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湖北省部分重点中学2014届高三二月联考数学理试题_Word版含答案

湖北省部分重点中学2014届高三二月联考

高三数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.已知,x y R ∈,i 为虚数单位,且(2)1x i y i --=-+,则(1)

x y

i ++的值为 ( )

A .4

B .4+4i

C .4-

D .2i

2.设集合A ={4,5,7,9},B ={3,4,7,8,9},全集U = A ?B ,则集合)(B A C U ? 的真子集共有 A .3个 B .6个 C .7个 D .8个 3.要得到函数)4

2sin(π

+

=x y 的图象,只要将函数x y 2cos =的图象( )

A .向左平移4

π单位 B .向右平移4

π单位 C .向右平移8

π单位 D .向左平移8

π单位

4.半径为R 的球的内接正三棱柱的三个侧面积之和的最大值为( )

A 、233R

B 、23R

C 、222R

D 、22R

5.已知数据123 n x x x x ,

,,,是武汉市n *(3 )n n N ≥∈,个普通职工的2013年的年收入,设这n 个数据的中位数为x ,平均数为y ,方差为z ,如果再加上比尔.盖茨的2013年的年收

入1n x +(约900亿元),则这1n +个数据中,下列说法正确的是( ) A .年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变 B .年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大 C .年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变

D .年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变。

6.在各项均为正数的等比数列}{n a 中,2

475314))((a a a a a =++,则下列结论中正确的是( )

A .数列}{n a 是递增数列;

B .数列}{n a 是递减数列;

C .数列}{n a 既不是递增数列也不是递减数列;

D .数列}{n a 有可能是递增数列也有可能是递减数列.

7.已知实数0,0a b >>,对于定义在R 上的函数)(x f ,有下述命题: ①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”; ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”; ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的R x ∈,都有()()f x a f x -=-”; ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是( ) A .①②

B .②③

C .①④

D .③④

8.在边长为1的正三角形ABC 中,BD →=xBA →,CE →=yCA →

,x >0,y >0,且x +y =1, 则CD →·BE →的最大值为

( )

A .-58

B .-34

C .-32

D .-38

9.设12,F F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,

若126PF PF a +=,且12PF F ?的最小内角为30 ,则C 的渐近线方程为( )

A .x y ±=

B .x y 2±=

C .x y 2

2

±

=

D

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.y = 10.已知函数)1,0(1log )(≠>-=a a x x f a ,若1234x x x x <<<,

且12()()f x f x =34()()f x f x ==,则

1234

1111

x x x x +++=( ) A. 2 B. 4 C.8 D. 随a 值变化

二.填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的.....

对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14题)

11.执行如图所示的程序框图,输出的S = .

12.若不等式组0

2(1)1y y x y a x ≥??

≤??≤-+?

表示的平面区域是

一个三角形,则a 的取值范围是 .

13.已知椭圆122

22=+b

y a x 的面积计算公式是ab S π=,

则2

-=?

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________; 14. 设数列.,1

,,12,1,,13,22,31,12,21,11 k

k k -这个数列第2010项的值是________;

这个数列中,第2010个值为1的项的序号是 .

(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,如果全选,则按第15题作答结果计分.)

?10

n

n S S 2?+=

15.(选修4-1:几何证明选讲)

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如图,AB 为半径为2的圆O 的直径,CD 为垂直于AB 的一条弦, 垂足为E ,弦BM 与CD 交于点F .则2AC +BF·BM =

16.(选修4-4:坐标系与参数方程)

在极坐标系中,直线ρ(cos θ-sin θ)+2=0被曲线C :ρ=2所截得弦的中点的极坐标为________.

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)

已知锐角ABC ?的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,。 已知B b a C A c a sin )()sin )(sin (-=+-。

(1) 求角C 的大小。

(2) 求B A 22cos cos +的取值范围。

18.(本小题满分12分)

某班甲、乙两名学同参加100米达标训练,在相同条件下两人10次训练的成绩(单位:秒)如下:

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赛,从成绩的稳定性方面考虑,选派谁参加比赛更好,并说明理由(不用计算,可通过统计图直接回答结论).

(2)从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次,求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率.

(3)经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计,甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率.

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图1

图2

19.(本小题满分12分)

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如图,四边形ABCD 中(图1),E 是BC

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的中点,2DB =,1,DC =BC =,

AB AD =

将(图1)沿直线BD 折起,使二面角A BD C --为060(如图2) (1)求证:AE ⊥平面BDC ;

(2)求直线AE 与平面ADC 所成角的正弦值。

20.(本小题满分12分)

{}*)

,1,0(01,7

6

1211N n a a a a a a n n n ∈-≠≠=-+???+++-=+λλλ满足已知数列

(1) 求数列{}n a 的通项公式n a ;

(2) 当3

1

=λ时,数列中是否存在含有1a 在内的三项构成等差数列,若存在 ,请求出

来;若不存在,请说明理由。 21.(本小题满分13分)

已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =3

2,椭圆C 的上、下顶点分别为A 1,

A 2,左、右顶点分别为

B 1,B 2,左、右焦点分别为F 1,F 2.原点到直线A 2B 2的距离为25

5. (1)求椭圆C 的方程;

(2)过原点且斜率为1

2的直线l ,与椭圆交于E ,F 点,试判断∠EF 2F 是锐角、直角还是钝角,并写出理由;

(3)P 是椭圆上异于A 1,A 2的任一点,直线P A 1,P A 2,分别交x 轴于点N ,M ,若直线OT 与过点M ,N 的圆G 相切,切点为T .证明:线段OT 的长为定值,并求出该定值.

22.(本小题满分14分)

已知函数)1(1

)

ln 1()(>-+=

x x x a x x f

(1) 当0≥a 时,讨论()x f x x g '-=2)1()(的单调性;

(2) 当1=a 时,若n x f >)(恒成立,求满足条件的正整数n 的值; (3) 求证:()()()[]2

5211321211-

>++???+??+n e n n

湖北省部分重点中学2014届高三二月联考高三理数参考答案

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11. 8194 12.)0,(-∞ 13. π 14.

757 ,8076181 15. 16 16.??? ?

?

43,2π

三、 本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解:(1)由正弦定理可知b b a c a c a )())((-=+- ……………………2分

即ab c b a =-+2

2

2

由余弦定理得 2

1

2c o s 222=-+=ab c b a C ……………………4分

所以3

π

=

C …………………5分

(2)32π=

+B A ,故A B -=3

所以)23

4cos(212cos 211cos cos 22A A B A -++=+π

=A A 2cos 412sin 431+-=)6

52sin(211π

++A …………………8分 因ABC ?为锐角三角形,所以

2

6

π

π

<

6

1165267π

ππ<

+

…………………10分 2

1

)652sin(1--<+≤∴πA

B A 22cos cos +∴的取值范围为)4

3

,21[ …………………12分

18. 解 (1)茎叶图

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………………3分

从统计图中可以看出,乙的成绩较为集中,差异程度较小,

应选派乙同学代表班级参加比赛较好. ………………4分 (2)设事件A 为:甲的成绩低于12.8,事件B 为:乙的成绩低于12.8, 则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为

P =1-P (A )(B )=1-410×510=4

5

. ………………7分

(3)设甲同学的成绩为x ,乙同学的成绩为y ,

则|x -y |<0.8, 得-0.8+x

如图阴影部分面积即为3×3-2.2×2.2=4.16, ………………10分

则P (|x -y |<0.8)=P (-0.8+x

225.…………12分

19.解:如图取BD 中点M ,连接AM ,ME 。∵AB AD ==

BD AM ⊥∴

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∵2DB =,1,DC

=BC = ?222BC DC DB =+,

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所以BCD ?是BC 为斜边的直角三角形,DC BD ⊥, ∵E 是BC 的中点,∴ME 为BCD ?的中位线CD ME 2

1

//

, BD ME ⊥∴,2

1

=

ME AME ∠∴是二面角A BD C --的平面角

AME ∠∴=060 …………………3分 BD AM ⊥ ,BD ME ⊥且AM 、ME 是平面AME 内两相交于M 的直线 AEM BD 平面⊥∴?AE 平面AEM AE BD ⊥∴

∵AB AD ==,2DB =ABD ?∴为等腰直角三角形12

1

==∴BD AM ,

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2

3

4360cos 2112411cos 2222=

∴=????-+=∠??-+=AE AME ME AM ME AM AE ME

AE AM ME AE ⊥∴==+∴2

221 BDC ME BDC BD ME BD 面平面??∴,, BDC AE 平面⊥∴ ………………6分 (2)如图,以M 为原点MB 为x 轴,ME 为y 轴,建立空间直角坐标系xyz M -,

则由(1)及已知条件可知B(1,0,0),)0,21,0(E , )2

3,21,

0(A ,D )0,0,1(-,C )0,1,1(-, ),0,1,0(),23,21,1(== )2

3

,0,0(-=………8分

设平面ACD 的法向量为),,(z y x =

则?????=?=?0

0DA n ? ??

???==+

+002

3

21y z y x ,

所成的角为与平面设则令αADC AE n z x )2,0,3(2,3-=∴-==

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7

7

22

3

73sin =

?

=

=

α则 …………………………10分 所以直线AE 与平面ADC 所成角的正弦值为

7

7

2 …………………………12分 20.解:由题意 01121=-+???++++n n a a a a λ ①

012121=-++???+++++n n n a a a a a λ

由②-①得0)1(21=-+++n n a a λλ,又*,1,0N n ∈-≠≠λλ ∴121+++=

n n a a λ

λ

,故数列{}n a 从第二项开始为等比数列…………………………3分

将1=n 代入①式,λλ

λ711,011

221=

+=

=-+a a a a ,∴2≥n 时,2

)1(71-+=n n a λ

λλ

∴数列{}n a 的通项???????≥+=-=-2,)1(711,76

2n n a n n λ

λλ …………………………6分

(2) 31=λ ∴???????≥?=-=-2

,47

31,7

6

2n n a n n …………………………8分

假设存在包含1a 的三项成等差数列

不妨设2≥>p k 且112a a a a a n a a p k n p

k >>∴>≥>时,当 k p a a a +=∴12

22242424)73

(764)73(2)2(2)32(2222-=?+-=???+-=??∴------k p k p k p ……10分

{}成等差数列

或存在数列时成立当且仅当123321,,,,2,32a a a a a a a p k p k n ∴==∴≥> ………………………12分

21解:(1)因为椭圆C 的离心率e =

3

2

故设a =2m ,c =3m ,则b =m .

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直线A 2B 2方程为 bx -ay -ab =0,

即mx -2my -2m 2=0.

所以 2m 2m 2+4m 2

=25

5,解得m =1.

所以 a =2,b =1,椭圆方程为x 24

+y 2

=1

(2)由?

??x

24+y 2=1,y =12

x ,得E (2,22),F (-2,-2

2

). ………………….6分 又F 2(3,0),所以F 2E →=(2-3,22),F 2F →

=(-2-3,-22

),

所以F 2E →·F 2F →

=(2-3)×(-2-3)+22×(-22)=12

>0.

所以∠EF 2F 是锐角. ……………… 8分 (3)由(1)可知A 1(0,1) A 2(0,-1),设P (x 0,y 0),

直线P A 1:y -1=y 0-1x 0x ,令y =0,得x N =-x 0

y 0-1;

直线P A 2:y +1=y 0+1x 0x ,令y =0,得x M =x 0

y 0+1

;……………………………………10分

解法一:设圆G 的圆心为(12(x 0y 0+1-x 0

y 0-1

),h ),

则r 2=[12(x 0y 0+1-x 0y 0-1)-x 0y 0+1]2+h 2=14(x 0y 0+1+x 0y 0-1)2

+h 2.

OG 2=14(x 0y 0+1-x 0y 0-1

)2+h 2

OT 2=OG 2-r 2=14(x 0y 0+1-x 0y 0-1)2+h 2-14(x 0y 0+1+x 0y 0-1)2-h 2=x 021-y 02

.………….12分 而x 02

4

+y 02=1,所以x 02=4(1-y 02),所以OT 2=4,

所以OT =2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 13分

解法二:OM ·ON =|(-x 0y 0-1)·x 0y 0+1|=x 02

1-y 02

, ………………….12分

而x 02

4

+y 02=1,所以x 02=4(1-y 02),所以OM ·ON =4. 由切割线定理得OT 2=OM ·ON =4.

所以OT =2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 13分

22.解:(Ⅰ) ()()()()()()

'

22

11ln 011ln 1ln 111a a x x x x a x x ax a x a f x x x ?????+++--+? ???---????==--,…………2分 令()ln 1g x ax a x a =---,

0a =时()1g x =-为常函数,不具有单调性。 ………………3分 0a >时()()'10a x a g x a x x

-=-

=>,()g x 在()1,+∞上单调递增; ………………4分

(Ⅱ)1a =时()ln 2g x x x =--,

()33ln 32ln 03e

g =--=<,

()244ln 42ln 04e g =--=> , ………………5分

设()0g b =,则()3,4b ∈。

因为此时()g x 在()1,+∞上单调递增可知当()1,x b ∈时,()0g x <;当(),x b ∈+∞时,0)(>x g , 所以当()1,x b ∈时,()'

0f

x <;当(),x b ∈+∞时,()'0f x >,

当x b =时,()()

()

min 1ln 1

b b f x f b b +==-, ………………7分 ()0g b = ,ln 20b b ∴--=,即ln 2b b =-,

所以()f b b =,

()3,4b ∈ ,()()3,4f b ∴∈, 3n ∴≤,故正整数n 的值为1、2或3。 ………………9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当1=a 时,()3f x >恒成立,即

()

1ln 31

x x x +>-,

()311ln x x x

-+>,

()()31233

ln 121x x x x x x x -->-==->, 令()11x n n =++,得()()()331

1ln 1122231111n n n n n n n n ??++>->-=--?? ???++++??

…12分

则()ln 112ln 3+?=(1n =暂时不放缩)

()11ln 1232323??+?>-- ???, ..........,

()1

1ln 11231n n n n ??++>--?? ???+??. 以上n 个式子相加得:

()()()()1

1ln 112ln 123...ln 11ln 321321n n n n ??+?++?++++>+---?? ??

?+?? 73535

ln 22221212

e n n n n n >+-+=-+>-++

所以()()(){}

5ln 112123 (1122)

n n n +??+????++?>-??, 即()()()5

22

112123...11n n n e

-

+??+????++?>??。 ………………14分