同济版高等数学下册练习题附答案
第八章 测验题
一、选择题：
1、若a →
，b →
为共线的单位向量，则它们的数量积a b →→
?= ().
(A) 1；(B)-1； (C)0；(D)cos(,)a b →→
.
向量a b →→?与二向量a →及b →
的位置关系是(). 共面；(B)共线； (C) 垂直；(D)斜交 .
3、设向量Q →
与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当
cos 0β=时，有() ()();
();
()A Q xoy B Q
yoz C Q
xoz D Q xoz ⊥面；面面面
5、2
()αβ→
→
±=()
(A)2
2
αβ→→±；(B)2
2
2ααββ→→→
→±+； (C)2
2
ααββ→→→
→±+；(D)2
2
2ααββ→→→
→±+.
6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠，则平面().
(A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y .
7、设直线方程为111122
0A x B y C z D B y D +++=??+=?且
111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线().
(A) 过原点；(B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴；(D)x 平行于轴. 8、曲面2
50z xy yz x +--=与直线
5
13
x y -=- 10
7
z -=
的交点是(). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)；
(C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).--
9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 2216
x y z ?+=?
=?，则此球面的方程是( ). (A)2
2
2
6160x y z z ++++=；
(B)222
160x y z z ++-=； (C)2
2
2
6160x y z z ++-+=； (D)2
2
2
6160x y z z +++-=.
10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ).
(A)2221x y z ++=；(B)22
4x y z +=；
(C)22
2
14y x z -+=；(D)2221916
x y z +-=-. 二、已知向量,a b 的夹角等于3
π
，且2,5a b →→==，求
(2)(3)a b a b →→→→
-?+ .
三、求向量{4,3,4}a →
=-在向量{2,2,1}b →
=上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量
{1,3,1};{2,1,3}a b →
→
=-=-{}2,1,3b =-，求其面积 .
五、已知,,a b →→
为两非零不共线向量，求证：
()()a b a b →→→→-?+2()a b →→
=?.
六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 .
七、求直线L ：31258x t
y t z t =-??
=-+??=+?
在三个坐标面上及平面
π380x y z -++=上的投影方程 .
八、求通过直线122
232
x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .
九、求点(1,4,3)--并与下面两直线
1L ：24135x y z x y -+=??+=-?，2:L 24132x t
y t z t =+??=--??=-+?
都垂直的直线方程 .
十、求通过三平面：220x y z +--=，
310x y z -++=和30x y z ++-=的交点，且平行于
平面20x y z ++=的平面方程 .
十一、在平面10x y z +++=，求作一直线，使它通过
直线1020
y z x z ++=??+=?与平面的交点，且与已知直线垂直 .
十二、判断下列两直线 111
:
112
x y z L +-==
, 212:
134
x y z L +-==
,是否在同一平面上，在同 一平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离 .
第九章测验题
一、选择题:
1
、二元函数22
1arcsin z x y =+的定义域是( ).
(A)2
2
14x y ≤+≤； (B)2
2
14x y <+≤； (C)2
2
14x y ≤+<； (D)2
2
14x y <+<.
2、设2
(,)()x f xy x y y
=+,则(,)f x y =( ). (A)2
21()x y y +；(B)2(1)x y y
+； (C)221()y x x +；(D)2
(1)y y x +.
3、222200
lim()x y x y x y →→+=( ).
(A)0；(B)1； (C)2；(D)e .
4、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导数
0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的( ).
(A)充分条件,但不是必要条件； (B)必要条件,但不是充分条件； (C)充分必要条件；
(D)既不是充分条件,也不是必要条件.
5、设(,)f x y 222222221()sin ,00,0x y x y x y x y ?++≠?+=??+=? 则在原点(0,0)处(,)f x y ( ).
(A)偏导数不存在；(B)不可微；
(C)偏导数存在且连续；(D)可微 . 6、设(,),(,)z f x v v v x y ==其中,f v 具有二阶连续偏导数.
则22z
y
?=?( ). (A)222f v f v v y y v y ?????+??????；(B)22
f v v y ?????； (C)22222()f v f v y v v y ????+?????； (D)2222f v f v
y v v y
?????+?????. 7、曲面3
(0)xyz a a =>的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积V=( ).
(A)3
32a ；(B)33a ；(C)39
2a ；(D)3
6a .
8、二元函数33
3()z x y x y =+--的极值点是( ).
(A)(1,2)；(B)(1.-2)；(C)(-1,2)；(D)(-1,-1). 9、函数sin sin sin u x y z =满足
(0,0,0)2
x y z x y z π
++=
>>>的条件极值是( ).
(A)1；(B)0；(C)16；(D)1
8.
10、设函数(,),(,)u u x y v v x y ==在点(,)x y 的某邻 域内可微分,则 在点(,)x y 处有
()grad uv =( ). ();();();()
.
A gradu gradv
B u gradv v gradu
C u gradv
D v gradu ??+???
二、讨论函数33
x y
z x y +=
+的连续性，并指出间断点类型. 三、求下列函数的一阶偏导数: 1、ln y
z x
= ；
2、(,,),(,)u f x xy xyz z x y φ==；
3、2
22
22
220(,)00
x y x y f x y x y x y ?+≠?
=+??+=?
.
四、设(,)u f x z =,而(,)z x y 是由方程()z x y z φ=+所确的函数,求du .
五、设(,,),y
z u x y u xe ==,其中f 具有连续的二阶偏导数,求2z
x y
???.
六、设cos ,sin ,u
u
x e v y e v z uv ===,试求
z x ??和z y
?? .
七、设x 轴正向到方向l 的转角为,φ求函数
22(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)沿方向l 的方向导数,并
分别确定转角,φ使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于零 . 八、求平面
1345
x y z
++=和柱面221x y +=的交线上与xoy 平面距离最短的点 .
九、在第一卦限内作椭球面222
2221x y z a b c
++=的切平面,使
该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最
小,求这切平面的切点,并求此最小体积 .
第十章 测 验 题
一、选择题: 1、
1
10
(,)x
dx f x y dy -?
?
=( )
(A)110
(,)x dy f x y dx -??； (B)110
(,)x dy f x y dx -??；
(C)
11
(,)dy f x y dx ??
； (D)110
(,)y
dy f x y dx -??
.
2、设D 为222
x y a +≤,当a =( )时
,
D
π=.
(A) 1 ；
(B)
；
(C)
(D) .
3、当D 是( )围成的区域时二重积分
1.D
dxdy =??
(A),220;轴轴及x y x y +-=11(B),;23
x y =
= (C),4,3;轴轴及x y x y ==(D)1,1;x y x y +=-=
4、xy D
xe dxdy ??
的值为( ).其中区域D 为
01,10.x y ≤≤-≤≤
(A)
1;e (B) e ; (C) 1
;e
- (D) 1. 5、设22
()D
I x y dxdy =+??,其中D 由222x y a +=所
围成,则I =( ). (A)
2240
a
d a rdr a π
θπ=?
?;
(B)22
40012a
d r rdr a π
θπ?=??;
(C)22
30023
a d r dr a πθπ=??;
(D)
2240
2a
d a adr a π
θπ?=?
?.
6、设Ω是由三个坐标面与平面2x y z +-=1所围成的 空间区域,则xdxdydz Ω
???=( ).
(A)
1
48
；(B)148- ；(C)124；(D)124- .
7、设Ω是锥面222
222(0,z x y a c a b
=+>0,0)b c >>与平
面0,0,x y z c ===所围成的空间区域在第一卦限的部分,
则
Ω
=( ).
(A)2136a b ；
(B)2136
a b
(C)2136b c ；
(D)136
.
8、计算I zdv Ω
=???,其222,1z x y z Ω=+=中为围成的
立体,则正确的解法为( )和( ). (A)211
00
I d rdr zdz π
θ=???；
(B)211
r
I d rdr zdz π
θ=
?
??；
(C)211
00
r
I d dz rdr π
θ=?
??；
(D)1
20
z
I dz d zrdr π
θ=
?
??.
9、
曲面z =222x y x +=内部的那
部分面积s =(
).
；
(B) ；
；
(D) .
10、由直线2,2,2x y x y +===所围成的质量分布均匀 (设面密度为
μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量
x I =( ).
(A)3μ；(B)5μ； (C)4μ；(D)6μ. 二、计算下列二重积分: 1、
22
()D
x y d σ-??,其中D 是闭区域: 0sin ,0.y x x π≤≤≤≤
2、
D
y
arctg
d x
σ??,其中D 是由直线0y =及圆周 22224,1x y x y +=+=,y x =所围成的在第一象
限内的闭区域 . 3、
2
(369)D y x y d σ+-+??,其中D 是闭区 域:2
2
2
x y R +≤
4、222D x y d σ+-??,其中D :223x y +≤. 三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: 1、12330010
(,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx -+????； 2
、1
10
(,)dx f x y dy ?；
3、
(cos ,sin )a
d f r r rdr θ
θθθ?
?.
四、将三次积分
110
(,,)y
x
x
dx dy f x y z dz ???
改换积分次序为
x y z →→.
五、计算下列三重积分: 1、
cos(),y x z dxdydz Ω
+Ω???:
抛物柱面y =
,,2
y o z o x z π
==+=
及平面所围成的区域 .
2、
22(),y z dv Ω
+???其中Ω是由xoy 平面上曲线 22y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围
成的闭区域 .
3、222222
ln(1),1z x y z dv x y z Ω
++++++???其中Ω是由球面 2
2
2
1x y z ++=所围成的闭区域 .
六、求平面1x y z
a b c
++=被三坐标面所割出的有限部分 的面积 .
七、设()f x 在[0,1]上连续,试证:
111
30
1()()()[()]6y
x
x
f x f y f z dxdydz f x dx =???
? .
第十一章测验题
一、选择题:
设L 为03
,02
x x y =≤≤,则4L ds ?的值为( ).
(A)04x ，(B)6,(C)06x .
设L 为直线0y y =上从点0(0,)A y 到点0(3,)B y 的有向直线段,则
2L
dy ?
=( ).
(A)6;(B) 06y ;(C)0.
若L 是上半椭圆cos ,
sin ,x a t y b t =??=?
取顺时针方向,则
L
ydx xdy -?
的值为( ).
(A)0;(B)
2
ab π
;(C)ab π.
4、设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有一阶连续 偏导数,则在D 内与
L
Pdx Qdy +?
路径无关的条件
,(,)Q P
x y D x y
??=∈??是( ). (A)充分条件;(B)必要条件;(C)充要条件.
5、设∑为球面2
2
2
1x y z ++=,1∑为其上半球面,则
( )式正确. (A)1
2zds zds ∑
∑=????;
(B)1
2zdxdy zdxdy ∑
∑=????;
(C)
1
22
2z dxdy z dxdy ∑
∑=????. 6、若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面 , 则ds ∑
??等于( ).
(A)20
0r
d rdr π
θ?
?
;(B)20
d rdr πθ??
;
(C)
20
d rdr π
θ?
.
7、若∑为球面2
2
2
2
x y z R ++=的外侧,则
22x y zdxdy ∑
??等于( ).
(A)
2
xy
D x
y ??;
(B)2
22xy
D x y ??
;(C) 0. 8、曲面积分
2
z dxdy ∑
??在数值上等于( ). 向量2
z i 穿过曲面∑的流量； 面密度为2
z 的曲面∑的质量； 向量2
z k 穿过曲面∑的流量 .
9、设∑是球面2
2
2
2
x y z R ++=的外侧,xy D 是xoy 面
上的圆域222
x y R +≤,下述等式正确的是( ).
(A)
22
2xy
D x y zds x y ∑
=????
； (B)
22
22
()()xy
D x y dxdy x y dxdy ∑
+=+????
；
(C)
2xy
D zdxdy ∑
=????. 10、若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算中运用奥-高 公式正确的是( ). (A)
2
(2)x dydz z y dxdy ∑++??外侧
=(22)x dxdydz Ω
+???；
(B)
32()2x yz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+??
外侧
=
2
2(321)x
x dxdydz -+???；
(C)
2(2)x dydz z y dxdy ∑++??内侧
=(21)x dxdydz Ω
+???.
二、计算下列各题:
1、求zds Γ
?,其中Γ为曲线cos ,sin ,,x t t y t t z t =??
=??=?
0(0)t t ≤≤；
2、求(sin 2)(cos 2)x x
L e y y dx e y dy -+-?
,其中L 为上
半圆周222
()x a y a -+=,0y ≥,沿逆时针方向 .
三、计算下列各题: 1、求222
ds x y z ∑++??其中∑是界于平面0z z H ==及 之间的圆柱面222
x y R +=； 2、求
222()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑
-+-+-??， 其中∑
为锥面(0)z z h =≤≤的外侧；
∑
其
中
∑
为曲面
22
(2)(1)15169
z x y ---=+(0)z ≥的上侧 .
四、证明:22xdx ydy x y ++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及 原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 .
五、求均匀曲面z = .
六、求向量A xi yj zk =++通过区域:Ω01,x ≤≤
01,01y z ≤≤≤≤的边界曲面流向外侧的通量 .
七、流体在空间流动,流体的密度
μ处处相同(1μ=),
已知流速函数222
V xz i yx j zy k =++,求流体在单位时间
内流过曲面222
:2x y z z ∑++=的流量(流向外侧)和沿曲线:L 2
2
2
2x y z z ++=,1z =的环流量(从z 轴正向看去
逆时针方向) .
第十二章测验题
一、选择题:
1、下列级数中,收敛的是( ).
(A)11n n ∞=∑；
(B)1n ∞=；
(C)
n ∞
=；(D)
1
(1)
n
n ∞
=-∑.
2、下列级数中,收敛的是( ).
(A)115()4n n ∞
-=∑；(B)1
14()5n n ∞
-=∑；
(C)
1
11
5(1)
()4n n n ∞
--=-∑； (D)1154
()4
5n n ∞
-=+∑. 3、下列级数中,收敛的是( )
(A)22
1(!)2n n n ∞=∑；(B)13!n n n n n
∞=∑；
(C)221sin n n π
π∞
=∑；(D)1
1
(2)n n n n ∞
=++∑.
4、部分和数列{}n
s 有界是正项级数1
n n u ∞
=∑收敛的
( )
(A)充分条件；(B)必要条件；
(C)充要条件；(D)既非充分又非必要条件 . 5、设a 为非零常数,则当( )时,级数1n
n a
r
∞
=∑收敛 . (A)1r <；(B)1r ≤； (C)r a <；(D)1r >.
6、幂级数1
1
(1)(1)
n
n n x n
∞
-=--∑的收敛区间是( ).
(A)(0,2]；(B) [0,2)； (C) (0,2]；(D) [0,2]. 7、若幂级
n
n n a x
∞
=∑的收敛半径为1:R 10R <<+∞;
0n
n n b x
∞
=∑的收敛半径为2:R 20R <<+∞,则幂级数
()n n
n n a
b x ∞
=+∑的收敛半径至少为( )
(A)12R R +；(B)12R R ?；
(C){}12max ,R R ；(D){}12min ,R R .
8、当0R >时,级数
2
1
(1)n
n k n
n ∞
=+-∑是( ) (A)条件收敛；(B)绝对收敛； (C)发散；(D)敛散性与k 值无关.
9、lim 0n n u →∞
=是级数
1
n
n u
∞
=∑收敛的( )
(A)充分条件；(B)必要条件；
(C)充要条件；(D)既非充分又非必要条件 .
10、幂级数
1
(1)n
n n n x
∞
=+∑的收敛区间是( )
(A)(1,1]-；(B) (1,1]-； (C)(1,1]-；(D) [1,1]-. 二、判别下列级数的收敛性:
1、2
2
1(!)2n n n ∞
=∑；2、2
1
cos 32n
n n n π∞
=∑.
三、判别级数
1
1
(1)ln
n n n n
∞
=+-∑的敛散性 . 四、求极限 1
11139
27
3lim[248
(2)]n
n n →∞
???
? .
五、求下列幂级数的收敛区间:
1、135n n n n x n ∞
=+∑；2、212
n n n n
x ∞
=∑. 六、求幂级数1
(1)n
n x n n ∞
=+∑的和函数 .
七、求数项级数2
1!
n n n ∞
=∑的和 .
八、试将函数
2
1
(2)
x -展开成x 的幂级数. 九、设()f x 是周期为2π的函数,它在[,]ππ-上的表达式为
0,[,0)(),[0,)
x x f x e x ππ∈-?=?∈?将()f x 展开成傅立叶级数 .
十、将函数1,0()0,x h
f x h x π
≤≤?=?<≤?分别展开成正弦级数
和余弦级数 .
十一、证明:如果()(),()f x f x f x π-=-以2π为周期,
则()f x 的傅立叶系数
00a =,220,0
(1,2,)k k a b k ===.
第八章 测 验 题答案
一、1、D ； 2、C ； 3、C ； 4、A ； 5、B ； 6、B ； 7、C ； 8、A ； 9、D ； 10、D. 二、-103. 三、2.
四、
六、22
133
0y z x ?+
=???=?
. 七、3120x t y t z =??
=-+??=?
,
30
58x t y z t =-??
=??=+?
, 01258x y t z t =??
=-+??=+?
, 1411260
380
x y z x y z +--=??
-++=?. 八、81390x y z --+=.
九、1124463x t
y t z t =--??
=-+??=+?
.
十、240x y z ++-=.
十一、210
10x y z x y z +-+=??+++=?
.
十二、直线12L L 与为异面直线
,3
d =
.
第九章 测 验 题 答 案
一、1、A ； 2、B ； 3、B ； 4、B ； 5、D ； 6、C ； 7、A ； 8、A ； 9、D ； 10、B. 二、(1)当0x y +≠时,在点(,)x y 函数连续； (2)当0x y +=时,而(,)x y 不是原点时, 则(,)x y 为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.
三、1、ln 1
(ln )y x z y x -=,ln ln y
y x z x y
=
； 2、123(),x x u f yf yz xyz f =+++
23()y y u xf xz xyz f =++.
3、322
222
222,0()
(,),0,0x xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? 22222
222
22(),0()(,),0y x x y x y x y f x y o x y ?-+≠?+=??+=?
.
四、221()
()()1()1
f f z f dx dy y z y z φφφ--''--.
五、2y
y y y uu
uy xu xy u xe f e f xe f f e f '''''''''++++. 六、
(cos sin ),(cos sin ).u u z z
v v u v e u v v v e x y
--??=-=+?? 七、cos sin ,f
l φφ?=+? 537(1)(2)(3)4444ππππφφφ===及
八、4335(,,).5512
九、切点min 2
V abc =
.
第十章 测 验 题 答 案
1、D ；
2、C ；
3、A ；
4、A ；
5、B ；
6、A ；
7、A ；
8、B,D ；
9、B ； 10、C.
二、1、2
409π-
；2、2
364
π； 3、42
94R R ππ+；4、5.2
π
三、1、
2
30
2
(,)x
x
dx f x y dy -?
?；
2
、2
1
2
01
(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +??
?；
3、
(cos ,sin )a
a
r
rdr f r r d θθθ?
?.
四、
1
1
(,,)z
z
dz dy f x y z dx ???
.
五、1、2
1162π-； 2、2503
π； 3、0.
. 七、提示：
1
()(),()()
()(),(0)0
x
F x f t dt F x f x F t f x dx F '====??则且
第十一章 测 验 题 答 案
一、1、B ； 2、C ； 3、C ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、B ； 8、C ； 9、C ； 10、B.
二、1
、
3220
(2)3t +-； 2、2
a π.
三、1、2H arctg R π； 2、4
4h π-； 3、0.
四、22
1(,)ln()2u x y x y =+.
五、(0,0,)2a
. 六、3.
七、32
,015
π.
第十二章 测 验 题 答 案
一、1、B ； 2、B ； 3、C ； 4、C ； 5、D ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、B ； 10、A. 二、1、发散； 2、收敛. 三、条件收敛.
提示:化成212333
2
n n ++++)
五、1、11
[,)55
-； 2、(2,2).
六、11(1)ln(1),(1,0)(0,1)
()0,0x x s x x
x ?
+--∈-??=??=?
. 七、2e .
八、1
21
11,
(2,2)(2)2n n n n x x x ∞-+==∈--∑
九、2
111(1)1
()[cos 21n n e e f x nx n ππππ∞=---=++∑ 12((1)1)
sin ]1
n n e nx n π+-+++,
(,0,1,2,x x n n π-∞<<+∞≠=±±且).
十、1
2
1cos ()sin ,(0,)(,)n nh
f x nx x h h n ππ
∞
=-=
∈?∑
12
sin ()cos ,[0,)(,)n h
nh
f x nx x h h n
ππ
π∞
==
+∈?∑