向量相关性的几种证明方法

附件3
曲靖师范学院本科毕业论文（设计）
开 题 报 告
论文题目：向量线性相关性的几种证明方法

作 者：李苏蓉 学号：2015111112
学 院：数学与统计学院 年级：2015级
学 科：理工科 专业：数学与应用数学
指导教师：李国发 职称：
日 期：2019年3月22日
曲靖师范学院教务处制
向量相关性的几种证明方法
摘 要
向量线性相关性在高等代数以及相关数学领域是一块重要的学习内容，其反映的是数域P上的n维向量空间中向量的关系，与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换等有着十分紧密的联系。其中证明向量线性相关性难度较大，向量组线性相关性的概念相对于是比较抽象的，所以在证明的时候容易出现命题混淆的情况，证明其线性相关性的方法也有多种，虽然方法各有不同，但是都是归于其线性相关性。证明其中向量组线性相关性的时候，首先要从理解线性相关和线性无关的概念下手，才能进一步掌握向量组线性相关，线性无关的相关性质和证明方法。在这篇文章中我主要阐述了证明向量组线性相关性的几种常用方法，线性相关的定义，矩阵的秩等，列出多个例子来归纳并阐述上述方法。
关键词：线性相关；线性无关；证明方法
Several Proof Methods of Vector Relevance
Abstract: The contents of abstract ……Vector linear correlation is an important learning content in Higher Algebra and related mathematics. It reflects the relationship between vectors in n-dimensional vector space over the number field P. It is closely related to determinants, matrices, solutions of linear equations, quadratic forms, linear transformations and so on. It is difficult to prove the linear correlation of vectors. The concept of linear correlation of vectors is relatively abstract, so it is easy to confuse propositions when proving. There are many ways to prove the linear correlation of vectors. Although the methods are different, they are all attributed to their linear correlation. When proving the linear correlation of vectors, we should first understand the concepts of linear correlation and linear independence, so as to further grasp the properties and proof methods of linear correlation and linear independence of vectors. In this paper, I mainly elaborate several common methods to prove the linear correlation of vector group, the definition of linear correlation, the rank of matrix, and list several examples to summarize and elaborate the above methods.
Key words: Linear correlation; Linear independence; Proof method
目 录
开 题 报 告 1
Several Proof Methods of Vector Relevance 2
Key words: Linear correlation; Linear independence; Proof method 2
1.引言 4
1.1向量相关性的概念 4
1.1.1概念 4
1.2向量相关性的有关性质及定理

6
2 向量线性相关性的证明方法 7
2.1 定义法 7
2.2方程组法 8
2.3向量组的秩法 9
2.4反证法 12
2.5向量相关性的应用 14
3 结论 14
3.1参考文献 15
3.2致谢 15
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1.引言
向量在线性空间，几何等方面占据了一定的地位，利用向量我们可以解决很多问题，从中学的简单向量到高等数学的向量空间，而解决向量的线性相关问题是向量的一大重点难点。向量的线性相关与线性无关这两个概念有较大的差别，但是都回归在向量间的关系，在线性代数，常微分方程等课程都有所体现掌握了对向量的线性相关进行证明才能继续后面的学习，本文主要是针对证明线性相关的几种常见方法进行整理，加上大量的例题作为支撑，更加详细阐述我整理的证明方法，后面是一些相关的结论以及参考文献。
1.1向量相关性的概念
1.1.1概念
线性组合：向量α称为向量组，，……的一个线性组合，如果有数域P中的数,使
α=++……
当向量α是向量组，，……的一个线性组合时，我们也可以说α可以经向量组，，……线性表出，
等价：如果向量组中每个向量都可由向量组，，……，线性表出，则称向量组可由，，……，线性表出，如果两个向量组可以线性表出，则称这两个向量组等价。
向量组之间的等价由以下性质：
自反性：每个向量组都与它自身等价
对称性：如果向量组与，，……，等价，则向量组，，……，也和等价。
传递性：如果向量组与，，……，等价，，，……，与，……，等价，则有向量组与，……，等价。[6]
线性相关：如果向量组（s>=2）中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组称为线性相关的
向量组称为线性相关，如果数域P中有不全为零的数，使
++……=0
从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的，还可以看出，向量组线性相关就表示=k或者=k（这两个式子不一定能同时成立，）。在P为实数域，并且是三维的情况下，这就表示向量与共线，三个向量，线性相关的几何意义就是他们共面，因为由定义，其中一个向量是另外两个的线性组合，比如：
=k+ι，
这就是说，在，所在的平面上。
向量组的线性相关的定义还可以用另一个说法：
向量组（s>=1）称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数，使
+……=0
线性无关：一向量组（s>=2）不线性相关，即数域P中没有不全为零的数，使
+……=0
推出
就称为线性无关[1]
线性表出与线性相关的关系：
向量组（s2）线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表出。
如果向量组线性无关，而向量组，β线性相关，则β可由唯一线性表示。
如果向量组可由向量组

，，……，线性表出，且s>t，则必定线性相关。
如果向量组线性无关，且它可由向量组，，……，线性表出，则st（这是3）的否命题）。
两个线性无关的等价的向量组，必定含有相同个数的向量。[6]
1.2向量相关性的有关性质及定理
性质1：单个向量组α线性相关α=0
性质2：两个向量α，β线性相关或β=ια
性质3：如果两个向量组线性无关，但，β线性相关，则β可以由线性表示
性质4：设向量β可由向量组线性表示，则表法唯一的充要条件是线性无关
性质5：n+1个n维向量线性相关
替换定理：设向量组线性无关，并且可由线性表示，则有
tr
适当的选取t个用替换（如被替换），有，,……,与向量组等价[2]
定理1：向量组（m）线性相关的充要条件是其中一个至少有一个向量可以由其余m-1个向量线性表示
定理2：设线性无关，而，β线性相关，则β可由线性表示，且表法唯一
定理3：在n维的向量组=(,,……),i=1,2,……m的每个向量上添加一个分量得到n+1维的向量组=(,,……,),n=1,2,……,m.如果线性无关，则，，……，也线性无关[3]
2 向量线性相关性的证明方法
2.1 定义法
方法：对向量组,设数组，使++……=0，如果有==…==0，使上面的等式成立，则有结论：线性无关，反之，如果有一组不全为零的数使上面等式成立，则有结论如下：线性相关。
例题：判断下列向量组=（2，-1，3，1），=（4，-2，5，4），=（2，-1，4，-1）是否线性相关？
解：可取为未知数，建立下列方程式：
++=0
看它是否有不全为零的解，这是向量等式，按照各个分量分别写出方程，就解得：=3：-1：-1，可以看出是一组不全为零的数，由此可以得出这个向量组是线性相关的。可以表示为3--=0
例题：判断下列向量组是否线性相关。
（1）=（1，2，1），=（2，4，2），=（1，3，5）的线性相关性。
（2）=（1，2，-1），=（2，-3，1），=（4，1，-1）的线性相关性。
解：（1）通过观察可见=2，因而有
2+（-1）+0=0
显然系数2，-1，0不全为零，由定义知，，线性相关。
考虑行列式
=0
由此可得到，，线性相关。[3]
2.2方程组法
具体判别一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以转化为研究齐次线性方程组是否有非零解的问题，遇见含有向量的方程有无非零解等价与这个方程组有无非零解，可以用消元法解这个方程组，它有无限多解，当然也有非零解，故有这个向量组线性相关，向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解，反之，向量组线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组只有零解该方法是讨论向量组线性相关性的一般方法。
例题：讨论向量组=（2，1，-1，-1），=（0，3，-2，0），=

（2，4，-3，-1）的线性相关性。
解：设++=0，可得齐次线性方程组：
2+2=0
+3+4=0
-2-3=0
--4=0
解之得=-，=-，由此见，==-1，=1是该方程组的一组非零解，故，，线性相关。[5]
例题：设向量组，，线性无关，=+，=+，=+，试着证明，，也线性无关。
证明：设有，使得++=0，即有
（+）+（+）+（+）=0
经过整理得
（+）+（+）+（+）=0
因，，线性无关，所以有
因此此方程组系数行列式
=20，
所以此方程组只有零解，由定义知，，也线性无关。[3]
2.3向量组的秩法
定理：设有m个n维向量=（,,……）,=（,,……),……,=（,,……）,将它们的坐标排成一个mn矩阵
A=
则线性相关的充要条件是A的秩r（A）证明：必要性 设线性相关，则必有某一个向量（1）是其余m-1个向量的线性组合，即存在数，，……,,,……,,使得
+……
亦即
对矩阵A作如下的初等变换：以-，-，…, -, -…-分别乘第1，2，…,i-1,i+1，…,m行后都加到第i行上，则
AB=
显然r（A）=r(B)充分性.设r（A）=rmin(m,n)若n=
作以为系数矩阵的线性方程组
由于系数矩阵对于的行列式||=||=0,从而由克莱姆法则知，该线性方程组唯一解（）,故
+……
因此，部分向量组,线性相关，从而向量组,,…,线性相关。
若r=
显然，当tr时，中有两列完全相同，故有=0；当t>r时，是A的一个r+1阶子式，由于r（A）=r，故=0，因此对任意t(1）,总有=0.
将按最后一列展开得：
+……++=0
其中(i=1,2,……,r)是在中的代数余子式，他们显然与t无关，于是可得（因0）：
=---…-
当t逐次取1，2，……，n时，便得：
=---…-
=---…-
=---…-
即
=---…-
所以,线性相关，从而,也线性相关。
推论1：m个n维向量线性无关的充要条件是r(A)=m。
推论2：若m>n,则m个n维向量必定线性相关。
推论3：n个n维向量线性无关（线性相关）的充要条件是A的行列式的值不等于零（等于零）。
例题：判定下列向量组是否线性相关：
=（1，-2，1），=（2，1，-1），=（7，-4，1）；
=（1，-3，7），=（2，0，-6），=（3，-1，-1），=（2，4，-5）；
=（2，-1，7，3），=（1，4，11，-2），=（3，-6，3，8）；
解：（1）列出矩阵：
A=
则A的行列式的值为det(A)=0,所以推论3可得向量组线性相关
（2）由推论2得，这个向量组线性相关。
列出矩阵A，并且求出A的秩如下：
A=
故r（A）=2<3，由定理得,线性相关。[4]
2.4反证法
这种方法是数学中常用的一种证明方法，如果要证明命题是真的

，可以先假设命题是假命题，再进行推导，当出现矛盾时，从而命题得证。
例题：在n维的向量组=（，，……,）,i=1,2,……m的每个向量上添加一个分量得到n+1维的向量组=(,,……,),n=1,2,……,m.如果，，也线性无关。线性无关，则，，……，也线性无关。
证明：假设，，……，线性相关，则齐次线性方程组++……+=0，有非零解，而方程组
的解一定是方程组
的解，所以齐次线性方程组++……=0有非零解，因而线性相关，与题目的条件矛盾，假设不成立，则命题得证。[3]
例题：设向量组线性相关，向量组线性无关，问：
能否由线性表示？请说明理由。
能否由线性表示？请说明理由。
解：（1）能由线性表示，因为线性无关，所以线性无关，又线性相关，所以可由线性表示。
（3）不能由线性表示，用反证法：若可由线性表示，即存在数组，，使=++，根据（1）的结论，可以设=+，则有：=（+）++=（+）+（+）
即可由线性表示，从而线性相关，这与题设矛盾，故不能由线性表示。[5]
例题：在向量组中，设0，且（i=2，3,……，m）都不能由，，……，线性表示，证明：向量组线性无关。
分析：显然线性无关，设线性相关，若能找到某个，它可由，，……，线性表示，则与题设矛盾，从而可以证明向量组线性无关。
证明：采用反证法
设向量组线性相关，则存在数组不全为零使得++……+=0,在数组，……，，中，自左至右，设第1个不为零的数为（1m），即
==……==0, 0
于是有
++……=0 (0)
如果j=1，则=0，即=0，这与题设0矛盾，故j1，因此，向量组线性无关。
2.5向量相关性的应用

3 结论
证明向量组线性相关性的方法常用的有以上的几种，虽然证明方法不一样，但却有联通性，上面的定义法和方程组法，看似是两个独立的方法，内里却相互连通，所以有了一题多解的情况；反证法的使用又连结了定义法，方程组法，所连结的方法比较多，由此可见，证明向量线性相关性的方法并不是独立的，往往遇见这种题型，可以使用多种方法来解决题目。在解决向量的过程中，如果我们很好的掌握了相关的证明方法，那么在相关的数学领域也能发挥很大的作用。
3.1参考文献
[1]王萼芳,石生明.高等代数[M].出版地：高等教育出版社，2013年：118-126
[2]刘洪星.高等代数选讲[M].出版地：机械工业出版社，2009年：65-70
[3]许立炜，张爱华.线性代数与解析几何[M].出版地：人民邮电出版社，2002年：100-106
[4]马柏林，邓爱珍.线性代数与解析几何[M].出版地：科学出版社，2002年：79-87
[5]徐仲.线性代数典型题集分析解集[M].出版地：西北工业大学出版社，2000年：79-86
[6]陆全，徐仲.高等