上海市徐汇区届高考数学一模试卷(文科)(解析版)

２0１6年上海市徐汇区高考数学一模试卷(文科)

一．填空题:（本题满分5６分,每小题4分）

1．设抛物线的顶点在原点,准线方程为ｘ＝﹣２,则抛物线的标准方程是.

２.方程的解是．

3.设,则数列{a n｝的各项和为.

４.函数的单调递增区间是．

x的图象关于直线x＋y=0对称，则f（x)的解析式为ｆ（ｘ）５．若函数f（x）的图象与对数函数y=log

４

＝.

６.函数f（x)＝｜4x﹣x2|﹣a有四个零点,则a的取值范围是.

7．设ｘ、y∈Ｒ+且=１，则x+ｙ的最小值为．

8．若三条直线ax+y+3＝0，x+y+２=0和2x﹣y+1＝０相交于一点,则行列式的值为．

9.在△AＢＣ中,边BC=2，ＡB=，则角C的取值范围是.

10.已知四面体ABCD的外接球球心O在棱ＣD上，，ＣD=2，则A、B两点在四面体AＢCD的外接球上的球面距离是．

１1.(ｘ3+2x+１)（3x2+4）展开后各项系数的和等于．

12．已知函数f(x)=x2﹣１的定义域为D，值域为{０，1},则这样的集合Ｄ最多有个.

13.正四面体的四个面上分别写有数字０，1，2,３把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的６个数字之和恰好是９的概率为．

14.设ｘ1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx＋c=０的两个根,若x1是虚数,是实数，则S=1＋

= .

二．选择题:(本题满分20分，每小题5分)

15．已知向量与不平行,且,则下列结论中正确的是(）

A．向量与垂直?B．向量与垂直

C．向量与垂直D.向量与平行

16．若a,b为实数，则“０＜ab<１”是“”的(）

A.充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C.充分必要条件?

D.既不充分也不必要条件

17.（文)设x、ｙ均是实数,i是虚数单位，复数（x﹣2ｙ）＋（５﹣２x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=ｘ＋yｉ在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）

A．B．?Ｃ．?D．

18.设函数ｙ=ｆ（ｘ)的定义域为Ｄ,若对于任意x1、x

２∈D，当x

１

+x2=２a时,恒有f（ｘ

１

)+f(x2）＝2b，则

称点（a,b)为函数y=f(x）图象的对称中心.研究函数f(ｘ)＝ｘ+sinπx﹣3的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到的值为()

A．﹣4031 Ｂ.403１?Ｃ．﹣8062?D．8062

三．解答题：（本大题共5题,满分7４分)

1９．三棱锥Ｓ﹣ＡBＣ中,SＡ⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且ＡC=2，BＣ＝,ＳB=. （1)证明：SC⊥BC；

（2）求三棱锥的体积V S

﹣ABC

．

2０.已知函数f（x)=sin22ｘ﹣sｉn2xcos２x.

（1)化简函数f（ｘ)的表达式,并求函数f（x）的最小正周期；

（2)若点A（x

０,y

０

）是y＝f(x)图象的对称中心，且，求点Ａ的坐标．

21．已知实数ｘ满足32x﹣4﹣＋9≤0且f（x）＝lｏｇ2．

（１)求实数ｘ的取值范围;

(2）求ｆ（x)的最大值和最小值,并求此时x的值．

22.数列{a n}满足a1=5,且(n≥2，n∈Ｎ*）.

（1)求ａ

２

，a3,a4；

（2）求数列{ａn}的通项公式;

(3)令b n=,求数列｛ｂ

ｎ

}的最大值与最小值．

23.某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示:曲线ＡB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E(0，t)(０0)的一部分；CD⊥AD，且ＣＤ恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB＝50（单位:米,下同).

（１）若t=20、a=,求CD、ＡD的长度;

(2）若要求体育馆侧面的最大宽度ＤF不超过７5米，求a的取值范围；

(３)若a＝，求ＡD的最大值.

?

２0１6年上海市徐汇区高考数学一模试卷(文科)

参考答案与试题解析

一．填空题:（本题满分56分,每小题4分)

1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为ｘ=﹣２，则抛物线的标准方程是y2=8x ．

【考点】抛物线的简单性质．

【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】先根据准线求出p的值,然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将ｐ的值代入可得答案.

【解答】解:由题意可知：＝2，∴p=4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上

故可设抛物线的标准方程为：y2=2px

将p代入可得y2=8x．

故答案为:y2=８ｘ.

【点评】本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题.

２.方程的解是x＝2 ．

【考点】对数的运算性质．

【专题】计算题．

【分析】由方程可得3ｘ﹣5=４，即３x=３2,由此求得方程的解．

【解答】解：由方程可得３x﹣5=4,即３x=3２，解得ｘ=2,

故答案为x=2．

【点评】本题主要考查对数方程的解法，对数的运算性质应用，属于基础题.

3．设,则数列{a n}的各项和为．

【考点】等比数列的前n项和.

【专题】计算题．

【分析】由已知可知=，从而可得数列{a n}为公比的等比数列，要求等比数列的各项和，

即求前n项和的极限,由求和公式先求前n项和，然后代入求解极限即可

【解答】解:∵=,

∴=,

则数列{a n}是以为首项以为公比的等比数列

∴=

所以数列的各项和S==

故答案为

【点评】本题所涉及的知识：等比数列定义在判断等比数列中的应用，等比数列的求和公式,等比数列的各项和与前n项和是不同的概念，要注意区别

4.函数的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+],ｋ∈Z ．

【考点】正弦函数的图象.

【专题】转化思想;综合法；三角函数的图像与性质．

【分析】由条件利用正弦函数的单调性,得出结论．

【解答】解:对于函数，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ＋，

求得kπ﹣≤x≤kπ+,故函数的增区间为，

故答案为：[kπ﹣，kπ+],k∈Z．

【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．

5.若函数f（x）的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线x+ｙ＝0对称，则f(x）的解析式为f（x）= y ＝﹣4﹣ｘ．

【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象.

【专题】计算题;数形结合．

【分析】先设f（x)上一点(x,ｙ),求这个点关于x+y=0的对称点，则根据题意该对称点在函数y＝log4x的图象上，满足函数y=log4x的解析式，从而可求出点（x，ｙ）的轨迹方程

【解答】解:设函数f(x）的图象上一点（x,y)，则点（x，ｙ)关于x+y=０的对称点（x'，ｙ＇）在对数函数y=log

ｘ的图象

４

由题意知,解得x'=﹣y，ｙ＇=﹣x

又∵点（x'，ｙ')在对数函数ｙ=log4x的图象

∴﹣x＝ｌog4（﹣ｙ)

∴﹣y=４﹣x∴y＝﹣4﹣x故答案为:ｙ=﹣4﹣ｘ

【点评】本题考查函数的图象与性质,求函数的解析式．解题的关键是会求点个关于直线的对称点.属简单题

6．函数f（ｘ）=|4x﹣ｘ2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是（0，4) ．

【考点】函数的零点与方程根的关系．

【专题】函数的性质及应用.

【分析】由题意可得，直线y=a和函数y=|4x﹣x2｜的图象有4个交点,数形结合求得a的取值范围.

【解答】解:∵函数f(x）＝｜４ｘ﹣x２|﹣ａ有四个零点，故直线ｙ=a和函数y＝|４ｘ﹣x2｜的图象有4个交点,如图所示:

结合图象可得0

故答案为（0,4).

【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断,以及函数与方程的思想,解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题.

７．设ｘ、y∈R+且＝1,则x+y的最小值为16 ．

【考点】基本不等式．

【专题】计算题.

【分析】将ｘ、ｙ∈R+且=１，代入x＋y=(x+y）?（），展开后应用基本不等式即可．

【解答】解:∵=１,x、y∈Ｒ＋，

∴x+y=(x+y)?(）==１0+≥10+2＝1６(当且仅当，x＝4，y=12时取“＝”).

故答案为:１６.

【点评】本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力,属于中档题.

8.若三条直线ax＋y+3=0，ｘ+ｙ+2＝0和２ｘ﹣y＋1=0相交于一点,则行列式的值为１.

【考点】二阶矩阵；两条直线的交点坐标.

【专题】计算题;方程思想;综合法;矩阵和变换．

【分析】先由三条直线ax+y+３=０，x+y+2＝0和2ｘ﹣y+1=0相交于一点，求出a，再由二阶行列式展开法则能求出的值.

【解答】解:联立,得x=﹣1,y=﹣1，

∵三条直线aｘ+y＋3＝０,x+y＋２＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点,

∴直线ax＋ｙ＋3=０过点（﹣１，﹣1），∴﹣a﹣１+３=０,解得a=2，

∴=a﹣1=２﹣1=1.

故答案为:1.

【点评】本题考查二阶行列式的值的求法,是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用.

9.在△ABC中,边ＢC＝2，AB=，则角C的取值范围是(0，].

【考点】余弦定理的应用．

【专题】综合题．

【分析】利用余弦定理构建方程,利用判别式可得不等式,从而可求角C的取值范围.

【解答】解:由题意，设AC=ｂ,

3=b2+4﹣４bｃosC

∴b２﹣4bｃosＣ+1＝0

∴△=１6cos2C﹣4≥0

∵AB

∴C不可能是钝角

∴

∴角C的取值范围是(0，]

故答案为：（０,]

【点评】本题考查余弦定理的运用,考查解不等式,解题的关键是利用余弦定理构建方程，利用判别式得不等式.

1０.已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD＝2，则A、B两点在四面体ＡBＣD的外接球上的球面距离是.

【考点】球面距离及相关计算.

【专题】计算题；方程思想;综合法;球.

【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点，且OA=OB＝ＯＣ＝OD，进而在△Ａ０B中，利用余弦定理求得ｃｏｓ∠AOB的值,则∠AOB可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．

【解答】解:球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点,则ＯＡ=OＢ＝OC＝OD=1,

再由AB＝，在△A0B中,利用余弦定理cｏs∠AＯB==﹣，

则∠ＡOB＝，则弧AＢ=?1=．

故答案为:．

【点评】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等,考查了学生观察分析和基本的运算能力.

１1．（x3+2x+1）(3ｘ2＋4）展开后各项系数的和等于２8 .

【考点】二项式系数的性质.

【专题】对应思想；转化法；二项式定理.

【分析】根据题意，令ｘ=1,代入多项式即可求出展开式中各项系数的和.

【解答】解：（x3＋２x+1）（3x2+4)展开后含有字母x，

令x＝１，则展开式中各项系数的和为:

（13+2×1＋1)（3×12＋4）=28.

故答案为：2８.

【点评】本题考查了求多项式展开式的各项系数和的应用问题,解题时应利用x=1进行计算,是基础题.

12．已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D,值域为{0,1},则这样的集合D最多有9个．

【考点】函数的定义域及其求法；二次函数的性质.

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】根据值域中的几个函数值,结合函数表达式推断出定义域中可能出现的几个x值，再加以组合即可得到定义域D的各种情况．

【解答】解:∵f（ｘ）=x2﹣1，

∴f（±1）=０,f（±)=1，

因此，定义域D有：｛1，｝,{﹣1,﹣}，｛﹣1，},｛1，﹣｝，{﹣1，１,}，｛﹣1，1，﹣}，

{1,,﹣},{﹣1,，﹣}，{﹣1，１,，﹣}共9种情况．

故答案为：9．

【点评】本题给出二次函数的一个值域,要我们求函数的定义域最多有几个,着重考查了函数的定义与进行简单合情推理等知识,属于基础题.

13.正四面体的四个面上分别写有数字０,１，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的６个数字之和恰好是9的概率为

.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】计算题；转化思想;综合法;概率与统计．

【分析】称求出基本事件总数ｎ=４×4=1６,再由列举法求出露在外面的6个数字之和恰好是9包含的基本事件个数，由此能求出露在外面的6个数字之和恰好是9的概率.

【解答】解:正四面体的四个面上分别写有数字0，1,2,３把两个这样的四面体抛在桌面上, 露在外面的６个数字之和包含的基本事件总数ｎ=４×4＝１6, 设两个正四面体中压在桌面的数字分别为m,n,

则露在外面的6个数字之和恰好是9的基本情况有:（0,３)，（3,０),（1，2)，（2，1），共包含４个基本事件,

∴露在外面的6个数字之和恰好是9的概率p=．

故答案为：．

【点评】本题考查概率的求法,是基础题，解题时要认真审题,注意列举法的合理运用．

１4．设ｘ1,x 2是实系数一元二次方程ax ２＋b ｘ+ｃ=0的两个根，若ｘ1是虚数,

是实数，则S ＝

1+

＝ ﹣2 .

【考点】复数代数形式的混合运算.

【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数.

【分析】设x １=s ＋ti(s ，t ∈Ｒ,ｔ≠0)．则x 2=s ﹣ti ．则x 1+x 2＝２s,x 1x 2＝s ２+t 2.利用=s 3﹣３st 2+(3s 2t ﹣ｔ3)

ｉ是实数，可得3ｓ2=ｔ2．于是ｘ1+x 2=2s,ｘ1x 2＝s 2+t ２． +1=0,取

＝ω，则ω２+ω+１=0,ω3=

１.代入化简即可得出.

【解答】解：设ｘ１=ｓ+ｔi(s ，t ∈R ，t ≠0).则ｘ２=s ﹣ｔｉ. 则x 1＋x ２=2s,x 1x 2=s 2＋t ２．

∵==s3﹣3st2+（3ｓ2t﹣t3)i是实数，

∴3s2t﹣ｔ３=０,

∴3s2=t2.

∴x

+x2=2s，x1x2=ｓ2+ｔ２．

１

∴4s2＝=+2ｘ1x2=x1x

，

２

∴+1＝０,

取=ω,

则ω2+ω＋1=0,

∴ω3=1.

则S=1+=1＋ω+ω２+ω4＋ω８+ω16+ω32

=０+ω+ω２+ω+ω2

=﹣2．

故答案为:﹣２.

【点评】本题考查了复数的运算法则、实系数一元二次方程虚根成对原理及其根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二．选择题：（本题满分２0分，每小题5分）

１５．已知向量与不平行,且,则下列结论中正确的是()

Ａ.向量与垂直B．向量与垂直

C．向量与垂直D.向量与平行

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】对应思想;分析法；平面向量及应用.

【分析】计算各向量的数量积判断数量积是否为0得出向量是否垂直．

【解答】解:设的夹角为θ,则0＜θ＜π，∵（）?（)==０，∴()⊥(），故A正确;D错误.

∵(）?=﹣=﹣cosθ≠0,∴与不垂直;故B错误；

∵==+cosθ≠0,∴与不垂直,故Ｃ错误;

故选:A．

【点评】本题考查了平面向量的数量积与向量垂直的关系,属于基础题.

16．若a，b为实数，则“０

A.充分而不必要条件?

B.必要而不充分条件

C．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;不等式的基本性质.

【专题】简易逻辑.

【分析】根据不等式的性质，我们先判断“0

【解答】解:若“0＜ab<1”

当ａ，b均小于0时，

即“0

若“”

当a＜0时，ab>１

即“”?“0<ａb＜1”为假命题

综上“0＜ab<1”是“”的既不充分也不必要条件

故选D.

【点评】本题考查的知识点是必要条件,充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质,其中根据不等式的性质判断“0＜aｂ＜1”?“”与“”?“0<ａb<1”的真假,是解答本题的关键.

1７.(文)设x、ｙ均是实数，i是虚数单位，复数(x﹣2y）+(5﹣2x﹣y)i的实部大于0,虚部不小于０，则复数z=ｘ+yｉ在复平面上的点集用阴影表示为图中的(）

A．?B.C．?D．

【考点】复数的代数表示法及其几何意义．

【专题】数系的扩充和复数．

【分析】由复数（x﹣２y）+（5﹣2ｘ﹣y）i的实部大于0，虚部不小于０，可得,利用线性规划的知识可得可行域即可.

【解答】解：∵复数(x﹣2y)+(5﹣2x﹣ｙ)i的实部大于0，虚部不小于0，

∴,

由线性规划的知识可得：可行域为直线ｘ=２y的右下方和直线的左下方，因此为A．

故选:A.

【点评】本题考查了复数的几何意义和线性规划的可行域，属于中档题．

18．设函数y＝f(x)的定义域为Ｄ，若对于任意ｘ1、ｘ

２∈Ｄ，当x1＋x2＝２ａ时，恒有f(ｘ

１

)+f（ｘ

２

)=２

b,则称点（a,b)为函数y=f(x）图象的对称中心．研究函数f(x)=x＋sinπx﹣３的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）

A．﹣40３1?B.4031?C.﹣８０62?Ｄ．８06２

【考点】函数的值;抽象函数及其应用．

【专题】计算题;转化思想;综合法；函数的性质及应用．

【分析】利用函数对称中心的性质得到当x1+ｘ2=2时,恒有f（x1)+f(x2)＝﹣４，能此能求出结果．

【解答】解:∵f(x)＝ｘ＋ｓinπx﹣３,

∴当x=1时,ｆ（1)＝1+ｓinπ﹣3=﹣2,

∴根据对称中心的定义,可得当x1+x2=2时，恒有f(ｘ1）+f(x

２

）=﹣4,

∴

=２01５[f(）+f()]+f()

=201５×（﹣4)﹣2

＝﹣80６2．

故选：Ｃ．

【点评】本题考查函数值的求法,是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

三．解答题:（本大题共5题,满分７4分)

19．三棱锥S﹣AＢC中，ＳA⊥AB，SA⊥ＡＣ，AC⊥BＣ且ＡC=2,BC=，ＳB=．

（1)证明：SＣ⊥BC;

(2)求三棱锥的体积V S

．

﹣ABＣ

【考点】直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】计算题;空间位置关系与距离.

【分析】（１）因为SＡ⊥面ABC，ＡC为SＣ在面ABC内的射影，由三垂线定理可直接得证.

（2)由题意可直接找出侧面SBC与底面AＢC所成二面角的平面角是∠ＳCA，在直角三角形中求解即可. 【解答】解:(１)∵SＡ⊥AＢSA⊥AＣＡB∩AＣ=Ａ

∴ＳA⊥平面ABＣ，∴AC为SC在平面ABＣ内的射影,

又∵BC⊥ＡＣ，由三重线定理得:SC⊥BC

（2）在△ABC中,ＡC⊥BC,AC=2，ＢC=,∴AＢ==，

∵SＡ⊥AB,∴△ＳAＢ为Rt△，ＳB＝，∴SA==2,

∵ＳA⊥平面ABＣ，∴SA为棱锥的高,

∴V S

＝××AＣ×BＣ×SＡ＝×2××=.

﹣ABC

【点评】本题考查了三垂线定理的应用,考查了棱锥的体积计算及学生的推理论证能力，计算能力；三垂线定理也可看作是线线垂直的判定定理，是证明异面直线垂直的常用方法．

20.已知函数f（x)=sin22x﹣sin2ｘcoｓ2ｘ．

(1)化简函数f（x)的表达式，并求函数f(ｘ)的最小正周期;

(2）若点Ａ(x0，y0)是y=f（x)图象的对称中心，且,求点A的坐标．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【专题】函数思想;综合法；三角函数的图像与性质.

【分析】(1)利用降次公式,二倍角公式，和角公式化简ｆ（x)=，代入周期公式计算周期;

(２)由对称中心的性质可知sｉn（4x0＋）=0,结合x0∈[０,]求出x0,得到A点坐标.

【解答】解:（1)=,所以f(ｘ）的最小正周期.

(2）∵点Ａ（x0，ｙ

０

)是y＝f(x)图象的对称中心,∴sｉn(４x0+）=0，∴4ｘ0+＝kπ,x0=﹣.k∈Ｚ．

∵x

０∈[0,],∴,解得ｋ=1或k＝2，∴x

０

=或x0=．

∴点A的坐标为或.

【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质,属于中档题．

２1．已知实数x满足３2ｘ﹣4﹣＋９≤０且f(x）=log2.

（1）求实数ｘ的取值范围;

（2)求f（ｘ)的最大值和最小值,并求此时x的值.

【考点】对数的运算性质；函数的最值及其几何意义．

【专题】函数思想;综合法；函数的性质及应用．

【分析】(１)将3x﹣２看作一个整体,因式分解结合指数的运算性质从而求出x的范围即可；（２)先将f(x)配方，结合二次函数的性质求出其最值即可.

【解答】解：(1)由,

得3２x﹣4﹣１0?3x﹣2+9≤0，

即（3x﹣2﹣1)（3x﹣2﹣９）≤０，

∴1≤３ｘ﹣2≤9,2≤x≤4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（2)因为

=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当，即时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

x=1或ｌoｇ2x=２，即x＝2或ｘ=４时,y max=０.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当log

２

﹣﹣﹣﹣﹣

【点评】本题考察了对数以及指数的运算性质，考察二次函数的性质,是一道中档题.

22．数列{a n｝满足ａ1＝5,且（n≥2，n∈Ｎ*).

;

（1）求a2,a3,a

４

(２）求数列{a

}的通项公式;

ｎ

（3）令ｂn＝,求数列{b n}的最大值与最小值．

【考点】数列递推式；数列的求和．

【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．

【分析】(１)由ａ1＝5,且（ｎ≥2,ｎ∈N＊）．分别令n=2,3,4，即可得出．(2)设数列的前n项和为S n,利用递推关系可得:，得即

,再利用等比数列的通项公式即可得出．

（3)，变形利用单调性即可得出.

【解答】解:(1）∵a1＝5,且（ｎ≥2,n∈N*).

分别令ｎ=2,3,4,可得:

．

(2)设数列的前ｎ项和为Ｓn ，则

,

∴

，得

即

,

∴{a n }从第二项起成等比数列,又a 2=1０， ∴

．

(3）,

由,

得，

所以当n=3时,,

当ｎ＝4时,

但,

综上所述,

，（b ｎ）max =b １=5.

【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式、数列的单调性、递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

２3.某地拟建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓如图所示:曲线A Ｂ是以点E 为圆心的圆的一部分,其中E （0，t)（０＜t ≤25);曲线B Ｃ是抛物线y ＝﹣ａx 2+50（ａ>０)的一部分；CD ⊥AD ，且CD 恰好等于圆Ｅ的半径.假定拟建体育馆的高OB ＝5０（单位：米,下同)． （1）若t ＝２0、ａ＝

，求ＣD 、AD 的长度;

（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过７５米,求a 的取值范围; (3)若a ＝

，求AD 的最大值．

【考点】直线和圆的方程的应用.

【专题】数形结合；综合法;直线与圆．

【分析】（1)分别求出ＯD和AＯ的长，相加即可;(2)问题转化为恒成立，根据级别不等式的性质解出即可；

(3)法一：根据三角函数知识解答;法二:根据圆的知识解答即可．

【解答】解:（１)因为圆E的半径为ＯＢ﹣OE=50﹣t=30，

所以CD=３0.

在中令y=3０,得．

在圆E：x2+（ｙ﹣2０)2=3０2,中令y=0,得,

所以.

(2)由圆E的半径为ＯB﹣ＯE=5０﹣t，得CD=50﹣t．

在y＝﹣ax2+50中令ｙ=50﹣t，得．.

由题意知，对t∈（0,25]恒成立，所以恒成立.

当，即ｔ=2５时,取得最小值１0,

故,解得．

（3）当时,．

又圆E的方程为x2+(y﹣t)2=（50﹣ｔ）2,

令y=0,得,所以，从而．

下求的最大值.

方法一:令，

则=，其中φ是锐角，且, 从而当时,AD取得最大值．

方法二：令,则题意相当于：已知ｘ2+y２＝２５(x≥０,y≥0），

求z＝AD=5（2x+y）的最大值．

当直线与圆弧x2+y2=25(x≥０,y≥0）相切时，z取得最大值.

答:当t=5米时,AD的最大值为米.

【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，考查三角函数问题,考查函数恒成立问题，是一道难题．