菱形存在性问题

菱形存在性问题

1．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边OC 、OA 分别与x 轴、y 轴重合，

AB ∥OC ，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=C 的坐标为（-18，0）． （1）求点B 的坐标；

（2）若直线DE 交梯形对角线BO 于点D ，交y 轴于点E ，且OE=4，OD=2BD ，求直线DE 的解析式；

（3）若点P 是（2）中直线DE 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以O 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

2．已知抛物线y=

4

1x 2

+ 1 (如图所示)． (1)填空：抛物线的顶点坐标是(__ __，_ _)，对称轴是__ __； (2)已知y 轴上一点A(0，2)，点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角形，求点P 的坐标； (3)在(2)的条件下，点M 在直线．．AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形?若存在，直接写出所有．．满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

3.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D.直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（-2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F.

（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；

（2）P(x,y)是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC,求出所有符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形.若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由.

4．如图，二次函数y=x2﹣x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称

点是M′．

（1）若A（﹣4，0），求二次函数的关系式；

（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM′的面积；

（3）是否存在抛物线y=x2﹣x+c，使得四边形AMBM′为正方形？若存在，请求出此抛

物线的函数关系式；若不存在，请说明理由．

菱形答案

1、解：（1）过点B 作BF ⊥x 轴于F

在Rt △BCF 中 ∵∠BCO=45°，BC=6 2∴CF=BF=12

∵C 的坐标为（-18，0） ∴AB=OF=6 ∴点B 的坐标为（-6，12）． （2）过点D 作DG ⊥y 轴于点G ∵AB ∥DG ∴△ODG ∽△OBA

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∵

2

3

DG OD OG AB OB OA ===，AB=6，OA=12 ∴DG=4，OG=8 ∴D （-4，8），E （0，4）

设直线DE 解析式为y=kx+b （k≠0） ∴{484k b b -+== ∴

{14

k b =-= ∴直线DE 解析

式为4y x =-+．

（3）结论：存在．

设直线y=-x+4分别与x 轴、y 轴交于点E 、点F ，则E （0，4），F （4，0），OE=OF=4，

EF =

如答图2所示，有四个菱形满足题意．

①菱形OEP 1Q 1，此时OE 为菱形一边．则有P 1E=P 1Q 1=OE=4，P 1F=EF-P 1E= 4．

易知△P 1NF 为等腰直角三角形，∴P 1N=NF=

1

42P F =-

设P 1Q 1交x 轴于点N ，则NQ 1=P 1Q 1-P 1N= 4(4--=ON=OF-NF=

Q 1-；

②菱形OEP 2Q 2，此时OE 为菱形一边．此时Q 2与Q 1关于原点对称，∴Q 2(-； ③菱形OEQ 3P 3，此时OE 为菱形一边．此时P 3与点F 重合，菱形OEQ 3P 3为正方形，∴Q 3（4，4）； ④菱形OP 4EQ 4，此时OE 为菱形对角线．由菱形性质可知，P 4Q 4为OE 的垂直平分线， 由OE=4，得P 4纵坐标为2，代入直线解析式y=-x+4得横坐标为2，则P 4（2，2）， 由菱形性质可知，P 4、Q 4关于OE 或x 轴对称，∴Q 4（-2，2）． 综上所述，存在点Q ，使以O 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形；

点Q 的坐标为：Q 1-，Q 2(-，Q 3（4，4），Q 4（-2，2）．

2、解：(1)顶点坐标是(0，1)，对称轴是y 轴(或x=O)．

(2) ∵△PAB 是等边三角形， ∴∠ABO=90o -60o =30o ． ∴AB=20A=4．∴PB=4．

解法一：把y=4代人y=

4

1x 2

+ 1，得 x=±23. ∴P 1(23，4)，P 2(-23，4)． (3)存在.N 1(3，1)，N 2(-3，-1)，N 3(-3，1)，N 4(3，-1).

3、解：（1）∵点B(-2,m)在直线12--=x y 上

∴m=3 即B （-2，3）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分

又∵抛物线经过原点O

∴设抛物线的解析式为bx ax y +=2

∵点B （-2，3），A （4，0）在抛物线上

∴???=+=-0416324b a b a 解得：?????-==

1

4

1b a ∴设抛物线的解析式为x x y -=24

1

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分

（2）∵),(y x P 是抛物线上的一点

∴)4

1

,(2x x x P -

若ADC ADP S S ??=

∵OC AD S ADC ?=?21 y AD S ADP ?=?2

1

┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分

又∵点C 是直线12--=x y 与y 轴交点

∴C(0,1) ∴OC=1 ∴

1412

=-x x ， 即1412=-x x 或14

12-=-x x 解得：2,222,2224321==-=+=x x x x

∴点P 的坐标为 )1,2(),1,222(),1,222(321--+P P P ┅┅┅ 10分 （3）存在：

,541-=t ,62=t

,543+=t ,2

13

4=

t

4、解：（1）∵A （﹣4，0）在二次函数y =x 2

﹣x +c 的图象上，∴×（﹣4）2

﹣（﹣4）+c =0，解得c =﹣12，

∴二次函数的关系式为y =x 2

﹣x ﹣12；

（2）∵y =x 2

﹣x ﹣12，=（x 2

﹣2x +1）﹣﹣12，=（x ﹣1）2

﹣，∴顶点M 的坐标为

（1，﹣

），

∵A （﹣4，0），对称轴为x =1，∴点B 的坐标为（6，0），∴AB =6﹣（﹣4）=6+4=10， ∴S △ABM =×10×

=，∵顶点M 关于x 轴的对称点是M ′，∴S 四边形AMBM ′=2S △ABM =2×

=125；

（3）存在抛物线y =x 2

﹣x ﹣，使得四边形AMBM ′为正方形．

理由如下：令y =0，则x 2

﹣x +c =0，设点AB 的坐标分别为A （x 1，0）B （x 2，0）， 则x 1+x 2=﹣

=2，x 1?x 2==2c ，所以，AB =

=

，

点M 的纵坐标为：==，

∵顶点M关于x轴的对称点是M′，四边形AMBM′为正方形，

∴=2×，整理得，4c2+4c﹣3=0，解得c 1=，c2=﹣，又抛物线与x轴有两个交点，

∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×c＞0，解得c＜，∴c的值为﹣，故，存在抛物线y=x2﹣x﹣，使得四边形AMBM′为正方形．