最新数学模型复习提纲完全版
《数学模型》复习提纲考试题型
填空题(16分)
（基本概念）
简答题(24分)
计算题(60分)（基本概念）
复习重点章节：
Ch1.建立数学模型（基本概念）
§1 数学建模的背景及重要意义；
§2数学建模的基本方法和步骤；
§3数学模型的分类与特点、数学建模的全过程；Ch2.初等模型（基本计算）
§1公平席位分配
§10量纲分析与无量纲化；
Ch3.简单的优化模型（基本概念）
§1存储模型
§2生猪的出售时机；
§3森林救火
Ch4.数学规划模型（基本计算）
§1奶制品的生产与销售；
Ch5. 微分方程模型（基本概念及计算）
§1传染病模型；
§3正规战与游击战
Ch6.稳定性模型（基本概念及计算）
§1捕鱼业的持续收获；
§2军备竞赛
Ch7. 差分方程模型（基本计算）
§1市场经济中蛛网模型
Ch8.离散模型（基本概念）
§1 层次分析模型；
§2循环比赛的名次
Ch9.概率模型（基本概念）
§1传送系统的效率；
§2 报童的诀窍；
§3 随机存贮策略，（s，S）随机存储策略；
典型题型（仅作参考）
1．建立数学模型的基本步骤为：模型准备、 模型假设 、 模型构成 、 模型求解 、模型分析 、模型检验 、模型应用等.
2．数学模型按照应用领域分类的数学模型名称有：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、经济模型等.
3．每对顶点之间都有一条边相连的 有向图 称为竞赛图．4个顶点的竞赛图共有 4 种形式．
4．求正互反矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法有： 幂法 、 和法 、 根法 ．
5．写出5个按照建模目的分类的数学模型名称． 答: 描述模型,预报模型,优化模型,决策模型,控制模型
6. 写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称以及5个按照应用领域分类的模型名称.
答:按数学方法分类:初等模型,几何模型,微分方程模型,统计回归模型,数学规划模型
7.基于思想性、艺术性、娱乐性、票房等四项因素，拟用层次分析法在电影A 、电影B 、电影C 这三个方案中选一个，画出目标为“评选影片”的层次结构图.
答： 目标层
准则层
方案层
8. ．写出数学建模过程的流程图.
思想性
艺术性
娱乐性 票房
A B
C
评选影片
数学建模过程的流程图：
9. 有4支球队A 、B 、C 、D 进行单循环赛，比赛结果是这样的：A 胜B 和C ，B 胜C 和D ，C 胜D ，D 胜A.试给出这4支球队比赛对应的竞赛图或其邻接矩阵.它是否为双向连通图？并给出这4支球队的名次．
这4支球队的竞赛图对应的邻接矩阵为 ?
?
???
?
???
???=0001
10001100
0110A ，它是双向连通的.； 令T e )1,,1,1( =，分别计算8,,3,2,1,)
1()( ===-k e A s
A s k k k .从而可得这4支球
队A 、B 、C 、D 的名次为{A ，B ，D ，C}．
实际 问题 抽象、简化、假设、确定变量、参数 归结
数学模型
数学地、数值地求解模型
估计参数
检验模型
(用实例或有关知识)
符合否
评价、推广并交付使用 产生经济、社会效益
10．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，
其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.
解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为
[v ]=LM 0T -1
，[ρ]=L -3
MT 0
，[μ]=MLT -2
（LT -1L -1
）-1L -2
=MLL -2T -2
T=L -1
MT -1
，[γ]=LM 0T 0 ，
[g ]=LM 0T -2
其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为
A=)
()()()()
()
()()(210
10110011311g v T M L μργ??????????----- 齐次线性方程组Ay=0 即
??
?
?
?=---=+=+--+0200
35414354321y y y y y y y y y y 的基本解为
??
???
---=--=)
21
,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21
y y 得到两个相互独立的无量纲量
???==-----2
/112/322
/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(1
21-=π?π
∴ )(12/12/3-=
μργ?γυg g , 其中?是未定函数.
9．某工厂生产甲、乙两种化工产品,生产每吨产品需要电消耗、煤消耗、
劳动力（以一个工作日计算）及产值如下表所示：
已知每天电消耗不超过200 千瓦；煤消耗不超过360 吨；全厂劳动力
满员为300 人.试安排每天的生产任务,使产值最大,并求出最大产值.
解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨．获得利润z万元…（1分）
依题意可得约束条件： 9x+4y≤360 4x+5y≤200 3x+10y≤300 x≥0 y≥0 …（4分）
利润目标函数z=6x+12y …（8分）
如图，作出可行域，作直线l：z=6x+12y，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=6x+12y取最大值．
解方程组 3x+10y=300 4x+5y=200 ，得M（20，24）…（11分）
所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润…
（12分）
11．某糕点厂生产两种糕点产品：精制糕点和普通糕点，已知每千克精制和普通糕点的原料（面粉、糖、蛋）和利润如下表：
品种面粉（千克）糖（千克）蛋（千克）利润（千元）精制0.1 0.2 0.3 0.3
普通0.3 0.2 0.1 0.2
已知库存面粉、糖、蛋分别为15千克、12千克和15千克.假设生产的糕
点可以全部卖掉，试决定生产精制糕点和普通糕点的产量，使厂商获得的利润最大.
解：为方便起见，设精制糕点和普通糕点的产量分别为10x 千克和10y 千克，糕点的利润为Z （千元），由题意得此问题的数学模型为： y x Z 23max +=
s.t. ????
???≥≥≤+≤+≤+0,015312
2215
3y x y x y x y x 这是一个线性规划问题.
模型的求解：
用图解法.可行域为：由直线
,015
3:12
22:153:3:21===+=+=+y x y x l y x l y x l 及
组成的凸五边形区域.
直线C y x l =+23:在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l 过32l l 与的交点时，
Z 取最大值. 由??
?=+=+15312
22y x y x 解得：23,29==y x ，5.162
3
2293max =?+?=Z （千元）.
故生产精制糕点和普通糕点分别为45千克和15千克，糕点的利润为16.5（千
元）.
12．试求Gompertz 模型：()Ex x
N
rx dt t dx -=ln 的非零平衡点，并讨论其稳定性．
记 Ex x
N
rx x F -=ln
)( 令()0=x F ，得0ln =-Ex x
N
rx ∴非零平衡点为r E
Ne x -=0．
又 ()E r x
N r x F --=ln '，()00'
<-=r x F ．∴ 平衡点o x 是稳定的. y
6 5
(3/2,9/2) 4
3
2 (9/2,3/2) L1 1 x
0 1 2 3 4 5 6 x+y=6 3x+y=15 L3 L2
数学建模期末考试2018A试的题目与答案
华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2012-2013学年第二学期考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟 学号姓名年级专业 一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1.2.3.4.当i在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s = （x1.x2.x3.x4）表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u1, u2, u3, u4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。（12分） . .
建立数学模型的方法、步骤、特点及分类
建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非 预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 §16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．
数学建模知识及常用方法
数学建模知识——之新手上路 一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。例题：一个笼子里装有鸡和兔若干只，已知它们共有 8 个头和 22 只脚，问该笼子中有多少只鸡和多少只兔？解：设笼中有鸡 x 只，有兔 y 只，由已知条件有 x+y=8 2x+4y=22 求解如上二元方程后，得解 x=5,y=3，即该笼子中有鸡 5 只，有兔 3 只。将此结果代入原题进行验证可知所求结果正确。根据例题可以得出如下的数学建模步骤： 1）根据问题的背景和建模的目的做出假设（本题隐含假设鸡兔是正常的，畸形的鸡兔除外） 2）用字母表示要求的未知量 3）根据已知的常识列出数学式子或图形（本题中常识为鸡兔都有一个头且鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚） 4）求出数学式子的解答 5）验证所得结果的正确性这就是数学建模的一般步骤三、数模竞赛出题的指导思想传统的数学竞赛一般偏重理论知识，它要考查的内容单一，数据简单明确，不允许用计算器完成。对此而言，数模竞赛题是一个“课题”，大部分都源于生产实际或者科学研究的过程中，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算机来完成。其答案往往不是唯一的（数学模型是实际的模拟，是实际问题的近似表达，它的完成是在某种合理的假设下，因此其只能是较优的，不唯一的），呈报的成果是一篇论文。由此可见“数模竞赛”偏重于应用，它是以数学知识为引导计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛。四、竞赛中的常见题型赛题题型结构形式有三个基本组成部分： 1. 实际问题背景涉及面宽——有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。一般都有一个
数学建模国家一等奖优秀论文
２01４高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。 我们参赛选择的题号是(从Ａ/B/C/Ｄ中选择一项填写)：B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）: 所属学校（请填写完整的全名)： 参赛队员(打印并签名) :1. 2． 3．
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): ?（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。) 日期： 20１4 年 9 月15日 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号）:
２０14高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用）：
数学模型在经济学中的应用 李海维
中南民族大学 毕业论文（设计） 学院: 数学与统计学学院 专业: 数学与应用数学年级:2008 题目: 数学模型在经济学的应用 学生姓名: 李海维学号: 08063041指导教师姓名:陈作清职称: 副教授 2012年5月1日
中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：年月日
目录 1数学模型概述 (2) 1.1.1 数学的应用 (2) 1.1.2 数学建模 (3) 1.2.1 数学建模的方法 (4) 1.2.2 数学建模的基本过程 (4) 1.2.3 数学建模的分类 (6) 2数学模型的实际应用 (7) 2.1.1 运用数学模型解决经济最优化问题 (6) 2.1.2 数学模型对经济预测的指导 (7) 2.1.3 数学模型对经济政策的指导 (8) 2.2 经济学研究中应用数学方法的注意事项 2.2.1 数学在经济学中应用的局限性 (9) 结论 (10) 致谢 (10) 参考文献 (11)
数学模型在经济学中的应用 摘要：本文在阐述了数学建模的基本概念及相关理论知识基础上，分析了数学模型的合理性，实用性、严密性、抽象性与趣味性。当代西方经济认为,经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系,建立经济模型,从中引申出经济原则和理论进行决策和预测。本文从“运用数学模型解决经济最优化问题”，“数学模型对经济预测的指导”，以及“数学模型对经济政策的指导三个方面”阐明了数学模型在经济学中的应用。最后阐述了正确认识数学方法和数学模型在经济学研究运用中的重要的意义。 关键词：经济学数学模型应用最优化预测指导 The mathematics model application in Economics Abstract：In this paper, the mathematical modeling of the basic concept and theory of knowledge based on the analysis of the mathematical model, the rationality, practicability, tightness, abstract and interest. Contemporary western economic thought, economics is the basic method of economic analysis of the relationship between variables, the establishment of the economic model, derived from the economic principle and the theory of decision-making and forecasting. I use the mathematical model to solve the economic optimization problem, a mathematical model of economic prediction guidance, and mathematical model of economic policies of the three aspects of each give an example explain the mathematical model in the application of economics. Secondly, the correct understanding of mathematics method and mathematics model in economics research in the use of the trend, effect and limitation, have very important sense. Key words：Mathematical model；Graph maximum coverage；Optimization；Forecast；Guide
数学建模模拟试题及答案.pdf
数学建模模拟试题及答案 一、填空题（每题5分，共20分） 1. 若,, x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是. 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 . 3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型. 二、分析判断题（每小题15分，满分30分） 1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种. 2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 ),m l /m g (100/56 又过两个小时，含量降为),m l /m g (100/40试判断，当事故发生时，司 机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)m l /m g (. （提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ?+内酒精浓度的改变量为 t t kC t C t t C ??=??+)()()( 其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 三、计算题（每题25分，满分50分） 1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答： （1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.
完整版数学建模论文
承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞 赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则” ，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成 果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述 方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 我们 的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填 写完整的全名）：大连工业大学 参赛队员(打印并签名 ) ： 1.王佳锴 2.梁嘉祯 3.杨挺 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名 )： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以 上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2013年9月16日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
数学模型在微观经济学中的应用吴亚兰
数学模型在微观经济学中的应用 建立一个形如U=Aa+（1-a）B关于某消费者的效应函数，两种商品Y的价格既定,消费者的收入既定，计算该消费者关于两种商品各消费多少？从中获得的总效应是多少？ 问题分析： 需要建立一个效应函数来求商品的消费量和可获得的总效应。只有既定的预算线与一条无差异曲线的相切点，才是消费者获得最大效用水平或满足程度的均衡点。切点是在收入一定的条件下费消费者带来最大效用的商品组合。可知预算线的斜率与无差异曲线的斜率相等意味着：MU X/MU Y = P X/P Y 模型假设： 1.假定消费者将其全部货币收入W用于购买两种商品X和Y; 2. 商品X和Y的价格分别为P X 和P Y ; 3. 消费者的收入为W. 模型建立： 消费者的效应函数可建立成：U(x,y)=alnx + (1-a)lny,a为（0-1）。得MU X=aU/ax=a/x;MU Y=aU/ay=(1-a)y 又X商品的价格是P X ，Y商品的价格是P Y ，则消费者的预算线方程可表示为： W=P X x+P Y y 模型求解： 根据消费者效用最大化的均衡条件MU X/MU Y = P X/P Y 得a.y/(1-a)x = P X/P Y 从而y = (1-a)x P X/a P Y 根据预算线方程W=P X x+P Y y，得W=P X x +(1-a) P X x/a 从而x=aW/P X 把x=aW/P X 代入y = (1-a)x P X/a P Y，得y = (1-a)W/ P Y 即该消费者消费商品X和Y各为aW/P X和(1-a)W/ P Y，把x=aW/P X和 y=(1-a)W/ P Y代入效用函数，得U=aln(aW/ P X) +(1-a)ln[ (1-a)W/ P Y]
数学建模模拟试题及参考答案
《数学建模》模拟试题 一、（02'） 人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。 二、（02'） 雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式。 三、（03'） 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。 将人体简化成一个长方体，高m a 5.1=（颈部以下），宽m b 5.0=厚m c 2.0=，设跑步距离 ,1000m d =跑步最大速度s m v m /5=，雨速s m u /4= ，降雨量h cm w /2=，记跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论； （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量 （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，如图1建立总淋雨量与速度v 及参数θ,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算0 30,0==θθ时的总淋雨量。 （3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为?，如图2建立总淋雨量与速度v 及参数?,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030=θ时的总淋雨量。 四、（03'） 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与α,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
什么是数学模型与数学建模
1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。
数学建模分数预测论文完整版
高考录取分数预测模型 姓名: 班级： 姓名: 班级： 姓名: 班级：
关于高考录取分数预测模型的探究 摘要 本文通过差分指数平滑法和自适应过滤法分别建立模型，根据历年学校录取线预测下一年的录取分数线。最后，根据预测出来的最佳数据，给2014年报考本校的考生做出合理的建议。 对于问题一和问题二，首先根据题意和所给出的学校历年的录取分数线，不难分析出高校的录取分数线是由当年的题目难度、考生报考数量、“大年”和“小年”等因素决定的。每年的分数线还是有一定差距的，例如，本校2012在北京市电气专业的录取线是428分，而2013年是488分，相差60分。因此，预测的时候，需要通过一些方法使数据趋于平滑，使之便于预测。通过这些分析，建立了两种可靠的预测模型。 模型一通过差分的方法，利用Matlab软件将后一年Y t与前一年Y t-1的数据相减得到一个差分值，构成一个新序列。将新序列的值与实际值依次迭加，作为下一期的预测值。以此类推，预测出2014年的录取分数线。模型二是根据一组给定的权数w对历年的数据进行加权平均计算一个预测值y，然后根据预测误差调整权数以减少误差，这样反复进行直至找到一组最佳权数，使误差减小到最低限度，再利用最佳权数进行加权平均预测。这两种方法很好的解决了历年录取分数相差较大难以预测的问题。预测值相对准确。预测结果数据量较大，在此以河北省为例，给出预测结果模型一：2014年本校电气专业录取线为495，模型二：2014年本校电气专业录取线为536。 最后，通过预测出的数据，比对模型一和模型二，取最佳预测值，给报考科技学院的考生做出较为合理的建议。 关键词：序列权数差分值加权平均高考录取线
浅论数学建模在经济学中的应用
浅论数学建模在经济学中的应用 摘要：当代西方经济认为,经济学的基本方法是分析 经济变量之间的函数关系,建立经济模型,从中引申出经济原则和理论进行决策和预测。 关键词:经济学数学模型应用 在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天,数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求,根据快速报价系统(根据厂家各种资源、产品工艺流程、生产成本及客户需求等数据进行数学经济建模)与客户进行商业谈判。 一、数学经济模型及其重要性 数学经济模型可以按变量的性质分成两类,即概率型和确定型。概率型的模型处理具有随机性情况的模型,确定型的模型则能基于一定的假设和法则,精确地对一种特定情况的结果做出判断。由于数学分支很多,加之相互交叉渗透,又派生出许多分支,所以一个给定的经济问题有时能用一种以上的数学方法去对它进行描述和解释。具体建立什么类型的模型,既要视问题而定,又要因人而异。要看自己比较熟悉精通哪门学科,充分发挥自己的特长。 数学并不能直接处理经济领域的客观情况。为了能用数学解决经济领域中的问题,就必须建立数学模型。数学建模是为了解决经济领域中的问题而作的一个抽象的、简化的结构的数学刻划。或者说,数学经济建模就是为了经济目的,用字母、数字及其他数学符号建立起
来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻划。而现代世界发展史证实其经济发展速度与数学经济建模的密切关系。数学经济建模促进经济学的发展;带来了现实的生产效率。在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天,数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求,根据快速报价系统与客户进行商业谈判。 二、构建经济数学模型的一般步骤 1.了解熟悉实际问题,以及与问题有关的背景知识。 2.通过假设把所要研究的实际问题简化、抽象,明确模型中诸多的影响因素,用数量和参数来表示这些因素。运用数学知识和技巧来描述问题中变量参数之问的关系。一般情况下用数学表达式来表示,构架出一个初步的数学模型。然后,再通过不断地调整假设使建立的模型尽可能地接近实际,从而得到比较满意的结论。 3.使用已知数据,观测数据或者实际问题的有关背景知识对所建模型中的参数给出估计值。 4.运行所得到的模型。把模型的结果与实际观测进行分析比较。如果模型结果与实际情况基本一致,表明模型是符合实际问题的。我们可以将它用于对实际问题进一步的分析或者预测;如果模型的结果与实际观测不一致,不能将所得的模型应用于所研究的实际问题。此时需要回头检查模型的组建是否有问题。问题的假使是否恰当,是否忽略了不应该忽略的因
数学建模的基本步骤
数学建模的基本步骤 一、数学建模题目 1）以社会，经济，管理，环境，自然现象等现代科学中出现的新问题为背景，一般都有一个比较确切的现实问题。 2）给出若干假设条件： 1. 只有过程、规则等定性假设； 2. 给出若干实测或统计数据； 3. 给出若干参数或图形等。 根据问题要求给出问题的优化解决方案或预测结果等。根据问题要求题目一般可分为优化问题、统计问题或者二者结合的统计优化问题，优化问题一般需要对问题进行优化求解找出最优或近似最优方案，统计问题一般具有大量的数据需要处理，寻找一个好的处理方法非常重要。 二、建模思路方法 1、机理分析根据问题的要求、限制条件、规则假设建立规划模型，寻找合适的寻优算法进行求解或利用比例分析、代数方法、微分方程等分析方法从基本物理规律以及给出的资料数据来推导出变量之间函数关系。 2、数据分析法对大量的观测数据进行统计分析，寻求规律建立数学模型，采用的分析方法一般有： 1）. 回归分析法(数理统计方法)-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式。 2）. 时序分析法--处理的是动态的时间序列相关数据，又称为过程统计方法。 3）、多元统计分析（聚类分析、判别分析、因子分析、主成分分析、生存数据分析）。 3、计算机仿真（又称统计估计方法）：根据实际问题的要求由计算机产生随机变量对动态行为进行比较逼真的模仿，观察在某种规则限制下的仿真结果（如蒙特卡罗模拟）。 三、模型求解： 模型建好了，模型的求解也是一个重要的方面，一个好的求解算法与一个合
适的求解软件的选择至关重要，常用求解软件有matlab，mathematica，lingo，lindo，spss，sas等数学软件以及c/c++等编程工具。 Lingo、lindo一般用于优化问题的求解，spss，sas一般用于统计问题的求解，matlab，mathematica功能较为综合，分别擅长数值运算与符号运算。 常用算法有：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法,通常使用spss、sas、Matlab作为工具. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划、动态规划等通常使用Lindo、Lingo,Matlab软件。 图论算法,、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法, 模拟退火法、神经网络、遗传算法。 四、自学能力和查找资料文献的能力： 建模过程中资料的查找也具有相当重要的作用，在现行方案不令人满意或难以进展时，一个合适的资料往往会令人豁然开朗。常用文献资料查找中文网站：CNKI、VIP、万方。 五、论文结构： 0、摘要 1、问题的重述，背景分析 2、问题的分析 3、模型的假设，符号说明 4、模型的建立（局部问题分析，公式推导，基本模型，最终模型等） 5、模型的求解 6、模型检验:模型的结果分析与检验，误差分析 7、模型评价:优缺点，模型的推广与改进 8、参考文献 9、附录 六、需要重视的问题 数学建模的所有工作最终都要通过论文来体现，因此论文的写法至关重要：
数学建模论文示例精选版
数学建模论文示例 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
“空瓶换汽水”问题探讨 摘要：“空瓶换汽水”问题是一个比较经典的趣味数学问题，曾以“空瓶换啤酒”“废电池换新电池”“费电珠换新电珠”等形式出现在前苏联、德国和中国各种数学竞赛题目中。这个问题的探讨与解决，对于我们在日常生活中如何使开支与效益达到最优化等问题，具有一定的指导意义。 关键词：瓶数空瓶不含瓶单价推论 日常生活中，我们经常遇到过空瓶换汽水问题。喝完了凉爽的汽水还能用空瓶换汽水继续喝，那简直是炎炎夏日里的一种享受。如果没有经历过，那么以下这几道数学题你应该似曾相识。 【问题一】 某品牌汽水可以用3个空瓶再换回1瓶汽水，某人买回10瓶汽水，则他最多可以喝到多少瓶汽水 【解析一】 “用3个空瓶再换回1瓶汽水”，假设汽水一瓶3元，则空瓶相应的1元，而真正的汽水就只值2元，“某人买回10瓶汽水”意味着花去人民币 3*10=30元， 故而“最多可以喝到?30/2=15瓶。 【问题二】 5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？ 【解析二】 同理“5个空瓶可以换1瓶汽水”由题意，假设1瓶汽水5元，空瓶则1元，真正的汽水只值4元，“某班同学喝了161瓶汽水”则一共真正汽水的钱是：161*4元； 而买整个汽水（真正的汽水加空瓶）需要5元，所以“他们至少要买汽水多少瓶”则等于( 161*4)/5=(161/5)*4=(32*4)...余1，此时就可算出32*4+1=129瓶。 笔者对类似的题目的思考与研究，得到以下推论： 1，汽水的瓶数=总共的钱/汽水（不含瓶）的钱； 2，至少要买汽水多少瓶=总花去的钱/汽水的单价+余数。 这些推论是否正确呢是否可以解决此类问题呢我们不妨拿类似的问题验证一下。 【问题三】 超市规定每3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小李有12个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水A.4瓶B.5瓶C.6瓶D.7瓶 【解答三】 由题意可知，空汽水瓶的价钱是1元，汽水加瓶是3元，所以“小李有12个空汽水瓶”等于小李有12元钱，问题是“最多可以换几瓶汽水”，就是小李
数学模型吕跃进数学建模A试卷及参考答案
数学建模A试卷参考答案 一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分） 1、什么是数学模型？(5分) 答：数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 2、数学建模有哪几个过程？(5分) 答：数学建模有如下几个过程：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。 3、试写出神经元的数学模型。 答：神经元的数学模型是 其中x＝（x1，…x m）T输入向量，y为输出，w i是权系数；输入与输出具有如下关系： θ为阈值，f（X）是激发函数；它可以是线性函数，也可以是非线性函数．（5分） 二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分） 1、（l）以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。(5分) （2）如果雇主付计时工资，对不同的工资率(单位时间的工资)画出计时工资线族。根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。(5分) 答：（l）雇员的无差别曲线族f（w，t）=C是下凸的，如图1，因为工资低时，他愿以较多的工作时间换取较少的工资；而当工资高时，就要求以较多的工资来增加一点工作时间． （2）雇主的计时工资族是w=at，a是工资率．这族直线与f（w，t）=c的切点P1，P2，P3，…的连线PQ为雇员与雇主的协议线．通常PQ是上升的（至少有一段应该是上升的），见图1． 2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。(7分)又问命题对长凳是否成立，为什么？(3分) 答：(一)假设：电影场地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。 如图建立坐标系：其中A,B,C,D代表方凳的四个脚,以正方形ABCD的中心为坐标系原点。 记H为脚A,C与地面距离之和， G为脚B,D与地面距离之和， θ为AC连线与X轴的夹角， 不妨设H(0)>0,G(0)=0,(为什么?) 令X f(θ)=H(θ)-G(θ)图二 则f是θ的连续函数,且f(0)=H(0)>0 将方凳旋转90°,则由对称性知H(π/2)=0,G(π/2)=H(0) 从而f(π/2)=-H(0)<0 由连续函数的介值定理知，存在θ∈(0,π/2)，使f(θ)=0 (二)命题对长凳也成立，只须记H为脚A,B与地面距离之和， G为脚C,D与地面距离之和， θ为AC连线与X轴的夹角 将θ旋转1800同理可证。 三、模型计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）
数学建模常用方法
数学建模常用方法 建模常用算法,仅供参考： 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必 用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通 常使用L i n d o、L i n g o软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种 暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计 算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文 中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理） 一、在数学建模中常用的方法： 1.类比法 2.二分法 3.量纲分析法 4.差分法 5.变分法 6.图论法 7.层次分析法 8.数据拟合法 9.回归分析法 10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划） 11.机理分析 12.排队方法
数学建模考试题(开卷)及答案
2010年上学期2008级数学与应用数学，信息与计算科学专业 《数学建模》课程考试供选试题 第1题 4万亿投资与劳动力就业： 2008以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估计，从2008年底，相继有2000万人被裁员，其中有1000万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。在2009年两代会上，我国正式通过了4万亿的投资计划，目的就是保GDP增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。问题如下： 1、GDP增长8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分就业，2009年的GDP到底要增长多少？ 2、要实现GDP增长8%，4万亿的投资够不够？如果不够，还需要投资多少？ 3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4万亿的投资应该如何分配到不同的产业(或行业)里？ 4、请你给出相关的政策与建议。 第2题 深洞的估算：假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。 1、不计空气阻力； 2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05； 3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025； 4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。 第3题 优秀论文评选：在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专门从事与题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下： step1:首先由普通评委阅读所有150 篇论文，筛选出20 篇作为候选论文。 Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4 篇作为推荐的论文。 Step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的 4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。 Step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从20篇候选论文中除去已经入选的论文)重复step2至step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。 如果有超过4 篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。问题:
建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 ()
薅§16.3建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 螁[学习目标] 蚀1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 蒆2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 羆3.能表述数学建模的分类； 蒃4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 葿5.培养建模的想象力和洞察力。 薆一、建立数学模型的方法和步骤 膃—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(SystemIdentification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 袁可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 膈建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 薆§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 薄图16-5建模步骤示意图 蚃模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 芁模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．