北航数值分析实习第一题
数值分析计算实习报告
第一题
所在班级A1 班
学生姓名
学生学号
2015年11月
1 算法设计方案
1.1 矩阵的压缩存储
A 矩阵是一个带宽为5的带状矩阵，众多的0会占据很多存储空间，因此可以将其压缩存储。
存储方法是将矩阵逆时针旋转45度，并调整使列号不变，调整后的矩阵如下：
1234498
49950050100000
0c c c c c c b b b b b
b b A a a a a a a a a b b b b
b b b
c c c c
c c
????????=?
???????
…………………………
1.2 求解最大、最小的特征值及模最小的特征值
1.利用幂法计算出矩阵A 按模最大的特征值m λ（它是1λ和501λ中的一个）。
2.利用幂法计算出矩阵m A I λ-（其中I 为单位矩阵）按模最大的特征值m λ'，令m
m m λλλ'''=+（它是1λ和501λ中的另一个）。 3.比较m λ和m
λ''的大小，大的是501λ，小的是1λ。 4.利用反幂法直接计算出矩阵A 按模最小的特征值s λ。 1.3 求与某值接近的特征值
采用原点平移法即可方便求解与某值接近的特征值。对于每个k 值，先利用反幂法计算出矩阵k A I μ-按模最小的特征值k λ'，令k k k λλμ'=+即可。 1.4 求解条件书和行列式值
对于非奇异实对称矩阵A ，它的条件数2()m
s
cond A λλ=，其中m λ是按模最大的特征值，s λ是按模最小的特征值。
行列式的值为上三角矩阵对角线元素的乘积。过在进行反幂法求解中要进行Doolittle 分解，Doolittle 分解可以得到一个上三角矩阵，其对角线元素的乘积就是行列式值。
2C++程序
#include
#include
void caculateA(double a[5][501]);//计算出A矩阵，并且将其压缩存储
double mifa2(double a[5][501]);//用2范数的幂法求按模最大特征值
double fanmifa2(double a[5][501]);//用2范数的反幂法求按模最小特征值
void ludoolittle(double a[5][501]);//简易存储的矩阵的doolittle分解
double findlamnear(double x);//求x处的特征值
int max3(intx,inty,int z);//求三个数的最大值
int min2(intx,int y);//求两个数的最小值
double fanshu2(double a[]);//向量的2范数
double inner(double x[],double y[]);//向量乘积
void multi(double a[5][501],double x[],double y[]);//矩阵与向量相乘
void solve(double a[5][501],double y[],double x[]);//根据doolittle分解的结果，求解方程解向量x
void main()
{
#define err 1e-12
printf("数值分析计算实习第一次作业\n");
printf("班\n");
double a[5][501];
double lam1,lam501,lamm,lams,temp,cond,det,x;
inti;
caculateA(a);
lam1=mifa2(a);
lamm=lam1;
for(i=0;i<501;i++)
a[2][i]=a[2][i]-lam1;
lam501=mifa2(a)+lam1;
if(lam1>lam501)
{
temp=lam1;
lam1=lam501;
lam501=temp;
}
caculateA(a);
ludoolittle(a);
det=1.0;
for(i=0;i<501;i++)
{
det=det*a[2][i];
}
lams=fanmifa2(a);
cond=fabs(lamm/lams);
printf("最小特征值λ1=%.11e\n",lam1);
printf("最大特征值λ501=%.11e\n",lam501); printf("按模最小特征值λs=%.11e\n",lams); for(i=0;i<39;i++)
{
temp=lam1+(i+1)*(lam501-lam1)/40;
x=findlamnear(temp);
printf("λi%d=%.11e\t",i+1,temp);
if(i%2==1)
printf("\n");
}
printf("\n");
printf("条件数cond(A)=%.11e\n",cond);
printf("行列式值det(A)=%.11e\n",det);
}
voidcaculateA(double a[5][501])
{
double b=0.16;
double c=-0.064;
inti;
for(i=2;i<501;i++)
a[0][i]=c;
for(i=1;i<501;i++)
a[1][i]=b;
for(i=0;i<501;i++)
a[2][i]=(1.64-0.024*(i+1))*sin(0.2*(i+1))-0.64*exp(0.1/(i+1)); for(i=0;i<500;i++)
a[3][i]=b;
for(i=0;i<501-2;i++)
a[4][i]=c;
}
double mifa2(double a[5][501]) {
double beta=1.0;
double beta1=10.0;
doubleyita,u[501],y[501];
double err1=1.0;
inti;
for(i=0;i<501;i++)
u[i]=1.0;
while(err1>err)
{
beta=beta1;
yita=fanshu2(u);
for(i=0;i<501;i++)
y[i]=u[i]/yita;
multi(a,y,u);
beta1=inner(y,u);
err1=fabs((beta1-beta)/beta); }
return beta1;
}
double fanmifa2(double alu[5][501]) {
double beta=1.0;
double beta1=10.0;
doubleyita,u[501],y[501],yy[501];
double err1=1.0;
inti;
for(i=0;i<501;i++)
u[i]=1.0;
while(err1>err)
{
beta=beta1;
yita=fanshu2(u);
for(i=0;i<501;i++)
{
y[i]=u[i]/yita; yy[i]=y[i];
}
solve(alu,y,u);
beta1=inner(yy,u);
err1=fabs((beta1-beta)/beta); }
beta1=1.0/beta1;
return beta1;
}
voidludoolittle(double a[5][501]) {
inti,j,k;
int t;
double temp1,temp2;
for(k=0;k<501;k++)
{
for(j=k;j<=min2((k+2),(501-1));j++)
{
temp1=0.0;
for(t=max3(0,k-2,j-2);t<=(k-1);t++)
{
temp1=temp1+a[k-t+2][t]*a[t-j+2][j];
}
a[k-j+2][j]=a[k-j+2][j]-temp1;
}
if(k<500)
{
for(i=k+1;i<=min2((k+2),(500));i++)
{
temp2=0.0;
for(t=max3(0,i-2,k-2);t<=(k-1);t++)
{
temp2=temp2+a[i-t+2][t]*a[t-k+2][k];
}
a[i-k+2][k]=(a[i-k+2][k]-temp2)/a[2][k];
}
}
}
}
doublefindlamnear(double x)
{
doubleaother[5][501];
inti;
double y;
caculateA(aother);
for(i=0;i<501;i++)
aother[2][i]=aother[2][i]-x;
ludoolittle(aother);
y=fanmifa2(aother);
y=y+x;
return y;
}
double fanshu2(double a[501])
{
inti;
double temp=0.0;
for(i=0;i<501;i++)
{
temp=temp+a[i]*a[i];
}
temp=sqrt(temp);
return temp;
}
void multi(double a[5][501],double x[501],double y[501]) {
inti,j;
double temp[501]={0};
for(i=0;i<501;i++)
{
temp[i]=0;
for(j=0;j<501;j++)
{
if(((i-j+2)>=0)&((i-j+2)<=4))
temp[i]=temp[i]+a[i-j+2][j]*x[j];
}
}
for(i=0;i<501;i++)
{
y[i]=temp[i];
}
}
int max3(intx,inty,int z)
{
int m;
m=x;
if(m m=y; if(m m=z; return m; } int min2(intx,int y) { int m; m=x; if(m>y) m=y; return m; } double inner(double x[],double y[]) { inti; double temp=0.0; for(i=0;i<501;i++) temp=temp+x[i]*y[i]; return temp; } void solve(double a[5][501],double y[501],double x[501]) { inti,t; double temp1,temp2; for(i=1;i<501;i++) { temp1=0.0; for(t=max3(0,i-2,0);t<=(i-1);t++) temp1=temp1+a[i-t+2][t]*y[t]; y[i]=y[i]-temp1; } x[500]=y[500]/a[2][500]; for(i=499;i>=0;i--) { temp2=0.0; for(t=i+1;t<=min2(i+2,500);t++) temp2=temp2+a[i-t+2][t]*x[t]; x[i]=(y[i]-temp2)/a[2][i]; } } 3运行结果运行结果如下： 1 5011.07001136150001 9.72463409878000 5.55791079423003 s e e e λλλ=-+ =+ =-- 2() 1.92520427390003det() 2.77278614175118 cond A e A e =+=+ 4 讨论 4.1 初始向量的选取 使用幂法和反幂法求解时，都需要给定非零初始向量 01122...n n ααα=+++u x x x 2 1112211111...k k k k n k n n λλλαααλαλλ????????=+++≈ ? ????????? u x x x x （当k 充分大时） 如果选取的向量0u 使得10α=，那么由于计算过程中有舍入误差的影响，必然会在 迭代的某一步产生这样的0u ，它在1x 方向上的分量不为零。这时，相当于以0u 为初始向量重新开始迭代。但是，误差的积累需要时间，可能会导致运算时间变长，或者有可能还没有积累出误差，就已经满足精度条件而不再求解了。 为了探究初始向量选取的影响，我们改变0u 中0和1的个数，求解较s λ、501λ和1λ，结果如下： 初始向量中0和1个数的影响 从表格中可以看出，初始向量中1的个数对计算结果影响很大，只有达到足够多的1时，结果才较为准确。这也启示我们，在以后工程应用中，可以尝试改变初始向量，多次计算，以保证计算结果的准确。 4.2 应用无穷范数和2范数的比较 在幂法和反幂法中，都可以选用无穷范数或2范数计算。2范数计算量小，但有舍 入误差，无穷范数计算量大，但在求最大值时候是没有舍入误差的，本文前面采用了2范数编程。 为了对比两种范数在程序中的效果，本文还编制了无穷范数的计算程序，如下：doublemifawuqong(double a[][501]) { double beta=1.0; double beta1=10.0; doubleyita,u[501],y[501]; double temp=0.0; double err1=1.0; inti,flag; for(i=0;i<501;i++) u[i]=1.0; flag=0; while(err1>err) { beta=beta1; for(i=0;i<501;i++) { if(temp { temp=fabs(u[i]); flag=i; if(u[i]>=0) yita=1; else yita=-1; } } for(i=0;i<501;i++) y[i]=u[i]/temp; multi(a,y,u); beta1=yita*u[flag]; err1=fabs((beta1-beta)/beta); } return beta1; } ，对比：去除其他程序，仅留下求第一步的求按模最大的特征值 m 2范数和无穷范数计算结果对比 可以看出，两种方法误差很小，影响不大。因此在一般的程序中，采用2范数就很好了。 数值分析模拟试卷1 一、填空（共30分，每空3分） 1 设??? ? ??-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________. 3 设?????≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(2 323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________. 4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则 ?=1 )(dx x xq k ________，=)(2 x q ________. 5 设???? ??????=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当 其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设4 9,1,41,)(2102 3 === =x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4 9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足 2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='. （2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式. 三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3 2 41+ =+， （1） 证明R x ∈?0均有? ∞ →=x x n x lim （? x 为方程的根）； （2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值； （3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论. 四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？ 《数值分析B》大作业一 SY1103120 朱舜杰 一．算法设计方案： 1.矩阵A的存储与检索 将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501] . 由于C语言中数组角标都是从0开始的，所以在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素a ij的方法是： A的带内元素a ij=C中的元素c i-j+2,j 2.求解λ1，λ501，λs ①首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。λmin即为λs； 如果λmax>0,则λ501=λmax；如果λmax<0,则λ1=λmax。 ②使用带原点平移的幂法（mifa（）函数），令平移量p=λmax，求 出对应的按摸最大的特征值λ，max， 如果λmax>0,则λ1=λ，max+p；如果λmax<0,则λ501=λ，max+p。 3.求解A的与数μk=λ1+k（λ501-λ1）/40的最接近的特征值λik （k=1,2，…，39）。 使用带原点平移的反幂法，令平移量p=μk，即可求出与μk最接近的特征值λik。 4.求解A的（谱范数）条件数cond（A）2和行列式d etA。 ①cond（A）2=|λ1/λn|，其中λ1和λn分别是矩阵A的模最大和 最小特征值。 ②矩阵A的行列式可先对矩阵A进行LU分解后，detA等于U所有对角线上元素的乘积。 二．源程序 #include 数值分析第二次大作业 史立峰 SY1505327 一、 方案 （1）利用循环结构将sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)() {i j i j ij i j i j a +≠+==(i,j=1,2,……,10)进行赋值，得到需要变换的 矩阵A ； （2）然后，对矩阵A 利用Householder 矩阵进行相似变换，把A 化为上三角矩阵A (n-1)。 对A 拟上三角化，得到拟上三角矩阵A (n-1)，具体算法如下： 记A(1)=A ，并记A(r)的第r 列至第n 列的元素为()n r r j n i a r ij ,,1,;,,2,1) ( +==。 对于2,,2,1-=n r 执行 1. 若 ()n r r i a r ir ,,3,2) ( ++=全为零，则令A(r+1) =A(r),转5；否则转2。 2. 计算 () ∑+== n r i r ir r a d 1 2 )( ()( )r r r r r r r r r r d c a d a c ==-=++则取,0sgn ) (,1)(,1若 )(,12r r r r r r a c c h +-= 3. 令 () n T r nr r r r r r r r r R a a c a u ∈-=++) ()(,2)(,1,,,,0,,0 。 4. 计算 r r T r r h u A p /)(= r r r r h u A q /)(= r r T r r h u p t /= r r r r u t q -=ω T r r T r r r r p u u A A --=+ω)()1( 5. 继续。 （3）使用带双步位移的QR 方法计算矩阵A (n-1)的全部特征值，也是A 的全部特征值，具体算法如下： 1. 给定精度水平0>ε和迭代最大次数L 。 2. 记n n ij n a A A ?-==][) 1()1()1(，令n m k ==,1。 数值分析计算实习题 第二章 2-1 程序： clear;clc; x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; n=length(y1); c=y1(:); for j=2:n %求差商 for i=n:-1:j c(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms x df d; df(1)=1;d(1)=y1(1); for i=2:n %求牛顿差值多项式 df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1)); d(i)=c(i)*df(i); end disp('4次牛顿插值多项式'); P4=vpa(collect((sum(d))),5) %P4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数pp=csape(x1,y1, 'variational');%调用三次样条函数 q=pp.coefs; disp('三次样条函数'); for i=1:4 S=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1]; S=vpa(collect(S),5) end x2=0.2:0.08:1.08; dot=[1 2 11 12]; figure ezplot(P4,[0.2,1.08]); hold on y2=fnval(pp,x2); x=x2(dot); y3=eval(P4); y4=fnval(pp,x2(dot)); plot(x2,y2,'r',x2(dot),y3,'b*',x2(dot),y4,'co'); title('4次牛顿插值及三次样条'); 结果如下： 4次牛顿插值多项式 P4 = - 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98 三次样条函数 北京航空航天大学 数值分析大作业八 学院名称自动化 专业方向控制工程 学号 学生姓名许阳 教师孙玉泉 日期2014 年11月26 日 一．题目 关于x , y , t , u , v , w 的方程组(A.3) ???? ?? ?=-+++=-+++=-+++=-+++79 .0sin 5.074.3cos 5.007.1cos sin 5.067.2cos 5.0y w v u t x w v u t y w v u t x w v u t (A.3) 以及关于z , t , u 的二维数表（见表A-1）确定了一个二元函数z =f (x , y )。 表A-1 二维数表 t z u 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 0 -0.5 -0.34 0.14 0.94 2.06 3.5 0.2 -0.42 -0.5 -0.26 0.3 1.18 2.38 0.4 -0.18 -0.5 -0.5 -0.18 0.46 1.42 0.6 0.22 -0.34 -0.58 -0.5 -0.1 0.62 0.8 0.78 -0.02 -0.5 -0.66 -0.5 -0.02 1.0 1.5 0.46 -0.26 -0.66 -0.74 -0.5 1. 试用数值方法求出f (x , y ) 在区域}5.15.0,8.00|), {≤≤≤≤=y x y x D （上的近似表达式 ∑∑===k i k j s r rs y x c y x p 00 ),( 要求p (x , y )以最小的k 值达到以下的精度 ∑∑==-≤-=10020 7210)],(),([i j i i i i y x p y x f σ 其中j y i x i i 05.05.0,08.0+==。 2. 计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,8 ; j =1,2,…,5) 的值，以观察p (x , y ) 逼 近f (x , y )的效果，其中j y i x j i 2.05.0,1.0**+==。 《数值分析》计算实习题目 第一题： 1. 算法设计方案 （1）1λ，501λ和s λ的值。 1)首先通过幂法求出按模最大的特征值λt1，然后根据λt1进行原点平移求出另一特征值λt2，比较两值大小，数值小的为所求最小特征值λ1，数值大的为是所求最大特征值λ501。 2)使用反幂法求λs ，其中需要解线性方程组。因为A 为带状线性方程组，此处采用LU 分解法解带状方程组。 （2）与140k λλμλ-5011=+k 最接近的特征值λik 。 通过带有原点平移的反幂法求出与数k μ最接近的特征值 λik 。 （3）2cond(A)和det A 。 1）1=n λλ2cond(A)，其中1λ和n λ分别是按模最大和最小特征值。 2）利用步骤（1）中分解矩阵A 得出的LU 矩阵，L 为单位下三角阵,U 为上三角阵，其中U 矩阵的主对角线元素之积即为det A 。 由于A 的元素零元素较多，为节省储存量，将A 的元素存为6×501的数组中，程序中采用get_an_element()函数来从小数组中取出A 中的元素。 2.全部源程序 #include 航空航天大学 《数值分析》计算实习报告 第一大题 学院：自动化科学与电气工程学院 专业：控制科学与工程 学生姓名： 学号： 教师： 电话： 完成日期： 2015年11月6日 航空航天大学 Beijing University of Aeronautics and Astronautics 实习题目： 第一题 设有501501?的实对称矩阵A ， ??? ???? ?????????=5011A a b c b c c b c b a 其中，064.0,16.0),501,,2,1(64.0)2.0sin()024.064.1(1 .0-==???=--=c b i e i i a i i 。矩阵A 的特征值为)501,,2,1(???=i i λ，并且有 ||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤ 1.求1λ，501λ和s λ的值。 2.求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,,2,1(???=k k i λ。 3.求A 的(谱数)条件数2)A (cond 和行列式detA 。 说明： 1.在所用的算法中，凡是要给出精度水平ε的，都取12-10=ε。 2.选择算法时，应使矩阵A 的所有零元素都不储存。 3.打印以下容： （1）全部源程序； （2）特征值），，39,...,2,1(,s 5011=k k i λλλλ以及A det ,)A (cond 2的值。 4.采用e 型输出实型数，并且至少显示12位有效数字。 一、算法设计方案 1、求1λ，501λ和s λ的值。 由于||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤，可知绝对值最大特征值必为1λ和501 λ其中之一，故可用幂法求出绝对值最大的特征值λ，如果λ=0，则1λ=λ，否则 501λ=λ。将矩阵A 进行一下平移： I -A A'λ= （1） 对'A 用幂法求出其绝对值最大的特征值'λ，则A 的另一端点特征值1λ或501λ为'λ+λ。 s λ为按模最小特征值，||min ||501 1i i s λλ≤≤=，可对A 使用反幂法求得。 2、求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,...,2,1(=k k i λ。 计算1)1,2,...,50=(i i λ-k μ，其模值最小的值对应的特征值k λ与k μ最接近。因此对A 进行平移变换： )39,,2,1k -A A k k ==（I μ （2） 对k A 用反幂法求得其模最小的特征值'k λ，则k λ='k λ+k μ。 3、求A 的(谱数)条件数2)(A cond 和行列式detA 。 由矩阵A 为非奇异对称矩阵可得： | | )(min max 2λλ=A cond （3） 其中max λ为按模最大特征值，min λ为按模最小特征值，通过第一问我们求得的λ和s λ可以很容易求得A 的条件数。 在进行反幂法求解时，要对A 进行LU 分解得到。因L 为单位下三角阵，行 列式为1，U 为上三角阵，行列式为主对角线乘积，所以A 的行列式等于U 的行列式，为U 的主对角线的乘积。 数值分析第三次大作业 一、算法的设计方案： （一）、总体方案设计： x y当作已知量代入题目给定的非线性方程组，求（1）解非线性方程组。将给定的(,) i i 得与(,)i i x y 相对应的数组t[i][j],u[i][j]。 （2）分片二次代数插值。通过分片二次代数插值运算，得到与数组t[11][21],u[11][21]]对应的数组z[11][21]，得到二元函数z=(,)i i f x y 。 （3）曲面拟合。利用x[i],y[j],z[11][21]建立二维函数表，再根据精度的要求选择适当k 值，并得到曲面拟合的系数矩阵C[r][s]。 （4）观察和(,)i i p x y 的逼近效果。观察逼近效果只需要重复上面（1）和（2）的过程，得到与新的插值节点(,)i i x y 对应的(,)i i f x y ，再与对应的(,)i i p x y 比较即可，这里求解 (,)i i p x y 可以直接使用（3）中的C[r][s]和k 。 （二）具体算法设计： （1）解非线性方程组 牛顿法解方程组()0F x =的解* x ，可采用如下算法： 1）在* x 附近选取(0) x D ∈，给定精度水平0ε>和最大迭代次数M 。 2）对于0,1, k M =执行 ① 计算() ()k F x 和()()k F x '。 ② 求解关于() k x ?的线性方程组 () ()()()()k k k F x x F x '?=- ③ 若() () k k x x ε∞∞ ?≤，则取*()k x x ≈，并停止计算；否则转④。 ④ 计算(1) ()()k k k x x x +=+?。 ⑤ 若k M <，则继续，否则，输出M 次迭代不成功的信息，并停止计算。 （2）分片双二次插值 给定已知数表以及需要插值的节点，进行分片二次插值的算法： 设已知数表中的点为： 00(0,1,,) (0,1,,)i j x x ih i n y y j j m τ=+=???=+=?? ，需要插值的节点为(,)x y 。 1) 根据(,)x y 选择插值节点(,)i j x y ： 若12h x x ≤+ 或12 n h x x ->-，插值节点对应取1i =或1i n =-， 一、问题分析及算法描述 编写程序，分别用列主元的Gauss 消去法和LU 分解法求解下面线型代数方程组AX=b 的解，其中A 为N ×N 矩阵，N=50，其中第i(i ≥1)行、第j(i ≥1)列元素 a ij =1 i+j ?1， 右端向量b 的第i(i ≥1)个分量为 b i = 10 i+j ?1N j=1. 列主元素Gauss 消去过程中，要用到两种初等行变换。第一种，交换两行的位置；第二种，用一个数乘某一行加到另一行上。在第k 次消元之前，先对增广矩阵 A (k),b (k) 作第一种行变换，使得a ik (k) 中绝对值最大的元素交换到第k 行的主对角线位置上，然后再使用第二种行变换进行消元。如此往复，最后得到一个上三角系数矩阵，并回代求解解向量。由于每次消元前选取了列主元素，因此与顺序Guass 消元法相比，可提高数值计算的稳定性，且其计算量与顺序Guass 消元法相同。列主元的Gauss 消去法要求系数矩阵A 非奇异。 LU 分解法，即通过一系列初等行变换将系数矩阵A 分解成一个下三角矩阵L 与一个上三角矩阵U 的乘积，进一步通过求解两个三角矩阵得出解向量。若L 为单位下三角矩阵，U 是上三角矩阵，则称为Doolittle 分解；若L 为下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵，则称为Crout 分解。若系数矩阵A 的前n-1阶顺序主子式不为零，则Doolittle\Crout 分解具有唯一性。若在每步行变换中选取主元，可提高数值计算稳定性。本算例中采用选主元的Doolittle 分解。 通过分析可知，本算例中待求解线型方程组系数矩阵为非奇异矩阵，且其前n-1阶顺序主子式不为零。方程组的解向量为x = 10,10,?,10 T 。满足列主元高斯消去法以及LU 分解法的基本使用条件。为了验证上述两种方法对本算例的适用性，笔者利用Microsoft Visual C++6.0编写了该算例的列主元高斯消去法以及LU 分解法的程序代码，并进行了运算求解。 插值法 1.下列数据点的插值 x 0 1 4 9 16 25 36 49 64 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图. (1)用这9个点作8次多项式插值Ls(x). (2)用三次样条(第一边界条件)程序求S(x). 从得到结果看在[0,64]上，哪个插值更精确；在区间[0,1]上，两种插值哪个更精确？ 解：(1)拉格朗日插值多项式，求解程序如下 syms x l; x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64]; y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8]; n=length(x1); Ls=sym(0); for i=1:n l=sym(y1(i)); for k=1:i-1 l=l*(x-x1(k))/(x1(i)-x1(k)); end for k=i+1:n l=l*(x-x1(k))/(x1(i)-x1(k)); end Ls=Ls+l; end Ls=simplify(Ls) %为所求插值多项式Ls(x). 输出结果为 Ls = -24221063/63504000*x^2+95549/72072*x-1/3048192000*x^8-2168879/435456000 *x^4+19/283046400*x^7+657859/10886400*x^3+33983/152409600*x^5-13003/2395008 000*x^6 (2)三次样条插值，程序如下 x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64]; y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8]; x2=[0:1:64]; y3=spline(x1,y1,x2); p=polyfit(x2,y3,3); %得到三次样条拟合函数 S=p(1)+p(2)*x+p(3)*x^2+p(4)*x^3 %得到S(x) 输出结果为： S = 23491/304472833/8*x+76713/*x^2+6867/42624*x^3 (3)在区间[0,64]上，分别对这两种插值和标准函数作图， plot(x2,sqrt(x2),'b',x2,y2,'r',x2,y3,'y') 蓝色曲线为y=函数曲线,红色曲线为拉格朗日插值函数曲线，黄色曲线为三次样条插值曲线 010203040506070 -200 20 40 60 80100 可以看到蓝色曲线与黄色曲线几乎重合，因此在区间[0,64]上三次样条插值更精确。 在[0,1]区间上由上图看不出差别，不妨代入几组数据进行比较 ，取x4=[0:0.2:1] 目标：使用带双步位移的QR 分解法求矩阵10*10[]ij A a =的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知：sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)(){i j i j ij i j i j a +≠+== (i,j=1,2, (10) 算法： 以上是程序运作的逻辑，其中具体的函数的算法，大部分都是数值分析课本上的逻辑，在这里特别写出矩阵A 的实特征值对应的一个特征向量的求法： ()[]()() []()[]()111111I 00000 i n n n B A I gause i n Q A I u Bu u λλ-?-?-=-?-?? ?-=????→=??????→= ?? ? 选主元的消元 检查知无重特征值 由于=0i A I λ- ，因此在经过选主元的高斯消元以后，i A I λ- 即B 的最后一行必然为零，左上方变 为n-1阶单位矩阵[]()()11I n n -?-，右上方变为n-1阶向量[]()11n Q ?-，然后令n u 1=-，则 ()1,2,,1j j u Q j n ==???-。 这样即求出所有A所有实特征值对应的一个特征向量。 #include 《数值分析A》计算实习题目第一题 一．算法设计方案： 1.矩阵A的存储与检索 将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501] . 由于C语言中数组角标都是从0开始的，所以在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素a ij的方法是： A的带内元素a ij=C中的元素c i-j+2,j 2.求解λ1，λ501，λs ①首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。λmin即为λs； 如果λmax>0,则λ501=λmax；如果λmax<0,则λ1=λmax。 ②使用带原点平移的幂法（mifa（）函数），令平移量p=λmax，求出对应的按摸最大的特征值λ，max， 如果λmax>0,则λ1=λ，max+p；如果λmax<0,则λ501=λ，max+p。 3.求解A的与数μk=λ1+k（λ501-λ1）/40的最接近的特征值λik （k=1,2，…，39）。 使用带原点平移的反幂法，令平移量p=μk，即可求出与μk最接近的特征值λik。 4.求解A的（谱范数）条件数cond（A）2和行列式d etA。 ①cond（A）2=|λ1/λn|，其中λ1和λn分别是矩阵A的模最大和最小特征值。 ②矩阵A的行列式可先对矩阵A进行LU分解后，detA等于U所有 对角线上元素的乘积。 二．源程序(VS2010环境下，C++语言) #include 北京航空航天大学2020届研究生 《数值分析》实验作业 第九题 院系：xx学院 学号： 姓名： 2020年11月 Q9:方程组A.4 一、 算法设计方案 （一）总体思路 1.题目要求∑∑=== k i k j s r rs y x c y x p 00 ),(对f(x, y) 进行拟合，可选用乘积型最小二乘拟合。 ),(i i y x 与),(i i y x f 的数表由方程组与表A-1得到。 2.),(* * j i y x f 与1使用相同方法求得，),(* * j i y x p 由计算得出的p(x,y)直接带入),(* * j i y x 求得。 1. ),(i i y x 与),(i i y x f 的数表的获得 对区域D ={ （x,y)|1≤x ≤1.24,1.0≤y ≤1.16}上的f (x , y )值可通过xi=1+0.008i ，yj=1+0.008j ，得到),(i i y x 共31×21组。将每组带入A4方程组，即可获得五个二元函数组，通过简单牛顿迭代法求解这五个二元数组可获得z1~z5有关x,y 的表达式。再将 ),(i i y x 分别带入z1~z5表达式即可获得f(x,y)值。 2.乘积型最小二乘曲面拟合 2.1使用乘积型最小二乘拟合，根据k 值不用，有基函数矩阵如下： ????? ??=k i i k x x x x B 0000 ， ????? ??=k j j k y y y y G 0000 数表矩阵如下： ???? ? ? ?=),(),(),(),(0000j i i j y x f y x f y x f y x f U 记C=[rs c ]，则系数rs c 的表达式矩阵为： 11-)(-=G G UG B B B C T T T ）（ 通过求解如下线性方程，即可得到系数矩阵C 。 UG B G G C B B T T T =)()( 2.2计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,31 ; j =1,2,…,21) 的值 ),(**j i y x f 的计算与),(j i y x f 相同。将),(**j i y x 代入原方程组，求解响应) ,(* *ij ij u t 进行分片双二次插值求得),(**j i y x f 。),(* *j i y x p 的计算则可以直接将),(**j i y x 代入所求p(x,y)。 二、 源程序 ********* 第三次数值分析大作业Q9************ integer::i, j, K1, L1, n, m dimension X(31), Y(21), T(6), U(6), Z(6, 6), UX(11, 21), TY(11, 21), FXY(11, 21), C(6, 6) dimension z1(31, 21), z2(31, 21), z3(31, 21), z4(31, 21), z5(31, 21) dimension X1(8), Y1(5), FXY1(8, 5), PXY1(8, 5), UX1(8, 5), TY1(8, 5) 习 题 1. 指出有效数49×102，0.0490，490.00的绝对误差限、相对误差限和有效数字位数． 2. 将 3.142作为π的近似值，它有几位有效数字，相对误差限和绝对误差限各为多少？ 3. 要使101的近似值x * 的相对误差限不超过4102 1?×，问查开方表时x * 需要保留几位有效数字？ 4. 已知近似数x * 有两位有效数字，试估计其相对误差限． 5. 设x * 为x 的近似数, 证明n x * 的相对误差大约为x * 相对误差的n 1倍． 6. 某矩形的长和宽大约为100cm 和50cm, 应该选用最小刻度为多少cm 的测量工具, 才能保证计算出的面积误差（绝对值）不超过0.15cm 2． 7. 已知三角形面积c ab S sin 2 1=，测量a , b , c 时产生的相对误差为)(*a e r ，)(*b e r ，)(*c e r ，其中2 ,0*π< 《数值分析》计算实习作业 （第二题） 算法设计方案： 1、对矩阵A 赋值，取计算精度ε=1×10-12； 2、对矩阵A 进行拟上三角化，得到A (n-1)，并输出A (n-1)； 对矩阵A 的拟上三角化，通过直接调用子函数inftrianglize(A)来实现；拟上三角化得到的矩阵A (n-1)输出至文件solution.txt 中。 3、对A (n-1)进行QR 分解并输出Q 、R 及RQ 矩阵； QR 分解通过直接调用子函数QRdescom(A,Q,R, n)实现。 4、运用QR 方法求所有的特征值，并输出； (1)初始时令m=n ，在m>2的条件下执行； (2)判断如果|A mm-1|<ε，则得到一个特征值，m=m-1，转(4)；否则转(3)； (3)判断如果|A m-1m-2|<ε，则得到两个特征值，m=m-2，转(4)； (4)判断如果m ≤2，转(6)；否则转(5)； (5)执行相似迭代，转(2)； k k T k k k k k k k k k k Q A Q A R Q M I D A D tr A M ==+-=+1)2)det(( (6)求出最后的一个或两个特征值； (7)输出全部的特征值至文件solution.txt 中。 5、输出QR 分解法迭代结束之后的A (n-1)至文件solution.txt 中； 6、通过反幂法求出所有实特征值的特征向量并输出。 首先令B=(A-λi I)，其中λi 是实特征值；反幂法通过调用子函数Bpowmethod(B,x1)实现，最终λi 对应的特征向量就是x1；最后将所有的实特征值的特征向量输出。 《数值分析》计算实习题 姓名： 学号： 班级： 第二章 1、程序代码 Clear;clc; x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; n=length(y1); c=y1(:); for j=2:n %求差商 for i=n:-1:j c(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms x df d; df(1)=1;d(1)=y1(1); for i=2:n %求牛顿差值多项式 df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1)); d(i)=c(i-1)*df(i); end P4=vpa(sum(d),5) %P4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, 'variational');%调用三次样条函数 q=pp.coefs; q1=q(1,:)*[(x-.2)^3;(x-.2)^2;(x-.2);1]; q1=vpa(collect(q1),5) q2=q(1,:)*[(x-.4)^3;(x-.4)^2;(x-.4);1]; q2=vpa(collect(q2),5) q3=q(1,:)*[(x-.6)^3;(x-.6)^2;(x-.6);1]; q3=vpa(collect(q3),5) q4=q(1,:)*[(x-.8)^3;(x-.8)^2;(x-.8);1]; q4=vpa(collect(q4),5)%求解并化简多项式 2、运行结果 P4 = 0.98*x - 0.3*(x - 0.2)*(x - 0.4) - 0.625*(x - 0.2)*(x - 0.4)*(x - 0.6) - 0.20833*(x - 0.2)*(x - 0.4)*(x - 0.8)*(x - 0.6) + 0.784 q1 = - 1.3393*x^3 + 0.80357*x^2 - 0.40714*x + 1.04 数值分析计算实习题（二） SY1004114 全昌彪一：算法设计方案概述： 本题采用fortran90语言编写程序，依据题目要求，采用带双步位移QR分解法求出所给矩阵的所有特征值，并求出相应于其实特征值的特征向量，以及相关需要给出的中间结果。 1、矩阵的A的初始化（赋值）：利用子函数initial（a,n）来实现，返回n×n 维二维数组a。 2、A矩阵的拟上三角化：利用子函数hessenberg(a,n)，在对矩阵进行QR分解前进行拟上三角化，这样可以提高计算效率，减少计算量，返回A矩阵的相似矩阵Hessenberg阵A(n-1)。 3、对A(n-1)进行带双步位移QR分解得出Ｃｍ及A矩阵的所有特征值，这一步利用了两个子函数eigenvalue(a,n,lamda,lamdai)和qrresolve(b,c,m) 带双步位移QR分解可以加速收敛。每次QR分解前先进行判断，若可以直接得到矩阵的特征值，则对矩阵直接降阶处理；若不可以，则进行QR分解，这样就进一步减少了计算量，提高了计算效率。考虑到矩阵A可能有复特征值，采用两个一维数组lamda(n)及lamdai(n)分别存储其实部和虚部。在双步位移处理及降阶过程中，被分解的矩阵Ａk(m ×m)及中间矩阵M k(m×m)的维数随m不断减少而降阶，于是引入了动态矩阵C(m×m)和B(m×m)分别存储，在使用前，先声明分配内存，使用结束后立即释放内存。返回A(n-1)经双步位移QR分解后的矩阵及Ａ矩阵的所有特征值。 4、特征向量的求解：采用子函数eigenvector(a,lamda)实现求解A矩阵的属于实特征值的特征向量。核心算法为高斯列主元消去法，(A-λI)x=b,b=0,回代过程令x(10)=1，即可求出对应于每一实特征值的特征向量的各个元素。 5、相关输出结果：所有数据均采用e型输出，数据保留到小数点后12位。对于Ａ矩阵的拟上三角化结果集双步位移QR分解结果比较庞大，为了更好的显示，还采用了ｆ型输出，保留５位小数。所有计算精度水平Ｅ＝10-12。 二：算法fortran源程序 !此函数用于给A赋值，即初始化A矩阵 subroutine initial(a,n) integer :: i,j dimension a(n,n) double precision a do i=1,n do j=1,n if (i==j) then a(i,j)=1.5*cos(i+1.2*j) else a(i,j)=sin(0.5*i+0.2*j) end if end do end do 一、算法设计方案 1.使用牛顿迭代法，对原题中给出的i x i 08.0=，j y j 05.05.0+=， (010 ,020i j ≤≤≤≤)的11*21组j i y x ,分别求出原题中方程组的一组解，于是得到一组和i i y x ,对应的j i t u ,。 2.对于已求出的j i t u ,，使用分片二次代数插值法对原题中关于u t z ,,的数表进行插值得到 ij z 。于是产生了z=f(x,y)的11*21个数值解。 3.从k=1开始逐渐增大k 的值，并使用最小二乘法曲面拟合法对z=f(x,y)进行拟合，得到每次的σ,k 。当7 10-<σ时结束计算，输出拟合结果。 4.计算)5,,2,1,8,,2,1)(,(),,(* ***???=???=j i y x p y x f j i j i 的值并输出结果，以观察),(y x p 逼近),(y x f 的效果。其中j y i x j i 2.05.0,1.0* *+==。 二、算法实现方案 1、求(,)f x y ： （1）Newton 法解非线性方程组 0.5cos 2.670.5sin 1.07(1)0.5cos 3.740.5sin 0.79 t u v w x t u v w y t u v w x t u v w y +++-=??+++-=? ? +++-=??+++-=?， 其中，t, u, v ,w 为待求的未知量，x, y 为代入的已知量。 设(,,,)T t u v w ξ=，给定精度水平12110ε-=和最大迭代次数M ，则解该线性方程组的迭代格式为： *(0)(0)(0)(0)(0)(k+1) ()()1()(,,,)()()0,1,T k k k t u v w F F k ξξξ ξξξ-?=?'=-??= ? 在附近选取初值， 迭代终止条件为()(1) () 1/k k k ξξ ξε-∞ ∞ -≤，若k M >时仍未达到迭代精度，则迭代计算失 败。 其中，雅可比矩阵 0.5*cos(t) + u + v + w - x - 2.67t + 0.5*sin(u) + v + w - y - 1.07()0.5*t + u + cos(v) + w - x - 3.74t + 0.5*u + v + sin(w) - y - 0.79F ξ???? ? ?=?????? ，北航2010-2011年研究生数值分析期末模拟试卷1-3
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