二次函数初步(四)

【挑战题】

如图，平行四边形ABCD 中，AB=4，点D 的坐标是（0，8），以点C 为顶点的抛物线c bx ax y ++=2经过x 轴上的点A ，B 。

（1）求点A 、B 、C 的坐标；

（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式。

【例1】 已知，如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1l 的解析式为2x y -=，将抛物线1l 平移后得到抛物线2l ，若抛物线2l 经过点（0，2），且其顶点A 的横坐标为最小正整数。

（1）求抛物线2l 的解析式；

（2）说明将抛物线1l 如何平移得到抛物线2l ；

（3）若将抛物线2l 沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线3l ，设抛物线3l 的顶点为B ，直线OB 与抛物线3l 的另一个交点为C 。当OB=OC 时，求点C 的坐标。

二、二次函数图象的对称

1.关于x 轴对称

c bx ax y ++=2关于x 轴对称后，得到的解析式是c bx ax y ---=2；

2.关于y 轴对称

c bx ax y ++=2关于y 轴对称后，得到的解析式是c bx ax y +-=2；

3.关于原点对称

c bx ax y ++=2关于原点对称后，得到的解析式是c bx ax y -+-=2。

【例2】

（1）（东城期末）抛物线1:21+=x y C 与抛物线2C 关于x 轴对称，则抛物线2C 的解析式为（ ）。

A.2x y -=

B.12+-=x y

C.12-=x y

D.12--=x y

（2）（天津中考）在平面直角坐标系中，先将抛物线22-+=x x y 关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）。

A.22+--=x x y

B.22-+-=x x y

C.22++-=x x y

D.22++=x x y

（3）（密云期末）将抛物线12

+=x y 绕原点O 旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）。

A.2x y -=

B.12+-=x y

C.12--=x y

D.12-=x y

【例3】（丰台期末）

如图，已知抛物线5)2(:21-+=x a y C 的顶点为p ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 的横坐标是1.

（1）求a 的值；

（2）如图，抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的抛物线记为3C ，抛物线3C 的顶点为M ，当点P 、M 关于点O 成中心对称时，求抛物线3C 的解析式。

【挑战题】（太原中考）

已知二次函数1442-++=a ax ax y 的图象是1C 。

（1）求1C 关于R （1，0）成中心对称的图象2C 的函数解析式；

（2）设曲线1C 、2C 与y 轴的交点分别为A 、B ，当AB=18时，求a 的值。

二次函数(第4课时)教案

二次函数（第4课时）教案 教学目标： 1．使学生能利用描点法画出二次函数y ＝a(x —h)2 的图象。 2．让学生经历二次函数y ＝a(x －h)2性质探究的过程，明白得函数y ＝a(x －h)2 的性质， 明白得二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2 的图象的关系。 重点难点： 重点：会用描点法画出二次函数y ＝a(x －h)2的图象，明白得二次函数y ＝a(x －h)2 的 性质，明白得二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2 的图象的关系是教学的重点。 难点：明白得二次函数y ＝a(x －h)2的性质，明白得二次函数y ＝a(x －h)2 的图象与二 次函数y ＝ax 2 的图象的相互关系是教学的难点。 教学过程： 一、提出咨询题 1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y ＝－12x 2，y ＝－12x 2 －1的图象，并回答： (1)两条抛物线的位置关系。 (2)分不讲出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。 (3)讲出它们所具有的公共性质。 2．二次函数y ＝2(x －1)2的图象与二次函数y ＝2x 2 的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 二、分析咨询题，解决咨询题 咨询题1：你将用什么方法来研究上面提出的咨询题? (画出二次函数y ＝2(x －1)2和二次函数y ＝2x 2 的图象，并加以观看) 咨询题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝2x 2与y ＝2(x －1)2 的图象吗? 教学要点 1．让学生完成下表填空。 x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝2x 2 y ＝2(x －1)2 2．让学生在直角坐标系中画出图来： 3．教师巡视、指导。 咨询题3：现在你能回答前面提出的咨询题吗? 教学要点 1．教师引导学生观看画出的两个函数图象．依照所画出的图象，完成以下填空： 开口方向 对称轴 顶点坐标 y ＝2x 2 y ＝2(x －1)2 2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y ＝2(x －1) 2 与y ＝2x 2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y ＝2(x 一1)2 的图象能够 看作是函数y ＝2x 2 的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，0)。 咨询题4：你能够由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2(x －1)2 的性质吗? 教学要点 1.教师引导学生回忆二次函数y ＝2x 2的性质，并观看二次函数y ＝2(x －1)2 的图象； 2．让学生完成以下填空： 当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的增大而增

第一章 二次函数专题复习一(含答案)

专题一 求二次函数的解析式 [见A 本P6] 一 利用一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)求二次函数的解析式 (教材P33目标与测定题第2题) 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝－2时，y ＝7；当x ＝3时，y ＝－3，求a ，b ，c 的值，并写出该二次函数的表达式． 解：依题意，得?????3＝a ＋ b ＋ c ，7＝4a －2b ＋c ， －3＝9a ＋3b ＋c ， 解得?????a ＝－13， b ＝－53， c ＝5 所求的函数解析式为y ＝－13x 2－53x ＋ 5 [2013·徐州]二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上部分点的坐标满足下表∶ x … －3 －2 － 1 0 1 … y … －3 －2 －3 －6 － 11 … 则该函数图象的顶点坐标为( B ) A ．(－3，－3) B ．(－2，－2) C ．(－1，－3) D ．(0，－6) 【解析】 ∵x ＝－3和－1时的函数值都是－3，相等， ∴二次函数的对称轴为直线x ＝－2， ∴顶点坐标为(－2，－2)． 故选B. 如图1，抛物线的函数表达式是( D )

图1 A ．y ＝x 2－x ＋2 B ．y ＝x 2＋x ＋2 C ．y ＝－x 2－x ＋2 D ．y ＝－x 2＋x ＋2 【解析】 根据题意，设二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为抛物线过点(－1，0)， (0，2)，(2，0)，所以?????a －b ＋c ＝0，c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝0， 解得a ＝－1，b ＝1，c ＝2，所以这个二次函数的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2. [2012·绥化]如图2，二次函数y ＝ax 2－4x ＋c 的图象经过坐标原点，与x 轴交于点A (－4，0)． (1)求二次函数的解析式； (2)在抛物线上存在点P ，满足S △AOP ＝8，请直接写出点P 的坐标． 图2 解：(1)由已知条件得∶? ????c ＝0，a ×（－4）2－4×（－4）＋c ＝0， 解得?????c ＝0，a ＝－1， ∴此二次函数的解析式为y ＝－x 2－4x . (2)∵点A 的坐标为(－4，0)，∴AO ＝4. 设点P 的坐标为(x ，h )， 则S △AOP ＝12AO ·|h |＝12 ×4×|h |＝8，解得|h |＝4. ①当点P 在x 轴上方时，－x 2－4x ＝4，解得x ＝－2， ∴点P 的坐标为(－2，4)； ②当点P 在x 轴下方时，－x 2－4x ＝－4，

上,二次函数应用的类型

教师一对一个性化教案 学生姓名年级9年级科目数学日期时间段课时 教学目标 教学内容 二次函数应用专题训练个性化学习问题解决掌握二次函数常见题型应用的最值问题 教学重 点、难点及 考点分析 重难点:函数解析式的确定以及根据实际情况处理最值问题 教学过程Part1桥·隧道 【基础题型】 1.如图所示的抛物线的解析式可设为，若AB∥x轴， 且AB＝4，OC＝1，则点A的坐标为， 点B的坐标为；代入解析式可得出此抛物线的 解析式为。 2.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是： 2 5.1 60t t s- =.飞机着陆后滑行多少秒(m)后才能停下来. 例题1：有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。 例题2如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥顶部3m时，水面宽AB为6m，当水位上升0.5m时： （1）求水面的宽度CD为多少米？ （2）有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行。 ①若游船宽（指船的最大宽度）为2m，从水面到棚顶的高度为1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过？ y x O A B

教学过程 例题3.许多桥梁都采用抛物线型设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘成如下的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y 轴对称.经过测算，中间抛物线的解析式为2 11040 y x =-+，并且BD=12CD. （1）求钢梁最高点离桥面的高度OE 的长； （2）求桥上三条钢梁的总跨度AB 的长； （3）若拉杆DE ∥拉杆BN ，求右侧抛物线的解析式. 例题4. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示） , 拱高6m, 跨度20m, 相邻两支柱间的距离均为5m ． (1) 将抛物线放在所给的平面直角坐标系中（如图2所示）, 求抛物线的解析式； (2) 求支柱EF 的长度； (3) 拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带）, 若并排行驶宽2m 、高3m 的汽车,要求车与车之间, 车与隔离带之间的间隔均为0.5米, 车与桥的竖直距离至少为0.1米, 问其中一条行车道最多能同时并排行驶几辆车？ 图1 图2 例5.如图1，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ． （1）如图2，将抛物线放在所给的直角坐标系中，求该抛物线的解析式（不需要写出自变量x 的取值

二次函数综合习题课课件

1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数 . 2. 二次函数 2 ax y = 的性质 （ 1 ）抛物线2 ax y = 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （ 2 ）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时 ?抛物线开口向上? 顶点为其最低点； ②当0

a b a c k a b h 4422 -=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2 h x a y -=；④ ()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0

第4讲 二次函数与幂函数

第4讲 二次函数与幂函数 1．幂函数 (1)定义： 形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见 的五类幂函数为 y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 1 2，y ＝x － 1. (2)五种幂函数的图象 (3)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 值域 ??? ?4ac －b 24a ，＋∞ ? ???－∞，4ac －b 24a 单调性 在? ???－∞，－b 2a 上单调递减； 在??? ?－b 2a ，＋∞上单调递增 在? ???－∞，－b 2a 上单调递增； 在??? ?－b 2a ，＋∞上单调递减

对称性 函数的图象关于x ＝－b 2a 对称 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 12 是幂函数．( ) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． ( ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) (4)二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是 4ac －b 2 4a .( ) (5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( ) (6)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ (教材习题改编)幂函数y ＝f (x )经过点(2，2)，则f (9)为( ) A ．81 B ．1 3 C ．1 81 D ．3 解析：选D.设f (x )＝x α，由题意得2＝2α，所以α＝1 2. 所以f (x )＝x 12 ，所以f (9)＝912 ＝3，故选D. (教材习题改编)如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c

九年级上册(浙教版)-第一章-二次函数-同步练习(含答案)

九年级上册（浙教版）-第一章-二次函数-同步练习 一、单选题 1.已知，与为二次函数图象上的三点，则 的大小关系是（） A. B. C. D. 2.在平面直角坐标系中，若将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后，所得到的抛物线的顶点坐标为（） A.（-2,3） B.（-1,4） C.（1,4） D.（4,3） 3.在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2﹣4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（） A.（﹣2，3） B.（﹣1，4） C.（1，4） D.（4，3） 4.二次函数y＝ax2＋bx＋c 图象如图所示，反比例函数y＝与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系中大致图象是（） A. B. C. D. 5.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②2a+b=0； ③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0；④4a+2b+c＞0，其中正确结论的个数是（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m﹣2013的值是（） A.﹣2012 B.﹣2013 C.2012 D.2013 7.要由抛物线平移得到，则平移的方法是（）

A.向左平移1个单位 B.向上平移1个单位 C.向下平移1个单位 D.向右平移1个单位 8.函数y＝x2+2x﹣4的顶点所在象限为（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是（） A. B.当时，顶点的坐标为 C.当时， D.当时，y随x的增大而增大 10.已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0,2）的距离与到 x轴的距离相等，点M的坐标为（3,6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（） A.5 B.9 C.11 D.13 二、填空题 11.当x=0时，函数有最小值1，则b-c=________． 12.若为二次函数的图象上的三点,则y1、y2、y3的大小关系是________. 13.二次函数y=x2+4x﹣3的最小值是________． 14.二次函数y=x2+2x-6与y轴的交点坐标是________. 15.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围________．

第四讲-二次函数的图像与性质

第四讲 二次函数的图像与性质 （一） 学习目标：1．会用描点法画出二次函数y=ax 2+k 与y=a(x-h)2 的图象． 2.使学生了解并会求抛物线y=ax 2+k 与y=a(x-h)2的对称轴与顶点。 学习难点：二次函数y=ax 2+k ，y=a(x-h)2与y=ax 2的联系及如何平移以及对于抛物线y=ax 2 +k ， y=a(x-h)2 的对称轴方程的理解． 一、学前准备： 1、一次函数x y 2=与12+=x y 的图象关系是 2、二次函数 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 。 y=-2x 2 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 。 3、抛物线y=-2x 2 上有两点（x 1,y 1）,(x 2,y 2),且x 1＜x 2＜0,那么y 1 ( )y 2 二、探究归纳 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 x 取何值时y 随x 的增大而增大 三．自我测试 1、抛物线y=2(x+5)2 的顶点坐标是 ，对称轴是 2、抛物线y=-4x 2 -4的开口方向向 ，当x=时，y 有最 值，此时y= 3、抛物线y=-3(4x 2 -2)的开口方向向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大。 4、写出符合条件的二次函数表达式： （1） y=a(x-2)2 的图象与y= 2 1x 2 -2的开口方向相反，形状相同。

(2)y=a(x-2)2 的图象与y= 2 1x 2 -2的图象交点是（1，m ）. （二） 学习目标：1、使学生会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2 +k 的图象． 2、使学生了解并会求抛物线y=a(x-h)2 +k 的对称轴与顶点． 学习重点：用描点法画出二次函数y=a(x-h)2 +k 型的图象 学习难点：二次函数y=a(x-h)2+k 与y=a(x-h)2 的联系及如何平移．． 一、 学前准备： 1、二次函数y=ax 2 +k 的图象和性质，二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质。 2、二次函数y=ax 2 +k ，y=a(x-h)2 与y=ax 2 的联系及如何平移． 3、猜想抛物线y=a(x-h)2 +k 与y=ax 2 的形状 ，只是 不同，当a>0时，开口 ，当a<0时，开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标 。 二、探究活动 探索二次函数y=a(x-h)2 +k 的图象和性质 例、求二次函数 2 5212- +-=x x y 的顶点坐标和对称轴，并作 出函数图象 （三）探究应用 1、 指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 （1） y=2(x-3)2-5 (2)y=-0.5(x+1)2 (3)y=2(x-2)2 +5 (4)14 32--=x y （5）5)1(212-+-=x y （6）2)3(43--=x y 2、 下列函数，x 取何值时y 随x 的增大而增大？x 取何值时y 随x 的增大而减小？（注意 数形结合）（1）y=-2(x-8)2+5 (2) 32142 -?? ? ??-=x y 四．自我测试 1．将抛物线1)4(22 --=x y 如何平移可得到抛物线2 2x y = （ ） A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线2 2 3x y - =向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 3、二次函数y=-(x-1)2 +3图象的顶点坐标是 。 4、抛物线22121x x y - +=可由抛物线22 1 x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到． (第1 x

浙教版九年级数学上册第一章二次函数单元测试卷含答案

第一章 二次函数单元测试卷 （本试卷共三大题，26个小题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟） 姓名： 班级： 得分： 一、填空题（本题有10个小题，每小题4分，共40分） 1．抛物线2 (1)3y x =-+的对称轴是（ ） A ．直线1x = B ．直线3x = C ．直线1x =- D ．直线3x =- 2．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为 （ ） A ．2(3)2y x =++ B ．2(3)2y x =-- C ．2(6)2y x =-- D ．2(3)2y x =-+ 3．若二次函数c x x y ++=22配方后为7)(2 ++=h x y ，则c 、h 的值分别为（ ） A ．8、－1 B ．8、1 C ．6、－1 D ．6、1 4．二次函数y =2(x －1)2+3的图像的顶点坐标是（ ） A ．（1，3） B ．（－1，3） C ．（1，－3） D ．（－1，－3） 5．已知二次函数2 y 3=-+x x m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程230-+=x x m 的两实数根是（ ） A ．x 1=1,x 2=－2 B ．x 1=1,x 2=2 C ．x 1=1,x 2=0 D ．x 1=1,x 2=3 6．二次函数2 (1)2y x =-+的最小值是（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．1 7．抛物线24y x x =-的对称轴是 ( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝4 C ．x ＝2 D ．x ＝－4 8．已知二次函数y ＝2(x －3)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝－3；③其图象顶点坐标为(3，－1)；④当x <3，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

中考数学重难点专题讲座 第四讲 一元二次方程与二次函数

中考数学重难点专题讲座 第四讲 一元二次方程与二次函数 【前言】 前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。 一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。 第一部分 真题精讲 【例1】2010，西城，一模 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数23=++y ax bx c 的解析式． 【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M ≠

第8讲：二次函数专题讲座.docx

（聚焦 2008 ）第 8 讲：二次函数专题讲座 （一）二次函数的解析式的三种形式 （1）标准式： y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ）； （2）顶点式： y=a （ x+m ）2 +n （ a≠0 ）； （3）两根式： y=a （ x － x 1）（ x－ x 2）（ a ≠ 0 ） 【例 1】已知二次函数y=f（ x）同时满足条件：（1）f（ 1+x）= f（1－ x）； （2） y=f （ x）的最大值是１５；（ 3） f （ x）＝０的两根立方和等于１７。求 y＝ f （ x）的解析式。 （二）二次函数的基本性质 （ 1）二次函数f（ x）=a x2 +bx+c （ a ≠０）的图像是一条抛物线，对称 轴方程为 x ＝－ b ，顶点坐标是（－ b ， 4ac b2 ）。2a2a4ac 当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－b ] 上递减，在 [ － b ，2a2a ＋∞ ) 上递增。 当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数在(－∞，－b ] 上递增，在 [ － b ，2a2a ＋∞ ) 上递减。 （ 2）直线与曲线的交点问题： ①二次函数f（ x）=ax 2 +bx+c（ a ≠０），当＝ b2－４ ac＞0时，图像与 x 轴有两个交点Ｍ１（x１，０）Ｍ２（x２，０），于是 ｜Ｍ１Ｍ２｜＝｜ x１－ x２｜＝。 | a | ②若抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）与直线y=mx+n，则其交点由二方程组成的方程组的解来决定，而方程组的解由一元二次方程ax 2 +bx+c =mx+n ，即 px 2 +qx+r=0的解来决定，从而将交点问题归结为判定一元二 次方程的判别式的符号决定。 特别地，抛物线与x 轴的交点情况由ax 2 +bx+c=0的解的情况决定，于是也归结为判定一元二次方程ax 2 +bx+c = 0的判别式的符号问题。

二次函数最大利润辅导(带答案)

二次函数最大利润应用题姓名_______ 2018.10.7 1．多个变量，只能确定一个自变量，其余都是因变量（函数），即x（自变量）→y（函数）→z（函数）→w（函数）； 2．求最大利润，先建立二次函数关系式，再由对称轴求最值（注意：对称轴是否在取值范围内）。 1．某大众汽车经销商在销售某款汽车时，以高出进价20%标价．已知按标价的九折销售这款汽车9辆与将标价直降0.2万元销售4辆获利相同． （1）求该款汽车的进价和标价分别是多少万元？ （2）若该款汽车的进价不变，按（1）中所求的标价出售，该店平均每月可售出这款汽车20辆；若每辆汽车每降价0.1万元，则每月可多售出2辆．求该款汽车降价多少万元出售每月获利最大？最大利润是多少？ 解：（1）设进价为x万元，则标价是1.2x万元，由题意得： 1.2x×0.9×9﹣9x=（1.2x﹣0.2）×4﹣4x， 解得：x=10，所以售价为 1.2x=1.2×10=12（万元）， 答：进价为10万元，标价为12万元； （2）设该款汽车降价a万元，利润为w万元，由题意得： w=（20+×2）（12﹣10﹣a）， =﹣20（a﹣）2+45，∵﹣20＜0， ∴当a=时，w最大=45，答：该款汽车降价0.5万元出售每月获利最大，最大利润是45万元． 2．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本） （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ （3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 解：（1）z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100） =﹣2x2+136x﹣1800， ∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800（x＞18）； （2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程得x1=25，x2=43 所以，销售单价定为25元或43元， 将z=﹣2x2+136x﹣1800 =﹣2（x﹣34）2+512（x＞18）， 答；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元； （3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象可知，当25≤x≤43时z≥350， 又售价不能高于32元，得25≤x≤32， 根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小， ∴当x=32时，每月的销量最少，故制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元）， 答：每月最低制造成本为648万元． 3．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销 售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系． （1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义； （2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式； （3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；

二次函数(4)

26.1 二次函数（4） 教学目标： 1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象。 2．让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。 重点难点： 重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系是教学的重点。 难点：理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y ＝ax2的图象的相互关系是教学的难点。 教学过程： 一、提出问题 1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－1 2 x2，y＝－ 1 2 x2－1的图象，并回答： (1)两条抛物线的位置关系。 (2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。 (3)说出它们所具有的公共性质。 2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 二、分析问题，解决问题 问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题? (画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察) 问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗? 教学要点 1．让学生完成下表填空。 2．让学生在直角坐标系中画出图来： 3．教师巡视、指导。 问题3：现在你能回答前面提出的问题吗? 教学要点 1．教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空： 2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y ＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的图象能够看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。 问题4：你能够由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗? 教学要点 1.教师引导学生回顾二次函数y＝2x2的性质，并观察二次函数y＝2(x－1)2的图象；

浙教版初中数学第一章 二次函数单元测试卷(含答案)

2018-2019学年第一章二次函数单元测试卷 一、选择题：（本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1、将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（） A、y=（x-1）2+2 B、y=（x+1）2+2 C、y=（x-1）2-2 D、y=（x+1）2-2 2、已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（） A、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限 C、第一、二、四象限 D、第一、三、四象限 3、将二次函数y=x2-2x+3化为y=（x-h）2+k的形式，结果为（) A、y=（x+1）2+4 B、y=（x-1）2+4 C、y=（x+1）2+2 D、y=（x-1）2+2 4、设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（） A、c=3 B、c≥3 C、1≤c≤3 D、c≤3 5、已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系正确的是( ) A、y3＜y2＜y1 B、y1＜y2＜y3 C、y2＜y1＜y3 D、y3＜y1＜y2 6、已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内， 下列说法正确的是（） A、有最小值0，有最大值3 B、有最小值﹣1，有最大值0 C、有最小值﹣1，有最大值3 D、有最小值﹣1，无最大值 7、在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（） A、B、C、D、 8、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C 的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为

初三试讲 二次函数

二次函数 知识点归纳： 1、二次函数的定义 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二 次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的自变量的取值范围 （1）一般情况下，二次函数的自变量的取值范围是全体实数．如二次函数y＝2x2－x＋1，y=－x2＋2，它们的自变量x的取值范围 为全体实数． （2）实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． 如圆的面积S与圆的半径r的关系式S＝πr2是一个二次函数，自变量r的取值范围是r>0，这里r不能小于或等于0． 3、回顾学过的函数 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，其中包括正比例函数y＝kx(k≠0). 反比例函数(k≠0)，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，这些 函数的名称都反映了函数解析式与自变量的关系．

二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质 知识归纳: 1、用配方法可把y=ax2＋bx＋c(a≠0)化成y=a(x－h)2＋k的形式， 因此y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，形状与y=ax2的形 状相同，只是位置不同． 2、y=ax2＋bx＋c配方为，故抛物线y=ax2 ＋bx＋c的顶点为，对称轴为直线． 3、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质如下： ①当a>0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向上，时， y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大； 时，y有最小值，则抛物线的顶点是其最低点． ②当a<0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向下，时， y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； 时，y有最大值，则抛物线的顶点是其最高点． 二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质 知识归纳: 1、二次函数y=a(x－h)2＋k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的形状 与y=ax2(a≠0)的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k 的顶点是(h，k)，对称轴是直线x=h．

常用的二次函数性质总结(第四讲)

常用的二次函数性质总结 2y ax =的顶点坐标______________对称轴___________,当a>0时开口_________,当x>0时，y 随x 的_____________，并简单画出其图像（在左侧空白处） 习题：212 y x =的顶点坐标_________________对称轴___________,开口_________,当x>0时，y 随x 的_____________画图像草图 213 y x =-的顶点坐标_________________对称轴___________,开口_________,当x<0时，y 随x 的_____________画图像草图 2y ax k =+的顶点坐标___________对称轴___________,当a>0时开口_________,当x<0时，y 随x 的_____________，并简单画出其图像（在左侧空白处） 习题：221y x =+的顶点坐标_________对称轴_________,开口_________,当x>0时，y 随x 的_____________，并简单画出其图像（在左侧空白处） 2113 y x =--的顶点坐标__________对称轴___________,开口_________,当x<0时，y 随x 的_____________，并简单画出其图像（在左侧空白处） 2()y a x h =-的顶点坐标__________对称轴___________,当a>0时开口_________,当x>0时，y 随x 的_____________，并简单画出其图像（在左侧空白处） 习题：()2 31y x =-的顶点坐标_____________对称轴___________,开口_________,当x<1时，y 随x 的___________，并简单画出其图像（在左侧空白处） 21(2)3 y x =-+的顶点坐标______________对称轴___________,开口_________,当x>-2时，y 随x 的___________，并简单画出其图像（在左侧空白处） 2()y a x h k =-+的顶点坐标______________对称轴___________,当a>0时开口_________,当x>h 时，y 随x 的_____________，此时函数有最___值为_____并简单画出其图像 习题：2 3(1)4y x =++的顶点坐标______________对称轴___________,开口_________,当x>-1时，y 随x 的_____________，此时函数有最___值为_____并简单画图 21(2)13 y x =---的顶点坐标______________对称轴___________,开口_________,当x>2时，y 随x 的_____________此时函数有最___值为_____画图 2y ax bx c =++的顶点坐标______________对称轴___________画草图 将23(1)4y x =++化为2y a x b x c =++形式，并将2481y x x =-+-化为2()y a x h k =-+形式。 能否2y ax bx c =++求以上几种函数的顶点坐标，对称轴？说说理由

第4讲幂函数与二次函数

第4讲幂函数与二次函数 一、选择题 1.(2017·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为() A.1，3 B.－1，1 C.－1，3 D.－1，1，3 解析因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.答案 A 2.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则() A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0 C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0 解析因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为 x＝2，即－b 2a ＝2，所以4a＋b＝0. 答案 A 3.在同一坐标系内，函数y＝x a(a≠0)和y＝ax＋1 a的图象可能是() 解析若a<0，由y＝x a的图象知排除C，D选项，由y＝ax＋1 a 的图象知应选 B；若a>0，y＝x a的图象知排除A，B选项，但y＝ax＋1 a 的图象均不适合，综 上选B. 答案 B 4.(2017·焦作模拟)函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数 g(x)＝f（x） x在区间(1，＋∞)上一定() A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数

解析 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(－∞，1)上有最小值，且f (x )关于x ＝a 对称，∴a <1，则g (x )＝x ＋a x －2a (x >1). 若a ≤0，则g (x )在(1，＋∞)上是增函数， 若00在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6) 解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)， 所以f (x )12>25，得? ?? ??223>? ????123>? ?? ??253，即P >R >Q . 答案 P >R >Q 7.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ a x ＋1 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________. 解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1，2]上是减函数可得[1，2]?[a ，＋∞)，∴a ≤1.

一对一家教教案(二次函数)

1对1辅导教案 学生学校年级九年级 教师授课日期12月1日授课时段9:00~11:0 课题二次函数 重点难点重点：⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念； ⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值； ⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式； ⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思. 难点：⑴二次函数图象的平移； ⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策. 教学步骤及教学内容一. 教学内容： 二次函数小结与复习 二. 重点、难点： 1. 重点： ⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念； ⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值； ⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式； ⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思. 2. 难点： ⑴二次函数图象的平移； ⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策. 三. 知识梳理： 1. 二次函数的概念及图象特征 二次函数：如果，那么y叫做x的二次函数． 通过配方可写成，它的图象是以直线 为对称轴，以为顶点的一条抛物线． 2. 二次函数的性质

值 函数的图象及性质 ＞0 ⑴开口向上，并且向上无限伸展； ⑵当x＝时，函数有最小值 ； 当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大． ＜0 ⑴开口向下，并且向下无限伸展； ⑵当x＝时，函数有最大值 ； 当x＜时，y随x的增大而增大；当x＞时，y随x的增大而减小． 3. 二次函数图象的平移规律 抛物线可由抛物线平移得到. 由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论． 4. 、、及的符号与图象的关系 ⑴a→决定抛物线的开口方向；a＞0. 开口向上；a＜0，开口向下． ⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置： a、b同号，对称轴（＜0＝在y轴的左侧； a、b异号，对称轴（＞0）在y轴的右侧. ⑶c→决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x＝0）的位置： c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上； c＝0，抛物线经过原点； c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．