湖北省部分重点中学2014届高三二月联考

高三数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)

x y

i ++的值为 ( ）

A ．4

B ．4+4i

C ．4-

D ．2i

2．设集合A =｛4，5，7，9｝，B =｛3，4，7，8，9｝，全集U = A ?B ，则集合)(B A C U ? 的真子集共有 A ．3个 B ．6个 C ．7个 D ．8个 3．要得到函数)4

2sin(π

+

=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（ ）

A ．向左平移4

π单位 B ．向右平移4

π单位 C ．向右平移8

π单位 D ．向左平移8

π单位

4．半径为R 的球的内接正三棱柱的三个侧面积之和的最大值为（ ）

A 、233R

B 、23R

C 、222R

D 、22R

5．已知数据123 n x x x x ，

，，，是武汉市n *(3 )n n N ≥∈，个普通职工的2013年的年收入,设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上比尔.盖茨的2013年的年收

入1n x +（约900亿元），则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ） A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变

D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。

6．在各项均为正数的等比数列}{n a 中，2

475314))((a a a a a =++，则下列结论中正确的是（ ）

A ．数列}{n a 是递增数列；

B ．数列}{n a 是递减数列；

C ．数列}{n a 既不是递增数列也不是递减数列；

D ．数列}{n a 有可能是递增数列也有可能是递减数列．

7．已知实数0,0a b >>，对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题： ①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”； ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是( ) A ．①②

B ．②③

C ．①④

D ．③④

8．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝xBA →，CE →＝yCA →

，x >0，y >0，且x ＋y ＝1， 则CD →·BE →的最大值为

( )

A ．－58

B ．－34

C ．－32

D ．－38

9．设12,F F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，

若126PF PF a +=，且12PF F ?的最小内角为30 ，则C 的渐近线方程为（ ）

A ．x y ±=

B ．x y 2±=

C ．x y 2

2

±

=

D

．y = 10．已知函数)1,0(1log )(≠>-=a a x x f a ，若1234x x x x <<<，

且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则

1234

1111

x x x x +++=（ ） A. 2 B. 4 C.8 D. 随a 值变化

二.填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的．．．．．

对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）

11．执行如图所示的程序框图，输出的S = ．

12．若不等式组0

2(1)1y y x y a x ≥??

≤??≤-+?

表示的平面区域是

一个三角形，则a 的取值范围是 .

13．已知椭圆122

22=+b

y a x 的面积计算公式是ab S π=，

则2

-=?

________； 14. 设数列.,1

,,12,1,,13,22,31,12,21,11 k

k k -这个数列第2010项的值是________；

这个数列中，第2010个值为1的项的序号是 .

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.）

?10

n

n S S 2?+=

15.（选修4-1：几何证明选讲）

如图，AB 为半径为2的圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦， 垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F ．则2AC ＋BF·BM ＝

16.（选修4-4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．

三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

已知锐角ABC ?的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,。 已知B b a C A c a sin )()sin )(sin (-=+-。

（1） 求角C 的大小。

（2） 求B A 22cos cos +的取值范围。

18．(本小题满分12分)

某班甲、乙两名学同参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：

赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)．

(2)从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率．

(3)经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．

图1

图2

19．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD 中（图1），E 是BC

的中点，2DB =，1,DC =BC =，

AB AD =

将（图1）沿直线BD 折起，使二面角A BD C --为060（如图2） （1）求证：AE ⊥平面BDC ；

（2）求直线AE 与平面ADC 所成角的正弦值。

20．(本小题满分12分)

{}*)

,1,0(01,7

6

1211N n a a a a a a n n n ∈-≠≠=-+???+++-=+λλλ满足已知数列

（1） 求数列{}n a 的通项公式n a ；

（2） 当3

1

=λ时，数列中是否存在含有1a 在内的三项构成等差数列，若存在 ，请求出

来；若不存在，请说明理由。 21．（本小题满分13分）

已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝3

2，椭圆C 的上、下顶点分别为A 1，

A 2，左、右顶点分别为

B 1，B 2,左、右焦点分别为F 1，F 2．原点到直线A 2B 2的距离为25

5． （1）求椭圆C 的方程；

（2）过原点且斜率为1

2的直线l ，与椭圆交于E ，F 点，试判断∠EF 2F 是锐角、直角还是钝角，并写出理由；

（3）P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点,直线P A 1，P A 2，分别交x 轴于点N ，M ,若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.

22．（本小题满分14分）

已知函数)1(1

)

ln 1()(>-+=

x x x a x x f

（1） 当0≥a 时，讨论()x f x x g '-=2)1()(的单调性；

（2） 当1=a 时，若n x f >)(恒成立，求满足条件的正整数n 的值； （3） 求证：()()()[]2

5211321211-

>++???+??+n e n n

湖北省部分重点中学2014届高三二月联考高三理数参考答案

11. 8194 12．)0,(-∞ 13. π 14.

757 ，8076181 15. 16 16.??? ?

?

43,2π

三、 本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．解：（1）由正弦定理可知b b a c a c a )())((-=+- ……………………2分

即ab c b a =-+2

2

2

。

由余弦定理得 2

1

2c o s 222=-+=ab c b a C ……………………4分

所以3

π

=

C …………………5分

（2）32π=

+B A ，故A B -=3

2π

所以)23

4cos(212cos 211cos cos 22A A B A -++=+π

=A A 2cos 412sin 431+-=)6

52sin(211π

++A …………………8分 因ABC ?为锐角三角形，所以

2

6

π

π

<

6

1165267π

ππ<

+

…………………10分 2

1

)652sin(1--<+≤∴πA

B A 22cos cos +∴的取值范围为)4

3

,21[ …………………12分

18． 解 (1)茎叶图

………………3分

从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，

应选派乙同学代表班级参加比赛较好． ………………4分 (2)设事件A 为：甲的成绩低于12.8，事件B 为：乙的成绩低于12.8， 则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为

P ＝1－P (A )(B )＝1－410×510＝4

5

. ………………7分

(3)设甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ，

则|x －y |<0.8， 得－0.8＋x

如图阴影部分面积即为3×3－2.2×2.2＝4.16， ………………10分

则P (|x －y |<0.8)＝P (－0.8＋x

225.…………12分

19.解：如图取BD 中点M ，连接AM ，ME 。∵AB AD ==

BD AM ⊥∴

∵2DB =，1,DC

=BC = ?222BC DC DB =+,

所以BCD ?是BC 为斜边的直角三角形，DC BD ⊥, ∵E 是BC 的中点,∴ME 为BCD ?的中位线CD ME 2

1

//

， BD ME ⊥∴,2

1

=

ME AME ∠∴是二面角A BD C --的平面角

AME ∠∴=060 …………………3分 BD AM ⊥ ,BD ME ⊥且AM 、ME 是平面AME 内两相交于M 的直线 AEM BD 平面⊥∴?AE 平面AEM AE BD ⊥∴

∵AB AD ==,2DB =ABD ?∴为等腰直角三角形12

1

==∴BD AM ，

2

3

4360cos 2112411cos 2222=

∴=????-+=∠??-+=AE AME ME AM ME AM AE ME

AE AM ME AE ⊥∴==+∴2

221 BDC ME BDC BD ME BD 面平面??∴,, BDC AE 平面⊥∴ ………………6分 （2）如图，以M 为原点MB 为x 轴，ME 为y 轴，建立空间直角坐标系xyz M -，

则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),)0,21,0(E ， )2

3,21,

0(A ,D )0,0,1(-,C )0,1,1(-, ),0,1,0(),23,21,1(== )2

3

,0,0(-=………8分

设平面ACD 的法向量为),,(z y x =

则?????=?=?0

0DA n ? ??

???==+

+002

3

21y z y x ，

所成的角为与平面设则令αADC AE n z x )2,0,3(2,3-=∴-==

7

7

22

3

73sin =

?

=

=

α则 …………………………10分 所以直线AE 与平面ADC 所成角的正弦值为

7

7

2 …………………………12分 20．解：由题意 01121=-+???++++n n a a a a λ ①

012121=-++???+++++n n n a a a a a λ

②

由②-①得0)1(21=-+++n n a a λλ，又*,1,0N n ∈-≠≠λλ ∴121+++=

n n a a λ

λ

，故数列{}n a 从第二项开始为等比数列…………………………3分

将1=n 代入①式，λλ

λ711,011

221=

+=

=-+a a a a ，∴2≥n 时，2

)1(71-+=n n a λ

λλ

∴数列{}n a 的通项???????≥+=-=-2,)1(711,76

2n n a n n λ

λλ …………………………6分

（2） 31=λ ∴???????≥?=-=-2

,47

31,7

6

2n n a n n …………………………8分

假设存在包含1a 的三项成等差数列

不妨设2≥>p k 且112a a a a a n a a p k n p

k >>∴>≥>时，当 k p a a a +=∴12

22242424)73

(764)73(2)2(2)32(2222-=?+-=???+-=??∴------k p k p k p ……10分

{}成等差数列

或存在数列时成立当且仅当123321,,,,2,32a a a a a a a p k p k n ∴==∴≥> ………………………12分

21解：（1）因为椭圆C 的离心率e ＝

3

2

，

故设a ＝2m ，c ＝3m ，则b ＝m ．

直线A 2B 2方程为 bx －ay －ab ＝0，

即mx －2my －2m 2＝0．

所以 2m 2m 2＋4m 2

＝25

5，解得m ＝1．

所以 a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24

＋y 2

＝1

分

（2）由?

??x

24＋y 2＝1，y ＝12

x ，得E (2，22)，F (－2，－2

2

)． ………………….6分 又F 2(3，0)，所以F 2E →＝(2－3，22)，F 2F →

＝(－2－3，－22

)，

所以F 2E →·F 2F →

＝(2－3)×(－2－3)＋22×(－22)＝12

＞0．

所以∠EF 2F 是锐角． ……………… 8分 （3）由（1）可知A 1(0，1) A 2(0，－1),设P (x 0，y 0),

直线P A 1：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0,得x N ＝－x 0

y 0－1；

直线P A 2：y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0,得x M ＝x 0

y 0＋1

；……………………………………10分

解法一:设圆G 的圆心为(12(x 0y 0＋1－x 0

y 0－1

)，h ),

则r 2＝[12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)－x 0y 0＋1]2＋h 2＝14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2

＋h 2．

OG 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1

)2＋h 2

．

OT 2＝OG 2－r 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2－14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2－h 2＝x 021－y 02

．………….12分 而x 02

4

＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OT 2＝4，

所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 13分

解法二:OM ·ON ＝|(－x 0y 0－1)·x 0y 0＋1|＝x 02

1－y 02

, ………………….12分

而x 02

4

＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OM ·ON ＝4． 由切割线定理得OT 2＝OM ·ON ＝4．

所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 13分

22.解：(Ⅰ) ()()()()()()

'

22

11ln 011ln 1ln 111a a x x x x a x x ax a x a f x x x ?????+++--+? ???---????==--，…………2分 令()ln 1g x ax a x a =---，

0a =时()1g x =-为常函数，不具有单调性。 ………………3分 0a >时()()'10a x a g x a x x

-=-

=>，()g x 在()1,+∞上单调递增； ………………4分

(Ⅱ)1a =时()ln 2g x x x =--，

()33ln 32ln 03e

g =--=<，

()244ln 42ln 04e g =--=> ， ………………5分

设()0g b =，则()3,4b ∈。

因为此时()g x 在()1,+∞上单调递增可知当()1,x b ∈时，()0g x <；当(),x b ∈+∞时，0)(>x g ， 所以当()1,x b ∈时，()'

0f

x <；当(),x b ∈+∞时，()'0f x >，

当x b =时，()()

()

min 1ln 1

b b f x f b b +==-， ………………7分 ()0g b = ，ln 20b b ∴--=，即ln 2b b =-，

所以()f b b =，

()3,4b ∈ ，()()3,4f b ∴∈， 3n ∴≤，故正整数n 的值为1、2或3。 ………………9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，当1=a 时，()3f x >恒成立，即

()

1ln 31

x x x +>-，

()311ln x x x

-+>，

()()31233

ln 121x x x x x x x -->-==->， 令()11x n n =++，得()()()331

1ln 1122231111n n n n n n n n ??++>->-=--?? ???++++??

…12分

则()ln 112ln 3+?=（1n =暂时不放缩）

()11ln 1232323??+?>-- ???， ．．．．．．．．．．，

()1

1ln 11231n n n n ??++>--?? ???+??. 以上n 个式子相加得：

()()()()1

1ln 112ln 123...ln 11ln 321321n n n n ??+?++?++++>+---?? ??

?+?? 73535

ln 22221212

e n n n n n >+-+=-+>-++

所以()()(){}

5ln 112123 (1122)

n n n +??+????++?>-??， 即()()()5

22

112123...11n n n e

-

+??+????++?>??。 ………………14分