2010年高考广东理科数学试题及答案

2010年高考广东理科数学试题及答案

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时．请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的．答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则集合A B =I

A ．{}|11x x -<<

B ．{}|21x x -<<

C ．{}|22x x -<<

D ．{}|01x x << 2．若复数11z i =+，23z i =-，则12z z ?=

A ．4

B ．2+ i

C ．2+2 i

D ．3 3．若函数()33x

x

f x -=+与()33x

x

g x -=-的定义域均为R ，则

A ．()f x 与()g x 均为偶函数

B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数

C ．()f x 与()g x 均为奇函数

D ．()f x 为偶函数．()g x 为奇函数

4．已知数列{}n a 为等比数列，n S 是是它的前n 项和,若2312a a a ?=，且4a 与27a 的等差中项为

5

4

，则5S = A ．35 B ．33 C ．3l D ．29 5．“14

m <

”是“一元二次方程2

0x x m ++=有实数解”的 A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件

6．如图1，ABC V 为正三角形，'''////AA BB CC ，'

CC ⊥平面ABC ，'

'3

2

BB =

=且3AA 'CC AB =，则多面体'''ABC A B C -的正视图（也称主视图）是

7． 已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(24)0.6826P X ≤≤=，则(4)P X >= A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.1585

8．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 A ．1205秒 B ．1200秒 C ．1195秒 D ．1190秒

二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分 （一）必做题(9～13题)

9． 函数，()lg(2)f x x =-的定义域是 ．

10．若向量(1,1,)a x =r ，(1,2,1)b =r ，(1,1,1)c =r ，满足条件()(2)2c a b -?=-r r r

，则

x = ．

11．已知a ，b ， c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，b A +C =2B ，则sin C = ．

12．若圆心在x 轴上、O 位于y 轴左侧，且与直线0x y +=相切，则圆O 的方程是 ．

13．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n 位居民的月均用水量分别为

1,,n x x L (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若2n =，且1x ，

2x 分别为1，2，则输出的结果s 为 ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，,AB CD 是半径为a 的 圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23

a

PD =

， 30OAP ∠=?，则CP ＝_________．

15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ） （02θπ≤＜）中，曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=-的交点

的极坐标为______________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分l4分）

已知函数()sin(3)(0,(

,),0)f x A x A x ??π=+>∈-∞+∞<<在12

x π

=时取得最大

值4。

（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的解析式； （3）若2

12

()3

12

5

f π

α+

=

，求sin α。 17．（本小题满分12分）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490,495]，（495,500]，……，（510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示。 （1）根据频率分布直方图，求重量超过505

克的产品数量。

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，

设Y 为重量超过505克的产品数量， 求Y 的分布列。

（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2

件产品合格的重量超过505克的概率。

D

图3

如图5，?AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为?AC 的中点，点B 和点C 为线

段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB FD ==，EF =。 （1）证明：EB FD ⊥；

（2已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，

23FQ FE =

，2

3

FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值。

19.（本小题满分12分）

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C 。另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C 。

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

20.（本小题满分14分）

已知双曲线

212

x

y -=的左、右顶点分别为12,A A ，点11(,)P x y ，11(,)Q x y -是双曲线上不同的两个动点。

（1）求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹

E 的方程； （2若过点(0,)(1)H h h >的两条直线1l 和2l 与轨迹E 都只有一个交点，且12l l ⊥，求h 的值。

设11(,)A x y ，22(,)B x y 是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离(,)A B ρ为

2121(,)||||A B x x y y ρ=-+-

对于平面xOy 上给定的不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ,

（1）若点(,)C x y 是平面xOy 上的点，试证明(,)(,)(,);A C C B A B ρρρ+≥ （2）在平面xOy 上是否存在点(,)C x y ，同时满足

①(,)(,)(,)A C C B A B ρρρ+= ② (,)(,)A C C B ρρ= 若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

1．D ．【解析】{|21}{|02}{|01}A B x x x x x x =-<<<<=<

4．C ．【解析】设{n a }的公比为q ，则由等比数列的性质知，231412a a a a a ?=?=，即42a =。 由4a 与27a 的等差中项为

54知，475224a a +=?，7415(2)24a a ∴=?-1

4

=． ∴3

741

8

a q a =

=，即12q =．3411128a a q a ==?=，116a ∴=，551

16(1)

231112

S -

=

=-. 5．A ．【解析】由2

0x x m ++=知，2

1

14()02

4m x -+=

≥?1

4

m ≤． （或由0?≥得140m -≥，14m ∴≤。）14m <1

4

m ?≤， 反之不成立，故选A 。

6．D ．

7．B ．【解析】11

(4)[1(24)](10.6826)0.1587.22

P X P X >=

-<<=-= 8．C ．【解析】共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；每两

个闪烁之间的间隔为5秒，共5×（120—1）=595秒。那么需要的时间至少是600＋595=1195秒。

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9． (2,)+∞．【解析】由20x ->，得2x >，所以函数的定义域为(2,)+∞．

10．2．【解析】(0,0,1)c a x -=-v v ，()(2)2(0,0,1)(1,2,1)2(1)2c a b x x -?=-?=-=-v v v ，

解得2x =．

11．1．【解析】由A +C =2B 及A + B+ C =180°知，B =60°．

由正弦定理知，

1sin sin 60A =

， 即1sin 2

A =

．由a b <知，60A B <= ，则30A = ，180C A B =--o 90=o 于是sin sin 901C ==

．

12．22(2)2x y ++=．

【解析】设圆心为(,0)(0)a a <，

则r ==解得2a =-． 13．

14． 14．9

8

a ．【解析】因为点P 是AB 的中点，由垂径定理知， OP AB ⊥. 在Rt OPA ?

中，cos302

BP AP a ===

. 由相交弦定理知，BP AP CP DP ?=?，

2

3

CP a =?，所以98CP a =．

15

．3)4π．【解法1】两条曲线的普通方程分别为22

2,1x y y x +==-．解得1,1.x y =-??=?

由cos ,sin x y ρθρθ

=??

=?得点(1,1)-

的极坐标为3)4π

． 【解法2】由2sin cos 1

ρθρθ=??=-?得1

sin 22θ=-，02 024θπθπ≤∴≤＜＜Q ，

322πθ∴=

或3222πθπ=+，34πθ∴=或74π（舍），

从而ρ=

交点坐标为3)4

π

。

---------------------------------------------------------------------- 1．D 解析：本题考查了集合的运算。结合数轴易得}10|{<<=x x B A ． 2．A 解析：本题考查复数的乘法运算，考查了学生的计算能力。计算得

212(1)(3)3342z z i i i i i i ?=+?-=-+-=+．

3．B 解析：本题考查函数奇偶性的定义，对函数奇偶性的理解能力。因为

()33()x x

f x f x --=+=，

所以

)

(x f 为偶函数；因为

()33(33)()x x x x g x g x ---=-=--=-，所以)(x g 为奇函数．

4．C 解析：本题考查了等差与等比数列的性质、前n 项和公式、等差中项等知识，考查了对数列知识的灵活运用能力。

因为12

11322a q a q a a a =?=?，23

1=q a ，即24=a ．

又4a 与72a 的等差中项为

45，即25274=+a a ，得4

17=a ．

D

所以2

1

=

q ，116a =，所以311322

11)211(165

5=-=--

=S ． 5．A 解析：本题考查充要条件的相关知识及一元二次方程有解的条件。一元二次方程02

=++m x x 有实数解，等价为04142

≥-=-=?m ac b 得4

1≤

m ． ∴“14

m <

”是“一元二次方程02

=++m x x 有实数解”的充分而不必要条件． 6．D 解析：本题考查空间几何体的三视图，考查了同学们的识图能力。画三视图时，从外向内看，看到AB 、A A '、B B '、C C '为虚线，C 为AB 的中点，则为D 选项．

7．B 解析：本题考查正态分布的相关知识。由题设条件知3=μ，1=δ， ∴1(24)10.6826

(4)0.158722

P X P X -≤≤->=

==．

8．C 解析：本题主要考查排列的知识，以及实际应用问题的数据处理能力。

由题意知每个闪烁用时5秒，两个闪烁之间的间隔为5秒，共有5

5120A =个闪烁，119

个间隔，要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是512051191195?+?=（秒）。

9．),2(+∞ 解析：本题考查对数函数的定义域。对数函数中，真数须大于0，故有：

02>-x ，得2>x ，即为),2(+∞．

10．2 解析：本题考查空间向量的数乘运算。

∵(1,1,1)c = ，(1,1,)a x =

，

∴(0,0,1)c a x -=- ，∴()(2)(0,0,1)(2,4,2)c a b x -?=-?

2)1(2-=-=x ，

∴2=x ．

11．1 解析：本题考查解三角形的知识，主要涉及三角形内角和定理及正弦定理。 ∵A+B=2C ，∴B=?60，A+C=?120， ∵1=a ，3=

b ，∴

?=?=??=302

1

sin 60sin 3sin 1A A A ． ∴?=90C ，即sinC=1．

12．2)2(2

2

=++y x 解析：本题考查圆的标准方程以及直线与圆的位置关系之一

——相切。根据题意，设圆的方程为)0(2)(2

2<=+-a y a x ，∵直线0=+y x 与圆相切，

∴

22

||=a ，得2-=a ，∴圆的方程为2)2(22=++y x ．

13．

4

1

解析：本题考查算法中的循环结构和统计中的知识，考查了同学们的识图能

力。

开始输入2=n ，11=x ，22=x ，

第一次运行：1101=+=S ，11022=+=S ，0)11(1=-?=S ，2=i ； 第二次运行：3211=+=S ，52122=+=S ，4

1

)3215(212=?-?=S ，3=i ； 输出4

1

=S ． 14．

a 8

9

解析：本题考查相交弦定理及弦的相关性质。 在△OPA 中，P 为AB 的中点，?=∠30OAP ，所以a AP 2

3

=

，

又由相交弦定理得2

229

)38

PC PD PA PC a PC a ?=??

=?=． 15．)4

3

,2(π 解析：本题考查极坐标方程式下的交点问题，

2sin 3

sin 21cos 1

4ρθθθπρθ=??=-?=?

=-?， ∴22

2

243sin

2=?=?=πρ，∴交点的极坐标为)43,2(π．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分l4分）

已知函数()sin(3)(0,(

,),0)f x A x A x ??π=+>∈-∞+∞<<在12

x π

=时取得最大

值4。

（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的解析式； （3）若2

12

()3

12

5

f π

α+

=

，求sin α。 16．解：（1）∵()sin(3)(0,(,),0)f x A x A x ??π=+>∈-∞+∞<<

∴23,3

T π

ω==

(2) ()sin(3)(0,(,),0)f x A x A x ??π=+>∈-∞+∞<<在12

x π

=时取得最大值4

知，A=4。

∴()4sin(3)4,(0)12

f x π

??π=?+=<<

∴sin(3)1,(0)12

π

??π?+=<<

∴

4

2

π

π

?+=

∴4

π

?=

∴()4sin(3)4

f x x π

=+

；

(3)∵212

()3125f πα+=

∴212

4sin(3())31245ππα++=

∴3

sin(2)25πα+=

∴3

cos 25

α=

∴2

312sin 5α-=

∴2

1sin 5

α=

∴sin α=

17．（1）重量超过505克的产品数量是

40(0.0550.015)12??+?=件；

（2）Y 的所有可能取值为0，1，2；

22824063(0)130C P Y C ===，11122824056(1)130C C P Y C ===，2

122

4011

(1)130

C P Y C ===， Y 的分布列为

（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为

2312

28

5

40

1211282726

211123121321371970354321

C C C ????

????===?????。 18．（1）证明： 连结CF ，因为?AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为?AC 的中点，所以EB AC ⊥。

在RT BCE ?

中，EC =。

在BDF ?

中，BF DF ==，BDF ?为等腰三角形，且点C 是底边BD 的中点，故CF BD ⊥。

在CEF ?

中，222222)(2)6CE CF a a EF +=+==，所以

CEF ?为Rt ?，且CF EC ⊥。

因为CF BD ⊥，CF EC ⊥，且CE BD C =I ，所以CF ⊥平面BED ，而EB ?平面BED ，CF EB ∴⊥。

因为EB AC ⊥，EB CF ⊥，且AC CF C =I ，所以EB ⊥平面BDF ， 而FD ?平面BDF ，EB FD ∴⊥。 （2）设平面BED 与平面RQD 的交线为DG .

由23FQ FE =

，2

3

FR FB =，知//QR EB . 而EB ?平面BDE ，∴//QR 平面BDE ， 而平面BDE I 平面RQD = DG ，

∴////QR DG EB .

由（1）知，BE ⊥平面BDF ，∴DG ⊥平面BDF ， 而,DR DB ?平面BDF ，∴DG DR ⊥，DG DQ ⊥， ∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角． 在Rt BCF ?

中，2CF a =

==，

sin FC RBD BF ∠=

==

cos RBD ∠== 在BDR ?中，由23FR FB =

知，13BR FB ==，

由余弦定理得，RD

== 由正弦定理得，sin sin BR RD RDB RBD =∠∠

，即332sin RDB

=∠，

sin 29

RDB ∠=

故平面BED 与平面RQD

所成二面角的正弦值为29

。

x

19．解：设为该儿童分别预订,x y 个单位的午餐和晚餐，共花费z 元，则 2.54z x y =+，且满足以下条件

???????≥≥+≥+≥+0,54106426664812y x y x y x y x 即????

??

?≥≥+≥+≥+0

,275371623y x y x y x y x 作直线:2.540l x y +=，平移直线l 至0l ， 当0l 经过C 点时，可使z 达到最小值。

由?

?

?==????=+=+3472753y x y x y x 即(4,3)C ， 此时 2.544322z =?+?=，

答: 午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位，花费最少z=22元。

20．（1）解：由12,A A

为双曲线的左右顶点知，12(A A

1:A P y x =

，2:A Q y x =，两式相乘22

2121(2)2y y x x -=--，

因为点11(,)P x y 在双曲线上，所以22

1112x y -=，即2121122

y x =-，故221(2)2y x =--，

所以22

12x y +=，即直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程为2212

x y +=. （2）解法1：设1:l y kx h =+，则由12l l ⊥知，21

:l y x h k

=-

+。 将1:l y kx h =+代入2

212

x y +=得 2

2()12

x kx h ++=，即222(12)4220k x khx h +++-=， 由1l 与E 只有一个交点知，2222

164(12)(22)0k h k h ?=-+-=，即2

2

12k h +=。

同理，由2l 与E 只有一个交点知，22112h k +?

=，消去2

h 得22

1k k =，即21k =， 从而[来

2

2

123h k =+=，又1h >Q

，h ∴=。

解法2：由题意知直线1l 和2l 都是椭圆E 的切线，由对称性知，两直线的倾斜角分别为

45?和135?，设其方程为y x h =±+，代入椭圆E 的方程2

212

x y +=得

2

2()12

x x h +±+=，即2234220x hx h ±+-= 由0?=得22

1643(22)0h h -??-=，即23h =，

1h >Q

，h ∴=

21．（1）证明：由绝对值不等式知，

121212122121(,)(,)||||||| |()()||()()| =|||| =(,)

A C C

B x x x x y y y y

x x x x y y y y x x y y A B ρρρ+=-+-+-+-≥-+-+-+--+-

当且仅当12()()0x x x x -?-≥且12()()0y y y y -?-≥时等号成立。

（2）解：由(,)(,)(,)A C C B A B ρρρ+=得

12()()0x x x x -?-≥且12()()0y y y y -?-≥ （Ⅰ）

由(,)(,)A C C B ρρ=得 1122||||||||x x y y x x y y -+-=-+- （Ⅱ） 因为11(,)A x y ，22(,)B x y 是不同的两点，则：

1? 若12x x =且12y y ≠，不妨设12y y <，

由（Ⅰ）得 12x x x ==且12y y y ≤≤， 由（Ⅱ）得 12

2

y y y +=

， 此时，点C 是线段AB 的中点，即只有点1212

(

,)22

x x y y C ++满足条件； 2? 若12x x ≠且12y y =，同理可得：只有AB 的中点1212

(,)22

x x y y C ++满足条件；

3? 若12x x ≠且12y y ≠，不妨设12x x <且12y y <，

由（Ⅰ）得12x x x ≤≤且12y y y ≤≤，

由（Ⅱ）得1212

22

x x y y x y +++=

+， 此时，所有符合条件的点C 的轨迹是一条线段，即：过AB 的中点

1212(,)22x x y y ++，斜率为1-的直线121222

x x y y x y +++=+夹在矩形11AA BB 之间

的部分，其中11(,)A x y ，121(,)A x y ，22(,)B x y ，112(,)B x y 。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）

数学（理科）点评

试卷中分值比重较大的包括函数、三角函数、立体几何和解析几何以及概率和统计几个部分,分值超过总分的一半,不等式部分变化最大。1)线性规划解答题近年来全国罕见,打破出选择题的常规(2008年广东考了一道选择题)；2)不等式证明是近几年来首次单独在解答题中考查,而且是含绝对值的不等式作为压轴题,非常少见。与此形成对比的是,在教材中课时比重较大且历年来高考惯出的数列、导数及其应用部分则考查较少。试卷中数列部分仅考查等差、等比数列的基本性质,而2007、2008、2009年都是数列的压轴题,而近几年的高考考查热点导数及其应用一分未考。可以说今年的考卷会让很多老师大跌眼镜,因为传统套路完全被打破了,而高考复习工作也必须做出相应变化。

试卷大题:侧重运用

第一个大题是三角函数。试题特点:属于容易题,将三角函数图象、诱导公式以及倍角公式糅合在一起,侧重基础知识、基本能力的考查。

第17题是中档题,考查知识点是统计与概率,侧重于灵活运用。

第18题:是立体几何,第一问是线线垂直,第二问是二面角的问题,一直是学生的“老大难”。

第19题:这题太出人意外,居然考查的是线性规划,这么容易的题还放在第四个大题的位置,太诡异了。只有一个小小注意点,求出的三个点有一个是不符合要求的,要舍掉。

明年高考:夯实基础

从近四年的考题我们可以看出:第一,广东试题喜欢在知识点的交汇处出题,第二广东试题还是紧扣素质教育这个方向的,无论哪个知识点都可能出大题,出压轴题。那么,对学生来说只有牢固基本功,掌握基本知识点,加强数学阅读能力的培养,多自我总结,提高自学能力,以不变应万变,那么来年一定会取得成功。