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复数与平面向量的联系

课题：研究性学习课题：复数与平面向量的联系教学目的：

1. 理解复数与从原点出发的向量的对应关系

2. 了解复数加减法运算的几何意义

教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．

教学难点：复数加减法运算的几何意义

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =

2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，

b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标

即 =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1) 4.复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系

中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系中

的点集之间可以建立一一对应的关系.

点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系

来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴

实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所

确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i

非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.

复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.

5.复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .

与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).

二、讲解新课：１．复平面内的点(,)Z a b ←???

→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←???

→一一对应

平面向量OZ 3.复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量

为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，

b )，2OZ =(

c ，

d )1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，

∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i

4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

三、讲解范例：

例1已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？

解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，

∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，

∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.

点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关

例2 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数.

解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R )，是：

OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ;

OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i . ∵=

，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ， ∴???-=-=-,32,11y x 解得???-==.

1,2y x 故点D 对应的复数为2－i .

分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.

解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是(－2+i )+

(x +yi )=0，∴x =2，y =－1.

故点D 对应的复数为2－i .

点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，

往往能起到启迪解题思路的作用

四、课堂练习：

1.已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R )分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量21Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值. 解：21Z Z 对应的复数为z 2－z 1，则

z 2－z 1=a －1+(a 2+2a －1)i －［a 2－3+(a +5)i ］=(a －a 2+2)+(a 2+a －6)i ∵z 2－z 1是纯虚数

∴?????≠-+=+-0

60222a a a a 解得a =－1. 2．已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.

解：设D （x ,y ),则

OA OD AD -=对应的复数为(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i

OB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i )－(－2+i )=1－3i ∵= ∴(x －1)+(y －2)i =1－3i

∴???-=-=-3211y x ,解得???-==1

2y x ∴D 点对应的复数为2－i

五、小结：复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量1OP 、2OP ，那么，以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS 就是z 1+z 2的和所对应的向量复数减法的几何意义：两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

六、课后作业：

七、板书设计（略）八、课后记：

复数、平面向量与算法(教师版)

高考微点二复数、平面向量与算法牢记概念公式，避免卡壳 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )概念 (1)分类：当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数. (2)z 的共轭复数z －＝a －b i. (3)z 的模|z |＝a 2＋b 2. 2.复数的四则运算法则 (a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ； (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋ d 2 i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0). 3.平面向量的有关运算 (1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b a ＝λb . 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b ＝0|a ＋b |＝|a －b |. (2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1 ）2. (4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 2 2. 4.算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构；(2)条件结构；(3)循环结构. 活用结论规律，快速抢分 1.复数的几个常用结论 (1)(1±i)2＝±2i ； (2) 1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i. 2.复数加减法可按向量的三角形、平行四边形法则进行运算. 3.z ·z －＝|z |2 ＝|z － |2. 4.三点共线的判定

第六章平面向量与复数

第六章平面向量与复数 , 第32课向量的概念与线性运算激活思维 1. (必修4P 67练习4改编)化简：AB →＋CD →＋DA →＋BC → ＝________． 2. (必修4P 62习题5改编)判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a|＝|b |，则a ＝b ；③若|a|>|b|，则a>b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的个数是________． 3. (必修4P 57习题2改编)对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”成立的________条件． (第4题) 4. (必修4P 60例1改编)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF → ＝________． 5. (必修4P 68习题10改编)在△ABC 中，若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC → |，则△ABC 的形状是________．知识梳理 1. 向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量叫作向量．向量的大小叫向量的________(或模)． 2. 几个特殊的向量 (1) 零向量：____________，记作____，其方向是任意的． (2) 单位向量：________________________． (3) 平行向量：________________________，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线． (4) 相等向量：________________________． (5) 相反向量：________________________． 3. 向量的加法 (1) 运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量是____________的对角线所对应的向量． (2) 运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以____________为起点，即由第一个向量的起点指向____________的向量为和向量． 4. 向量的减法将两个已知向量平移到公共起点，差向量是________的终点指向________的终点的向量．注意方向指向被减向量．

第五章 5.4平面向量及复数

§5.4复数最新考纲考情考向分析 1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义.能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示. 4.能进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，突出考查运算能力与数形结合思想.一般以选择题、填空题的形式出现，难度为低档. 1.复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C＝{a＋b i|a，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位). (2)分类：满足条件(a，b为实数) 复数的分类a＋b i为实数?b＝0

(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ). (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R ). (5)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R ). 2.复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系. 3.复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R . (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→ ，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.

2018届高三数学(理)一轮总复习练习-第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-4 Word版含答案

课时规范训练基础演练]) ．(·高考北京卷)复数＝( ) ．＋．．－．－解析：选＝＝＝. ．设∈，则“＝”是“复数＝(－)＋(＋)为纯虚数”的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．既不充分也不必要条件．充分必要条件解析：选.由纯虚数的定义知解得＝，故选. ．若复数的实部与虚部相等，则实数等于( ) ．．．－解析：选.依题意得＝＝， ∴＝，解得＝. ．在复平面内，复数(是虚数单位)所对应的点位于( ) ．第二象限．第一象限．第四象限．第三象限解析：选.∵＝＝＝－＋，∴－＋对应的点为，在第二象限．．已知∈，复数＝＋，＝－，若为纯虚数，则复数的虚部为( ) ．．．解析：选.由＝＝＝＋是纯虚数，得＝，此时＝，其虚部为. ．(·江西九江一模)设复数＝，则的共轭复数为( ) ．＋－．＋．－解析：选＝＝＝＋，故选. ．复数＝(为虚数单位)，则等于( ) ．．

．．解析：选＝＝－－，所以＝＝. ．设复数满足(－)(－)＝，则＝．解析：因为＝＋，∴＝＋. 答案：＋．已知，∈，是虚数单位，若－与＋互为共轭复数，则(＋)＝．解析：由已知得，＝，＝，即＋＝＋，所以(＋)＝(＋)＝＋. 答案：＋．若复数＝＋，其中是虚数单位，则·＝. 解析：·＝·＋＝＋＝. 答案：能力突破]) ．设是虚数单位，表示复数的共轭复数．若＝＋，则＋·＝( ) ．－．－．．解析：选.∵＝＋，∴＝－，＝＝＝－，∴＋·＝－＋(－)＝(－)(＋)＝.．已知集合＝，是虚数单位，为整数集，则集合∩中的元素个数是( ) ．．．．解析：选.由已知得＝{，－，－，}，为整数集， ∴∩＝{－，}，即集合∩中有个元素．．已知复数＝＋，则＋＋＋…＋为( ) ．＋．－．．解析：选＝＋＝＋＝， ∴＋＋＋…＋＝＝＝＝＝，故选. ．已知复数＝，是的共轭复数，则·＝．解析：法一：根据题意＝＝－＋，则＝－－，所以·＝·＝＋＝. 法二：·＝＝＝

向量、三角函数和解三角形、复数、函数测试试卷

阶段性考试试卷姓名：分数：一、选择题（每题5分，共13题，65分） 1．若命题1)1(log ),,0(:2≥+ +∞∈?x x x p ，命题01,:0200≤+-∈?x x R x q ，则下列命题为真命题的是( ) A.p q ∨ B.p q ∧ C.()p q ?∨ D.()()p q ?∧? 2．已知函数，则不等式f （x ）≤5的解集为（） A ．[﹣1，1] B ．（﹣∞，﹣2]∪（0，4） C ．[﹣2，4] D ．（﹣∞，﹣2]∪[0，4] 3．设复数z 满足 11z i z +=-,则的z 虚部为（） A ．i - B ．i C ．1 D ．1- 4．函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且在区间]0,(-∞上是减函数，则不等式)1()(ln f x f -<的解集为( ) A.()+∞,e B.??? ??+∞,1 e C.??? ??e e ,1 D.?? ? ??e 1,0 5．已知函数2 ()(1)x f x e x =-+（e 为自然对数的底），则()f x 的大致图象是（） 6．对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（） A ．||||||a b a b ?≤ B ．a b a b -≤- C ．() 2 2a b a b +=+ D ．()() 22a b a b a b +-=- 7．若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ?∈+∞≠，有()() 2121 0f x f x x x -<-，则（） A ．()()()213f f f -<< B ．()()()123f f f <-< C ．()()()312f f f << D ．()()()321f f f <-< 8．已知函数()sin()(0,||)2 f x x π ω?ω?=+>< 的最小正周期为π，且其图像向左平移 3 π 个单位后得到函数 ()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（） A ．关于直线12 x π =对称 B ．关于直线512 x π = 对称 C ．关于点( ,0)12 π 对称 D ．关于点5( ,0)12 π 对称

第06练-平面向量与复数(解析版)

第06练-平面向量与复数一、单选题 1．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2 B ．2 C ．1 2 D ．-1 【答案】C 【解析】 2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以2121 0,0552 a a a -+=≠∴=，选C. 2．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i 【答案】B 【解析】【分析】利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足 21i i z =-，∴ ()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．虚数()2++x yi ，,x y R ∈，当此虚数的模为1时，y x 取值范围为（） A ．???? B ．???? ?? ???? U C ．?? D ．)( ??? 【答案】B 【解析】【分析】虚数()2++x yi ，得0y ≠，根据模长公式可得2 2 (2)1,0x y y ++=≠， y x 表示圆上点（去掉与x 轴交

点）与坐标原点的连线的斜率，当连线为圆的切线时为最大和最小值，即可求出结论. 【详解】虚数()2++x yi ，得0y ≠，虚数()2(,)x yi x y R ++∈的模为1， 2222(2)1,(2)1,0x y x y y ∴++=++=≠， y x ∴表示圆上的点（去掉与x 轴交点）与坐标原点的连线斜率， 0y x ∴≠，当过原点的直线与22(2)1x y ++=相切时， y x 取得最值，如下图所示，圆心C ，切点分别为,A B ， 3tan tan 3 BOC AOC ∠=∠= ，切线,OA OB 的斜率分别为33 ,33 - ，所以30y x - ≤<或30y x <≤ . 故选:B. 【点睛】本题以虚数的模的背景，考查斜率的几何意义和直线与圆的位置关系，要注意虚数条件，不要忽略，属于中档题. 4．设复数11i z i =+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP uuu v ，OQ uuu v （O 为原点），则OP OQ ?=u u u v u u u v （） A ．1 2 - B ．0

第五章 5.2平面向量及复数

§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲考情考向分析 1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.

1.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. 其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标表示 (1)向量及向量的模的坐标表示 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB → |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋ b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1). 3.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线?x 1y 2－x 2y 1＝0.

复数与平面向量三角函数的联系习题精选

复数与平面向量、三角函数的联系习题精选（三）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列命题中，正确的是 A.任何两个复数都不能比较它们的大小 B.复数的模都是正实数 C.模相等且方向相同的向量，不管它们的起点在哪里，都是相等的向量 D.复数集C 与复平面内所有向量组成的集合一一对应 2.复数z =（a 2 －2a +3）－(a 2 －a +2 1 )i (a ∈R )在复平面内对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若(x －2)+yi 和3+i 是共轭复数，则实数x 、y 的值是 A.x =3且y =3 B.x =5且y =1 C.x =5且y =－1 D.x =－1且y =1 4.下面四个式子中，正确的是 A.3i >2i B.|3+2i |>|－4－i | C.|2－i |>2 D.i 2 >－i 5.已知z 1=x +yi ,z 2=－x －yi (x ,y ∈R ).若z 1=z 2，则z 1在复平面上的对应点一定位于 A.虚轴上 B.虚轴的负半轴上 C.实轴上 D.坐标原点 6.设z 1，z 2∈C ,且z 1z 2≠0,A =z 1z 2+z 2z 1,B =z 1z 1+z 2z 2,则A 与B 之间 A.不能比较大小 B.A ≤B C.A ≥B D.A =B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.设复数z 满足关系式z +|z |=2+i ,则z =___________. 8.如果复数z =3+ai 满足条件|z －2|<2，则实数a 的取值范围为___________. 9.满足条件{x |x 2 +1=0,x ∈R }M {m ||log 3m +4i |=5,m >0}的所有集合M 的个数是______

高考数学专题练习：平面向量与复数

高考数学专题练习：平面向量与复数 1．已知向量a ＝(－1,2),b ＝(3,m ),m ∈R ,则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得a ＋b ＝(2,2＋m ),由a ∥(a ＋b ),得－1×(2＋m )＝2×2,解得m ＝－6,则m ＝－6时,a ＝(－1,2),a ＋b ＝(2,－4),所以a ∥(a ＋b ),则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件,故选A. 答案：A 2．在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,已知AD ＝4,BC ＝6,若CD →＝mBA →＋nBC →(m ,n ∈R ),则m n ＝( ) A ．－3 B ．－13 C.13 D ．3 解析：过点A 作AE ∥CD ,交BC 于点E ,则BE ＝2,CE ＝4,所以mBA →＋nBC →＝CD →＝EA →＝EB →＋BA →＝－26BC →＋BA →＝－13BC →＋BA →,所以m n ＝1－13 ＝－3. 答案：A 3．已知向量a ＝(x ,3),b ＝(x ,－3),若(2a ＋b )⊥b ,则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 解析：因为(2a ＋b )⊥b ,所以(2a ＋b )·b ＝0,即(3x ,3)·(x ,－3)＝3x 2－3＝0,解得x ＝±1,所以a ＝(±1,3),|a |＝ ±12＋32＝2,故选D. 答案：D 4．已知向量a ＝(m,1),b ＝(m ,－1),且|a ＋b |＝|a －b |,则|a |＝( ) A ．1 B.62 C. 2 D ．4 解析：∵a ＝(m,1),b ＝(m ,－1),∴a ＋b ＝(2m,0),a －b ＝(0,2),又|a ＋b |＝|a －b |,∴|2m |＝2,∴m ＝

高中数学讲义第四章平面向量与复数(超级详细)

高中数学复习讲义第四章平面向量与复数【知识图解】 Ⅰ.平面向量知识结构表 Ⅱ.复数的知识结构表【方法点拨】由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用. 2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决. 4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.

第1课向量的概念及基本运算【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题：①若=a b ，则=a b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形为平行四边形的充要条件；③若,==a b b c ，则=a c ；④=a b 的充要条件是=a b 且//a b ；⑤若//a b ， //b c ，则//a c 。其中，正确命题材的序号是②③ 2. 化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r 得0 3.在四边形ABCD 中，=a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形 4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则OP u u u r ＝21 33 +a b ， OQ u u u r ＝12 33+a b (用a 、b 表示) 【范例导析】例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ，求证：2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r . 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ，由EA AB EB +=u u u r u u u r u u u r 和EF FB EB +=u u u r u u u r u u u r 可得，EA AB EF FB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r （1）由ED DC EC +=u u u r u u u r u u u r 和EF FC EC +=u u u r u u u r u u u r 可得，ED DC EF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r （2）（1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=u u u r u u u r r ，0FB FC +=u u u r u u u r r ，代入（3）式得，2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r 点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形. 例1

2015届高三(文)一轮同步训练：第5单元《平面向量与复数》(含答案)

第五单元平面向量与复数第26讲平面向量的概念及线性运算 1.设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形 D ．平行四边形 2.已知向量a ＝(x,1)，b ＝(3,6)，a ∥b ，则实数x 的值为( ) A.12 B ．－2 C ．2 D ．－12 3.△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA →＝b ，|a|＝1，|b|＝2，则 CD →＝( ) A.13a ＋23b B.23a ＋13 b C.35a ＋45b D.45a ＋35 b 4.设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PB →＋PC →＝0 C.PC →＋P A →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0 5.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，BD →＝(－3，－5)，则AC →＝________. 6.设向量a ＝(cos θ，1)，b ＝(1,3cos θ)，且a ∥b ，则cos 2θ＝________. 7.已知向量OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →的模的最大值是________． 8.如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知BC →＝a ，BD →＝b ，试用a 、b 分别表示DE →、CE →和MN → . 9.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )． (1)若向量a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标； (2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．

平面向量、复数w

平面向量一、向量 1、即有大小又有方向的量叫向量 2、O 方向是任意的 3、单位向量a =1 4、平行向量?共线向量 ?//,a b a b ? 方向相同或相反。（注意//o a ） 5、相反向量,a a - 6、相等向量——方向相同，长度相等。注：//,////a b b c a c ?/ （当b o = 不成立）。二、向量的运算 1．加法（1）平行四边形法则（共起点、对角线）（2）三角形法则（首尾相连，起点到终点） 122311n n n A A A A A A A A -+++= 2．减法，共起点，终点指向被减数向量 3．实数与向量的积（1）a λ 仍是一个向量|||||| 0000a a a a a a a λλλλλλλλ=?? >??

①a b b a ?=? ②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ③()a b c a c b a +?=?+? 但 ()()a b c a b c ??≠?? a b a c b c ?=??=/ ()0a b a o b o ?=?==/ 或（可能a ⊥b ） (4)cos ||||a b a b θ?==? (5) ||||||a b a b ?≤? 三、平面向量的基本定理 12,e e 不共线，在平面内任一向量a ，有且仅有唯一12,R λλ∈，使1122a e e λλ=+ 。当12,e e 为i ，j 时，12(,)λλ即为直角坐标四、平面向量的坐标运算 1. 11222121(,)(,)(,)A x y B x y AB x x y y =-- 则 2. 1212(,)a b x x y y ±=±± 3. 1212a b x x y y ?=+ 4. 12120a b x x y y ⊥?+= 5. 1221//0a b x y x y ?-= ?=λ（)R ∈λ cos θ= 7. a b 在五、定比分点公式 AP AP PB PB λλ=?= 000,1P P P A P λλλλ>??

福建省高考数学(理科)-平面向量与复数-专题练习有答案

福建省高考数学（理科）-专题练习平面向量与复数 = a b．若向量 B．[2- 的直径，C，D MD NC的值是（ 2 二、填空题．共且AP xAB y AD =+．当 12．（本小题满分15分）已知a，b是两个单位向量．（Ⅰ）若|32|3 -= a b，试求|3+| a b的值；（Ⅱ）若a，b的夹角为60，试求向量2+ = m a b与23 =- n b a的夹角． 13．已知向量(= a， 1 ( 2 = b，存在非零实数k和t，使得向量2 +(3) t =- x a b，+ k t =- y a b，

且⊥x y ．问2 k t t +是否存在最小值？若存在，求其最小值；若不存在，说明理由．福建省高考数学（理科）-专题练习平面向量与复数答案 11．解：由1+i z =，可知1i z =-，代入2+2(+2)az bz a z =得： 2(1+i)+2(1i)[+2(1+i)]a b a -=，即2+2+(-2)i (+2)4+4(+2)i a b a b a a =- 则()2 +2+2424(+2) a b a a b a ?=-??-=??，解得42a b =-??=?或21a b =-??=-?． 12．解：（Ⅰ）∵a ，b 是两个单位向量，∴||||1==a b ，又| 32|3-=a b ， ∴ 229||12+4||9-=a a b b ，即1 3 = a b ． ∴ |3+| ==a b （Ⅱ） |m|====， +9||===|n |b a 227 (2+)(23)2||+6||2 =-=-=-m n a b b a b a b a ，

2015届高考数学总复习第四章平面向量与复数第4课时复数课时训练

第四章平面向量与复数第4课时复数 1. (2013·南通期末)已知复数z ＝3－2i i (i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第________象限．答案：三解析：z ＝3－2i i ＝（3－2i ）（－i ）i （－i ）＝－2－3i. 2. (2013·苏州期末)设复数z 满足z(2＋i)＝1－2i(i 为虚数单位)，则|z|＝________．答案：1 解析：由z(2＋i)＝1－2i ，得z ＝1－2i 2＋i ＝（1－2i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝0－5i 5＝－i ，故|z|＝1. 3. (2013·徐州三模)已知i 是虚数单位，若a ＋3i i ＝b ＋i(a 、b ∈R )，则ab 的值为________．答案：－3 解析：由a ＋3i i ＝b ＋i(a 、b ∈R )，得a ＋3i ＝bi －1，根据复数相等的条件得a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3. 4. (2013·常州期末)已知复数z ＝－1＋i(i 为虚数单位)，计算：z·z －z －z －＝________．答案：－i 解析：z ＝－1＋i ，z·z －z －z －＝（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）－（－1－i ）＝22i ＝－i. 5. (2013·苏锡常镇一模)若实数a 满足2＋ai 1－i ＝2i ，其中i 是虚数单位，则a ＝________．答案：2 解析：由2＋ai 1－i ＝2i 得2＋ai ＝(1－i)2i ，即2＋ai ＝2＋2i ，根据实部、虚部分别相等，可知a ＝2. 6. 若z －·z ＋z ＝154 ＋2i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________．答案：－12 ＋2i 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由z －·z ＋z ＝154＋2i ，得x 2＋y 2＋x ＋yi ＝154 ＋2i ，所以?????x 2＋y 2＋x ＝154，y ＝2，解得?????x ＝－12，y ＝2，所以z ＝－12 ＋2i. 7. 若复数z 满足|z －i|＝1(其中i 为虚数单位)，则|z|的最大值为________．答案：2 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由|z －i|＝1，得x 2＋(y －1)2＝1，由画图可知|z|的最大值为2. 8. 已知x ＝－3－2i(i 为虚数单位)是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0(a ，b 均为实数)的一个根，则a ＋b ＝________. 答案：19

复数与向量的关系

重视复平面上复数与向量的联系作用平面向量与复数是高中数学的重要内容,联系紧密,联系是在复平面进行的。随着知识的发展，相互对应相互促进是联系的主要体现。复数中的概念、运算等在向量中可以作出几何解释；向量的运算，可以对应有关的复数运算.复数与向量的这种联系，只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们的联系作用，将是一件高效快乐的事情. 一复数商与内积的联系复数运算，向量运算之间的许多联系，在现有课本里是可以学习到的，下面我们来看复数商与内积的联系. 例1 复数z 1=a 1+b 1i, z 2=a 2+b 2i ，它们的三角式分别为z 1=|z 1|(cos θ1+isin θ1), z 2=|z 2|(cos θ2+isin θ2),对应的向量分别是1oz =(a 1,b 1)、2oz =(a 2,b 2). 然后复数作商: 代数式作商: 21z z =2221122121||)()(z i b a b a b b a a -++；-------------(1) 三角式作商： 21z z =| || |21z z [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],------(2) 比较(1)(2)式,可得 ||||21z z [cos(θ1-θ2)]=222121||z b b a a +, ……(3) ||||21z z [sin(θ1-θ2)]=222112| |z b a b a -………(4) 则从中可得下列变式： (1) 复数对应向量间的夹角余弦公式: cos(θ1-θ2| |||212121oz oz ? ,( 我們总可以适当选择θ1、θ2的主值范围，使得|θ 1-θ2 |∈),0[π，所以1oz 与2oz 的夹角就是|θ1-θ2|). (2) 向量内积: 1oz ·2oz =a 1a 2+b 1b 2=|1oz |·|oz 2|cos(θ1-θ2). 若对(4)取绝对值得到:|1oz ×2oz |=|a 1b 2 -a 2b 1|=|1|oz |·2|oz |sin(θ1-θ2)|, 这是空间xoy 平面上向量)0,,(),0,,(2121b b a a ==叉积的绝对值,是以线段oz 1、oz 2为邻边的平行四边形的面积公式. 复数商运算式中,隐含着向量间的夹角公式，向量的内积，平行四边形面积的公式. 若复数代数式i y x z i y x z 222111,-=+=的三角式分别是)sin (cos 1111θθi r z +=,

平面向量与复数提升卷单元检测-新人教A版高考文科数学单元测试题

单元检测五平面向量与复数(提升卷) 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页． 2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上． 3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若复数z 满足i z ＝3＋4i ，则|z |等于( ) A ．1B ．2C.5D ．5 答案 D 解析因为z ＝3＋4i i ＝－(3＋4i)i ＝4－3i ，所以|z |＝42 ＋(－3)2 ＝5. 2．若z 1＝(1＋i)2 ，z 2＝1－i ，则z 1z 2 等于( ) A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i 答案 B 解析 ∵z 1＝(1＋i)2＝2i ，z 2＝1－i ， ∴z 1z 2＝ 2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋2i 2 ＝－1＋i. 3．设平面向量m ＝(－1，2)，n ＝(2，b )，若m ∥n ，则|m ＋n |等于( ) A.5B.10C.2D ．3 5 答案 A 解析由m ∥n ，m ＝(－1，2)，n ＝(2，b )，得b ＝－4，故n ＝(2，－4)，所以m ＋n ＝(1，－2)，故|m ＋n |＝5，故选A. 4.如图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点A ，B ，C 在一条直线上，且AC →＝－4CB → ，则( )

A ．c ＝12a ＋32b B ．c ＝32a －12b C ．c ＝－a ＋2b D ．c ＝－13a ＋4 3 b 答案 D 解析 c ＝OB →＋BC →＝OB →＋13AB →＝OB →＋13(OB →－OA → )＝43OB →－13OA →＝43b －13 a .故选D. 5．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－3)，且a ⊥b ，则向量a －3b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π 6 答案 D 解析因为a ⊥b ，所以x －3＝0，解得x ＝3，所以a ＝(3，1)，a －3b ＝(0，4)，则cos 〈a －3b ，b 〉＝(a －3b )·b |a －3b |·|b |＝－434×2＝－32，所以向量a －3b 与b 的夹角为5π6，故选D. 6.如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD →＝λAC →＋μAE → ，则λ－μ等于( ) A ．1 B ．3 C ．－1 D ．－3 答案 D 解析 E 为DC 的中点，故AE →＝12(AC →＋AD →)，所以AD →＝－AC →＋2AE → ，所以λ＝－1，μ＝2，所以λ－μ＝－3，故选D. 7．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(x ，4)则“x ＝－2”是“向量a 与b 反向”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C 解析若a ∥b ，则x 2 ＝4，解得x ＝±2，当且仅当x ＝－2时，向量a 与b 反向，所以“x ＝－2”是“向量a 与b 反向”的充要条件，故选C. 8．在△ABC 中，边BC 的垂直平分线交BC 于点Q ，交AC 于点P ，若|A B →|＝1，|AC → |＝2，则 AP →·BC → 的值为( )

平面向量与复数

专题复习___________平面向量与复数【例题选讲】例1. 设z ∈C ，求满足z+z 1 ∈R 且|z －2|=2的复数z. 解法一：设z=a+bi ，则z+z 1=a+bi+i 1 b a +=a+bi+2 2i b a b a +- =a+ 22 a a b ++(b －22b a b +)i ∈R ∴b=22b a b +∴b=0或a 2+b 2 =1 当b=0时，z=a ， ∴|a －2|=2∴a=0或4 a=0不合题意舍去，∴z=4 当b ≠0时，a 2+b 2=1 又∵|z －2|=2，∴(a －2)2+b 2 =4 解得a=41，b=±415，∴z=41±415i 综上，z=4或z=41 ±415i 解法二：∵z+z 1∈R ，∴z+z 1 =z +z 1 ∴(z －z )－z z z z -=0，(z －z )·2 2||1||z z -=0 ∴z=z 或|z|=1，下同解法一例 2. 四边形ABCD 中,AB a = , BC b = ,CD c = , DA d = ,且a b b c c d d a ?=?=?=? ，判断四边形ABCD 是什么图形？分析：在四边形ABCD 中，a+b+c+d=0，这是一个隐含条件，对a+b=－（c+d ），两边平方后，用a ·b=b ·c=d ·c 代入，从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状. 解：∵a+b+c+d=0， ∴a+b=－（c+d ）， ∴（a+b ）2=（c+d ）2，即|a|2+2a ·b+|b|2=|c|2+2c ·d+|d|2 ， ∵a ·b=c ·d ， ∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2……① 同理：|a|2+|d|2=|b|2+|c|2 ……② ①，②两式相减得：|b|2=|d|2，|a|2=|c|2 ，即|b|=|d|，|a|=|c|. ∴ABCD 为平行四边形. 又∵a ·b=b ·c ，即b ·（a －c ）=0，而a=－c ，∵b ·（2a ）=0 ∴a ⊥b ， ∴四边形ABCD 为矩形. 例3. 已知A(0，a),B(0,b),(0＜a ＜b)，在x 轴的正半轴上求点C ，使∠ACB 最大，并求出最大值、解，设C(x,0)(x ＞0) 则=(－x,a), =(－x,b) 则·=x 2 +ab cos ∠ 22222b x a x ab x +++ 令t=x 2 +ab 故cos ∠ACB= 11)(1 )(1 222 +?-+--t b a t b a ab 当t 1=ab 21即t=2ab 时，cos ∠ACB 最大值为b a ab +2、