圆的一般方程导学案

课题：圆的一般方程

一、学习目标

(1) 知识目标：通过本节的学习，掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为标

准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径。

（2）能力目标：培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度，通过例题的分析讲解，提高学生分析问题的能力。

（3）情感目标：培养学生主动探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。

二、学习重点、难点：

重点：圆的一般方程的探求过程及其特点。

难点：根据具体的条件，选用圆的一般方程解决有关的实际问题。

三、学习方法：

自主探究合作交流

四、学习思路：根据圆标准方程展开的特点进行研究。

五、知识链接:圆的标准方程的形式特点，配方法的运用。

七、学习过程

（一）、课前准备

预习教材 P121 ~ P123 ，找出疑惑之处

C a b，半径为r ，则圆的标准方程为，若圆1．已知圆的圆心为(,)

心在坐标原点上，则圆的方程就是.

A B C的圆的方程.

2．求过三点(0,0),(1,1),(4,2)

(二)、新课导学 ※ 学习探究

问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程22

2460x y x y +-++=表

示什么图形？

问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？

新知：方程220x y Dx Ey F ++++= 表示的轨迹：

（1）当2240D E F +->时，方程表示以(,)22D E --为半径的圆

（2）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22

D E

x y =-

=-，即只表示一个点(,)22

D E

-

- （3）2

2

40D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形

小结：方程2

2

0x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆，只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如2

2

0x y Dx Ey F ++++=的方程称 为圆的一般方程。

思考：

1．圆的一般方程的特点？

2．圆的标准方程与一般方程的区别？

※ 典型例题

例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径. ⑴2

2

4441290x y x y +-++=；

⑵2

2

44412110x y x y +-++=；

例 2已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上22

(1)4x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

※ 动手试试

练 1. 求过三点(0,0),(1,1)(3,2)A B C 的圆的方程， 并求这个圆的半径长和圆心坐标.

练 2. 已知一个圆的直径端点是1122(,),(,)A x y B x y ，试求此圆的方程.

(三)、总结提升 ※ 学习小结

1．方程2

2

0x y Dx Ey F ++++=中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.

2．待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用， 要求熟练掌握.

3．使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选择标准方程或一般方程；⑵根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组； ⑶解出,,a b r 或,,D E F ，代入标准方程或一般方程.

八、学习评价 学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 自我检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 若方程2

2

0x y x y m +-++=表示一个圆，则有（ ）. A ．2m ≤ B. 2m < C ．12m < D ．12

m ≤

2. 圆22

410x y x +--=的圆心和半径分别为 （ ）. A ．(2,0),5 B ．(0,2)-, 5 C ．(0,2), 5 D ．(2,2) ,5

3. 动圆2

2

2

(42)24410x y m x my m m +-+-+++= 的圆心轨迹是（ ）. A ．210x y +-= B ．210x y -+= C ．210x y -+= D ．210x y --=

4. 过点(1,1),(1,3)C D -，圆心在 x 轴上的圆的方程是 .

5. 圆2

2450x y x +--=的点到直线34200x y -+=的距离的最大值为 .

九、课后作业

1. 设直线2310x y ++=和圆2

2

230x y x +--=相交于,A B ，求弦AB 的垂直平分线方程.

2. 求经过点(2,4)A --且与直线:3260l x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程.

十、学习反思

圆的标准方程导学案1(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？ 2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 3.设圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x P 为这个圆上任意一点，那么Ｐ，C 与r 有什么关系？能用坐标表示吗？ 4.圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：________________ 5.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的方程是： 圆心在原点、半径为1的圆的方程： 思考：确定圆的标准方程的基本要素？ 预习自测 1.写出下列各圆的方程： （1） 以C(2，-1)为圆心，半径等于3；

（2） 圆心在圆点，半径为5； （3） 经过点P(5,1)，圆心在点C(6，-2)； （4） 以A(2,5)，B(0，-1)为直径的圆。 2.圆22 (3)(2)13x y -++=的圆心为 半径为 二、课/堂/探/究：合作探究————取长补短 基础知识探究 1.圆的标准方程是一个____元____次方程. 2.写出圆心为(2,3)A -，半径长为 5 的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M -- 是否在这个圆上.

3.若点),3(a 在圆1622=+y x 的内部，则a 的取值范围是 4.试由圆的标准方程的推导过程思考，若点P 在圆内，在圆上，在圆外时，00,x y 应满足 怎样的关系式P P P ???????? 点在圆内点在圆外点在圆上 综合应用探究 1.已知ABC Rt ? 的斜边AB 的端点A 的坐标为（-2,1），B 的坐标为（4,3），直角顶点C 在什么曲线上？并求出它的方程？ 2.ABC ?的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8)A B C --，求它的外接圆的方程. 3.求圆心在直线02=-+y x 上，且经过两点)2,1(),0,1(-Q P 的圆的方程。 三、达/标/检/测 1. 求满足下列条件的圆的方程

人教版高中数学《圆的标准方程》教案导学案

圆的标准方程 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程． (二)能力训练点 通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力． (三)学科渗透点 圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育． 二、教材分析 1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程． (解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．) 2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题． (解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．) 三、活动设计 问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读． 四、教学过程 (一)复习提问 前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？

问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小． 问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 求曲线方程的一般步骤为： (1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9 (2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集； (3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程； (4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程； (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少． 下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．

数学人教A版高中必修2圆的方程优秀导学案

圆的方程 ——最值问题（学案） 【学习目标】 1.掌握圆外一点与圆上动点的距离的最值问题的处理方法； 2.掌握圆上一动点到直线的距离的最值问题的处理方法； 3.理解数形结合思想与转化思想是解决最值问题的基本思想。 【学习重点】 1.圆上动点到圆外一点的距离的最值问题； 2.圆上动点到直线的距离的最值问题； 3.切线长最短问题。 【学习难点】 1.培养运用运动变化的观点解决问题的能力； 2.培养转化与化归的数学思想解决问题的能力。 【学习过程】 一．自拟提纲，自主复习 任务一：回顾并默写初中判断直线和圆的位置关系的方法； 任务二：回顾并罗列教材§4.1.1“圆的标准方程”的重要公式和结论；任务三：回顾并罗列教材§4.1.1“圆的标准方程”的重要思想和方法。 二．自主学习，讨论交流 1.讨论题组1： （1）判断点A（4,2），B（1,1）是否为圆C：(x-3)2+y2=5上的点？

（2）在（1）条件下，求A 、B 两点到原点的距离，它们是圆C 上所有点中到原点距离最近或最远的点吗？如果不是，请找出圆C 上到原点距离最近和最远的点，写出它们的坐标。 （3）已知实数x,y 满足方程(x-3)2+y 2=3，试求22y x 的最大值和最小值。 2.讨论题组2： （1）求圆C ：(x-1)2+(y-1)2=2的圆心到直线l ：x-y+3=0的距离。 （2）在（1）条件下，分别求圆C 上的点（0,0）和（0,2）到直线l 的距离。它们是圆C 上所有点中到直线l 距离最近或最远的点吗？如果不是，请探讨如何求出圆C 上的点到直线l 距离的最小值和最大值。

（3）已知圆C ：(x-4)2+(y-3)2=1和点A(-1,0)，B(1,0)，点P 在圆C 上，求△PAB 面积的最大值和最小值。 变式练习： 1.若实数x,y 满足(x+2)2+(y-1)2=9，则22y x +的最大值是（ ） A.35+ B.1456+ C.5-3 D.56-14 2.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是（ ） A. 2 B.21+ C.2 21+ D.221+ 3. 由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y 2=1引切线，试求切线长的最小值。 三．课后思考，能力提升 例题：若x 2+y 2=4，则x-y 的最大值和最小值分别是_______________。

人教版数学高一必修2学案4.1.2圆的一般方程

4．1.2圆的一般方程 基础梳理 1．圆的一般方程的定义． 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形． 3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系． 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则其位置关系如下表：

练习1：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0在什么条件下表示圆的方程？ 答案：A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0 练习2：圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0的圆心为(1，－5)，半径为 ?思考应用 1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 解析：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2明确了圆心和半径，方程左边为平方和，右边为一个正数，且未知数的系数为1；一般方程体现了二元二次方程的特点，但未明确圆心和半径，需计算得到．当二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0中的系数A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0时，二元二次方程就是圆的一般方程． 2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般步骤是什么？ 解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．

自测自评 1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为(C ) A ．(4，－6)，r ＝16 B ．(2，－3)，r ＝4 C ．(－2，3)，r ＝4 D ．(2，－3)，r ＝16 解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2，3)， 半径r ＝1242＋（－6）2＋12＝4. 2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有(A ) A ．D ＝E B ．D ＝F C ．F ＝E D ．D ＝ E ＝ F 解析：由题知圆心? ?? ??－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，即－E 2＝－D 2，∴D ＝E. 3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是(B ) A ．R B ．(－∞，1) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞) 解析：由D 2＋E 2－4F ＝(－4)2＋22－4×5k ＝20－20k >0得k <1. 4．圆心是(－3，4)，经过点M (5，1)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0． 解析：圆的半径r ＝（－3－5）2＋（4－1）2＝73， ∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝73，

高中数学《圆的标准方程》导学案

2.1 圆的标准方程 [学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点． 2.会根据已知条件求圆的标准方程． 3.能准确判断点与圆的位置关系. 【主干自填】 1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于□01定长． (2)确定圆的条件：□02圆心和□03半径． 2．圆的标准方程 (1)以C (a ，b )为圆心，半径为r □ 04(x －a )＋(y －b )＝r . (2)当圆心在坐标原点时，半径为r 的圆的标准方程为□05x ＋y ＝r . 3．中点坐标 A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)的中点坐标为□06? ????x 1＋x 22，y 1＋y 22. 4．点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较： 若|CM |＝r ，则点M 在□07圆上； 若|CM |>r ，则点M 在□08圆外； 若|CM |

(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定： 点M(m，n)在□10圆上?(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点M(m，n)在□11圆外?(m－a)2＋(n－b)2>r2； 点M(m，n)在□12圆内?(m－a)2＋(n－b)2

圆的标准方程优秀教案

第四章圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 教材分析 本节内容数学必修2 第四章第一节的起始课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义．这节课主要是根据圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆的标准方程．本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法，几何法求圆的标准方程．通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用． 教学目标 重点: 圆的标准方程的理解、掌握． 难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程． 知识点：会求圆的标准方程. 能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程. 教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法. 自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法. 考试点：会求圆的标准方程. 易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程. 拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程． 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式学案导学 一、引入新课 问题 1：什么是圆？ 【设计意图】回顾圆的定义便于问题2的回答． 【设计说明】学生回答． 问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？ 【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）． 【设计说明】教师引导，学生回答． 问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？ 【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题． 【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题． 二、探究新知

圆的标准方程学案

高二数学必修2 圆与方程 班级________ 姓名_________ 圆的标准方程 【课标要求】 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程。 【学习目标】 1.能在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程。 2.能根据圆的标准方程写出圆心和半径，会根据条件求圆的方程。 【学习重、难点】 重点：圆的标准方程的求法及其应用。 难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程，以及选择恰当的坐标系解决 与圆有关的实际问题。 【问题探究】 请认真阅读教材P118—P119例1以前的内容，完成下列问题： 1.在直角坐标系中，当_________与_________确定后，圆就唯一确定了。因此，确定圆的最基本 的要素是_____________ 2.在直角坐标系中，设),(y x M 是圆心为),(b a A ，半径为r 的圆上任意一点，你能根据圆的定 义推到出圆的标准方程吗？ 3.（1）圆的标准方程有哪些特征？ （2）圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程为_______________ 4.（1）若点),(00y x M 在圆2 22r y x =+内，则满足条件____________ （2）若点),(00y x M 在圆2 22r y x =+外，则满足条件____________ 同理，（3）若点),(00y x M 在圆2 22)()(r b y a x =-+-内，则满足条件____________ （4）若点),(00y x M 在圆2 22)()(r b y a x =-+-外，则满足条件____________ 【例题剖析】 例1：完成教材P119例1 例2：完成教材P119例2 思考：（1）你能说说本题的解题思路吗？ （2）你能根据三角形外心的定义给出其他解法吗？ 例3：完成教材P120例3 思考：（1）你能用类似例2的方法解答本题么？ （2）比较例2和例3，你能说说求任意ABC ?外接圆方程的方法有几种？ 试比较各自的优越性。 【自主测评】 独立完成教材P120练习1，3，4（两种方法） 【作业布置】 习题4.1A 组3，4，5， 【本节收获】 通过本节的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？

最新椭圆及其标准方程导学案

2.2.1 椭圆及其标准方程 【学法指导】1.仔细阅读教材（P38—P41），独立完成导学案，规范书写，用 红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。 2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。 【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程。 2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆 的标准方程。 【学习重、难点】 学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． 学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因． 【预习案】 预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P38，回答下列问题） 1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什 么曲线 在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 2.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。 3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹 是 将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨

迹存在吗？ 结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a 2>|1F 2F | )。 a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2<|1F 2F |时，点的轨迹 。 预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题） 结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 【探究案】 探究一、椭圆定义的应用 设P 是椭圆11625 2 2=+y x 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（ ） A.10 B.8 C.5 D.4 （解法指导：椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。） 解：椭圆中=2a ，a 2= 。 由椭圆的定义知21PF PF += = 。

一轮复习学案圆的方程复习学案

圆的方程 教学目标：1.掌握圆的标准方程和一般方程； 2.理解圆的一般方程与标准方程的联系；会熟练地互化。 3.会根据条件准确的求圆的方程 教学重点：利用圆的方程解决一些问题 教学难点：能准确的利用圆的方程解决问题 知识梳理： 1. 关于圆的知识：平面内到的距离等于的点的集合 ．．．．称为圆。 我们把定点称为，定长称为。确定了圆的位置, 确定了圆的大小。 在平面直角坐标系中，已知：圆心为) a A, 半径长为r，圆上的任意一点) (b , x M应该满 (y , MA= 足的关系式？r 2.圆的标准方程是__________________________，其中圆心________，半径为_____。 题型一：由圆的的标准方程写出圆心和半径： 练习：⑴根据条件写圆的方程： ①圆心)1 ,2(-，半径为2 ②圆心)3,0(，半径为3 ③圆心)0 ,0(，半径为r （2）：由圆的标准方程写出下列圆的圆心坐标和半径。 1

2 圆心坐标 半径 6)1()4(22=-+-y x __________ __________ 4)4()1(22=++-y x __________ __________ 9)2(22=++y x ___________ ___________ 8)3(22=-+y x __________ __________ 222)3(-=+y x __________ __________ 222)(a y a x =+- ___________ ___________ 总结： 特别地，当)0,0(),(=b a 时，圆的方程变为___________ 题型二：由圆心和半径写出圆的的标准方程： (1) 圆心在)1,2(A ，半径长为4； __________________________ (2) 圆心在)4,3(-A ，半径长为5； __________________________ (3) 圆心在)2,3(--A ，半径长为5； __________________________ (4)已知 )3,6(),9,4(21P P ，求以线段21P P 为直径的圆的方程 例1已知圆心在)4,3(--C ，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点)0,1(1-P 、)1,1(2-P 、)4,3(3-P 和圆的位置关系。 例1. 判断下列各点是否在以)3,2(-A 为圆心，半径为5的圆上？

高考数学总复习 圆的标准方程学案(1)

河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 圆的标准方程学案 一、学习目标 知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方 程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。 二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程 学习难点: 会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 三、使用说明及学法指导: 1、先阅读教材118—120页，然后仔细审题，认真思考、独立规范作答。 2、不会的，模棱两可的问题标记好。 3、对小班学生要求完成全部问题，实验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上 四、知识链接： 1．两点间的距离公式？ 2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？ 平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究) A 问题1阅读教材118页内容，回答问题 已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？ 问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 例1：1写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径： (1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9 (3) 222 ()()x a y a ++= 例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

直线与圆的方程的应用 导学案

4.2.3直线与圆的方程的应用 1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 3．会用“数形结合”的数学思想解决问题． 138140 ，找出疑惑之处）1．圆与圆的位置关系有 . 2．圆224450 x y x y ++--=和圆2284 x y x y +-+ 70 +=的位置关系为. 3．过两圆22640 x y x +--=和22628 x y y ++- =的交点的直线方程. 二、新课导学 ※学习探究 1．直线方程有几种形式? 分别是? 2．圆的方程有几种形式?分别是哪些? 3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程? 什么条件下用一般方程? 4．直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢? ※典型例题 例 1 已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20 AB m =,拱高4 OP m =,建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑,求支柱 22 A B的高度(精确0.01m) 变式：赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程 例 2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.

※ 动手试试 练1. 求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积. 练2. 讨论直线2y x =+ 与曲线y =的交点个数. 三、总结提升 ※ 学习小结 1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”. 2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 3．解实际问题的步骤：审题—化归—解决 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 一动点到(4,0)A -的距离是到(2,0)B 的距离的2倍，则动点的轨迹方程（ ）. A ．()2 244x y -+= B ．()2 2416x y -+= C ． 22(4)4x y +-= D ．22(4)16x y +-= 2. 如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，则y x 的最大值为（ ） A ．1 3. 圆22 2430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的点共有（ ）. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 圆()()22 114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程 . 5. 求圆()()22 114x y -++=关于点()2,2对 称的圆的方程 .

高考数学总复习 圆的一般方程学案

河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习圆的一般方程学案【学习目标】 【学习重难点】 重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径； (2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 难点：圆的一般方程的特点． 【学习过程】 （一）检查预习、交流展示 写出圆的标准方程，并指出圆心和半径。 （二）合作探究、精讲精练 探究一：圆的一般方程的定义 1．分析方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x+y+Dx+Ey+F=0左边配方得： (1) (1)当D+E-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程 半径的圆； (3)当D+E-4F＜0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形． 2．引出圆的一般方程的定义 当D+E-4F＞0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． 探究二：圆的一般方程的特点

当二元二次方程 Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0具有条件： (1)x和y的系数相同，不等于零，即A=C≠0 (2)没有xy项，即B=0； (3)D+E-4AF＞0． 它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出． 强调指出： (1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件； (2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件． 例1 求下列圆的半径和圆心坐标： (1)x+y-8x+6y=0，(2)x+y+2by=0． 练习:下列方程各表示什么图形? 例2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程． （三）课堂小结： 1.圆的一般方程的特点． 2.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程导学案无答案新人教A版必修2

高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程导学案无答 案新人教A 版必修2 自学导读： 问题1： 圆的标准方程是 ，圆心坐标是 ，半径是 ， 问题2：把圆的标准方程展开，得 ， 令-2a=D,-2b=E,a 2+b 2-r 2 =F , 结论：任何一个圆可以写成下面的形式x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0 问题3：是不是任何一个形如x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆呢？ 把方程: x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0配方可得： （1）当D 2+E 2 -4F>0时，表示以（ ， ）为圆心，以（ ）为半径的圆 （2）当D 2 +E 2-4F=0时，方程只有一组解x = 2-D ， y = 2 -E ，表示一个点（ ， ）. （3）当D 2 +E 2 -4F<0时，方程无实数解，所以不表示任何图形. 新课： 1:圆的一般方程的定义： 2：圆的一般方程的特点：x 2与y 2系数相同并且不等于0，没有xy 这样的二次项，D 2+E 2 -4F>0 练习 判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径 (1) x 2+2y 2-6x +4y -1=0 (2) x 2+y 2-3xy +5x +2y =0 (3) x 2+y 2 -2x +4y -4=0 (4) x 2+y 2-12x +6y +50=0 (5) 2x 2+2y 2 -12x +4y =0 3：例题讲解 阅读第122页例4、例5完成下列习题 1、求经过三点（0,0），（2，-2），（4,0）的圆的方程 小结：求圆的方程的方法 2、如图，已知点P 是圆x 2+y 2 =16上的一个动点，点A 是x 轴上的一个定点，坐标为（12,0），当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的方程是什么？ 小结：求轨迹方程的方法 三、自学检测 1.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长： ① x 2+y 2-6x=0 ② x 2+y 2+2by=0 ③ x 2+y 232=0 2..判断下列方程分别表示什么图形： ① x 2+y 2=0 ② x 2+y 2-2x+4y-6=0 ③ x 2+y 2+2ax-b 2=0 课本第123页练习1.2.3 四、巩固训练 课本第124页习题4.1 A 组 1.、2、3、4 五、拓展延伸 课本第124页习题4.1 B 组 2、3 课堂小结 22224()()224 D E D E F x y +-+++=

高中数学-圆的标准方程教案

第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 三维目标： 知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方 程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程： 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明2 2 2 ()()x a y b r -+-=为圆的 方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究

例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程， 并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）22 00()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）22 00()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2 r ，点在圆内 例（2）： ABC V 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用 待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和 (2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长 等于CA 或CB 。 （教师板书解题过程。） 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、 例(3)可得出ABC V 外接圆的标准方程的两种求法： ①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 提炼小结： 1、 圆的标准方程。 2、 点与圆的位置关系的判断方法。 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

新人教版必修二高中数学《圆的标准方程》教学设计

高中数学 《圆的标准方程》 教学设计 新人教版必修二2 知识与技能：1、掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径； 2、会用两种方法求圆的标准方程：(1)待定系数法；(2)利用几何性质 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。 教学过程： 情境设置： 问题：①圆的定义？ 学生回忆所学知识：①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，确定圆的要素是圆心和半径。 问题：②如果把直线放在直角坐标系下，那么其对应的方程是二元一次方程，那么如果把一个圆放在坐标系下，其方程有什么特征？如何写出这个圆的所在的方程？ 二、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出） P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222()()x a y b r -+-= ② 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （１）2200()()x a y b -+-=2r ?点在圆上 （２）2200()()x a y b -+-<2r ?点在圆内 （３）2200()()x a y b -+->2r ?点在圆外 三、知识应用与解题研究 （一）练习 １、指出下列方程表示的圆心坐标和半径： （１） 222=+y x ； （２） 5)1()3(22=-+-y x ； （３）222)1()2(a y x =+++（0≠a ）。

圆与方程导学案

§圆的标准方程 学习目标 1. 掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆 的标准方程； 2. 会用待定系数法求圆的标准方程. 124~ P 127，找出疑惑之处） 1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？ 2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 二、新课导学 ※ 学习探究 新知：圆心为(,)A a b ，半径为r 的圆的方程222()()x a y b r -+-=叫做圆的标准方程. 特殊：若圆心为坐标原点，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r += 探究：确定圆的标准方程的基本要素？ ※ 典型例题 例 写出圆心为(2,3)A -，半径长为5 的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上. 小结：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： ⑴2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外； ⑵2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上； ⑶2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内. 变式:ABC V 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3)A B - (2,8)C -，求它的外接圆的方程 反思： 1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于,,a b r 的方程组，求,,a b r 或直接求出圆心(,)a b 和半径r . 2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=；（2）根据已知条件，建立关于,,a b r 的方程组；（3）解方程组，求出,,a b r 的值，并代入所设的方程，得到圆的方程. 例 2 已知圆C 经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在直线:10l x y -+=上,求此圆的标准方程. ※ 动手试试 练1. 已知圆经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -的圆的标准方程.

人教版高中数学《圆的一般方程》教案导学案

圆的一般方程 一、教学目标 （一）知识教学点 使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． （二）能力训练点 使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力． （三）学科渗透点 通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础． 二、教材分析 1．重点：（1）能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；（2）能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． （解决办法：（1）要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；（2）加强这方面题型训练．） 2．难点：圆的一般方程的特点． （解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．） 3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F> 0． （解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．） 三、活动设计 讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板． 四、教学过程 （一）复习引入新课

前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ，现将展开可得x2+y2- 2ax-2by+a 2+b2-r2=0 ．可见，任何一个圆的方程都可以写成 x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程” ( 二) 圆的一般方程的定义 1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得： (1) (1) 当D2+E2-4F>0 时，方程(1) 与标准方程比较，可以看出方程半径的圆； (3) 当D2+E2-4F<0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形． 这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、 法． 2．圆的一般方程的定义 当D2+E2-4F> 0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． ( 三) 圆的一般方程的特点 请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=．0 (2)

圆的方程导学案

学案47圆的方程 导学目标：1.掌握确定圆的几何要素； 2.掌握圆的标准方程与一般方程； 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 自主梳理 1．圆的定义 在平面内，到________的距离等于________的点的________叫做圆． 2．确定一个圆最基本的要素是________和________． 3．圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，其中________为圆心，____为半径． 4．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是____________________，其中圆心为________________________，半径r＝________________________. 5．确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程． 6．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种． 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)， (1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2； (2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2； (3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2. 自我检测 1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆时，m的取值范围为______________． 2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是________． 3．点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是______________． 4．已知点(0,0)在圆：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，则a的取值范围是________． 探究点一求圆的方程 例1求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．

高中数学学案：圆的方程

高中数学学案:圆的方程 1. 掌握圆的标准方程和圆的一般方程，理解方程中各字母参数的实际意义. 2. 能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并运用待定系数法求出圆的方程. 注重数形结合的思想方法，并灵活运用平面几何的知识解决有关圆的问题. 3. 会进行圆的标准方程与一般方程的互相转化，熟练掌握配方法的应用. 1. 阅读:必修2第107～110页. 2. 解悟:①圆的标准方程和一般方程的结构有什么特征？其中各参数有怎样的含义？②方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆需要什么条件？③圆的标准方程和一般方程如何转化？ 3. 践习:在教材空白处，完成必修2第111页练习第3、4、5题. 基础诊断 1. 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则实数a 的值为 －1 ；若方程x 2＋y 2＋ 4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围为 ? ?? ??－∞，14∪(1，＋∞) . 解析:若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则???a 2＝a ＋2≠0， ? ????2a a ＋22－4a a ＋2>0，解得a ＝－1.若x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则4m 2－5m ＋1>0，解得m<14或m>1. 2. 已知A ，B 两点的坐标分别为(0，4)，(4，6)，则以AB 为直径的圆的标准方程为 (x －2)2＋(y －5)2＝5 . 解析:由题意得，圆心即AB 的中点(2，5)，半径为12AB ＝12（0－4）2＋（4－6）2＝5， 故以AB 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －5)2＝5. 3. 已知圆过点(1，2)，圆心在y 轴上，半径为1，则该圆的方程为 x 2＋(y －2)2＝1 Ｗ. 解析:设圆心坐标为(0，b)，则由题意知（0－1）2＋（b －2）2＝1，得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 4. 如果点P(1，1)在圆(x －a)2＋(y －a)2＝4的内部，那么实数a