第1讲 观察归纳与猜想

第1讲观察归纳与猜想

知识要点

人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常用雷雨降临，于是归纳出“朝有破絮云，午后雷雨临”这条谚话。在数学里，我们也常用这种方法探求规律。

1科学发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列——著名的“裴波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……仔细观察以上数列，则它的第11个数应该是 .

2下面的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为

“杨辉三角形”，请你仔细观察该三角形数组，回答以下问题：

（1）根据图中的数构成的规律，a所表示的数是；

（2）除第一行外，这个数组的每一行的左起第2个数有什么规律？由此推测这个数组第2004行的第2个数是多少？

（3）这个数组的每一行的左起第3个数有什么规律？由此推测这个数组第2004行的第3个数是多少？

3（平方差公式）（1）计算下面各题：

22－12 =（），（2＋1）×（2－1）=（）；

52－22 =（），（5＋2）×（5－2）=（）；

202－152 =（），（20＋15）×（20－15）=（）；

（2）比较上面左、右两边的计算结果，将下面的公式填写完整：

a2－b2 = 。

（3）利用上面的公式计算下面的问题：

1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12

4（欧拉公式）

数一数：每个立体图形顶点、棱、面各有多少？

（1）顶点数、棱数、面数三者的关系是（）；

（2）我们可以将足球看作一个32面体（12个五边形、20个六边形），上面一共有90条棱，那么顶点一共有（）个。

5用火柴棒按下图的方式搭三角形：

（1）填写下表：

（

数学家故事

四色定理

证明是一个偶像，数学家在这个偶像前折磨自己。

一次拓扑课，Minkowski（闵可夫斯基）向学生们自负的宣称：“这个定理没有证明的最要的原因是至今只有一些三流的数学家在这上面花过时间。下面我就来证明它……”于是Minkowski开始拿起粉笔。这节课结束的时候，没有证完，到下一次课的时候，Minkowski继续证明，一直几个星期过去了……一个阴霾的早上，Minkowski跨入教室，那时候，恰好一道闪电划过长空，雷声震耳，Minkowski很严肃的说：“上天被我的骄傲激怒了，我的证明是不完全的……”

1942年的时候，Lefschetz（莱夫谢茨）去Harvard做了个报告，Birkhoff （伯克霍夫）是他的好朋友，讲座结束之后，就问他最近在Princeton有没有什么有意思的东西。Lefschetz说有一个人刚刚证明了四色猜想。Birkhoff严重的不相信，说要是这是真的，就用手和膝盖，直接爬到Princeton的Fine Hall去，Fine Hall 是Princeton的数学楼。

归纳、猜想、证明

归纳、猜想、证明 教学目标 1．对数学归纳法的认识不断深化． 2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法． 3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系． 教学重点和难点 用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明． 教学过程设计 （一）复习引入 师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？ 生：与连续自然数n有关的命题． 师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？ 生：共有两个步骤： （1）证明当n取第一个值n 时结论正确； （2）假设当n=k（k∈N，且k≥n ）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确． 师：这两个步骤的作用是什么？ 生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程． 师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？ 生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立． 师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题．今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1．（二）归纳、猜想、证明 1．问题的提出 a 3，a 4 ，由此推测计算a n 的公式，然后用数学归纳法证明这个公式．

师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理． （学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上） 师：正确．怎么推测a n 的计算公式呢？可以相互讨论一下． 2．归纳与猜想 生：我猜出了一个a n 的计算公式．（许多学生在偷笑） 师：大家在笑什么？是笑他的“猜”吗？“猜”有什么不好．人们对事物的认识很多都是以“猜”开始的，探索新领域就需要大胆，敢猜敢想，当然还要有严谨的思维做后盾．我想他的“猜”，也一定不是胡蒙乱猜，一定会有他的道理的，说说你是怎么“猜”的． 师：大家也一定觉得他说的有道理，但为什么用“猜想”呢？ 生：我只是通过对a 1，a 2 ，a 3 ，a 4 的观察，就去归纳a n 的计算公式，这个公 式不一定对，所以还只能是“猜想”． 师：他是经观察有限个特例从中获取一定信息、分析它们共同具有的特征后，归纳出对一切自然数的一般结论．他用的是不完全归纳法．他的结论虽不一定正确，但这却是探索新知识，发现新规律的重要途径，归纳法是可以用于猜测与发现的．

归纳猜想型测试题及答案

2014年中考数学二轮复习精品资料 归纳猜想型问题 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是． 思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n． 解：第八项为-27a8=-128a8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 对应训练 1．（2013?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n 考点二：猜想图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例2 （2013?牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是． 思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1

北师大版初三数学下册归纳与猜想

《中考专题复习--- 归纳与猜想》教学设计望都县第三中学陈云平规律探究型问题是河北省中考中比较常见的试题之一，反映了由特殊到一般的数学解题方法，在近几年的河北省中考试卷中规律探究型问题通常与图形的变换以及数形结合的思想结合起来考查，主要考查学生的分析、猜想、抽象、归纳能力。规律探究型问题分数字、字母规律探索问题和几何图形规律探索问题等。 教学目标：知识与能力目标：能够根据给出的一组具有特定关系的数、式、图形探索 出蕴含的规律，归纳出一般性的结论。 过程与方法目标: 通过观察、分析、类比、推理，经历规律探索型问题的解答，培养学生的抽象、归纳能力。 情感态度与价值观目标：通过对规律探索型问题的解答，学会从数学的角度，综合运用所学的知识解决问题，发展学生解决问题的应用意识。教学重点：通过观察、分析、类比，探索出蕴含在图形与数字中的规律，能归纳出一般性的结论。 教学难点：规律探索与数形结合思想的综合应用。 教学用具：多媒体课件 教学过程： 师：规律探究型问题是河北省中考中比较常见的试题之一，从近几年的中考试题看，第18 题总是规律探究与图形结合的题目，为了能在中考中轻松的拿到这3 分，我们要掌握这种题型的解答思路、方法，为此我们进行本节课的专题复习。多媒体课件出示：中考专题复习——归纳与猜想

、经历感知----积累经验 1、请你按照如下的数字规律，分别写出第n个数：(n为正整数) (1) 3,6,9,12,15, (2) 2,5,8,11,14, ⑶ 3,9,27,81, ⑷ 1,-1,1,-1,1, 2、给定一组数列：2, -3, 2 , -3, 2 , -3，…根据这个规律，第2012个 数是 _____ 。 3、观察下列各式 设n为正整数，请用关于n的等式表示这个规律为：+ = _____ 4、下面是用棋子摆成的“上”字： 如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现： (1) ____________________________ 第四、第五个“上”字分别需用_______________________________________________ 和__________ 枚棋子; (2) _____________________ 第n个“上”字需用枚棋子. 5、请先观察下列算式，再填空： (1) 32一12=8 1 , (2) 52 -32=8 2 . (3) _____________ 72 -52 =8X ; (4) 92—( ) 2= 8X 4； (5) (—) 2—92= 8X 5;…… 通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论: 22 T， 42 1， 2 / 1 25 5 4 ■ 6 6 6 第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字

类比、归纳、猜想

竞赛专题讲座2 －类比、归纳、猜想 数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的．类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法． 所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证． 运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下： 可见，运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象．按寻找类比对象的角度不同，类比法常分为以下三个类型． （1）降维类比 将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比． 【例1】如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点． 求证：++为定值． 分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB 上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于

A1、B1，求证+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为 定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1． 证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则 有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△ LCV．得 ++=++。 在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一点O，用面积法易证得： ++=1。 ∴++=1。 【例2】以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球，S是所作六个球的交集．证明S 中没有一对点的距离大于． 【分析】考虑平面上的类比命题：“边长为1的正三角形，以各边为直径作圆，S‘是所作三个圆的交集”，通过探索S’的类似性质，以寻求本题的论证思路．如图， 易知S‘包含于以正三角形重心为圆心，以为半径的圆内．因此S’内任意两点的距离不大于．以此方法即可获得解本题的思路．

归纳与猜想

三．归纳与猜想 一、 知识综述 归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。 猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。 猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。 二、理解掌握 例1、用等号或不等号填空： （1）比较2x 与x 2 ＋1的大小 ①当x ＝2时，2x x 2 ＋1； ②当x ＝1时，2x x 2 ＋1； ③当x ＝－1时，2x x 2 ＋1． （2）可以推测：当x 取任意实数时，2x x 2 ＋1． 分析：本题是通过计算发现和猜想一般规律题，正确计算和发现规律是关键。 解：（1）＜，＝，＜； （2）≤。 例2、观察下列分母有理化的计算： 12121-=+， 232 31-=+， 343 41-=+， 45451-=+…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算： 1)2002)(2001 20021 3 412 311 21 ( +++ ++++++ =＿＿＿＿。 分析：解本题时，要抓住分每有理化后的结果都是两数之差，且可以错位相消。还要注意相消后所剩下的是什么。 解：1)2002)(2001 20021 3 412 311 21( +++ +++ ++ + =)12002)(20012002342312(+-++-+-+- =)12002)(12002(+- =2002—1 =2001。 例3、 观察下列数表： 1 2 3 4 … 第一行 2 3 4 5 … 第二行 3 4 5 6 … 第三行 4 5 6 7 … 第四行

专题七归纳猜想型问题MicrosoftWord文档分析

专题七归纳猜想型问题 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是． 思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n． 解：第八项为-27a8=-128a8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 对应训练 1．（2013?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n 考点二：猜想图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例2 （2013?牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是． 思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1个；第3个图形共有三角形5+3×3-1个；第4个图形共有三角形5+3×4-1个；…；则第n 个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；

中考数学二轮复习精品资料(归纳猜想型问题)附解析

中考数学二轮复习精品资料 归纳猜想型问题 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是． 思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n． 解：第八项为-27a8=-128a8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 对应训练 1．（2013?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n 考点二：猜想图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例2 （2013?牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是． 思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1

7.6 归纳-猜想-论证(含答案)

【课堂例题】 例1.计算并归纳出下列求和的一般公式，并证明. 114 =? 111447 +=?? 1111447710 ++=??? 111114477101013+++=???? 11111447710(32)(31) n n ++++=???-+ 例2.尝试推导正整数立方和公式 3333123?n ++++= 例3.在平面上画n 条直线，任何两条都相交，任意3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成多少部分？

【基础训练】 1.观察下列数字： 1 234 34567 45678910 …… 猜想第n 行的各数之和n S =________________. 2 = . 3任取一个正整数，反复进行下述两种运算： (1)若是奇数，就将该数乘3再加上1； (2)若是偶数，就将该数除以2. 你能据此作出什么猜想？ . 4.已知数列{}n a 满足11a =，且*11429,n n n n a a a a n N ++-+=∈，通过计算若干项n a 后， 可以猜想通项公式n a = . 5.已知数列 1111,,,,,,122334(1) n n ???+ 前n 项和为n S . (1)计算123,,S S S 的值； (2)推测计算n S 的公式并证明. 6.在数列{}n a 中，*1121,2,2,(1) n n n a a a n n N n n -+==+ ≥∈+. (1)求234,,a a a ； (2)猜想数列{}n a 的通项公式()n a f n =，并用数学归纳法证明你的猜想.

7.已知数列{}n a 满足：*2,n n S n a n N =-∈（*0,n a n N ≠∈） (1)求1234,,,a a a a . (2)猜想{}n a 的通项公式()n a f n =，并用数学归纳法加以证明. 【巩固提高】 8.是否存在常数,,a b c 使等式: 222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ?-+?-++?-=++ 对于一切正整数n 都成立？证明你的结论. 提示:先利用1,2,3n =求出一组,,a b c ，再……. 9.是否存在大于1的正整数m 使得()(27)39n f n n =+?+ 对于任意正整数n 都能被m 整除？若存在，求出m 的最大值，并证明你的结论； 若不存在，请说明理由.

人教版初一数学下册观察与猜想,归纳与证明

七年级数学《观察、猜想与证明》 一、【观察与实验】 认识来源于实践，是我们认识事物的重要方法，通过观察和实验，可以发现许多规律。是获得感性认识的重要途径，但观察得到的结果是否正确，还需要经过验证；是人们认识事物的一种有目的的探索过程，一般是为了检验某种猜想或理论而进行的操作或活动。实验的关键是要具有可重复操作性。 例题：1.下面给出了两个图形，你能分别用一笔画出来吗？（每部分既不能重复，也不能遗漏）？ 2.【错觉】 ①上图（3）中的两条紫色的线条是平行的吗？图（4）中线段AB与线段CD哪个比较长？用什么办法验证你的观察？ ②下面左边两幅图形中，哪个图形的竖线更长？右图中有曲线吗？ 【结论】：观察可能产生错觉；所以观察的结果需要验证。 3.一个正方体有六个面，分别标上文字“观，察，猜，想，证，明”是从三个不同方向看到的几个汉字 . 观察图形中的汉字特点，那么，“观”相对面上的汉字是；“察”相对面上的汉字是；“猜”相对面上的汉字是；

4.用锯锯木，锯会发热；用锉锉物，锉会发热；在石头上磨刀，刀会发热，所以物体摩擦会发热．此结论的得出运用的方法是（） A．观察 B．实验 C．归纳 D．类比 5.【实验是人们认识事物的一种有目的的探索过程】 ①三条线段能组成一个三角形吗？ ②用两块形状、大小相同的三角尺，你能拼出多少个形状不同的三角形？能拼出多少个形状不同的四边形？（摆一摆，试一试） ③如图，OM 为∠AOB 的平分线，点 P是射线 OM 上的一点，PA ⊥ OA 于点 A，PB ⊥ OB 于点 B，分别度量PA，PB 的长度，并判断它们的数量关系；如果在射线 OM 上再取几个不同位置的点 P，然后向角的两边作垂线段，刚才的数量关系还存在吗？ ④用剪刀把一张长方形的纸剪了一次，剩余的一部分纸是什么图形？把长方形纸片剪成两部分，用剪得的两部分可以拼成哪些形状不同的图形？你能拼接成一个三角形吗？并画出拼接后的示意图。 【归纳与类比】归纳与类比是得出猜想的两个重要的方法 . 【归纳】归纳的方法也是人们认识事物的重要方法，归纳法有归纳法和归纳法两类，初中阶段只要了解归纳的一些补步知识，在高中阶段将会进一步进行研究。运用不完全归纳法可以由一些特殊性的前提，得出一般性的结论，帮助我们认识和发现事物的规律，在数学的学习过程中起着重要的作用 . 同时也要注意它的局限性，借助不完全归纳法得到的结论有时可能是不正确的。 例题：1. 当a为正整数时，比较a、a的倒数与a的平方的大小； 2.三个苹果放入甲、乙两个抽屉中，有多少种不同的放法。

7.6《归纳-猜想-论证》教案(沪教版高二上)

7．6 归纳—猜想—论证 一、教学内容分析 归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法．归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法．对于无穷尽的事例，用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—论证”的思维方法．教材在介绍归纳法的基础上，通过例题，引导学生体验和学习这种科学研究的思维方法．论证时采用的数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种重要方法，是演绎推理．本节内容将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识． 二、教学目标设计 1．了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的适用情况和证明步骤． 2．通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归纳法证明的思想方法，获得对于“归纳—猜想—论证”过程的体验，初步形成在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力． 3．体验概念形成过程，引起对“归纳—猜想—论证”思维方法的兴趣，提升数学素养．三、教学重点与难点 重点：“归纳—猜想—论证”思维方法的渗透和学习． 难点：对数学归纳法的进一步理解和应用． 四、教学流程设计 1．引入

问题1．用数学归纳法证明： 2222121(1)1234(1)(1).2 n n n n n --+-+-++-=-L 选题目的：回顾并熟练掌握用数学归纳法证明数学命题的过程与 基本步骤，为新课的引入做好铺垫． 2．归纳猜想 我们已经学习了用数学归纳法来证明一些等式，但是这些等式又 是如何得到的呢？ [说明] 引起学生思考，探求结论获得的可能方法：一是直接计算获得结论，二是归纳猜想． 问题2．数列的通项公式22(55)n a n n =-+，计算1234,,,a a a a 的值，你 可以得到什么结论？ 问题3．费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解 析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献． 费马认为，当n ∈N 时，221n +一定都是质数，这是他对n=0，1， 2，3，4作了验证后得到的． 18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了5 221+=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测． 问题4．设2()41f n n n =++，则当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？ (0)41f =，(1)43f =， (2)47f =，(3)53f =， (4)61f =，(5)71f =，(6)83f =， (7)97f =，(8)113f =，(9)131f =，(10)151f =，L ，(39)1601f =． 但是(40)16814141f ==?是合数． 找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来！ 3．归纳猜想论证 在数学问题的探索中，为了寻求一般规律，往往先考虑一些特例， 进行归纳，形成猜想，这是归纳与猜想．但猜测的结论一定正确吗？不一定！通过归纳猜测的结论可能错误也可能正确，然后一定要去证明这些猜想的正确与否．证明一个命题为假命题只需要举出一个反例．证明一个命题为真命题需要逻辑推理．

归纳,猜想,证明的教案

数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明 教学目标 1．对数学归纳法的认识不断深化． 2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法． 3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系． 教学重点和难点 用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明． 教学过程设计 （一）复习引入 师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？ 生：与连续自然数n有关的命题． 师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？ 生：共有两个步骤： （1）证明当n取第一个值n0时结论正确； （2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确． 师：这两个步骤的作用是什么？ 生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程． 师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？

生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立． 师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题． 今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1． （二）归纳、猜想、证明 1．问题的提出 a3，a4，由此推测计算a n的公式，然后用数学归纳法证明这个公式． 师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理． （学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上） 师：正确．怎么推测a n的计算公式呢？可以相互讨论一下． 2．归纳与猜想 生：我猜出了一个a n的计算公式．（许多学生在偷笑） 师：大家在笑什么？是笑他的“猜”吗？“猜”有什么不好．人们对事物的认识很多都是以“猜”开始的，探索新领域就需要大胆，敢猜敢想，当然还要有严谨的思维做后盾．我想他的“猜”，也一定不是胡蒙乱猜，一定会有他的道理的，说说你是怎么“猜”的．

沪教版高二年级第一学期领航者第七章7.6归纳—猜想—论证

沪教版高二年级第一学期领航者第七章7.6归纳—猜想—论 证 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．观察下列等式：211=，2132+=，21353++=，213574+++=，可以猜想： ()13521n +++???+-=______. 2．在数列{}n a 中，已知11a =，22a =.若() 1223,n n n a a a n n * --=-≥∈N ，则3a = ______，4a =______，5a =______，进而猜想n a =______. 3． 根据下列各式的规律：= =归纳猜想用() ,2n n n * ∈≥N 表示的等式为______. 4．计算前几项：1，234++，34567++++，???等各项的值，可以猜想第n 个式子为______. 5．若()33 x f x x =+，11x =，()1n n x f x -=，分别计算2x ，3x ，4x ，进而猜想n x =______. 二、单选题 6．猜测()24441111921n ? ?????--???-?? ???????-???? 对n N ∈且1n ≥成立的一个表达式为 （ ） A ．2 n n +- B ． 21 21 n n +- C ．21 21 n n +- - D ．1 1 n n +- - 7 ．证明命题2n B ．2n > C ．15n > D ．16n > 8．猜测使2n a n >对任意正整数n 恒成立的最小正整数a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 三、解答题 9．（1）分别计算数列1-，13-+，135-+-，1357-+-+各项的值； （2）根据（1）的计算猜想()()1357121n n a n =-+-+-???+--的表达式； （3）用数学归纳法证明你的猜想.

第08讲归纳猜想证明含详解

数学高考综合能力题选讲8 归纳、猜想、证明 题型预测 观察、归纳、猜想、证明是解决探索性问题的重要思维方法，也是高考考查的热点. 范例选讲 例1 .已知数列t a j满足a1 =2，对于任意的n € N,都有a. > 0，且(n +1 h n2+a n a n+ - na n/ =0.又知数列满足：b n =2n」+1. (I)求数列i a j的通项a n以及它的前n项和S n ! (n )求数列妃｝的前n项和Tn! (m )猜想S n和T n的大小关系，并说明理由. 讲解：(n +1 b n2+a n a n卅-nan/ =0是关于a.和的二次齐次式，故可利用 求根公式得到a n与a n十的更为明显的关系式，从而求出a (1 ) ??? a n >0 (n€ N,且(n + 畑2+??? ( n +1)(斗2+(禹-n=0 ? a n+ a n十 T a n > 0 ( n€ N), a n _ n an+ n +1 即丑 an+ n+1 2 a n a n+l 一na n+l = 0， a n a n十-1 ±J1 +4n(n +1) 2(n+1) -1 ±(2n +1) _ -2(n+1)— n 一n

a n a n a n 」a n_2 …a 3 a 2 n n —1 n —2 — * = a 1 a n 」a n_2 a n_3 a 2 a 1 n —1 n —2 3 又 a 1 =2,所以，a n =2 n . S n = a 1 + a 2 +…+ a n = 2(1 + 2 +…+ n )= n 2 + n (n) V b n =2n 」+1 f 二 T n =bi +b 2 +…+b n =(2° +21 十?? +2n 」)+ n = 2n + n-1 (rn)T n -S n =2n — n 2 -1 I 1°当n=5时，前面已验证成立; 2°假设n =k(k>5)时命题成立，即2k ：>k 2 +1成立，那么当n=k+1(k>5) 时』 2k + =2 ”2k A2 -(k 2 +1 A k 2 +k2 + 2 >k 2 +5k + 2 :>k 2 +2k + 2 =(k +1 丫 +1 . 即n=k+1(k>5)时命题也成立. 由以上1°、2°可知，当nA5时，有T n 》S n ; 综上可知：当n=1时，T i =S i ;当2<门v5时，T n n 2 +1，从而使得观察的过程继续下去. 当n=1时, 当n=2时, 当n=3时, 当n=4时, 当n=5时, 当n=6时, 猜想：当n J 1 -12 -1 =0 , T1 = S1 ; =22 -22 -1 = -1 ’ :* T2 € S2 ; =23 -32 -1 = —2 T ，* T3 V S3 ; =24 -42 -1 = -1 ’ * * T^ S4 ; =Q 5 — 52 — 1 = 6 T < * T 5 > S 5 ; =26 -62 -1 =27 , * * T 6 》S 6 ; T n >S n .即 2n 》n 2 十1 .下用数学 丁2 - S 2 T 3 —S3 T 4 -S 4 T 6 — S 6 >5时, T i -S i T 5 —S5

最新2020届中考数学专题复习-归纳猜想型问题

2020届中考数学专题复习：归纳猜想型问题（一） 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1 （2019?沈阳）有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为． 考点：多项式。810360 专题：规律型。 分析：首先观察归纳，可得规律：第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n，然后将n=10代入，即可求得答案． 解答：解：∵第1个多项式为：a1+b2×1， 第2个多项式为：a2﹣b2×2， 第3个多项式为：a3+b2×3， 第4个多项式为：a4﹣b2×4， … ∴第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n， ∴第10个多项式为：a10﹣b20． 故答案为：a10﹣b20． 点评：此题考查的知识点是多项式，此题难度不大，注意找到规律第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n是解此题的关键． 例2 （2019?珠海）观察下列等式： 12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32， 34×473=374×43， 62×286=682×26， …

专题复习_中考数学归纳与猜想(含答案)

①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34 ④4×45＝4－45 …… 专题复习 归纳与猜想 归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。 一、知识网络图 二、基础知识整理 猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。 相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。 ★ 范例精讲【归纳与猜想】 例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：

⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示： ⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。 解：⑴5×56＝5－5 6 ⑵1 1 +- =+? n n n n n n 。 例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的 一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题： ⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ ⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ； ⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系． 解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个； ⑵A n ＝3n ＋1； ⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形； ⑸a n ＝1 2 n ； ⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜ 1，a 1＋a 2＋a 3＝1 2＋ 14＋18＝7 8＜1，……从而猜想到： a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。 例3【安徽实验区05】下图中，图⑴是一个扇形AOB ，将其作如下划分： 第一次划分：如图⑵所示，以OA 的一半OA 1为半径画弧，再作∠AOB 的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形AOB 、扇形AOC 、扇形COB 、扇形A 1OB 1、扇 1 a 1 a 2 a 3

归纳-猜想-论证-沪教版教案

7. 6 归纳一猜想一论证

上海市建平中学田万国 一、教学内容分析归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法．归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法．对于无穷尽的事例，用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—论证”的思维方法．教材在介绍归纳法的基础上，通过例题，引导学生体验和学习这种科学研究的思维方法．论证时采用的数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种重要方法，是演绎推理．本节内容将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识． 二、教学目标设计1．了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的适用情况和证明步骤． 2．通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归纳法证明的思想方法，获得对于“归纳—猜想—论证”过程的体验，初步形成在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力． 3．体验概念形成过程，引起对“归纳—猜想—论证”思维方法的兴趣，提升数学素养． 三、教学重点与难点重点：“归纳—猜想—论证”思维方法的渗透和学习．难 点：对数学归纳法的进一步理解和应用． 四、教学流程设计

五、教学过程设计 1引入 问题1用数学归纳法证明: 选题目的：回顾并熟练掌握用数学归纳法证明数学命题的过程与 基本步骤，为新课的引入做好铺垫. 2. 归纳猜想 我们已经学习了用数学归纳法来证明一些等式， 但是这些等式又 是如何得到的呢？ ［说明］引起学生思考，探求结论获得的可能方法：一是直接计算获 得结论，二是归纳猜想. 问题2.数列的通项公式a n (n 2 5n 5)2，计算agg 的值， 你 可以得到什么结论？ 问题3.费马(Fermat )是17世纪法国著名的数学家，他是解 析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一， 是 概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献. n 费马认为，当n € N 时，22 1 一定都是质数，这是他对n=0, 1, 2， 3， 4 作了 n 1 2 (1) n (1)n 1 n(n 1 (1 2 复习回顾

专题复习 归纳与猜想(含答案)-

①1×12＝1－12 ②2×23＝2－2 3 ③3×34＝3－3 4 ④4×45＝4－45 …… 专题复习 归纳与猜想 归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。 一、知识网络图 二、基础知识整理 猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。 相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。 ★ 范例精讲【归纳与猜想】 例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：

⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示： ⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。 解：⑴5×56＝5－5 6 ⑵1 1+- =+? n n n n n n 。 例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的 一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片， ⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ； ⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系． 解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个； ⑵A n ＝3n ＋1； ⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形； ⑸a n ＝12 n ； ⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝3 4＜1，a 1＋a 2＋a 3 ＝1 2＋14＋18＝7 8＜1，……从而猜想到： a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。 例3【安徽实验区05】下图中，图⑴是一个扇形AOB ，将其作如下划分： 第一次划分：如图⑵所示，以OA 的一半OA 1为半径画弧，再作∠AOB 的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形AOB 、扇形AOC 、扇形COB 、扇形A 1OB 1、扇 1 a 1 a 2 a 3