数值分析原理习题答案
【篇一:数值分析习题】
学号班级
习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和
误差限的计算。 1 若误差限为0.5?10,那么近似数0.003400有几位
有效数字?(有效数字的计算) 2 ??3.14159?具有4位有效数字的
近似值是多少?(有效数字的计算)
3 已知a?1.2031,b?0.978是经过四舍五入后得到的近似值,问
a?b,a?b有几位有效数字?(有效数字的计算)
4 设x?0,x的相对误差为?,求lnx的误差和相对误差?(误差的
计算)
**
5测得某圆柱体高度h的值为h?20cm,底面半径r的值为r?5cm,已知
?5
|h?h*|?0.2cm,|r?r*|?0.1cm,求圆柱体体积v??rh的绝对误差限
与相对误差
限。(误差限的计算)
6 设x的相对误差为a%,求y?xn的相对误差。(函数误差的计算) 7计算球的体积,为了使体积的相对误差限为1%,问度量半径r时
允许的相对误差限为多大?(函数误差的计算)
1
2
8 设in?e
?1
nxx?edx,求证: 0
(1)in?1?nin?1(n?0,1,2?)
(2)利用(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大;反向递推
计算时误差逐步减小。(计
算方法的比较选择)
第二章插值法
姓名学号班级
习题主要考察点:拉格朗日插值法的构造,均差的计算,牛顿插值
和埃尔米特插值构造,插值余项的计算和应用。
1 已知f(?1)?2,f(1)?1,f(2)?1,求f(x)的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值)
2 已知y?
x,x0?4,x1?9,用线性插值求7的近似值。(拉格朗日线性插值) 3 若xj(j?0,1,...n)为互异节点,且有
lj(x)?
试证明
(x?x0)(x?x1)?(x?xj?1)(x?xj?1)?(x?xn)(xj?x0)(xj?x1)?(xj?xj?1)(x j?xj?1)?(xj?xn)
?xl
j?0
n
kjj
(拉格朗日插值基函数的性质) (x)?xk(k?0,1,...n)。
,sin0.34?0.333487,sin0.36?0.3522744 已知sin0.32?0.314567,用抛物线插值计
算sin0.3367的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值) 5 用余弦函数cosx在x0?0,x1?多项式, 并近似计算cos日二次插值) 6 已知函数值f(0)?6,f(1)?10,f(3)?46,f(4)?82,f(6)?212,求函数的四阶均差
?
4
,x2?
?
2
三个节点处的值,写出二次拉格朗日插值
?
6
及其绝对误差与相对误差,且与误差余项估计值比较。(拉格朗
f[0,1,3,4,6]和二阶均差f[4,1,3]。(均差的计算)
7 设f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)求f[x0,x1?xp]之值,其中p?n?1,而节点
xi(i?0,1,?n?1)互异。(均差的计算)
8 如下函数值表
建立不超过三次的牛顿插值多项式。(牛顿插值多项式的构造)
9求一个次数小于等于三次多项式p(x),满足如下插值条件:
p(1)?2,p(2)?4,
p?(2)?3,p(3)?12。(插值多项式的构造)
10 构造一个三次多项式h(x),使它满足条件
h(0)?1,h(1)?0,h(2)?1,h?(1)?1(埃尔米特插值)。
11 设f(x)?x,x0?1/4,x1?1,x2?9/4。(1)试求f(x)在?1/4,9/4?上的三
次埃尔米特插值多项式h(x),使得h(xj)?f(xj),j?0,1,2,h?(x1)?f?(x1),h(x)以升幂形式给出。(2)写出余项r(x)?f(x)?h(x)的表达式。(埃尔
米特插值及其余项的计算)。 12 若f(x)?c2[a,b],f(a)?f(b)?0,试证明:
32
max|f (x)|?
a?x?b
1
?b?a?2max|f?? (x)|(插值余项的应用)
a?x?b8
13 设f(?2)??1,f(0)?1,f(2)?2,求p(x)使p(xi)?f(xi)(i?0,1,2);又设
|f???(x)|?m ,则估计余项r(x)?f(x)?p(x)的大小。(插值误差的估计)
姓名学号班级
习题主要考察点:最小二乘法,最佳平方逼近,正交多项式的构造。
1 设f(x)?sin?x,求f(x)于[0,1]上的线性最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近)
2 令f(x)?ex,?1?x?1,且设p(x)?a0?a1x,求a0,a1使
得p(x)为f(x)于[?1,1] 上的最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近)
3证明:切比雪夫多项式序列
tk(x)?cos(karccosx)
在区间??1,1?上带权?(x)?
1?x
2
正交。(正交多项式的证明)
?x1?x2?3?
4求矛盾方程组:?x1?2x2?4的最小二乘解。(最小二乘法)
?x?x?2
2?1
5 已知一组试验数据
试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。(最小二乘线性
逼近) 6 用最小二乘原理求一个形如y?a?bx2的经验公式,使与下列数据相拟合。
(最小二乘二次逼近)
姓名学号班级
习题主要考察点:代数精度的计算,构造插值型求积公式(梯形,辛甫生公式),复化求积的计算,高斯公式的构造。 1给定求积公式
?
h
?h
f(x)dx?af(?h)?bf(0)?cf(h)试确定a,b,c使它的代数精度尽可能高。(代数精度的应用和计算) 2 求积公式
?
1
f(x)dx?a0f(0)?a1f(1)?b0f?(0),试确定系数a0,a1及b0,使该求积
公式具有尽可能高的代数精确度,并给出代数精确度的次数。(代数精度的应用和计算) 3数值积分公式
?
30
3
f(x)dx?[f(1)?f(2)],是否为插值型求积公式,为什么?又该公式
2
b
的代数精确度为多少?(插值型求积公式特征) 4如果f??(x)?0,证明用梯形公式计算积分几何意义。(梯形求积) 5用n?4的复化梯形公式计算积分
?
a
f(x)dx所得到的结果比准确值大,并说明其
?
2
1
1
dx,并估计误差。(复化梯形求积) x
6设f(?1)?1,f(?0.5)?4,f(0)?6,f(0.5)?9,f(1)?2,则用复化辛甫生公式计算
?
1
?1
f(x)dx,若有常数m使 |f(4)|?m,则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。(复
化辛甫生公式)
1
7已知高斯求积公式
?1
?f(x)dx?f(0.57735)?f(?0.57735) 将区间[0,1]二等分,用复
1
化高斯求积法求定积分
?
xdx的近似值。(高斯公式)
8 试确定常数a,b,c和a,使得数值积分公式
?
2
?2
f(x)dx?af(?a)?bf(0)?cf(a)有尽
可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少?它是否为高斯型的?(代数精度的应用和计算,高斯点的特征)
9设?pn(x)?是[0,1]区间上带权?(x)?x的最高次幂项系数为1的正交多项式系(1)求p2(x)。
(2)构造如下的高斯型求积公式
?
1
xf(x)dx?a0f(x0)?a1f(x1)。(高斯求积)
【篇二:数值分析简单习题】
章:
基本概念
第二章:
gauss消去法,lu分解法
第三章:
题型:具体题+证明,误差分析
三个主要迭代法,条件误差估计,范数的小证明
第四章:
掌握三种插值方法:拉格朗日,牛顿,厄尔米特,误差简单证明,构造复合函数
第五章:
最小二乘法计算
第六章:
梯形公式,辛普森(抛物线)公式,高斯公式三个重要公式,误差分析。
高斯求积公式的构造
第七章:
几种常用的迭代格式构造,收敛性证明。
第九章:
基本概念(收敛阶,收敛条件,收敛区域等), 简单欧拉法。
第一章误差
1. 科学计算中的误差来源有4个,分别是________,________,________,________。
2. 用taylor展开近似计算函数f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0),这里产生是什么误差?
3. 0.7499作3的近似值,是______位有效数字,65.380是舍入得到的近似值,有____几4
位有效数字,相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值,有_______位有效数字.
4. 改变下列表达式,使计算结果比较精确:
(1)
(3) 11?x?,1?2x1?x|x|?1 (2)
|x|?1 1?cosx,xx?0,|x|?1. (4) sin??sin?,???
5.
采用下列各式计算1)6时,哪个计算效果最好?并说明理由。
(1)
6(2)
(3)
(4
99?(3?6. 已知近似数x*有4位有效数字,求其相对误差限。
上机实验题:
xk
x1、利用taylor 展开公式计算 e??,编一段小程序,上机用单精度计算e的函数
k?0k!x?
值. 分别取 x =1,5,10,20,-1,-5,-10,-15,-20,观察所得结果是否合理,如不合理请分析原因并给出解决方法.
2、已知定积分in??
in??110xndx,n?0,1,2,?,20,有如下的递推关系 x?6
0n?11xxn(x?6)?6xn?11dx??dx?in?1 0x?6x?6n
?6
可建立两种等价的计算公式 (1) in?11?6in?1,取i0?0.154;1?nin),取i20?0.(2) in?1?n6n
来计算i1,i2,i3,i4,?,i19,编程比较哪种计算的数值结果好,并给出理论分析。
第二章插值法
1. 已知f(0)?2,f(1)??1,那么差商f[1,0]?_________.
2. n阶差商与导数的关系是f[x0,x1,?,xn]?__________________.
3. 由导数和差商的关系知,f[xi,xi]=__________________。
4. 已知函数f(x)在x?3,1,4的值分别是4,6,9,试构造lagrange 插值多项式。
5.取节点x0?0,x1?1,x2?2, 对应的函数值和导数值分别为f(x0)?1, f(x1)?2,f(x1)?2,试建立不超过二次的插值多项式。(如果将最后一个条件改为f(x2)?2,插值多项式如何计算?)
6.已知f(0)?1,f(1)?2,f(1)?3,f(2)?9,试建立不超过3次的插值多项式,并写出插值余项.
7. 设f(x)?c4[a,b],求三次多项式p3(x),使之满足插值条件
?p(xi)?f(xi),??p(x1)?f(x1)i?0,1,2
28. 设p1(x)是过x0,x1的一次插值多项式,f(x)?c[a,b],其中[a,b]是包含x0,x1的任一区
间。试证明:对任一给定的x?[a,b],在(a,b)上总存在一点?,使得r(x)?f(x)?p1(x)?f??(?)(x?x0)(x?x)1。 2!
n9.证明关于互异节点{xi}in?0的lagrange插值基函数{li(x)}满足恒等式i?0
l0(x)?l1(x)???ln(x)?1
上机习题:
1. 绘制4题的lagrange的插值函数的图像。
第三章数据拟合
1. 数据拟合与插值的区别是什么?
2. 最小二乘原理是使偏差?i的___________达到最小
3. 求过点(2,3),(0,1),(3,5)的线性拟合函数。
4. 用最小二乘法求一形如y?a?bx2的多项式,使与下列数据相拟合第四章线性方程组的直接解法
1. 线性方程组的解法大致可分为_____________,
________________。
2. 平方根法和ldlt分解法要求系数矩阵a满足______________。
3. 上三角和下三角方程组的解法分别称为___________,
____________。
4. 严格对角占优矩阵的定义是什么?
5. 试求下面矩阵的杜利特尔分解
?62?(1) ?。 ??3?4?
?213??。 457(2) ??????285??
?15?2??x1??1???x???13?。 0436. 用列主元高斯消去法求解方
程组 ????2??????206????x3????3??
?211??x1??1???x???1?。 6?167. 用lu分解法解方程
组 ????2?????1027????x3????2??
上机实验题:
1. 编程实现列主元的高斯消去法
2. 编程实现lu分解法
第五章线性方程组的迭代解法
?1. 向量x?(3,2,?1,?7)t,计算||x||1,||x||2,||x||?.
?31?2??,计算||a||,||a||,||a||. 0102. a=?
2?1????126??
?20?3. a???, 分别计算a的谱半径?(a), 条件数cond?(a),||a||1 03??
4. 矩阵a的范数与谱半径的关系为__________________________。
5. 求解ax=b的迭代格式x(k?1)?bx(k)?g收敛的充分必要条件
____________________。
6. sor迭代法收敛的一个必要条件是松驰因子______________。
7. 写出下面方程的jacobi迭代格式
?10x1?x2?2x3?7???x1?10x2?2x3?8
??x?x?5x?43?12
8. 给定下列方程组,判断对它们构造的jacobi迭代公式和gauss-seidel迭代公式是否收敛
?5x1?5x2?x3?2?5x1?2x3?7?(1)?
(2) ??5x1?12x2?8 ?2x1?x2?8?x?x?5?13
9. 对下列方程组建立收敛的简单迭代公式(提示:先调整方程组) ?16?2??x1??1??3?26??x???2? ???2?????41?1????x3???? 4??
10. 给定方程组
?12?2??x1??1??111??x???2?, ???2?????221????x3????1 ??
(1)分别写出jacobi迭代公式和gauss-seidel迭代公式。
(2)证明jacobi迭代法收敛,而gauss-seidel迭代法发散。
上机实验题:
【篇三:数值分析题库】
lass=txt>1.在下列四个数中,有一个数具有4位有效数字,且其绝对误差限为 a0.001523 b0.15230 c0.01523d1.52300 2.设方阵a可逆,且其n个特征值满足:?1
a
1
?10?5,则该数是() 2
c
??2?...??n,则a?1的主特征值是()
11 b ?1?n
11
?1或?nd或
?1?n
?(k?1)
3.设有迭代公式
x?bx
?(k)
?f
?
。若||b|| 1,则该迭代公式()
a必收敛 b必发散 c可能收敛也可能发散
4.常微分方程的数值方法,求出的结果是()
a解函数 b近似解函数 c解函数值 d近似解函数值 5.反幂法中构造向量序列时,要用到解线性方程组的() a追赶法 blu分解法
c雅可比迭代法 d高斯—塞德尔迭代法
二.填空题(每小题4分,共20分)
1.设有方程组
?x2?x3?4?
?x1?2x2?3x3?1?2x?x?x?0
23?1
,则可构造高斯—塞德尔迭代公式为
?
????
??101???2.设a??21?1,则a????
???111??
2
3.设y?x?2y,y(0)?1,则相应的显尤拉公式为yn?1?
4.设
f(x)?ax?1,g(x)?x2。若要使f(x)与g(x)在[0,1]上正交,则a=
?
5.设
x?(2,?2,?1)t,若有平面旋转阵p,使px的第3个分量为0,则p = ?
??????
? ???
三.计算题(每小题10分,共50分)
1.求
27的近似值。若要求相对误差小于0.1%,问近似值应取几位有效数字?
2.设
f(x)?x?2x4,若在[-1,0]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。
3.设有方程组
4.试确定常数a,b,c及?,使求积公式
?x1?2x2?2x3?1?
?x1?x2?x3?1,考察用雅可比迭代解此方程组的收敛
性。 ?2x?2x?x?1
23?1
1
??1f(x)dx?af(??)?bf(0)?cf(?)
为高斯求积公式。
?
5.设有向量
x?(2,1,2)
t
,试构造初等反射阵h,使h
?
x?(3,0,0)t。
2阶收敛的,并求
四.证明题(每小题10分,共20分)
1.设有迭代公式
xk?1
2xk?4*
,试证明该公式在x?4邻近是?
2xk?3
xk?1?4k??(x?4)2
klim
??
。
?
2.设x,y是n 维列向量,q为n阶正交矩阵,且模拟二
一、单项选择题(每小题2分,共10分)
y?qx
??
。
1.在下列四个数中,有一个数具有4位有效数字,且其绝对误差限为
1
?10?5,则该数是()。 2
a0.00217 b0.02170 c0.21700 d2.17000
2.已知?是a的特征值,p是给定参数,则b=a-pe的特征值是()。 ac
?+p b?-p
?+2pd?-2p
?(k?1)
3.设有迭代公式
x?bx
?(k)
?f
?
,则||b|| 1 是该迭代公式收敛的()。
a充分条件b必要条件
c充分必要条件
4.三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用()求解。
a雅可比迭代 b高斯-塞德尔迭代 c平方根法d追赶法 5.若尤拉公
式的局部截断误差是o(h
2
),则该公式是()方法。
a1阶 b2阶
c3阶 d无法确定
二、填空题(每小题4分,共20分)
a)
b)
??21?1???设a??12?2,则a?。
1??
??10?3??
?2x2?x3?1?
设有方程组?2x1?x3?1 ,则可构
?x?x?x??1
23?1?
????
。
造高斯—塞德尔迭代公式为
c) 设
y?xy?2,则相应的显尤拉公式为yn?1?
?
d) 设
x?(1,2,?3)t,若有平面旋转阵p,使px的第3个分量为0,则p = ?
??????
?。 ???
e) 设
f(x)?ax?2,g(x)?2x2.若要使f(x)与g(x)在[-1,0]上正交,则a=三.计算题(每小题10分,共50分)
1.设
f(x)?x3?2x
,若在[0,1]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。 2.求的近似值。若要求相对误差小于1%,问近似值应取几位有效
数字?
3.设有方程组
4.试确定常数a,b,c及?,使求积公式
?2x1?x2?x3?0?
?x1?x2?x3?1,考察用雅可比迭代解此方程组的收敛
性。 ?x?x?2x??1
23?1
1
??1f(x)dx?af(??)?bf(0)?cf(?)
有尽可能高的代数精度,并问该公式是否为高斯求积公式。
212,,?)t5.设有向量x?(
333
?
,试构造初等反射阵h,使h
?
x?(1,0,0)t
四.证明题(共20分)
2
(xk?2)*
1.设有迭代公式xk?1?xk?,试证明该公式。在x?2附近是平方收敛的,并
2xk
求lim
xk?1?2k??(x?2)2
k
。
2.设l1(x)是
f(x)的一次拉格朗日插值,试证:
1
f(x)?l1(x)?(x1?x0)2maxf(x)
x0?x?x18
模拟三
一、单项选择题(每小题2分,共10分)
1、若近似值10.00230具有7位有效数字,则其较小的绝对误差限为()。
11
?10?7 b. ?10?6 2211
?10?5d. ?10?4 c. 22
2、若已知迭代过程xk?1??(xk)是3阶收敛, c是不为零的常数,则下列式子中,正确的式子是
a. ()。
a.lim
k??
k?1?*
kk?1k
*
x?x
?c.lim
x?x
k??
*
?3b.lim
k??
*
(x?x)
??cd.lim
(x?x)
kk?1k
k??
k?1?*
*3*
?3
*3
?c
3、 4阶牛顿—柯特斯求积公式至少具有()次代数精度。
a. 4
b. 5
c. 8
d. 9
4、三次样条插值与二阶常微分方程的边值问题中,都会用到求解线性方程组的()。
a. lu分解法
b.追赶法
c.高斯消去法
d.平方根法 5、设a的特征值满足|?1
a.
。 |?|?r?1|?????|?n|,则相应幂法的速比ra?()
?2
?1
b.
?r?1?1
c.
?2?n
d.
?2?n
二、填空题(每小题4分,共20分)
1、过节点
x0??1,x1?0,x2?1做近似f(x)?x3?2的二次拉格朗日插值,其表
达式
是。 2、若
?x30?x?1?s(x)?? 32
(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c1?x?3??是三次样条函数,则a?,b? ,c? 。 ?10?
3、设a???,则cond?(a)?。
21??
4、设c=pa,其中p是三阶平面旋转阵,
?2?11??
?? ,若使
a??03?1=0,则p?c31???
??2????31?
?
?。 ???
5、设
y?2xy2?1,则相应的隐尤拉公式为。
三、计算题(每小题10分,共50分)。
1、利用最小二乘法原理,求矛盾线性方程组
?x1?x2?1?
?x1?x2?2的近似解。 ?2x?x?1
2?1
?2?11?
?a??111??
??11?2??
??
?
2、设,
??
???
b???2?
???1????
。若线性方程组
ax?b
????
仅有右端有扰动
x
??10?4 。试估计由此引起的解的相对误差
1
??
??
?
b
。
x
?
3、确定求积公式
?1
?f(x)dx?a
f(?1)?a1f(0)?a2f(1),并指明其代数精度。
?x1?2x2?x3?1?
4、设有方程组?x1?x2?x3?0,试考察求解该方程组的高斯-塞德尔迭代公式的敛散性。
?2x?2x?x??1
23?1
2
5、设有方程x?2x?3?0 。试确定迭代函数?(x),使迭代公式
xk?1??(xk)在
x*=3附近收敛,并指出其收敛阶。
四、证明题(每小题10分,共20分)
1、设u是n阶正交矩阵,a是n阶方阵。试证明||
(提示:||a||2?2、设有差分公式
au||2?||ua||2?||a||2 。
yn?1
?(ata) )
h
?yn?(3yn?yn?1) 。试证明该公式是二阶公式。
2
模拟四
一、单项选择题(每小题2分,共10分)
1、按四舍五入原则,数-7.00038的具有4位有效数字的近似值是()。 a. –7.0004 b.-7.000 c. –7 d.-7.0003
2、若行列式|e?a|=0,其中e是n阶单位阵,a是n阶方阵,则a 的范数满足()。
||a||?1b. ||a||?1
c. ||a||?1
d. ||a||?1 3、条件数cond(a)=()。
a. a.|a||a?1|
b.||a?a?1||