数列常见题型总结经典(超级经典)
高中数学《数列》常见、常考题型总结
题型一 数列通项公式的求法
1．前n 项和法（知n S 求n a ）??
?-=-11
n n
n S S S a )2()
1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和2
12n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T
。
1、若数列}{n a 的前n 项和n
n S 2=，求该数列的通项公式。
`
2、若数列}{n a 的前n 项和32
3
-=n n a S ，求该数列的通项公式。
（
3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足2
2n S T n n -=，
求数列}{n a 的通项公式。
{
2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）
（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. —
（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,111
1≥+==--n a a a n n n ,证明2
1
3-=n n a
1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*
12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.
！
2. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2()
1(1
1≥-+
=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.
`
]
3.形如
)(1
n f a a n
n =+型（累乘法） （1）当f(n)为常数，即：q a a n
n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =1
1-?n q a .
（2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111
,1-+==n n a n n
a a )2(≥n ，求数列的通项公式。
>
1、在数列}{n a 中111
1
,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。
【
2、求数列)2(1
232,111
≥+-==-n a n n a a
n n 的通项公式。
、
4.形如s
ra pa a n n n +=
--11
型（取倒数法）
例1. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1
211
≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a
]
练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,1
31+=+n n
n a a a ,求通项公式n a .
！
2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .
]
【
5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）
（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;
（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设)(1A a c A a n n +=+
+,利用待定系数法求出A
例1．已知数列}{n a 中，,2
1
21,211+==+n n a a a 求通项n a .
，
练习：1、若数列}{n a 中，21=a ,121-=+n n a a ,求通项公式n a 。
—
3、若数列}{n a 中，11=a ,13
2
1+=+n n a a ,求通项公式n a 。
！
6.形如)(1n f pa a n n +=+型（构造新的等比数列）
(1)若b kn n f +=)(一次函数(k,b 是常数，且0≠k )，则后面待定系数法也用一次函数。 ：
例题. 在数列{}n a 中，2
3
1=a ，3621-+=-n a a n n ,求通项n a .
`
练习：1、已知数列{}n a 中，31=a ，2431-+=+n a a n n ，求通项公式n a
"
(2)若n
q n f =)((其中q 是常数，且n ≠0,1)
①若p=1时，即：n
n n q a a +=+1，累加即可
②若1≠p 时，即：n
n n q a p a +?=+1，后面的待定系数法也用指数形式。
两边同除以1
+n q
. 即：
q
q a q p q a n n n n 11
1+?=
++, ?
令n
n n q a b =,则可化为q
b q p b n n 1
1+?=
+.然后转化为类型5来解，
例1. 在数列{}n a 中，5
2
1-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a
?
1、已知数列{}n a 中，211=a ，n
n n a a )2
1(21+=-，求通项公式n a 。
&
2、《
3、已知数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 2331?+=+，求通项公式n a 。
/
题型二 根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；
2、\
3、
设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，
327++=n n T S n n ，则=5
5b a .
4、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
==5
935,95S S
a a 则（ ）
5、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
6、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 .
7、<
8、
在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ）
9、在等比数列中，已知910(0)a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a += .
题型三：证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差 <
例1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=2
1
.求证：{n S 1}是等差数列；
B ）证明数列等比
(
例1、已知数列{}n a 满足*
12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式；
—
题型四：求数列的前n 项和 基本方法：A ）公式法，
B ）分组求和法
1、求数列n
{223}n +-的前n 项和n S . #
C ）裂项相消法，数列的常见拆项有：
1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++11
1
；
例1、求和：S =1+n
+++++
+++++ 3211
3211211
例2、求和：n
n +++++++++11341231121 .
D ）倒序相加法，
例、设2
2
1)(x
x x f +=，求：).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++
E ）错位相减法，
1、若数列{}n a 的通项n
n n a 3)12(?-=，求此数列的前n 项和n S .
3. 2
1123(0)n n S x x nx x -=+++
+≠ （将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑）