容斥原理题库教师

容斥原理题库教师版

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1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；

2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．

知识点说明

一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都

“包含”进来，加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、三量重叠问题

A 类、

B 类与

C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又

是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：

知识精讲

教学目标 7-7 容斥原理

1．先包含——A B +

重叠部分A B I 计算了2

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．

板块一、两量重叠问题

【例 1】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少

平方厘米？

图32厘米

4

厘

米

【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方

形，如果利用两个42?的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形

面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面

积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=??-?=(平方厘米)．

【巩固】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有

多长？

【解析】 因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长

3853487+-=(厘米)．

【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有

多长？

【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)．

【例 2】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组

的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学

兴趣小组？ 【解析】 如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组

的人，A 与B 重合的部分C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中

A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，

有281216-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的

例题精讲

图中小圆表示A 的元素的个数，

1．先包含：A B C ++

重叠部分A B I 、B C I 、C A I 重叠

了2次，多加了1次．

C B A

人，有291217

-=(人)．

方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745

++=(人)．

方法二：根据包含排除法，直接可得：

参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴

趣小组的人-两个小组都参加的人，即：28291245

+-=(人)．

【巩固】芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？

【解析】解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，

画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画

图分析，清楚的分析每一部分的含义．

如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学

钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的

人，有：43376

-=(人)，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721

-=(人)．

【例 3】一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数

学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？

【解析】不妨用下图来表示：

线段AB表示全班人数，线段AC表示做完语文作业的人数，线段DB表示做完数学作业的人数，重叠部分DC则表示语文、数学都做完的人数．

根据题意，做完语文作业的有37人，即37

AC=．做完数学作业的有42人，即42

DB=．

374279

AC DB

+=+=(人)L L L L①

48

AB=(人)L L L L②

①式减②式，就有794831

DC=-=(人)

所以，数学、语文作业都做完的有31人．

【巩固】四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每

个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？

【解析】因423476

+=，7663

>，所以必有人同时完成了这两项活动．由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234

+-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)63

=．

由减法运算法则知，完成两项活动的人数为766313

-=(人)．也可画图分析．

【巩固】实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？

【解析】根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：1018721

+-=(人)．

【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？

【解析】如图，A圆表示参加象棋比赛的人，B圆表示参加军棋比赛的人，A与

C B

A

两项只参

只参

B 重合的部分表示同时参加两项比赛的人．

图中A 圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有321814-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比

赛的人，有281810-=(人)．由此得到参加棋类比赛的人有14181042++=(人)．

或者根据包含排除法直接得：32281842+-=(人)．

【例 4】 (第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英

语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？

【解析】 方法一：在100人中懂英语或俄语的有：1001090-=(人)．又因为有75人懂英语，所以只懂俄

语的有：907515-=(人)．从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，

剩下的8315- 68=(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．

方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：

75839068A B A B A B =+-=+-=U I (人)．

【巩固】 47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，

两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？

【解析】 如图，用长方形表示这47名学生，A 圆表示语文得分95分以上的人

数，B 圆表示数学得95分以上的人数，A 与B 重合的部分表示两门都在95分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在95分以上的人数． 由图中可以看出，全体人数是至少一门在95分以上的人数与两门都不在95分以上的人数之和，则至少一门在95分以上的人数为：472225-=(人)．根据包含排除法，两门都

在95分以上的人数为：14212510+-=(人)．

【巩固】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这

个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？

【解析】 已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人

数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少参加了一

个小组的总人数为1223530+-=(人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是

463016-=(人)．

【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加

了．一班有多少人两项比赛都没有参加？

【解析】 由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26221236+-=(人)，所以，两项比赛都没有

参加的人数为：45369-=(人)．

【巩固】 某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人

有错，问两部分都有错的有多少人？

【解析】 如图，用长方形表示参加考试的人数，A 圆表示第一部分对的人

数．B 圆表示第二部分对的人数，长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数． 已知第一部分对的有25人，全对的有12人，可知只对第一

部分的有：251213-=(人)．又因为第二部分有19人有错，其中第一部分对第二部分有错的有13人，那么余下的

19136-=(人)必是第一部分和第二部分均有错的，两部分都有错的有6人．

【巩固】 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项

都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？

两门都不在95分以上的

数学95分以上的语文95分以上的两门95分以上的A B 两部分全对的两部分都有错的

只做

对第二部

分的只做对第一部分的会会两

【解析】 如图，用长方形表示全班人数，A 圆表示会游泳的人数，B 圆表示会打篮球的人数，长方形中阴

影部分表示两项都不会的人数．

由图中可以看出，全班人数=至少会一项的人数+两项都不会的人数，至少会一项的人

数为：20251035+-=(人)，全班人数为：35944+= (人)．

【例 5】 在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃

又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？

【解析】 如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A 圆表示采了樱桃的

人数，B 圆表示采了杏的人数．长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．

由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：

46640-=(人)，而至少采了一种的人数=只采了樱桃

的人数+两种都采了的人数+只采了杏的人数，所以，只采了杏的人数为：

4018715--=(人)．

【例 6】 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组

擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？

【解析】 68块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的，说明这

52块玻璃是甲、丙两组擦的．

如图，用圆A 表示乙、丙两组擦的68块玻璃，B 圆表示甲、丙两组擦的52块玻璃．因甲

乙两组共擦了60块玻璃，那么68526060+-=(块)，这是两个丙组擦的玻璃

数．60230÷=(块)．丙组擦了30块玻璃．乙组擦了：683038-=(块)玻璃，甲组擦了：

523022-=(块)玻璃．

【巩固】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、

六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？

【解析】 通过16幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是16，通过15幅画不是

五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15，那也就是说五年级的画比六年级多1

幅，我们还知道五、六年级共展出25幅画，进而可以求出五年级画作有13幅，六年级画作有12

幅，那么久可以求出其他年级的画作共有3幅．

【例 7】 一次数学测验，甲答错题目总数的14，乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总数的16

。求甲、乙都答对的题目数.

【解析】 (法一)设共有n 道题。由右图知d 即为所求，并有关系式(1)43(2)(3)6n a c c b n c ?+=??+=???=?

由①③知,n 是4和6的公倍数，即12的倍数。将③代入②，有36

n b =-， 由于b 是非负整数，所以n=12，由此求出c=2，b=1，a=1.又由a+b+c+d=n ，得到d=n-（a+b+c)=8

（法二）显然两人都答错的题目不多于3道，所以题目总数只可能是6、12、18，其中只有

A B 既采樱桃

又采

杏的既没采樱桃

又没采杏的

12，能使甲答错题目总数是整数.

【例 8】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？

【解析】 如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A 圆表示1~100中3的倍数，

B 圆表示1~100中5的倍数，

长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．

由1003331÷=L 可知，1~100中3的倍数有33个；

由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610÷?=L （）可知，

1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．

由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍

数的数有1004753-=(个)．

【巩固】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?

【解析】 1～1000之间，5的倍数有10005??????=200个，7的倍数有10007??????

=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035??????

=28个． 所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．

【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。

【解析】 记 A ：1～100中3的倍数，1003331÷=L L ，有33个；

B ：1～100中7的倍数，1007142÷=L L ，有14个；

B A I ：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416÷=L L ，有4个。

依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个，则能被3或7整除的数

的个数为43个.

【巩固】 50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让

报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的

同学还有多少名?

【解析】 在转过两次后，面向老师的同学分成两类： 第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数．

1～50之间，4的倍数有504??????=12,6的倍数有506??????

=8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数，所以有5012??????

=4．于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第二类同学有4人，所以现在共有34+4=38名同学面向老师．

【巩固】 在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则

如下：

（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；

A B

（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔； （3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖； （4）其他标签号均奖1支铅笔．

那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?

【解析】 1～100，2的倍数有1002??????=50，3的倍数有1003??????

=33个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一定是6的倍数，所以标签为这样的数有1006??????

=16个．于是，既不是2的倍数，又不是3的倍数的数在1～100中有100-50-33+16=33．所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：50×2+33×3+33×1=232支.

板块二、三量重叠问题

【例 9】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的

共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，

那么这个班共有多少人？

【解析】 如图，用A 圆表示手中有红旗的，B 圆表示手中有黄旗的，C 圆表示手中

有蓝旗的．如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只

有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的

重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：342618943++-++-（）（） 6250?=(人)．

【巩固】 某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，

4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既

爱打篮球又爱打排球的有几人？

【解析】 由于全班42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42人．根据包含排除

法，4226171994=++-++（）（既爱打篮球又爱打排球的人数0+），得到既爱打篮球又爱打排球

的人数为：49427-=(人)．

【例 10】 四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小

组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参

加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参

加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．．

【解析】 设参加数学小组的学生组成集合A ，参加语文小组的学生组成集合B ，参加文艺小组的学生组成

集合G ．三者都参加的学生有z 人．有A B C U U =46，A =24，B =20，C =3.5，A C I =7A B C I I ，B C I =2A B C I I ，A B I =10．

因为A B C A B C A B A C B C A B C =++---+U U I I I I I ，

所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x ，解得x=3，

即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有3?7=21人．

【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人

参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，

参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美

术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语

C

B A

文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数． 【解析】 设参加自然兴趣小组的人组成集合A ，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人组成集合C ． A =25，B =35，C =27，B C I =12，A B I =8，A C I =9， A B C I I =4.

A B C U U =A B C A B A C B C A B C ++---+I I I I I .

所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．即 这个班有62人．

【巩固】 五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱

小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活

动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2

倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数。

【解析】 设三项都参加的人数有X 人，则参加朗诵小组的人数为7X 人，参加绘画小组又参加朗诵小组的

人数为2X 人，参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为2X 人，于是有46=（24+20+7X-

2X-2X-10+X ），解得X=3,所以参加朗诵小组的人数为21人。

【例 11】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠

的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？ 【解析】 将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总

面积=(A 圆面积B +圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：

100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），

得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=?+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．

【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部

分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．

【解析】 设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ．

A B C ===30，A B I =6，B C I =8，A C I =5，A B C U U =73，

而A B C U U =A B C +--A B B C A C A B C --+I I I I I .

有73=30×3-6-8-5+A B C I I ，即A B C I I =2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部

分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，

8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为

73-4-6-3-2=58．

【例 12】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴

影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张

纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？

【解析】 阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次．所以三张纸重

叠部分的面积60310040220=?--÷=（）(平方厘米)．

【巩固】 如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露

在外面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张C

B A 10