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天津一中2017-2018学年高三第一次月考数学(理)试卷 Word版含答案

天津一中2017-2018学年高三年级第一次月考数学(理)试卷

一、选择题:

1.设全集U =R ,集合A ={x|x 2-2x ≥0},B ={x|y =log 2(x 2-1)},则(?U A )∩B =( B ) A.

D.(-∞,-1)∪

2. 在复平面上,复数

2i

i

+对应的点在( D ) A .第一象限 B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

3.设函数2

3()x

x

f x e -=(e 为自然底数),则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是( A )

A.01x <<

B.04x <<

C. 03x <<

D. 34x <<

4.下列中是假的是( C ) A.m R ?∈,使243

()(1)m m f x m x

-+=-?是幂函数

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B. ,R αβ?∈,使cos()cos cos αβαβ+=+

C. R ??∈,函数()sin()f x x ?=+都不是偶函数

D. 0a ?>,函数2

()ln ln f x x x a =+-有零点

5.设变量x ,y 满足:34,2y x x y x ≥??

+≤??≥-?

则z=|x-3y|的最大值为( B )

A .3

B .8

C .

134 D .92

6.在如图所示的程序框图中,若输出i 的值是3,则输入x 的取值范围是(A ) A .(4,10] B .(2,+∞)

C .(2,4]

D .(4,+∞)

7.函数f (x )=(x 2-2x )e x 的大致图象是( A )

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A.

B.

C.

D.

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8.已知函数()2,1

1,1

x ax x f x ax x ?-+≤=?->?,若1212,,x x R x x ?∈≠,使得()()12f x f x =成立, 则实

数a 的取值范围是( A )

A .2a <

B .2a >

C .22a -<<

D .2a >或

2a <-

二、填空题:9.若

(2x+)dx=3+ln2(a >1),则a 的值是 .2

10.已知函数f (x )=22

4,0,4-,0,

x x x x x x ?+≥?

)>f (a ),则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】(-2,1)

11.在直角ABC ?中, 90=∠C , 30=∠A , 1=BC , D 为斜边AB 的中点,则

?= . -1

12.如图,PB 为△ABC 外接圆O 的切线,BD 平分PBC ∠,交圆O 于D ,C,D,P

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共线.若AB BD ⊥,PC PB ⊥,1PD =,则圆O 的半径是 .-2

13.已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为2c o s ()2

π

ρθ

=-+,

cos()104

π

θ-+=,则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远距离为

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14.已知函数||)(x

xe x f =,方程)(01)()(2

R t x tf x f ∈=++有四个实数根, 则t 的取值范围为

)1

2e

e +-∞-,(

三、解答题:

15.已知函数2()=sin (2+

)+sin(2)+2cos 13

3

f x x x x π

π

-

-,x R ∈.

(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,

]44ππ

-

上的最大值和最小值.

解:(Ⅰ) ∵sin2cos

cos2sin

sin2co ()=3

3

3

s

cos23

sin

cos2f x x x x x x π

π

π

π

?+?+?-?+

sin2cos224

x x x π

=+=+(),……………………4分

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∴函数()f x 的最小正周期22

T π

π=

=。 ……………………6分 (Ⅱ)∵函数()f x 在区间48ππ??-????

,上是增函数,在区间84ππ??

????,上是减函数,………8分

又()=(

(

)114

8

4

=f f f π

π

π

-

-,,……………………11分

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∴函数()f x 在[,]44

ππ

-

的最大值为1。……………………13分

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16.在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手,各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.

(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;

(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X 的分布列和数学期望. 解:(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”,B 表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P (A )=C 1

2C 23=23,P (B )=C 2

4C 35=3

5

.

∵事件A 与B 相互独立,

∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )=P (A )·P (B ) =P (A )·=23×25=415.

?

????或P (A B )=C 1

2·C 3

4C 23·C 35=415 (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”, 则P (C )=C 2

4C 35=3

5

.

∵X 可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为

P (X =0)=P (A B C )=13×25×25=475

, P (X =1)=P (A B C )+P (A B C )+P (A B C )

=23×25×25+13×35×25+13×25×35=2075

P (X =2)=P (AB C )+P (A B C )+P (A BC )

=23×35×25+23×25×35+13×35×35=3375

, P (X =3)=P (ABC )=23×35×35=1875

∴X 的分布列为

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∴X 的数学期望

E (X )=0×475+1×2075+2×3375+3×1875=

14075=28

15

.

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17.如图,等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ,DE ⊥AB 于E ,CF ⊥AB 于F ,且AE=BF=EF=2,DE=CF=2.将△AED 和△BFC 分别沿DE ,CF 折起,使A ,B 两点重合,记为点M ,得到一个四棱锥M ﹣CDEF ,点G ,N ,H 分别是MC ,MD ,EF 的中点. (1)求证:GH ∥平面DEM ; (2)求证:EM ⊥CN ;

(3)求直线GH 与平面NFC 所成角的大小.

【解答】证明:(1)连结NG ,EN ,

∵N ,G 分别是MD ,MC 的中点,∴NG ∥CD ,NG=CD .

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∵H 是EF 的中点,EF ∥CD ,EF=CD ,∴EH ∥CD ,EH=CD , ∴NG ∥EH ,NG=EH ,

∴四边形ENGH 是平行四边形,

∴GH ∥EN ,又GH ?平面DEM ,EN ?平面DEM , ∴GH ∥平面DEM .

(2)∵ME=EF=MF ,∴△MEF 是等边三角形, ∴MH ⊥EF ,

取CD 的中点P ,连结PH ,则PH ∥DE ,

∵DE ⊥ME ,DE ⊥EF ,ME∩EF=E, ∴DE ⊥平面MEF , ∴PH ⊥平面MEF .

以H 为原点,以HM ,HF ,HP 为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:

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则E (0,﹣1,0),M (,0,0),C (0,1,2),N (,﹣,1).

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∴=(

,1,0),

=(﹣

,,1).

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∴=+1×+0×1=0.

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. ∴EM ⊥NC .

(3)F (0,1,0),H (0,0,0),G (,,1),

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=(

,,1),

=(0,0,2),

=(﹣

,,1),

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设平面NFC 的法向量为=(x ,y ,z ),则,即.

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令y=1得=(,1,0),

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∴cos <

>=

=

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∴直线GH 与平面NFC 所成角的正弦值为,

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∴直线GH 与平面NFC 所成角为.

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18.已知首项为2,公比不等于1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3,S 2,S 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;

(2)记b n =n|a n |,数列{b n }的前n 项和为T n ,求T n .

【答案】(1)通解 设数列{a n }的公比为q ,由题意得2S 2=S 3+S 4,q ≠1, 化简得q 2+q-2=0,得q =-2,

又数列{a n }的首项为,∴a n =2×(-2)n-1. 又数列{a n }的首项为,∴a n =2×(-2)n-1.