齐民友高数上册复习考试
高数上册复习考试
第一章 函数与极限
一、函数
1．认识一些常用函数和初等函数。 2．求函数的自然定义域。
二、极限
1．极限的计算
（1）善于恒等化简和极限的四则运算法则 （2）常用的计算方法 （a ）常用极限
0lim =∞→n a
n ，)1(0lim <=∞→q q n n ，1lim =∞→n n n ，)0(1lim >=∞→a a n n ，e n f n f n =??
????+∞→)
()(11lim
（∞→)(n f ），[]e n g n g n =+∞
→)
(1
)(1l
i m （0)(→n g ）
， )
()
(sin lim n f n f n ∞→ = 1 （0)(→n f ）。
（b ）一些常用的处理方法
(i)分子分母都除以n 的最高次幂。
例如：3562366742n n n n n n -+++ = 343116117142n n n n -+++，3
562346742n n n n n n -+++ = 3
4321161171412n
n n n n -+++
4
3
43252
3n
n n n n ++++ =
433
215121131n
n n n ++++
(ii)根号差的消除。
例如：
)(n f －)(n g =
)
()()()(n g n f n g n f +-，
3
)
()()(n g n f n h - =
(
)(
)
(
)(
)(
)(
)
(
)(
)
[][]2
35
3
4
3
3
3
2
2
3
3
3
4
5
)()()()
()
()()
()
()
()()
()
()(n g n f n g n g n f n g n f n g n f n g n f n f n h -??
?
??
?
++
++
+
(iii)指数函数的极限。
)()(lim n v n n u ∞
→ = []
)
(lim )(lim n v n n n u ∞
→∞
→ (都存在）)(lim ,0)(lim n v n u n n ∞
→∞
→>。
(iv)利用指数函数的极限。 当)(lim n f n ∞
→=1时，
[]
)
()(lim n g n n f ∞
→ = []
[])(1)(1
)(1
1)(1lim n g n f n f n n f --∞
→-+ = [][])
(1)(1)(1
1)(1lim n g n f n f n n f --∞→?
?????-+ =
[])
(1)(lim n g n f n e -∞
→
(v)转化为函数的极限可以用洛必达法则。
)(lim n f n ∞
→ = )(lim x f x +∞
→
(vi)利用两边夹原理。
把)(n f 分别缩小、扩大一点点得简单的)(n g 、)(n h ，)(n g ≤)(n f ≤)(n h ，使容易求得A n h n g n n ==∞
→∞
→)(lim )(lim ，则A n f n =∞
→)(lim 。
（c ）当n x 用递归式给出时
（i ）用数学归纳法证明{}n x 是单调有界的，从而A x n n =∞
→lim 存在；
（ii ）对n x 的递归式两边取极限得关于A 的方程，再解出A 。 （d ）记得一些等价关系 当 )(lim n f n ∞
→= 0 时，
)(sin n f ～)(n f ，)(tan n f ～)(n f ，)(arcsin n f ～)(n f ，)(arctan n f ～)(n f
1－)(cos n f ～
[]2)(2
1
n f ，[]1)(1-+a n f ～[])(n f a ，1)(-n f e ～)(n f ， [])(1ln n f +～)(n f
（3）函数极限的计算 （a ）（2）中常用的计算方法对函数的六种极限都仍然适用。 （b ）如果已知)(x f 在x 0点连续，则 )(lim 0
x f x x → = )(0x f 。
（c ）记得一些等价关系。（lim 表示六种极限之一） 当 )(lim x f = 0 时，
)(sin x f ～)(x f ，)(tan x f ～)(x f ，)(arcsin x f ～)(x f ，)(arctan x f ～)(x f
1－)(cos x f ～
[]2)(2
1
x f ，[]1)(1-+a x f ～[])(x f a ，1)(-x f e ～)(x f ，
[])(1ln x f +～)(x f
（d ）（lim 表示六种极限之一） 当)(lim x f =1时，
[]
)
()(lim x g x f = []
[])(1)(1
)(1
1)(1lim x g x f x f x f ---+ = [][])
(1)(1)(1
1)(1lim x g x f x f x f --?
?????-+ =
[])
(1)(lim x g x f e
-
（e ）利用两边夹原理。
把)(x f 分别缩小、扩大一点点得简单的)(x g 、)(x h ，
)(x g ≤)(x f ≤)(x h ，使容易求得A x h x g ==)(lim )(lim ，则A x f =)(lim 。
（f ）不定式的极限（lim 表示六种极限之一）
(i)当极限是00或∞
∞
型的不定式时，可用洛必达法则：
)()(lim
x g x f = )
()
(lim x g x f '' （洛必达法则可以反复应用，但每次应用都要先检查类型。）
(ii)对于0∞型的不定式，先变形，再用洛必达法则。
)()(lim x g x f = )()(lim x f x g = []'??????')(1)(lim x f x g = )(1)(lim x g x f = []'?
??
???'
)(1)(lim x g x f
(iii)对于00、∞1、∞0型的不定式。
)()(lim x g x f = f(x)g(x)e ln lim = )(ln )( lim x f x g e = g(x)
1)
(ln
lim x f e
= []'??
????'
g(x)1)(ln
lim x f e
(iv)对于∞－∞型的不定式，先计算成一个式子再计算。 （g ）如果0)
()
(lim
≠=c x g x f ，则0)(lim 0)(lim =?=x f x g 。 (v)分段函数在分断点求极限要分别求左右极限。 2．极限的证明
（1）证明 )(lim n f n ∞
→= A 的格式
证· 0>?ε，
（打草稿从不等式ε<-A n f )(解出)(εN n >（必要时将A n f -)(放大一点点得
一个简单的>)(n g A n f -)(，再从ε<)(n g 解出)(εN n >）） （*）
取)(εN N =。当N n >时，
（由N n >正确推出ε<-A n f )(（一般是（*）的倒推）） 故 )(lim n f n ∞
→= A 。
证明 )(lim 0
x f x x →= A 的格式
证· 0>?ε，
（打草稿从不等式ε<-A x f )(解出)(0εδ<-x x （必要时将A x f -)(放大一点点得一个简单的>)(x g A x f -)(，再从ε<)(x g 解出)(0εδ<-x x ）） （*）
取)(εδδ=。当δ<-0x x 时，
（由δ<-0x x 正确推出ε<-A x f )(（一般是（*）的倒推）） 故 )(lim 0
x f x x →= A 。
（其它类型极限的证明格式完全类似。） （2）证明 )(lim n f n ∞
→ 存在但不管它是什么。
用数学归纳法证明)(n f 单调并且有界，再根据单调有界原理得出结论。
三、连续性和间断点
1．)(x f 在0x 点连续?)()(lim 00
x f x f x x =→?)()(lim )(lim 000
0x f x f x f x x x x ==-
+→→ 要证明)(x f 在0x 点连续就是要证明)()(lim 00
x f x f x x =→；如果0x 是分段点，则
要证明)()(lim )(lim 000
x f x f x f x x x x ==-
+→→。 2．间断点。 （1）找间断点
如果)(x f 在0x 的两边都有定义但)(0x f 没有定义，则0x 是)(x f 的间断点；分段函数的分段点可能是它的间断点。 （2）间断点分类
（a ）如果0x 是)(x f 的间断点并且)(lim 0
x f x x +→和)(lim 0
x f x x -
→都存在，则0x 是第一类间断点。
（b ）如果)(lim 0
x f x x +→或)(lim 0
x f x x -
→至少有一个不存在，则0x 是第二类间断点。 （c ）如果)(lim 0
x f x x →存在（即)(lim )(lim 00
0x f x f x x x x -
+→→=都存在），但)(0x f 没有定义或)()(lim 00
x f x f x x ≠→，则0x 是可除间断点。重新定义)(lim )(0
0x f x f x x →=可使0x 变
成连续点。
3．闭区间上连续函数的性质
（1）零点存在定理。（2）介值定理。（3）最值定理。
第二章 导数与微分
一、导数的计算
1． 用定义计算导数
当要求导的函数不是初等函数时，比如分段函数的分段点或函数没有具体表示式时，直接用定义计算它在0x 点的导数。
000000)()(lim
)()(lim lim
)(0x x x f x f x x f x x f x y
x f x x x x --=?-?+=??='→→?→? 2． 用求导公式计算导数
当要求导的函数是初等函数时，用求导公式和复合函数求导法求导数。要记
熟用熟相关公式。 3． 复合函数求导 （1）一次复合
如果))((),(),(x f y x u u f y ??===，则
[])())(())(())((x x f x f dx
d x f dx dy y ????''=='==
' dx
du du dy dx dy = （2）多次复合
如果)))(((),(),(),(t f y t x x u u f y ψ?ψ?====，则
[])())(()))((()))((()))(((t t t f t f dx
d t f dt dy ψψ?ψ?ψ?ψ?'''=='= dt
dx dx du du dy dx dy = 更多层次的复合函数的求导方法类推。
4． 隐函数求导
（1）一阶导数的求导步骤：
（a ）把y 看成x 的函数时，0),(=y x F 是一个恒等式；
（b ）用复合函数求导方法对恒等式0),(=y x F 两边对x 求导（求导时记得y 中有
x ）得新的恒等式0),,(='y y x G ； （c ）从0),,(='y y x G 解出y '=),(y x D 。
（2）要求二阶导数时，有两种方法：
（a ）用复合函数求导方法恒等式0),,(='y y x G 两边对x 求导（求导时记得y 和y '中都有x ）得新的恒等式0),,,(='''y y y x H ，再从0),,,(='''y y y x H 解出
y ''=),,(y y x E '，最后代入y '=),(y x D 得y ''=)),(,,(y x D y x E 。
（b ）用复合函数求导方法恒等式y '=),(y x D 两边对x 求导（求导时记得y 中有x ）
得y ''=),,(y y x F '，最后代入y '=),(y x D 得y ''=)),(,,(y x D y x F 。 更高阶导数的求导方法类推。 5． 参数表示的函数求导
（1）???==)
()(t y t x ψ?表示的函数)(x y y =在t 点的一阶导数
)
()
(t t dt
dt dy
dx dy y ?ψ''=
==' （2）要求二阶导数时，可对??
??
?''='==)()()(t t y p t x ?ψ?表示的函数)(x p p =再次求导： )()()(22t t t dx dp y dx d dx
y d y t
??ψ''
?
?????''=
='=='' 更高阶导数的求导方法类推。 6． 对数求导法
[][]复合函数求导法）( )()
(ln )()
('='x u x v x v e
x u ）
二、高阶导数
1． 常用函数的高阶导数
[]??
???>=<+--++++=-+n m n m a n n
m x a m n n n x a m a m x p n m n n m m m n ,0,!,)1()1(2)1(!)(1)
( 其中n n n x a x a a x p +++= 10)(。
()
x m x e e =)
(
())2sin(sin )(πm x x m +
= ())2
cos(cos )
(π
m x x m +=
1
)
(!
)1(1+-=??
? ??m m m x
m x []m
m m x m x )
1()!1()1()1ln(1)(+--=+- 2． 莱布尼茨公式
)()(0)
()
(k n k n
k k n n v u C uv -=∑= 与二项式公式完全类似。
特别注意：当u 是低次多项式时，公式中的项数很少，非常简单。
三、微分的计算 1．函数)(x f y =在x 点的微分
dx x f dy )('=
2．当)(),(t x x f y ?==复合函数时，微分公式也是
dx x f dy )('=
3．)(x f y =在0x 点的可微)(0x f '?存在。
四、可导、可微、连续的关系
可导?可微?连续
但连续的函数不一定可导、可微。例如：y=|x|，x=0点。
第三章 微分中值定理与导数的应用
一、导数的意义
)(x f '是曲线)(x f y =在x 点切线的斜率；如果)(t s 是路程函数，则)(t s '是在
时间t 时的速度；如果)(t v 是速度函数，则)(t v '是在时间t 时的加速度。
二、中值定理
1． 费马定理
如果0x 是)(x f 的极值点，并且)(0x f '存在，则)(0x f '= 0，即0x 是驻点。 费马定理是中值定理的基础。 2． 罗尔定理
条件：[]??
?
??=)()()b ,a ()(b ,a )(b f a f x f x f 内可导；在开区间上连续；在闭区间
结论：至少存在一点),(b a ∈ξ使得)(ξf '=0。
罗尔定理的三个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：
??
?=<≤=1,01
0,)(x x x x f ；)(x f =)1(,≤x x ；)(x f =)10(,≤≤x x 。 3． 拉格朗日中值定理
条件：[]()???内可导在开区间
上连续在闭区间
b a x f b a x f ,)(;,)(
结论：至少存在一点),(b a ∈ξ使得)(ξf '=
a
b a f b f --)
()(。
拉格朗日中值定理的两个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：
??
?=<≤=1,
01
0,)(x x x x f ；)(x f =)1(,≤x x 。 如果)(x f 在),(b a 内可导，()b a x x x ,,00∈?+，则存在()1,0∈θ使得
x x x f x f x x f ??+'+=?+)()()(000θ
其中x
x ?-=
ξθ是ξ的分比。这就是有限增量公式。
4． 柯西中值定理
条件：[]()()??
?
??≠'0)(,,)()(,)()(x F b a b a x F x f b a x F x f 中在开区间内可导；在开区间和上连续；在闭区间
和
结论：至少存在一点),(b a ∈ξ使得)()(ξξF f ''=)
()()
()(a F b F a f b f --。 5． 中值定理的证明题。
方法是凑一个函数应用相应的中值定理。注意到：
[]
)()()()()()()(x g x f e x g e x g e x f x f x f '+'='
[]
)()()(x g e x g e x g e x x x
λλλλ+'='
[]
)()()(1x g x x g x x g x
-+'='
λλλ
λ
中有一项多一部分)(x f '。
三、泰勒公式
1． 泰勒公式
)()(!
)()(!2)()(!1)()()(00)(2
00)2(000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-+-'+=
其中余项)(x R n 的主要形式有 （1） 拉格朗日余项
10)1()()!
1()
()(++-+=n n n x x n f x R ξ，
（ξ在0x 与x 之间） （2） 皮亚若余项
()
n n x x x R )()(0-= 。
如果M x f n ≤+)()1(，则，用n 次泰勒多项式
n n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!
)()(!2)()(!1)()()(00)(2
00)2(000-++-+-'+=
近似代替)(x f 产生的误差估计为
1
)!
1()(+-+≤
n n x x n M
x R
2． 为备用，熟记一些常用函数的麦克劳琳公式（00=x 的泰勒公式）
12)!
1(!1!21!111+++++++=n x
n x
x n e x n x x e θ
1
1
132)1)(1()1()1(3121)1ln(++-++-+-+++-=+n n n n n x x n x n x x x x θ 1212153)!
12(2)12(sin )!12()1(!51!31sin +--+??????
+++
--+-+-=m m m x m m x x m x x x x πθ []2
2242)!
22()1(cos )!2()1(!41!211cos +++++-+-+-=m m m x
m m x x m x x x πθ 3． 用间接法写函数的泰勒公式
（1） 作变换0x x t -=：)(x f =)(0t x f +； （2） 写出)(0t x f +关于t 的麦克劳琳公式：
（a ） 适当恒等化简，把某组东西看成一个整体，使函数变成麦克劳琳公式
已知的函数；
（b ） 利用已知写出麦克劳琳公式； （c ） 整理。 （3） 代回变量0x x t -=。 4.用函数的泰勒公式求极限.
四、求极值、最值
1． 极值问题 （1） 极值点的范围
根据费马定理，)(x f 极值点的范围：全部导数不存在的点和)(x f '= 0的全部解。
（2） 求极值的步骤
（a ） 求出)(x f '不存在的全部点：n t t t ,,,21 ； 求出)(x f '= 0的全部解：m x x x ,,,21 。
（b ） 逐点．．用)(x f '或)(i x f ''判断i x 是否极值点，是极大值点还是极小值点；逐．
点．
用)(x f '或定义判断i t 是否极值点，是极大值点还是极小值点。一定要有明确的结论。 用)(x f '判断：
?????
?
?'>'<'<'>' )()()iii ()(0)(0)()ii ()(0)(0)()i ()(的极值点。不是的左右附近同号，则
在若的极小值点。是，则的右边附近，在的左边附近若在的极大值点。是，则的右边附近，在的左边附近若在的某去心领域内可导。点连续，在在设x f x x x f x f x x f x x f x x f x x f x x f x x x x f i i i i i i i i i i 用)(i x f ''判断：??
?
??
>''<''='''的极小值点。
是，则如果的极大值点。是，则如果。存在且设)(0)()ii ()(0)()i (0)()(x f x x f x f x x f x f x f i i i i i i
（c ） 必要时求出极值。 2． 求最值 （1）一般情况
（a ）最值点的范围
)(x f 最值点的范围：全部导数不存在的点和)(x f '= 0的全部解以及端点。 （b ）在[]b a ,上求最值的步骤
（i ）求出)(x f '不存在的全部点：m x x x ,,,21 ； 求出)(x f '= 0的全部解：n t t t ,,,21 。
（ii ）)}(,),(),(,),(),(),(max{11max n m t f t f x f x f b f a f f =
)}(,),(),(,),(),(),(min{11min n m t f t f x f x f b f a f f =
相应的点为相应的最值点。（如果求最值的区间是),[b a 、],(b a 或),(b a ，则没有的端点就不在考虑之内。） （2）特殊情况
如果
（i ）根据问题的实际能判断得知)(x f 的最大（小）值肯定在),(b a 内取得； （ii ）在),(b a 内)(x f '不存在或)(x f '= 0只有一个点0x 。 则0x 就是)(x f 的最大（小）值点。
五、单调区间，凸性、拐点，渐近线
1．单调区间 求单调区间的步骤：
（1）求出)(x f '不存在和)(x f '= 0的全部点：m x x x ,,,21 。以m x x x 、、、 21为
分点分成1+m 个小区间；
（2）)(x f 在0)()(>≥'x f 的小区间中（严格）单调上升；在0)()(<≤'x f 的小区间中（严格）单调下降。 2．凸性、拐点
求凸性区间、拐点的步骤：
（1）求出)(x f ''不存在和)(x f ''= 0的全部点：m x x x ,,,21 。以m x x x 、、、 21为分点分成1+m 个小区间； （2）用)(x f ''判断每个．．
小区间的凸性： ?
?
?<''>''（的图形）是上凸的。的小区间，在（的图形）是下凸的。
的小区间，在)(0)()(0)(x f x f x f x f （3）如果i x 左右两边的凸性相反，则))(,(i i x f x 是拐点；如果i x 左右两边的凸性相同，则))(,(i i x f x 不是拐点。 3．渐近线 （1）垂直渐近线
如果∞=±
→)(lim 0
x f x x ，则0x x =是)(x f y =的垂直渐近线。（可能不只一条。） （2）斜渐近线（包括水平渐近线） 如果
x x f a x )
(lim ±∞→=， ])([lim ax x f b x -=±∞→
则b ax y +=是)(x f y =的渐近线。 4．曲率和曲率半径
[]()
K
R x f x f K 1
)(1)
(2
3
2='+''=
，
第四章 不定积分
1． 原函数
如果)()(x f x F ≡'，则)(x F 称为)(x f 的一个原函数。 2． 不定积分的概念
固定)(x f 的随便．．
一个原函数)(x F ，)(x f 的全部原函数C x F +)(称为)(x f 的不定积分
?+=C x F dx x f )()(
其中C 是任意常数，称为积分常数。因此
??==dx x f dx x f d x f dx x f dx
d
)()()()(， ??+=='C x F x dF dx x F )()()(
3． 不定积分的计算
（1） 概说
计算?dx x f )(就是要找到)(x f 的随便．．
一个原函数)(x F ，然后就得 ?+=C x F dx x f )()(
（2） 初等函数不定积分的计算
（a ）首先要记熟用熟基本积分表和常用的积分表。 （b ）千方百计地．．．．．把要做的积分化为积分表中的积分．．．．．．．．．．．．．．．。 （i ）利用线性性计算不定积分
[]?????+±=±+=C dx x g dx x f dx x g x f C dx x f k dx x kf )()()()( )()(，
（ii ）第一换元法
[]
C du u f dx x x f x u +='=??)
()()())((???
快速的第一换元法就是凑微分法：
??=')())(()())((x d x f dx x x f ????
（iii ）第二换元法
找一个适当的变换)(t x ?=，则
[]C dt t t f dx x f x t +'=-=
??)
(1
)())(()(?
??
换元法的意义在于右边的积分比左边的积分简单。
．．．．．．．．．．．．．．（iv ）分步积分法
()????-='-='vdu uv udv dx u v uv dx v u
原则：v v u u ???→?''??→?复杂
变简单，不变 。
v u '
反、对、幂、三、指
。
如果经几次分步积分又出现左边的积分，就用代数方法解出。 （v ）当有c bx ax ++2时
○
a 如果))((2βα--=++x x a c bx ax 有实根，则拆开成两项 dx x x f x x f a dx c bx ax x f ?????
?
??----=++βαβα)()()(1
)(2 ○
b 如果
c bx ax ++2没有实根，则先配方 ??? ?
?
--
+??? ?
?-?
??
???+??? ?
?-=++??a b x d a b c a b x a a b a b x f dx c bx ax x f 24222)(222 （vi ）有理函数的积分 ○
a 假分式（n m ≥） 先用多项式除法
dx x Q x r dx x h dx x Q x P n u n m n m ???+=-)()
()()()(
其中)(x h n m -是多项式，n u <。
○
b 真分式（n m <） ○1分解因式（设)(x Q n
的最高次系数是1） t s k t t k l s l n q x p x q x p x a x a x x Q )()()()()(11111++++--=
○
2待定系数分解
++-++-++-++-=--
s
l s s
s l a x l s s l s
s
a x l l n m a x A a x A a x A a x A x Q x P )(1)(1111
1)()()()()()(1
111
t
k t t t t t k t t q x p x k t t t k t k t t t
t q x p x k t t k k q x p x N x M q x p x N x M q x p x N x M q x p x N x M )(1
1)(11111111)()()()(1
111++++++++++++++++++++++
○3把上式右边形式地加起来，比较两边系数得一个方程组，解此方程组得待定系数的值，代回上式即分解成功。 ○4dx x Q x P n m ?
)
()
(变成几个简单积分 ??+-=--=-C a x A a x d a x A dx a x A ln )(
()
()
()
1)(l 1
)
()(1
>+--=--=-??-C a x lA a x d a x A
dx a x A
l l
l
?
?
?????
?
?-++??????
?
?
?
-+-
=??? ?
?
+-+?
?? ?
?+=++???4214214
24222
2
2
222p q p x d p q p x p q A
p x d p q p x A dx q px x N C p q p
x p q A +????
??
?
?
?
-+
-=
4
2a r c t a n 422
()
x d q
px x p M N
M q px x d q
px x M dx q
px x p
M N
p x M
dx q
px x N Mx ?
?
?
?
++-+
++++=++-+
+=
+++22
2222212222()
(
)
()
()
(
)
x
d q
px x p M
N
M
q px x d q
px x
M dx q
px x p
M N
p x M dx q
px x
N
Mx k
k
k
k
????++-+
++++=++-+
+=+++222
22
22
1
2222
()
??? ?
?+??
?
?????-+??? ??+=++?
?2421
1
222
p x d p q p x x d q
px x
k k
(
)()
()
()
()
2
222
2
1
2
2
22222222
221
1
1
11
a u d a
u
u
a du a
u
a du a u u a u a du a u k
k k k
++-+=+-+=+????-
()
()(
)
()()
du a u k a a
u k a u
du a
u
a k k k ??---+--
+-++=
1
2
221
22
2
1
2
2
2
1
121121
1
()(
)
()()
du a u k a a a
u k a u
k k ?--+???? ??--++-=
1
2
2
221
22
2
1
121112
然后递推。
有理函数的积分总可以积出来。但比较麻烦，应用作最后一招。 （vii ）万能变换
2tan x u =，212sin u u x +=，2
2
11cos u u x +-=，
du u dx 212+= du u u u u u R dx x x R 22221211,12)cos ,(sin +???
? ??+-+=??
其中R 是有理式。由于麻烦，万能变换应用作最后一招。 （viii ）?xdx x m n cos sin 的计算
a) 当m 是奇数时，??--=x d x x xdx x m n
m
n
sin )
sin 1(sin cos sin 2
1
2
；当n 是奇数时，
??---=x d x x xdx x n m m n
cos )
cos 1(cos cos sin
2
1
2
；
b) 当m n ,都是偶数时，????
?
??+??? ??-=dx x x xdx x m n m n 2
2
22cos 122cos 1cos sin 。
不定积分技巧性强，方法灵活。要一切方法综合运用，一切通过试！
第五章 定积分
一、定积分的概念
1． 定积分定义的四步
（1） 分割：b x x x x a n n =<<<<=-120 。1--=?i i i x x x 。i n
i x ?=≤≤1max λ。
（2） “近似”：i i x ?∈?ξ，i i x f ?)(ξ。 （3） 求和：∑=?n
i i i x f 1
)(ξ。
（4） 取极限：?????==??∑=→积分不存在不可积极限不存在，
积分存在可积
，极限存在， )( )(lim 10
b
a
n
i i i A dx x f A x f ξλ 补充定义???-==b
a
a b
a a
dx x f dx x f dx x f )()(,0)(
2． 定积分的几何意义
（1） 当b a x f <≥,0)(时，?b
a dx x f )( = 由“
b x a x x f y y ====,),(,0”围成曲
边梯形的面积。
（2） 当b a x f <≤,0)(时，?b
a dx x f )( = 由“
b x a x x f y y ====,),(,0”围成曲
边梯形的面积的负值。
（3） 当)(x f 可正可负b a <,时，?b
a dx x f )( = 由“
b x a x x f y y ====,),(,0”
围成曲边梯形面积的代数和。
（4） 当)(t f 是速度函数时，?b
a dt t f )( = 物体从时间a 到时间
b 的运动路程。
二、定积分的性质
1．线性性
[]??
?±=±b
a
b
a
b a
dx x g l dx x f k dx x g l x kf )()()( )(
2．可加性
???
+=b
c
c a
b
a
dx x f dx x f dx x f )()()(
c b a ,,不管哪个大哪个小，积分能做就行。
3．单调性
0)(0)(?≤≥??????≤≤≥b a dx x f b a x f ，??≤≥??????≤≤≥b a b a dx x g dx x f b
a x g x f )()()()( 4．积分估计
)()()()(a b M dx x f a b m b a M
x f m b a -≤≤-??
??≤≤≤? 5．积分中值定理
[]),( ))(()(b a a b f dx x f b
a
∈-=?
ξξ其中
其中)(x f 在],[b a 上连续。
三、上限的函数
上限的函数?=x
a dt t f x F )()(是)(x f 的一个原函数
?==
'x
a
x f dt t f dx d x F )()()( ?-=b
x x f dt t f dx
d )()( )())(()()
(x x f dt t f dx
d x a ???'=? )())(()()(x x f dt t f dx d b
x ψψψ?
-= )())(()())(()()
()(x x f x x f dt t f dx
d x x ψψ???ψ'-'=?
四、定积分的计算
1．牛顿-莱布尼茨公式
[])()()()(a F b F x F dx x f b
a b
a
-==?
其中)(x F 是)(x f 的随便一个原函数。因此，先用不定积分算出)(x f 的原函数
)(x F ，再用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分?b
a dx x f )(。
2．换元法
[]dt t t f dx x f b
a
)()()(??β
α
'=??
其中)(t x ?=是适当选好的变换，上下限跟踪)(),(α?β?==a b 。左右相等，哪
个容易计算就计算哪个。定积分换元法也可解决一些积分困难。 3．分步积分法
[]??
'-='b
a
b
a b
a
dx x u x v x v x u dx x v x u )()()()()()(，
[]??
? ??-=??b a b a b a x du x v x v x u x dv x u )()()()()()( 原则：v v u u ???→?''??→?复杂
变简单，不变 。
v
u '反、对、幂、三、指
。
如果经几次分步积分又出现左边的积分，就用代数方法解出。 4．当)(x f 是奇函数时
0)(=?
-a
a
dx x f
五、反常积分
1．无穷限积分
??+∞→+∞
=t
a
t a dx x f dx x f )(lim )(
??
-∞→∞
-=b
b
dx x f dx x f τ
τ)(lim )(
???
-∞→+∞→+∞
∞
-+=c
t c
t dx x f dx x f dx x f τ
τ)(lim )(lim )(
极限（都）存在时积分收敛；否则积分发散。τ和t 完全没有关系。c 可以是0。
2．无界函数积分
无界函数按通常意义积分都是发散的。
如果)(x f 在0x 附近无界，则0x 称为)(x f 的一个瑕玷。
?
?
-→+=τ
τc a
c
a
dx x f dx x f )(lim )(0
，?
?+→+=a
c a c
dx x f dx x f τ
τ)(lim )(0
其中c 是)(x f 在积分区间上唯一的瑕玷，上限大于下限。
?
??
-→+→+++=τ
τb c
c t
a t b
a
dx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )(0
其中a 和b 是)(x f 在积分区间上仅有的瑕玷，b c a <<。
极限（都）存在时积分收敛；否则积分发散。τ和t 完全没有关系。b c a <<。
当积分区间中有几个瑕玷时，以这些瑕玷为分点，分成几个小区间的积分。 3．反常积分也可换元或分部积分。
高等数学知识点总结 (1)
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-
《高等数学》上册期末考试题附答案
2006-2007学年第一学期 高等数学（A1）试题(A 卷) 一、填空(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.已知=++=??? ?? +)(,31122x f x x x x f 则 ____________. 2.设)(0x f '存在,则()() =--+→h h x f h x f h 000 lim ____________. 3.设)(x f 的原函数为 x x ln ,则()='?dx x f ____________. 4.向量{}4,3,4-=a 在向量{}1,2,2=b 上的投影是____________. 5. )1(1 )(+= x x x f 按的幂展开到n 阶的泰勒公式是_________ . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.设()x f 可导且()2 1 0= 'x f ，当0→?x 时，()x f 在0x 处的微分dy 与x ?比较是（ ）无穷小. (A ) 等价 (B ) 同阶 (C ) 低阶 (D ) 高阶 2．已知c bx ax x y +++=3323,在1-=x 处取得极大值,点(0,3)是拐点, 则（ ）. 3,0,1)(3,1,0)(==-==-==c b a B c b a A 均错以上) ( 0,1,3) (D c b a C =-== 3．设)(x f 在[-5，5]上连续，则下列积分正确的是（ ）. [][]0 )()()(0 )()()(5 5 5 5=--=-+ ??--dx x f x f B dx x f x f A [][]0)()() (0)()() (5 50 =--=-+??dx x f x f D dx x f x f C 4. 设直线L 为 1 2241z y x =-+=-,平面0224:=-+-z y x π 则( ). 上；在；平行于ππL L A )B ()(.(D);)(斜交与垂直于ππL L C 5. 若0532<-b a ,则方程043235=++-c bx ax x ( ) (A ) 无实根; (B ) 有五个不同的实根. (C ) 有三个不同的实根; (D ) 有惟一实根;
高等数学试题及答案新编
《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）
高数上册知识点
高等数学上册知识点 一、 函数及极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函 数、反双曲函数； 4、 函数的连续性及间断点； 函数)(x f 在 0x 连续)(00 x f x x → 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性及最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当
左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-=右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim x n n ∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1)(~ ααββαo +=?; Th2αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~
东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)
东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
03～10级高等数学（A ）（上册）期末试卷 2003级高等数学（A ）（上）期末试卷 一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程 ? +-=y x t x dt e 1 2 确定，则 ==0 x dx dy （ ） .e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A 2．曲线41 ln 2+-+ =x x x y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A 3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ） 4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ） . 2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( * ***x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+=== 二、填空题（每小题3分，共18分） 1．_____________________)(lim 2 1 =-→x x x x e 2．若)(cos 21arctan x f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dx dy 3．设,0, 00 ,1sin )(?????=≠=α x x x x x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。
高等数学试题及答案91398
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
高等数学上册知识点
高等数学上册知识点文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
高等数学上 册 第一章 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲 函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数 )(x f 在0x 连续)()(00 x f x f x =→ 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值 定理及其推论。 （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 2） 函数极限 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ = 2、 极限存在准则
1） 夹逼准则： 1） )(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2）a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββα o +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b)e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x e x ~1- （ a x a x ln ~1-） b) x x ~)1ln(+ （a x x a ln ~)1(log +） 第二章 导数与微分 （一） 导数
(完整版)高数知识点总结(上册)
高数知识点总结（上册） 函数： 绝对值得性质： (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a -b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法： （1）表格法 （2）图示法 （3）公式法（解析法） 函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 反函数： 定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1 x f y -=存在，且是单 值、单调的。 基本初等函数： （1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 （4）三角函数 （5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限： 定义：设 {}n x 是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小） ， 总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n x ，不等式 ε <-a x n 都成立，则称数a 是数列 {}n x 的 极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a x n n =∞ →lim ，或 a x n →（∞→n ） 收敛数列的有界性： 定理：如果数列 {}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界 推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛 函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质： （1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0 ，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0 x 可除外），有0)(>x f （或0)( 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 高等数学上册 第一章 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定 理、介值定理及其推论。 （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 δδε-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ = )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷 大量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无 穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 221 n n n n n n ππ ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 山东大学2014-2015学年第一学期期中考试 《高等数学（Ⅰ）》试卷 姓名：________ 一、选择题（每题2分，共16分） 1、下列极限存在的是…………………………………………………………( ) （A）x x2 1 lim ∞ → （B） 1 3 1 lim - →x x （C）x e x 1 lim ∞ → （D）x x 3 lim ∞ → 2 x22 x0-ax+bx+1x a b e → 当时，若（）是比高阶的无穷小，则，的值是（）…( a ) （A）1／2，1 （B）1，1 （C）-1／2，1 （D）-1，1 3、,0 ) ( lim> = → A x f a x ,0 ) ( lim< = → B x g a x 则下列正确的是…………………………( )（A）f(x)>0, （B）g(x)<0, （C）f(x)>g(x) （D）存在a的一个空心邻域，使f(x)g(x)<0。 4、已知，,2 lim)( = →x x f x 则= →) 2x ( sin3x lim f x ………………………………………………( )（A）2/3, （B）3/2 （C）3/4 （D）不能确定。 5、函数f(x)在[a，b]上有定义，在（a，b）内可导，则（） （A）当f（a）f（b）＜0时，存在ξ∈（a，b），使f（ξ）=0 （B）对任何ζ∈（a，b），有 （C）当f（a）=f（b）时，存在ξ∈（a，b），使f1（ξ）=0 （D）存在ξ∈（a，b），使f（a）-f（b）=f1（ξ）（b-a） 6、下列对于函数y=x cos x的叙述，正确的一个是………………………………………()（A）有界，且是当x趋于无穷时的无穷大，（B）有界，但不是当x趋于无穷时的无穷大，（C）无界，且是当x趋于无穷时的无穷大，（D）无界，但不是当x趋于无穷时的无穷大。 7、下列叙述正确的一个是……………………………………………………………（）（A）函数在某点有极限，则函数必有界；（B）若数列有界，则数列必有极限； （C）若,2 lim)2()2( = - - →h h f h f h 则函数在0处必有导数，（D）函数在 x可导，则在 x必连续。 8、当0 → x时，下列不与2x等价的无穷小量为…………………………………（）（A）)1 (cos- x（B）2 arcsin x（C）) 1 ln(2x +(D) 1 2- x e ()() 6 3x f x= g x=tan x h x=x e-1 ? ?? ? （），（ ()() lim0 x f x f ξ ξ → -= ?? ?? 高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x + →+= )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2） a z y n n n n ==→∞ →∞lim lim a x n n =∞→lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x - 高等数学上册,必背的 知识点,期末考试备考 的重点知识 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 高等数学上册，必背的知识点，期末考试备考的重点知识 东西不多，但都是经典，多了也记不住，是吧。 (14)C x dx x +-=?csc cot csc (15)C x xdx x +=?sec tan sec (16)C x xdx +-=?|cos |ln tan (17)C x xdx +=?|sin |ln cot (18)C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec (19)C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc (20)C a x a dx x a +=+?arctan 112 2 (21)C a x a x a dx a x ++-=-?||ln 2112 2 (22)C a x dx x a +=-?arcsin 12 2 (23)C a x x a x dx +++=+? )ln(222 2 (24)C a x x a x dx +-+=-?||ln 222 2 用于三角函数有理式积分的变换: 把sin x 、cos x 表成2 tan x 的函数然后作变换2 tan x u = 2 22122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x x x x x x x +=+== =? 2 2 2222112 sec 2tan 12sin 2cos cos u u x x x x x +-=-=-=? 变换后原积分变成了有理函数的积分 二 泰勒多项式 若)(x f 在点x 0处N 阶可导，称 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式 （1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义 （2） 定理与运算法则 定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u ， )0()(2≠-=v v udv vdu v u d （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 （1）复合函数微分法 （2）反函数的微分法 （3）由参数方程确定函数的微分法 （4）隐函数微分法 （5）幂指函数微分法 （6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数 （1）定义与基本公式 高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )! 1()1()(ln 1)(--=- 莱布尼兹公式： （2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析 例2.1 设?? ???=≠?=0,00,1sin )(x x x x x f K , （K 为整数）.问： （1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导； （2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续； （3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？ 解 函数)(x f 在x=0点的导数： 0lim →x =--0 )0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(? = 0lim →x x x K 1sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当，，当发散 即 ? ??>≤='1,01)0(K K f 不存在， 当1>K 时, )(x f 的导函数为： ?????=≠?-?='--0,00,1cos 1sin )(21x x x x x Kx x f K K 高等数学I 1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 2 2βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=--+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f ' (C) )(a f ' （D ） ) (31 a f ' 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++ - . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直 线l 的方程为 13 1211--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） . 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-.同济大学版高等数学期末考试试卷
高等数学上考试试题及答案
高等数学上册知识点
大一上学期(第一学期)高数期末考试题
高等数学试卷和答案新编
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学大一上学期期中考试题
同济大学___高数上册知识点
高等数学上册,必背的知识点,期末考试备考的重点知识
(完整版)高等数学试题及答案
大一上学期高数知识点电子教案
大一上学期(第一学期)高数期末考试题xcsf