/m 3×（9-h ）

h=1cm

【例题3】（改编题）如图的装置中应用连通器原理的是（ ）

A 茶壶

B 吸尘器

C .吸盘式挂钩

D .注射器

【解析】A．茶壶的壶嘴和壶身下部是相通的，构成了连通器。

B．吸尘器是利用流体压强与流速的关系来工作的。

C. 吸盘式挂钩是利用大气压原理工作的。

D. 注射器是利用大气压原理工作的。

专题操练

一、选择题

1．（经典题）如图所示的敞口容器中加水，则水能达到的最高位置是（）

A．容器A的顶端B．容器B的顶端

C．容器C的顶端D．条件不足，无法确定

【答案】B

【解析】根据连通器的原理可知，水不流动时各容器中的水面相平，所以水能达到的最高位置是最低的管口B。

2.（经典题）三峡船闸是世界上最大的人造连通器．如图是轮船通过船闸的示意图，此时上游阀门A打开，下游阀门B关闭，下列说法正确的是（）

A．闸室和上游水道构成连通器，水对阀门A两侧的压力相等

B．闸室和上游水道构成连通器，水对阀门A右侧的压力大于左侧的压力

C．闸室和下游水道构成连通器，水对阀门B右侧的压力大于左侧的压力

D．闸室和下游水道构成连通器，水对阀门B两侧的压力相等

【解析】上游阀门A打开，则上，游水道与闸室通过阀门A连通，构成一个连通器，上游水位与闸室水位相同，水对阀门A两侧的压强相等，压力也相等，故A正确。

3.（经典题）如图所示，A、B两容器内盛着水，水面等高，两容器间用一斜管相通，K是开关，当K打开后，则（）

A．水将由A流向B B．水将由B流向A

C．水不流动D．无法确定

【答案】C

【解析】由于K在左、右两个容器水中的深度相同，所以此处的水所受的两侧水压相等，因此水不流动。这与连通器没有关系。

4．（经典题）如图所示，液面静止时符合实际情况的是正确的是（）

【答案】B

【解析】由连通器的原理可知，水不流动时各容器中的水面相平，不会出现一侧高另一侧低的情形。5．（经典题）如图所示，公路两侧的甲、乙两条水渠由路面下的倾斜涵洞相连，两渠水面相平，涵洞中的水流方向，正确的说法是（）

A.水从水渠乙流向水渠甲

B.水从水渠甲流向水渠乙

C.因水面相平，水不流动

D.以上说法都不对

【答案】C

【解析】根据连通器的原理，当水不流动时两侧水面相平；原因是只有两侧水渠中的水面同高时，对底部涵洞的水压才相等，水才不流动。

二、填空题

6．（经典题）如图所示，装在装修新房时，工人师傅常用一根灌有水（水中无气泡）且足够长的透明软管的两端在墙面不同地方做出标记，这样做的目的是保证两点在___________________，用到的物理知识是___________________。

【答案】在同一高度（或在同一水平线上）,连通器的原理.

【解析】这一根灌有水（水中无气泡）且足够长的透明软管就相当于一个连通器，水面的水不流动时，两处的水面相平，处于同一水平线上。所以两位工人师傅用这两个静止水面当参照物，在墙面上做出的标记肯定是同样高的。

7.（经典题）如图所示，是某栋房子供水的水路示意图，放水时水龙头与水塔构成了一个．若将水龙头（相同型号）单独打开并将开关旋至最大，则填“甲’’或“乙”）水龙头出水速度大．

【答案】连通器甲

【解析】连通器是液体压强知识在实际中的重要应用，在中考中经常出现以连通器为命题情景，考查液体压强计算的试题．另外，运用连通器原理判断、解释物理问题也是中考的热点．连通器是指上端开口、下部相连通的容器，连通器里的水不流动时，各容器中的水面总保持相平．同一种液体中，液体的深度越深，产生的压强越大，因此图中甲水龙头处的压强最大，出水速度最大．

8.（经典题）洗手池的下水管道常常做成如图所示的弯管，弯管的“弯”很多情况下是受地形决定的，但其中

的一个“弯”却有着特殊的功能（图中虚线框内部分），它能堵住管道，防止污水管内的臭气顺着管道逆行，从而污染室内的空气。其实这个“弯”是利用物理模型__________________的原理来设计的。

【答案】连通器

【解析】虚线框内的U形弯管构成了一个连通器，由于装入同一种液体，在液体静止时各容器中的液面相平，所以能密封住一段水柱，起到密闭作用。

三、简答题

9.（经典题）图甲、乙所示容器中都装有水，但图中都只画出了左边容器中的水面，请在图中把未画出的水面的大致位置补画出来．

【答案】如图所示．

【解析】甲中，因阀门处于关闭状态，故左边的容器与右边的容器构成了一个连通器，左、右水面应处在一样的高度．乙中阀门是打开的，故容器中的水是流动的．根据流速越大的地方压强越小，故可判断出中间容器中水面高于右边容器中的水面．

四、计算题

10.（经典题）如图所示，水塔与自来水管组成连通器，若水塔内水面高度h1=18m，五楼住户水龙头出水口

高度h2=13m，四楼住户水龙头出水口高度h3=10m，水龙头出水口直径为2cm．求：

(1)四楼住户水龙头出水口处，水的压强是多少？

(2)四楼住户水龙头出水口受到水的压力是多少？（g取10 N/kg）

【答案】（1）8.0×104Pa（2）25.12N

【解析】（1）p＝ρgh＝ρg（h1-h3）=1.0×103kg/m3×10 N/kg×（18m-10m）=8.0×104Pa；（2）四楼住户水龙头出水口面积S=3.14×R2

R=1cm=0.01m=10-2m

S=3.14×R2= 3.14×（10-2m）2= 3.14×10-4m2

F=PS=8.0×104Pa×3.14×10-4m2=25.12N

7-7-5 容斥原理之最值问题.教师版

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-5.容斥原理之最值问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次， 多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---

容斥原理的极值问题

容斥原理的极值问题文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

有关容斥原理的极值问题 所谓“极值问题”就是通常说的最大值，最小值的问题，题干中通常有“至少”，“至多”等题眼，解决这类问题通常有两种方法，一是极限思想，另一种就是逆向思维。 通过以下几个例题具体看一下： 1. 某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，至少有几个4个活动都参加 解析: 逆向思维，分别考虑不喜欢其中某项活动的人数是多少，由题意可知，分别为11,16,8,6，只有当这四项集合互相没有交集的时候，四项活动都喜欢的人数才最少，因此最少人数为46-11-16-8-6=5 2. 参加某部门招聘考试的共有120人，考试内容共有6道题。1至6道题分别有86人，88人，92人，76人，72人和70人答对，如果答对3道题或3道以上的人员能通过考试，那么至少有多少人能通过考试 解析（极限思想）：要使通过的人最少，那么就是对1道，2道的人最多，并且应该是对2道的人最多（这样消耗的总题目数最多），假设都只对了2道，那120人总共对了240道，而现在对了86+88+92+76+72+70=484，比240多了244道，每个人还可以多4道（这样总人数最少）,244/4=61。(逆向思维)：先算出来1-6题每题错的人数120-86=34 120-88=32 120- 92=28 120-76=44 120-72=48 120-70=50 要使通过的人数最少，就是没通过的人数最多，让错的人都只错4道就错的人最多，总的错的题数为 34+32+28+44+48+50=236236/4=59120-59=61

北师大高三数学一轮复习练习：第十一章 计数原理概率随机变量及其分布 第讲 含解析

基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1.某射手射击所得环数X 的分布列为 A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51 解析 P (X ＞7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10) ＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案 C 2.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为： 则q 的值为( ) A.1 B.32±336 C.32－336 D.32＋336 解析 由分布列的性质知?????2－3q ≥0，q 2 ≥0， 13＋2－3q ＋q 2 ＝1， 解得q ＝32－33 6. 答案 C 3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( ) A.0 B.12 C.13 D.23

解析由已知得X的所有可能取值为0，1， 且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1， 得P(X＝0)＝1 3. 答案 C 4.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是() A.ξ＝4 B.ξ＝5 C.ξ＝6 D.ξ≤5 解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 答案 C 5.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是() A.4 35 B. 6 35 C. 12 35 D. 36 343 解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问 题，故所求概率为P＝C23C14 C37＝12 35. 答案 C 二、填空题 6.设离散型随机变量X的分布列为 若随机变量Y＝|X 解析由分布列的性质，知 0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)

容斥原理问题

容斥原理问题——基础学习 一、解答题

2、两个集合容斥原理例1：四年级一班有54人，定阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？（） A．13 B．22 C．33 D．41 【答案】B 【解题关键点】设A={定阅《小学生优秀作文》的人}，B={订阅《数学大世界》的人}，那么A∩B={同时订阅两本读物的人}，A∪B={至少订阅一样的人}，由容斥原则，B= A∪B+A∩B-A=54+13-45=22人。 【结束】 3、两个集合容斥原理例2：五年级有122名同学参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？（） A． 30 B．35 C．57 D．65 【答案】A

【解题关键点】此题是典型的两个集合的容斥问题，因此，可以直接有两个集合的容斥原理得到，语文和数学都优秀的学生有65+87-122=30人。 【结束】 4、两个集合容斥原理例3：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。这个文艺组共有多少人？（）A．25 B．32 C．33 D．41 【答案】C 【解题关键点】设A={会拉手提琴的}，B={会弹电子琴的}，因此A∪B ={文艺组的人}，A∩B={两样都会的}，由两个集合的容斥原理可得：A∪B=A+B- A∩B=24+17-8=33。 【结束】 5、两个集合容斥原理例4：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人，问多少个同学两道题都没有答对？（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题关键点】有两个集合的容斥原理得到，至少答对一道题的同学有25+23-15=33人，因此两道题都没有答对的同学有36-33=3人。 【结束】

2021年高考数学大一轮总复习 第十一章 计数原理同步训练 理

2021年高考数学大一轮总复习第十一章计数原理同步训练理 A级训练 (完成时间：10分钟) 1.某城市的电话号码，由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是( ) A．9×8×7×6×5×4×3 B．8×96 C．9×106 D．81×105 2.从a、b、c、d、e五人中选1名班长，1名副班长，1名学习委员，1名纪律委员，1名文娱委员，但a不能当班长，b不能当副班长．则不同选法总数为( ) A．78 B．54 C．24 D．20 3.某生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲丙两工人中安排1人，则不同的安排方案有( ) A．24种 B．36种 C．48种 D．72种

4.五名旅客在三家旅店投宿的方法有243 种． 5.72的正约数(包括1和72)共有12 个． 6.4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？ B级训练 (完成时间：20分钟) 1.[限时2分钟，达标是( )否( )] 已知复数a＋b i，其中a，b为0,1,2，…，9这10个数字中的两个不同的数，则不同的虚数的个数为( ) A．36 B．72 C．81 D．90 2.[限时2分钟，达标是( )否( )] 已知集合M∈{1，－2,3}，N∈{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( ) A．18 B．10

C．16 D．14 3.[限时2分钟，达标是( )否( )] 如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40,45,54,61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为( ) A．15 B．16 C．17 D．18 4.[限时3分钟，达标是( )否( )] 如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有30 种． 5.[限时3分钟，达标是( )否( )] 用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一颜色． (1)若n＝6，则为甲图着色的不同方法共有480 种； (2)若为乙图着色时共有120种不同方法，则n＝ 5 . 6.[限时4分钟，达标是( )否( )]

第十一章 同步原理 习题

《通信原理》第十一章 同步原理 习题 第十一章同步原理 习题 1．在插入导频法框图中,?sinωt不经过90?相移，直接与已调信号相加输出。试证明接收端的解调输出中含有直流分量。 证明：发端： u{t}=m(t)·?sinωt+?sinωt 收端： v(t)=u(t)sinωt=[ m(t)·?sinωt+?sinωt]sinωt=a[1+m(t)]sin2ωt =1/2·?[1+m(t)](1-cos2ωt) =1/2·?[1+m(t)]- 1/2·?[1+m(t)] cos2ωt 经低通滤波器后，滤除高频分量，输出为 v(t)= 1/2·?[1+m(t)]= 1/2·?+1/2·?m(t) 故解调器输出的信号有直流分量?/2。 2．已知单边带信号的表示为 s(t)=m(t)cosωt+ (t)sinωt, (t)是m(t)的希尔伯特变换 若采用与抑制载波双边带信号导频插入完全相同的方法，试证明接收端可正确解调；若发端插入的导频是调制载波，试证明解调输出中也含有直流分量，并求出该值。 解：1） v(t)=u(t)sinωt=[s(t)-?cosωt] sinωt =[m(t)cosωt+ (t)sinωt-?cosωt] sinωt =1/2m(t) sin2ωt+1/2 (t)（1-cos2ωt）-1/2? sin2ωt =1/2 (t)+1/2m(t)sin2ωt-1/2? sin2ωt-1/2 (t)cos2ωt 经低通滤波器,滤除高频分量，输出为 m’(t)=1/2 (t) 经90o相移后，即可得到正确的解调信号。 2）v(t)=u(t)sinωt=[s(t)+? sinωt] sinωt =[m(t)cosωt+ (t)sinωt+? sinωt] sinωt =1/2m(t) sin2ωt+（ (t)+?）·1/2（1-cos2ωt） =1/2 (t)+1/2?+1/2m(t) sin2ωt-1/2（ (t)+?）cos2ωt 经低通滤波器,滤除高频分量，输出为 m’(t)=1/2 (t)+ 1/2? 所以，解调器输出的信号有直流分量?/2。 3．已知单边带信号的表示为 s(t)=m(t)cosωt+ (t)sinωt, (t)是m(t)的希尔伯特变换 试证明采用平方变换法提取载波时，不能实现载波的提取。 证明：设平方滤部件输出的信号为e(t),则 e(t)=(m(t)cosωt+ (t)sinωt)2 =m2(t)cos2ωt+ 2(t)sin2ωt+2m(t) (t)cosωt sinωt =1/2(1+cos2ωt)m2(t)+1/2(1-cos2ωt) 2(t) +2m(t) (t)cosωt sinωt =1/2[m2(t)+ 2(t)]+ 1/2[m2(t)- 2(t)]cos2ωt+ m(t) (t)sin2ωt 因为m2(t)- 2(t)及m(t) (t)中不含直流分量，所以e(t)中不含2?分量，既不能采用平方变换法提取载波。 1

数学一轮复习(文科)人教B配套多媒体实用课件第十一章计数原理第1讲合情推理与演绎推理

第1讲合情推理与演绎推理（乞夯基释疑〕

I.判断正误(在括号内打“厂或“ X ”) ⑴归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确? (X) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推 理.(°) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类 比对象较为合适?(X) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.(X) 丿

考点突破考点一归纳推理 【例1J （2014-海口调研）如图是按一定规律排列的三角形等式表，现将等式从左至右，从上到下依次编上序号，即第一个等式为2°+2x=3,第二个等式为2°+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为2°+23=9,第五个等式为21+23=10,……,依此类推，则第99个等式为（） ，依此类推, 2°+21=3 2°+22 = 5 21+22 =6 2°+23=9 2】+23=10 22+23=12 2°+24=17 2】+24=18 22+24=20 23+24=24 A.27+213=8 320 B. 27+214=16 512 C. 2+14=16 640 D. 2+13=8 448

2°+21=3 2°+22=5 2°+23=9 2°+24=17 解需麻题意，用(/, ［鎗一行为3(0, |第二行为5(0, 第三行为9(0, I 第四行为 17(0, 4), 18(1, 4), 20(2, 4), 24(3, 4)； 又因为 99=(1+2+3+…+ 13)+8, 因 此第99个等式应位于第14行的从左到右的第8个位置， 即是27 +214=16 512,故选B ? 规律：1、第〃行就有〃个等式，n 行共有l+2+3+...+n 个 2、第"行第一个等式2°+2" = 1+2" 第加个等式2曲+2〃 = 考点突破 考点一归纳推理 21+22 =6 21+23 = 10 22+23=12 2X +24 = 18 22+24=20 23+24 =24 巧表示2『+2〃，题中的等式的规律为: 1)； 2), 6(1, 2)； 3), 10(1, 3), 12(2, 3)；

行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题

行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题 中公教育考试研究院宋丽娜：容斥原理是行测数学运算中常考知识点。容斥原理是指在计数时，必须注意无一重复，且无遗漏。这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 例1：一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种，其中喜欢数学课的有49人，喜欢语文课的有52人，二者都喜欢的有21人，则这个班级有多少人? 中公点拨：本题就是一个容斥问题，解决此问题的方法就是先算：49+52=101(把含于某内容中的所有对象的数目先计算出来)，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即： 101-21=80人，则整个班级的人数就有80人。 三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。所谓三者容斥是指在题干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体，例如上题中喜欢数学的人构成一个集合)。 三者容斥问题有一个基本公式：A，B，C代表三个集合，则有 A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C 这个公式表达的含义是，A+B+C再减去两两相交之后，中间E(即A∩B∩C)这部分被减没

了。而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉，故要再加回来，所以又加了一个A∩B∩C。例2. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。篮球和排球都喜欢的多少人? 中公教育解析：由题意可画图如下： 则有上述公式可知： 58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人 故喜欢篮球和排球的人有22人。 例3. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。结果显示：其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人，还有5人三种球都不喜欢，则篮球和排球都喜欢的多少人?

通信原理第11章

§11.1 引言 §11.2 载波同步方法§11.3 位同步方法§11.4 帧同步方法

§11.1 引 言 对数字系统： 点对点通信： 对模拟系统： 采用相干解调时，接受端需要一个与发端调制时的载波完全 同频同相的相干载波，这个载波获取就称为载波同步（或载 波提取） 调制系统除了载波同步外，还有位同步。在接收端产生与接收 码元的重复频率和相位一致的定时脉冲序列的过程称为码元同 步或位同步。 同步包括载波同步，位同步和网同步(Network synchronization （计算机通信） 同步包括载波同步(Carrier synchronization) ，位同步(bit synchronization) ，帧同步（群同步:group synchronization ）。 点对多点通信： 同步(synchronization)：通信系统中的实际问题，信息(information)传输的前提。

§11．2 载波同步方法 定义：当采用同步解调或相干检测时，接收端需要提供一个与发射端调制载波同频同相的相干载波。这个相干载波的获取就称为载波提取，或称为载波同步 实现方法 插入法：在发射信号时，在适当频率位置插入一个或多个导频(Pilot)信号 直接法：在接收端从发送信号中提取载波

直接法 1. 平方变换法和平方环法 t t m t s c ωcos )()(=DSB 已调信号 接收端将该信号进行平方变换，即经过一个平方律部件后就得到 t t m t m t t m t e c c ωω2cos )(2 12)(cos )()(222 2+== 平方律部件 2f c 窄带滤波器 输入已调信号 滤波输出 二分频 锁相环 平方器 二分频 输入已调信号 滤波输出 LF VCO PD

容斥原理之最值问题

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-5.容斥原理之最值问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； A B A B +-1 A B

2021-2022年高考数学一轮总复习第十一章计数原理11.1排列组合专用题组理新人教B版

2021年高考数学一轮总复习第十一章计数原理11.1排列组合专用题 组理新人教B版 考点排列、组合 18.(xx安徽,10,5分)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为( ) A.1或3 B.1或4 C.2或3 D.2或4 答案 D 由题意及=15知只需少交换2次.记6位同学为A1、A2、A3、A4、A5、A6,不妨讨论①A1少交换2次,如A1未与A2、A3交换,则收到4份纪念品的同学仅为A2、A32人;②A1、A2各少交换1次,如A1与A3未交换,A2与A4未交换,则收到4份纪念品的同学有4人,为A1、A2、A3、A4.故选D. 评析本题考查了计数原理等知识,考查学生应用数学知识,分类讨论思想,利用符号标记具体分析是顺利解题的关键. 19.(xx陕西,8,5分)两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( ) A.10种 B.15种 C.20种 D.30种 答案 C 按比赛局数分类:3局时有2种,4局时有2种,5局时有2种,故共有2+2+2=20种,选C. 评析本题考查了排列组合的实际应用,考查了分类讨论的思想方法.

20.(xx北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种. 答案36 解析记5件产品为A、B、C、D、E,A、B相邻视为一个元素,先与D、E排列,有种方法;再将C插入,仅有3个空位可选,共有=2×6×3=36种不同的摆法. 21.(xx浙江,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答). 答案480 解析从左往右看,若C排在第1位,共有排法=120种;若C排在第2位,共有排法·=72种;若C排在第3位,则A、B可排在C的左侧或右侧,共有排法·+·=48种;若C排在第4,5,6位时,其排法数与排在第3,2,1位相同,故共有排法2×(120+72+48)=480种. 22.(xx北京,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是. 答案96 解析5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券分给4人,则不同的分法种数是4=96. 评析本题主要考查排列组合问题,“5张参观券分成4份,且2张参观券连号的分法有4种”是解题的关键,审题不清楚是学生失分的主要原因. 23.(xx北京,12,5分)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位

电机学 第11章_同步发电机的基本工作原理和结构

第11章 思考题与习题参考答案 11.1 同步发电机感应电动势的频率和转速有什么关系? 在频率为50H Z 时，极数和转速有什么关系？ 答:频率与转速的关系为：60 pn f = 当频率为Hz 50时，30005060=×=pn 。 11.2 为什么汽轮发电机采用隐极式转子，水轮发电机采用凸极式转子？ 答：汽轮发电机磁极对数少（通常p =1），转速高，为了提高转子机械强度，降低转子离心力，所以采用细而长的隐极式转子；水轮发电机磁极对数多,转速低，所以采用短而粗的凸极式转子。 11.3 试比较同步发电机与异步电动机结构上的主要异同点。 答：同步发电机和异步电动机的定子结构相同，都由定子铁心、定子三相对称绕组、机座和端盖等主要部件组成。但这两种电机的转子结构却不同，同步发电机的转子由磁极铁心和励磁绕组组成，励磁绕组外加直流电流产生恒定的转子磁场。转子铁心又分为隐极式和凸极式两种不同结构。异步电动机的转子分为笼型和绕线型两种结构形式，转子绕组中的电流及转子磁场是依靠定子磁场感应而产生的，故也称为感应电动机。 11.4 一台汽轮发电机，极数22=p ， MW 300=N P ，kV 18=N U ，85.0cos =N ?，Hz 50=N f ，试求：（1）发电机的额定电流；（2）发电机额定运行时的有功功率和无功功率。 解：（1）A U P I N N N N 6.1132085.010********cos 336=××××==? （2）MW P N 300= MVA P S N N N 94.35285.0/300cos /===? var 186527.094.352sin M S Q N N N =×==? 11.5一台水轮发电机，极数402=p ，MW 100=N P ，kV 813.U N =，9.0cos =N ?，Hz 50=N f ，求：（1）发电机的额定电流；（2）发电机额定运行时的有功功率和无功功率；（3）发电机的转速。 解：（1）A U P I N N N N 553.46489.0108.13310100cos 336=××××==? （2）MW P N 100= MVA P S N N N 11.1119.0/100cos /===? var 44.48436.011.111sin M S Q N N N =×==?

容斥原理之最值问题

7-7-5.容斥原理之最值问题 教学目标 1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 知识要点 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A U B=A+B-A I B(其中符号“U”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积． 1．先包含——A+B 重叠部分A I B计算了2次，多加了1次； 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A U B的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A+B(意思是把A、B的一切元素都“包含” 进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A I B(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A U B U C=A+B+C-A I B-B I C-A I C+A I B I C．图示如下：

通信原理习题解答第11部分

第11章习 题 图见附文件：1①、5 未做：9 11-1 设锁相环路滤波器的传递函数F(s)=1，环路增益K 一定。试画出环路相位传递函数H(s)的频率响应曲线及相位误差)(s e θ的频率响应曲线。 解：①s K K s KF s s KF s H += += )]([)()(，图 ②图 11-2 数字通信系统的同步是指哪几种同步？它们各有哪几种同步的方法？ 解：数字通信系统的同步是指载波同步、位（码元）同步、帧（群）同步及通信网同步。 载波同步的同步方法：插入导频法、直接提取载波法。 位（码元）同步的同步方法：插入导频法、直接提取位同步法。 帧（群）同步的同步方法：起止式同步法、连贯插入特殊码字同步法、间隔式插入同步码法。 通信网同步的同步方法：主从同步方式、相互同步方式、独立时钟同步方式。 11-3 若频域插入导频法中插入导频t A o ωsin 不经900相移，直接与已调信号相加输出。试证明接收的解调输出信号中有直流分量。 证明：参见教材图11。7（a ），有]sin sin )([)(000t A t A t m t u ωω+=。 参见教材图11。7（b ），有t t A t A t m t t u t V 00000sin ]sin sin )([sin )()(ωωωω+== t t m A t m A t t m A 0022cos )](1[2 1 )](1[21sin )](1[ωω+-+=+= 经低通滤波后输出)(2121)('t Am A t m += ，其中的A 2 1 即为直流分量。 11-4 已知锁相环路的输入噪声相位方差i ni r 212 =θ，证明环路的输出相位方差2 0n θ与环路信噪比L r 的关系为： L n r 2120= θ 证明：对高斯白噪声，其功率22)(σ=t n ,单边功率谱0)(n P n =ω，设噪声带宽为B ，则噪声功率2 0σ==B n P n 。

全国统考2022高考数学一轮复习第十一章计数原理11.2排列与组合学案理含解析北师大版.docx

11.2排列与组合 必备知识预案自诊 知识梳理 1.排列与组合的概念 名 称 定义 排 列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照排成一列 组 合 合成一组2.排列数与组合数的概念 名称定义 排列 数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同 的个数 组合数 的个数 3.排列数、组合数的公式及性质 公式(1)A n m=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)=n! (n-m)! (2)A n m=A n m A m m =n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1) m! = n! m!(n-m)! 性质(1)0!= ; A n n=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1=n! (2)A n m=A n n-m; A n+1 m=A n m +A n m-1 1.A n m=(n-m+1)A n m-1. 2.A n m=n A n-1 m-1. 3.(n+1)!-n!=n·n!. 4.k A n k=n A n-1 k-1. 5.A n m=n m A n-1 m-1=n n-m A n-1 m=n-m+1 m A n m-1.

考点自诊 1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.() (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.() (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.() (4)若组合式C A A=C A A,则x=m成立.() (5)排列中,给出的n个元素各不相同,被取出的元素也各不相同的情况.即如果某个元素已被取出,则这个元素就不再取了.() 2.2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行,长三角城市群包括:上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市,简称“三省一市”.现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为() A.27 64B.9 16 C.81 256 D.7 16 3.将A,B,C,D,E这5名同学从左至右排成一排,则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法种数为() A.18 B.20 C.21 D.22 4.2020年7月1日迎来了我国建党99周年,6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6名老党员中有3名党员当年在同一个班,他们站成一排拍照留念时,要求同班的3名党员站在一起,且满足条件的每种排法都要拍一张照片,若将照片洗出来,每张照片0.5元(不含过塑费),且有一半的照片需要过塑,每张过塑费为0.75元.若将这些照片平均分给每名老党员(过塑的照片也要平均分),则每名老党员需要支付的照片费为() A.20.5元 B.21元 C.21.5元 D.22元 5.(2020广西柳州抽测)将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动,每个地方至少安排一名学生参加,则不同的安排方案共有种. 关键能力学案突破 考 点 简单的排列应用 题(多考向探究) 考向1在与不在问题——特殊元素(或位置)优先法 【例1】6人站成一排,其中甲不能站在排头,乙不能站在排尾的不同排法共有 种. 解题心得解此类问题常用“元素分析法”“位置分析法”.元素分析法——即以元素为主,优先考虑特殊元素的要求,再考虑其他元素;位置分析法——即以位置为主,优先考虑特殊位置的要求,再考虑其他位置. 变式发散6人站成一排,则甲既不站排头又不站排尾的站法有种. 对点训练16个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有() A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 考向2相邻问题——捆绑法

容斥原理之三者容斥问题

容斥原理之三者容斥问题 浙江行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题 中公教育考试研究院宋丽娜：容斥原理是行测数学运算中常考知识点。容斥原理是指在计数时，必须注意无一重复，且无遗漏。这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 例1：一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种，其中喜欢数学课的有49人，喜欢语文课的有52人，二者都喜欢的有21人，则这个班级有多少人? 中公点拨：本题就是一个容斥问题，解决此问题的方法就是先算：49+52=101(把含于某内容中的所有对象的数目先计算出来)，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即：101-21=80人，则整个班级的人数就有80人。 三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。所谓三者容斥是指在题干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体，例如上题中喜欢数学的人构成一个集合)。 三者容斥问题有一个基本公式：A，B，C代表三个集合，则有 A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C 这个公式表达的含义是，A+B+C再减去两两相交之后，中间E(即A∩B∩C)这部分被减没了。而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉，故要再加回来，所以又加了一个A∩B∩C。 例2. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。篮球和排球都喜欢的多少人?

容斥原理之最值问题

教学目标 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用. 知识要点 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算?求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成： AUB A B AI B （其中符号“ U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思; 符号“ I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思. ）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理?图示 AI B ,即阴影面积?图示 第一步：分别计算集合 A 、B 的元素个数，然后加起来，即先求 A B （意思是把A B 的一切元素都“包含” 进来，加在一起）; 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C AI B （意思是“排除”了重复计算的元素个数 ）? 、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A 类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是A 类又是B 类 的元素个数 既是B 类又是C 类的元素个数 既是A 类又是C 类的元素个数 同时是A 类、B 类、C 类的元 素个数.用符号表示为： AUBUC A B C AI B BI C AI C AI BI C .图示如下： 如下:A 表示小圆部分, B 表示大圆部分, C 表示大圆与小圆的公共部分，记为: 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A B 的并集AU B 的元素的个数，可分以下两步进行:

例题精讲 【例1】 “走美”主试委员会为三?八年级准备决赛试题。 每 个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年 级都不同。如果每道题出现在不同年级，最多只能出现 3次。本届活动至少要准备 道决赛 试题。 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，4年级，决赛，第9题 【解析】每个年级都有自己8道题目，然后可以三至五年级共用 4道题目，六到八年级共用 4道题目，总共有 8 6 4 2 56 （道）题目。 【答案】56题 【例2】 将1?13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的 个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？ 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于 被重复计算多的区格中，最大和为: 13 X 4+ (12+11 + 10+9 ) X 3+ 8+7+6+5 ) X 2+ 4+3+2+1 ) =240. 【答案】240 【例3】如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星?如果每条线段上恰有 这个五角星上红色点最少有多少个 ？ 目 tMlF 13个区域中，然后把每 1994个点被染成红色，那么在

高考数学一轮复习第十一章计数原理..排列与组合对点训练理

2017高考数学一轮复习 第十一章 计数原理 11.1.2 排列与组合对 点训练 理 1.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( ) A ．144个 B ．120个 C ．96个 D ．72个 答案 B 解析 当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有C 12A 3 4＝48(个)；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有C 13A 3 4＝72(个)，所以比40000大的偶数共有48＋72＝120(个)，选B. 2．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( ) A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种 答案 C 解析 从6名男医生中选出2名有C 2 6种选法，从5名女医生中选出1名有C 1 5种选法，故共有C 26·C 1 5＝6×52×1 ×5＝75种选法，选C. 3．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 答案 B 解析 当最左端排甲的时候，排法的种数为A 5 5；当最左端排乙的时候，排法种数为C 14A 4 4.因此不同的排法的种数为A 5 5＋C 14A 4 4＝120＋96＝216. 4．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．24 答案 D 解析 先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A 3 4＝24种放法，故选D. 5．用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( ) A ．(1＋a ＋a 2 ＋a 3 ＋a 4 ＋a 5 )(1＋b 5 )(1＋c )5 B ．(1＋a 5 )(1＋b ＋b 2 ＋b 3 ＋b 4 ＋b 5 )(1＋c )5 C ．(1＋a )5 (1＋b ＋b 2 ＋b 3 ＋b 4 ＋b 5 )(1＋c 5 )

公务员考试——容斥原理问题

知识框架 数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是容斥原理问题。 在公务员考试中，根据集合的个数，容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型，两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决，三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类，对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。无论集合中的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这两类型，就能轻松搞定容斥原理问题。

核心点拨 1、题型简介 容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。掌握容斥原理问题，可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。 2、核心知识 （1）两个集合容斥关系 （2）三个集合容斥关系 A、标准型公式 B、图示标数型（文氏图法）

画图法核心步骤： 1画圈图； 2数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层)； ③做计算。 C、整体重复型 A、B、C分别代表三个集合（比如“分别满足三个条件的元素数量”）； W代表元素总量（比如“至少满足三个条件之一的元素的总量”）； x代表元素数量1（比如“满足一个条件的元素数量”）； y代表元素数量2（比如“满足两个条件的元素数量”）； z代表元素数量3（比如“满足三个条件的元素数量”）。 3、核心知识使用详解 （1）容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义，与题中的数据准确对应。 （2）容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图，在图中应准备反应题中集合之间的关系。 （3）容斥问题的难度在于题中集合可能较多，某些集合之间的关系可能不确定，这需要仔细的分析，抓住不确定的。 夯实基础