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自控习题及解答
第二章
2-2 若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出响应c(t)=1-e -2t +e -t ，试求系统的传递函数和脉冲响应。
【解】根据传递函数的定义，其传递函数为零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号拉氏变换之比，即
()1111
()()/()21C s G s R s s s s s
==-+++ 242(1)(2)s s s s ++=++
2-3 设系统传递函数为
3
42
)(2++=
s s s G
初始条件0/)0(,1)0(=-=dt dc c 。求单位阶跃输入r (t)=1(t)时，系统的输出响应c (t)。 【解】系统传递函数与微分方程是一一对应的，故通过传递函数先求出微分方程，然后通过拉氏变换的方法求解微分方程。
系统对应的微分方程为 4()3()2()c c t c t r t ++=&&&
在给定的非零初始条件下，进行拉氏变换
22
(43)()(0)(0)4(0)s s C s sc c c s
++---=
& 整理后
2221
()(43)(43)
s C s s s s s s +=
-++++
部分分式展开后，拉氏反变换
111223242/35/25/6()[()][][]
(43)(43)13
255326
t t s c t L C s L L s s s s s s s s e e -----+==-=-+++++++=
-+
2-4 在图2-48中，已知G (s) 和H (s)两方框对应的微分方程分别为
()2()5()
4()3()6()
c t c t e t b t b t c t +=+=&&
图2-48 习题2-4系统结构框图
且初始条件为零，试求传递函数C (s)/R (s)。
【解】求出每个方框的传递函数，利用反馈等效的方法求C(s)/R(s)。 根据定义可得
5()2G s s =
+，6()43
H s s =+ 2
5
5
()5()25(43)10075(2)
56()1()()(2)(43)3041136
1(2)(43)
C s G s s s s R s G s H s s s s s s s +++====+++++++++
2-5 图2-49是由电阻、电容和运算法放大器组成的无源网络和有源网络，试列写以V in (t)为输入量，V out (t)为输出量的传递函数。
(a) （b ）
(c) (d)
图2-49 习题2-5电路图
【解】(a) 1211211
,1
R Z R Z C s RC s C s
=
==
+P 2
2112
121211
()1
()1
1Z C s RC s G s R Z Z R C C s RC s C s +=
=
=
++++
+
（b ） 211
2221
1
R Z R Z R Cs R Cs ==
=+P 2
222111211
()1
R Z R Cs R G s Z R R R Cs +=-==-+g
R
C
(c) 323211
23232321()
(1)1()1()1R R R R Cs Cs Z R Z R R Cs R R Cs R R Cs
+
+==+=
=++++P 323232211132(1)()11
()()1
R R Cs R R Cs R Z R Cs G s Z R R R R Cs ++++=-=-=-++g
(d) 本题和(b)、(c)做法图通，因为反馈通路有接地的部分。根据理想运放的假定，负端输入
为虚地和虚开。设R 2和R 3中间节点的电压为V ，则有
12
2
301/in out V V R R V V V V R R Cs ?=-???
--?=+
?? 由此，得2123311()in out R V V R V V Cs R R R ?
=-????++=?? 在两式中消去V ，可得到V in 与V out 的关系式
23231
1
()out in V R R R R Cs V R =-++ 2-6设弹簧特性由下式描述
1.165.12y F =
其中，F 是弹簧力，y 是变性位移。若弹簧在变性位移0.25附近做微小变化，试推导△F 的线性化方程。
【解】
00
1.1,,1
2.65 1.1(0.25)12.11y y y y y F F F dF F y F y y
dy
=?=-?=-?=
??=???=?
2-7 试简化图2-50中的系统结构图，并求传递函数C (s)/R (s)和C (s)/N (s)。
图2-50 习题2-7结构图
【解】 （1）求C(s)/R(s)， 由于N(s)=0，所以很简单
12
12122
()
()1
G G
C s
R s G G H G H
=
++
(2) 求C(s)/N(s)，等效反馈内回路和相关串联通路，有下列图化简
移动相加点后，
1223
12122
1
()
()1
G G G G
C s
N s G G H G H
++
=
++
2-8 已知系统结构图如图2- 51所示，试通过结构图等效变换求系统的传递函数C(s)/R(s)。
(c) (d)
)
(s
C
)
(s
N
112
22
()()()
1()()
G s H s G s
G s H s
+
23
22
()()
1()()
G s G s
G s H s
+
11
()()
G s H s
)
(
3
s
G
)
(s
C
)
(s
N
2
22
()
1()()
G s
G s H s
+
)(
2
s
G
)
(s
H
)
(s
R)
(s
C
)(
1
s
G
)(s
G
)(s
H
)
(s
R)
(s
C
)
(s
B
10
(e)
(f)
(g)
图2-51 习题2-8 结构图
【解】
(a)
121234()()1()()G G C s R s G G G G +=++-, (b) 122212()
()1()
G G G C s R s G H H +=+-
)
(2s G )
(s H )
(s R )
(s C )
(1s G )
(s G )
(s H )
(s R )
(s C )
(s B 10
)(3s G )
(1s H )
(s R )
(s C )(1s G )
(2s H )
(2s G )
(2s H )(3s G )
(1s H )
(s R )
(s C )
(1s G )
(2s G )
(3s G )
(s H )
(s (s C )
(1s G )
(2s G
?
()10(1)
()1C s GH R s H GH
-=+-,
(d)
12
2()()1G G C s R s G H
-=+
(e)
1323133()
()1G G G G C s R s G G G H
+=++ 2-9 图2-52介绍了一种非常灵活的电路结构，它的传递函数可以化为两个二阶或一个四阶系统。通过选择R a , R b , R c , R d 的不同值，电路可以实现低通、高通或带阻滤波器功能。 （a ） 证明如果R a =R ，R b =R c =R d =∞,则从V in , 到V out 的传递函数可以写成以下的低通滤波
器的形式
1
222++=Ts s T A
V V in out ξ 其中，2
12,,R R
RC T R R A out ===
ξ
)
(s C
)
(b) 若R a=R，R d=R1，R b=R c=
∞，求出电路描述的传递函数
in
out
V
V
。
图2-52 习题2-9电路图
2-10 画出图2-53中各系统结构图对应的信号流图，并用梅逊增益公式求各系统的传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。
【解】(a) 信号流图如下
13231424
1323
()
()1
G G G G G G G G
C s
R s G G G G
+++
=
++
()
1
()
C s
N s
=
(b) 信号流图如下
1
1
G
2
G
1
R C
1
N
3
G
4
1
-1
)
(t
u
o
C
1
R
2
R
b
R
c
R
C
R
R
in
V
d
R
R
R
out
V
R
a
R
112233441234112212343434
,1,,,1,,1,i p G G p p G G p G G G G L G G L G G G G L L G G =-=-==-?==-===-
1
2341234
12123434
1()()G G G G G G G G C s R s G G G G G G G G -+-=++ (c) 信号流图如下
`
求C(s)/R(s)
112225345112
,,L G G H L G G L G G p G G =-=-==,
12313145
11L L L L L G G ?=---+?=-
12451225451245
(1)()()1G G G G C s R s G G H G G G G G G HG G -=++-- 求C(s)/N(s)
112225345
1322145245
,,,,1,1L G G H L G G L G G p G p G G G G G =-=-===?=-?=-
23451225451245
()(1)()
()1G G G G C s N s G G H G G G G G G HG G +-=++-- 1
1
G 2
G 1
R C
1N
3
G 4
G H
-1
-5
G 1
34G G 1
R C
1
E
1
-G G 1
-1
1
1
-1
-
2-11 试用梅逊增益公式求图2-54中各系统信号流图的的传递函数C (s)/R (s)。
【解】 (a) 四条回路，3,4不接触，两条前向通路，第二余项1+G 3
123453123421231352352
(1)()
()1G G G G G G C s R s G G G G H G G G H G G H G G H ++=+++++
(b) 三条回路，两条回路不接触，两条前向通路，两个余项匀不为1
12341232331223312312313
(1)1(1)
()()1G G G G f G G f G f C s R s G G f G f f G G f f G f f -+?-+=-+-+-
? ()(1)()1C s abcd f ch agd
R s ae ch aech
+-+=--+
)
s
)
s
)
s