中考数学复习指导：证明线段相等的一些常见方法

证明线段相等的一些常见方法

证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础.本文以一道题为例，介绍证明线段相等的常见方法.

问题 如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=°，45ABC ABD ∠=∠=°，求证：CD AB =

方法1 如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F . 则可证ACE ACF ???

于是有CE CF AF AE ==，.

45ABC ABD ∠=∠=°∵

CE CF AF AE ∴==，

得AB CD =

方法2 如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得

30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=°，

75AMC CAM ∠=∠=°

AC CM ∴=

ABC CDM ∴???，于是有AB CD =

方法3 如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点.

10545ACB ABC ∠=°∠=°∵，

30BAC ∴∠=°

10545BAD ADC ∠=°∠=°∵，

7560DAC ACD ∴∠=°∠=°，

30CAE ∴∠=°

75AEC ACE AE AC ∴∠=∠=°=，

故由ABE CDA ???，得AB CD =

方法4 如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ， 则有ABC ANC ???

45N D ∴∠=∠=°

DE AE EN EC ∴==，

DC AN AB ∴==

方法5 如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG , 则有ADC AGC ???

45G D ∴∠=∠=°

AH HG GH BH ∴==，

DC CG AB ∴==

实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴. 方法6 如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有

PAC BCA ???

得AB CP CD ==

方法7 如图8，过A 点作AB 的垂线交BC 的延长线于Q 点，则有

QAC DCA ???，得AB CQ CD ==

方法8 如图9，以AB BC 、为邻边构造ABCE ?，连DE .

由45ADC AEC ∠=∠=°，可知A E D C 、、、四点共圆(当然也可通过三角形相似解决)，得

75DEC DAC ∠=∠=°

30ADE ACE ∠=∠=°

75DEC EDC ∴∠=∠=°

DC EC AB ∴==

方法9 如图10，以AD DC 、为邻边构造ADCR ?，连BR ;类似方法8得解.

方法10 如图11，分别过D C 、点作AD AC 、的垂线交于E 点.易知A D E C 、、、四点共圆，DC 平分ADE ∠,

EC AC ∴=

EDC CBA CD AB ∴???=，

方法11 如图12，分别过A B 、点作AC BC 、的垂线交于E 点;类似方法10得解.

方法12 如图13，分别作ADC ?和ABC ?的外接圆⊙1O ，和⊙2O .

45ABC ADC ∠=∠=°∵

2sin sin AC AC r D B

∴==∠∠，（r 为外接圆半径） ∴⊙1O ，和⊙2O 为等圆，故CD AB =

反思

1、本题纯以角度为条件，由条件可以求出所有角的度数，由此联想到寻找特殊角度，构造含特殊角度的直角三角形，所以首先想到方法1.

2、构造全等是我们解决证明线段相等的常见手段.当把相关线段放在三角形中发现不全等时，用“一定、二看、三构造”的策略构造全等形，方法2和方法3就呼之而出.

3、全等变换在初中阶段不常用，但用之有效.本例中方法

4、方法

5、方法

6、方法7都用了轴对称;方法8和方法9都用到了中心对称的思想;方法10和方法11既有轴对称又有中心对称的思想.

4、利用等边对等角的性质，构造辅助圆，结合利用正弦定理.

5、巧妙利用45度的特殊角，构造等腰直角三角形，转移线段建立联系.如方法6和方法7.

6、实际上解决本题的方法还有很多.如构造相似三角形，利用相似，通过中间比证明线段相等.利用“双A形”结合平行线分线段成比例定理证明线段相等等.本例中，用到的方法贯穿整个初中阶段，同学们要注意方法的提炼、总结、归类，由此掌握数学思想方法，提高解决数学问题的能力.

专题复习证明线段相等角相等的基本方法(一).docx

v1.0可编辑可修改 专题复习证明线段相等角相等的基本方法( 一) 一、教学目标： 知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个 三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法. 过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法 过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生 的学习经验；培养学生推理论证能力 . 情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习 惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的 发展 . 二、教学重点： 掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法. 教学难点： 分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法. 三、教学用具：三角板、学案等 四、教学过程： （一）引入： 相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要 依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考 15 题左右的位置，是 北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形 与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中. （二）例题： 例 1 已知：如图 1，△ ABC中， AB=AC，BC为最大边，点 D、 E 分别在 BC、AC上， BD=CE，F 为 BA延长线上一点， BF=CD. 求证：∠ DEF=∠ DFE . 分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对

v1.0可编辑可修改 段相等． 证明：∵ AB=AC∴∠ B=∠C． 在△ BDF和△ CED中， BD CE, B C,图 1 BF CD , BDF CED. DF ED.点拨：抓住图形的特征（两角在一个图形中） DEF DFE . 常用等边对等角证明，这是证两角相等的常用方法． 例 2 已知：如图 1，在△ ABC中，∠ ACB=90， CD AB 于点 D, 点 E 在 AC 上， CE=BC,过 E 点作 AC的垂线，交 CD的延长线于点 F ．求证 AB=FC. 分析：观察 AB与 FC在图形中的位置，发现这两条线段分别位于两个三角形中，考虑用三角形全等来证明．准备三角形全等的条件时，已知一对角一对边对应相等，还需证另一对对应角相等；已知条件有直角，故利用同角的余角相等来证. 证明：∵ FE ⊥ AC 于点 E，ACB90°，∴FECACB 90°， 易证A F ． ∴ △ ABC ≌ △ FCE . ∴AB FC ． 点拨：根据图形特征，要证明相等的两边分别在两 F D B A C E 图1 个三角形中，常利用证明两边所在的两个三角形全等来证．在证明两角相等时， 利用了同角的余角相等证明，也可用等角的余角相等来证，但较复杂．例 3 两个大小不同的等腰直角三角板如图1-1 所示放置，图1-2 是由它抽象出的几何图形， B，C，E 在同一条直线D 上，连结 DC ．求证：∠ ABE=∠ ACD．

利用相似三角形证明线段相等

G F E C D B A G N M F E D C B A 利用相似三角形证明线段相等 【例7】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥，AC 的延长线交EF 于G 。求证：EG GF =。 证明：证明两线段相等的一种方法是构造比例关系：x y a b =，①若x y =，则a b =；②若a b =，则x y =；③若y b =，则x a = 过C 点作MN ∥EF ，我们先来证明MC=CN ，利用△BEF 和△DEF 形成的A 字型平行线比例关系得： MC BM DN CN EF BE DF EF === ，由此得MC=CN ， 再利用△A EG 和△A GFF 形成的A 字型平行线比例关系得： MC AM AN CN EG AE AF GF === ，故EG GF =得证 关键词：A 字型平行线比例关系 构造比例 关系证线段相等 预备知识：在做下一题之前，先证明一条角平分线定理： 在ABC ?中，AD 是BAC ∠的角平分线，则DB AB DC AC = 【例8】在ABC ?中，90C ∠=?，A ∠的平分线AE 交BA 边上的高线CH 于D ，过D ，引AB 的平行线交BC 于F 。求证：BF EC =。 分析：本题的基本思路与上题相同。由角平分线定理得： EC AC EB AB = 和 DH AH DC AC =，而根据射影定理有2AC AH AB =，即AH AC AC AB = 故EC DH EB DC =利用合比定理得：EC DH CB CH = 另一方面，根据平行线比例关系得： BF DH CB CH =；故BF EC = 关键词：角平分线定理 平行线比例关系 射影定理 构造比例关系证线段相等 习题 如图，在ABC ?中，90A ∠=?，分别以AB AC 、为边向形外作正方形ABDE ACFG 、， 设CD 交AB 于N ，BF 交AC 于M ，求证：AM AN =。 17. （本题10分） 如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OC 平行于弦AD ，连接CD 。过点D 作DE ⊥AB 于E ，交AC 于点P,求证： （1）CD 是⊙O 的切线；（2）点P 平分线段DE H F E D C B A

初中几何证明常用方法归纳

初中几何证明常用方法 归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

几何证明常用方法归纳 一、证明线段相等的常用办法 1、同一个三角形中，利用等角对等边：先证明某两个角相等。 2、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 3、通过平移或旋转或者折叠得到的线段相等。 4、线段垂直平分线性质：线段垂直平分线的一点到线段两个端点的距离相等。 5、角平分线的性质：角平分线上的一点到角两边的距离相等。 6、线段的和差。 二、求线段的长度的常用办法 1、利用线段的和差。 2、利用等量代换：先求其他线段的长度，再证明所求线段与已求的线段相等。 3、勾股定理。 三、证明角相等的常用办法 1、同（等）角的余(补)角相等。 2、两直线平行，内错角（同位角）相等。 3、角的和差 4、同一个三角形中，利用等边对等角：先证明某两条边相等。 5、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 四、求角的度数的常用方法 1、利用角的和差。 2、利用等量代换：先求其他角的长度，再证明所求角与已求的角相等。 3、三角形内角和定理。 五、证明直角三角形的常用方法 1、证明有一个角是直角。（从角） 2、有两个角互余。（从角） 3、勾股定理逆定理。（从边） 4、30度角所对的边是另一边的一半。 5、三角形一边上的中线等于这边的一半 六、证明等腰三角形的常用方法 1、证明有两边相等。（从边） 2、证明有两角相等。（从角） 七、证明等边三角形的常用方法 1、三边相等。 2、三角相等。 3、有一角是60度的等腰三角形。 八、证明角平分线的常用方法 1、两个角相等（定义）。 2、等就在：到角两边的距离相等的点在角平行线上。 九、证明线段垂直平分线的常用方法 1、把某条线段平分，并与它垂直。

证明线段相等的方法

证明线段相等的方法 （一）常用轨迹中： ①两平行线间的距离处处相等。 ②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。 ③角平分线上任一点到角两边的距离相等。 ④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等(图1）。 （二）三角形中： ①同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等） ②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。 ③任意三角形的内心到三边的距离相等。 ④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。 ⑤直角三角形中，斜边的中点到直角顶点的距离相等。 ⑥有一角为60°的等腰三角形是等边三角形。 ⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边(图2）。 ⑧同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。同高或等高的三角形，若面积相等，则底也相等(图3）。 （三）四边形中： ①平行四边形对边相等，对角线相互平分。 ②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。 ③菱形中四边相等。 ④等腰梯形两腰相等、两对角线相等。 ⑤过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰(图4）。 （四）正多边形中： ①正多边形的各边相等。且边长a n= 2Rsin (180°/ n) ②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R )相等、各边的距离(边心距r n) 相等。 且r n= Rcos (180°/ n) （五）圆中： ①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。 ②同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，等弦心距所对的弦相等。 ③任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分。 ④自圆外一点所作圆的两切线长相等。 ⑤两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等。 ⑥两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分（图5）。 ⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等（图6）。 ⑧两同心圆中，内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分（图7）。 （六）全等形中：

中考数学几何证明压轴题

(i (2)若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论. 3、如图13- 1, 一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 勺两条边分别 重合在一起?现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边EF 的中点0(点O 也是 BD 中点)按顺时针方向旋转. (1) 如图13- 2,当EF 与AB 相交于点M GF 与 BD 相交于点N 时，通过观察 或 测量BM FN 的长度，猜想BM FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； (2) 若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时x 线段.FE 的延长线与AB 的延长线相交于点 M 线段BD 的延长线与F 时，(1)中的猜想还成立吗？若成立， F O (1)若 s i n / A G ) B( E ) 5 勺延长线相交于点N,此 弭■若不成 辺CD 于E ，连结ADg BD 3 OC OD 且0吐5 E (2)若图/3ADO / EDO= 4： 1,求13形OAC(阴影部分)的面积(结果保留 5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆 O 上一点，CHLAB 于点H,直线 AC 与过B 点的切线相交于点 D, E 为CH 中点，连接 A ￥ 延长交BD 于点F ,直线 F CF 中考专题训练 1、如图，在梯形 ABCD 中，AB// CD , / BCD=90 ,且 AB=1, BC=2 tan / ADC=2. (1) 求证：DC=BC; ⑵E 是梯形内一点, F 是梯形外一点，且/ EDC 2 FBC DE=BF 试判断△ ECF 的形状，并证明你的结论; (3)在(2)的条件下，当BE: CE=1: 2，Z BEC=135 时，求 sin / BFE 的值. 2、已知：如图，在 □ ABCD 中，E 、F 分别为边 AB CD 的中点，BD 是对角线，AG// DB 交CB 的 (1) 求证：△ ADE^A CBF ； D ( F ) 4、如图, =r D -，求CD 的长 C D M B 勺直径AB 垂 请证 立，请说明理由. A G

证明全等三角形找角相等的方法文档

证明三角形全等找角相等的方法 1、利用平行直线性质 两直线平行的性质定理：1. 两直线平行，同位角相等 2. 两直线平行，内错角相等 例1.如图所示，直线AD 、BE 相交于点C ，AC=DC ，BC=EC. 求证：AB=DE 已知：如图所示，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AD ＝BC ，AE ＝BF ，CE ＝DF ，试说明：（1）DF ∥CE ；（2）DE ＝CF ． A B C D E F 1 2 2、巧用公共角 要点：在证两三角形全等时首先看两个三角形是不是有公共交点，如果有公共交点，在看他们是否存在公共角 例1.如图所示，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C. 求证：AD=AE 10. 已知：如图,AD ＝AE,AB ＝AC,BD 、CE 相交于O. 求证：OD ＝OE ．

三、利用等边对等角 要点：注意相等的两条边一定要在同一个三角形内才能利用等边对等角 例1.在△ABC 中，AB=AC ，AD 是三角形的中线. 求证：△ABD ≌△ACD 四、利用对顶角相等 例1、已知：四边形ABCD 中, AC 、BD 交于O 点, AO=OC , BA ⊥AC , DC ⊥AC ．垂 足分别为A , C ． 求证：AD=BC 已知：如图，在AB 、AC 上各取一点，E 、D ，使AE=AD ，连结BD ，CE ，BD 与CE 交于O ，连结AO ，∠1=∠2， 求证：∠B=∠C 五、利用等量代换关系找出角相等 （1）=A B ∠+∠+公共角公共角，则可以得出=A B ∠∠ 例1. 已知：如图13－4，AE=AC ， AD=AB ，∠EAC=∠DAB ， 求证：△EAD ≌△CAB ． 已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE. 求证 :BD=CE A C B E D 图13－4

证明线段相等的方法

平面几何中线段相等的证明几种方法 平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。 一、利用全等三角形的性质证明线段相等 这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。 ［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。求证：AE=BD。 证明∵△ACB和△BCE都是等边三角形 ∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60° ∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120° ∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120° ∴AC=CD，CE=CB ∴△ACE≌△DCB（SAS） ∴AE=DB ［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。 证明：过点E作EG//AF交BC于点G ∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD

∵AB=AC ∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE ∵BE=CF，∴GE=CF 在△EGD和△FCD中， ∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF ∴△EGD≌△FCD（AAS）∴ED=FD 二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等 如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。 ［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。 求证：AF=EF。 证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。 ∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD ∴△ADC≌△GDB ∴AC=GB，∠FAE=∠BGE ∵BE=AC ∴BE=BG，∠BGE=∠BEG ∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF ∴AE=EF ［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。

中考数学几何证明题汇编

N 几何证明题分类汇编 一、证明两线段相等 1．如图3，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，EA AD ⊥，M 是AE 上一点，BAE MCE =∠∠， 45MBE =o ∠． （1）求证：BE ME =． （2）若7AB =，求MC 的长． 2、（8分）如图11，一张矩形纸片ABCD ，其中AD=8cm ，AB=6cm ，先沿对角线BD 折叠，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G. （1）求证：AG=C ′G ； （2）如图12，再折叠一次，使点D 与点A 重合，的折痕EN ，EN 角AD 于M ，求EM 的长. 2、类题演练 3如图，分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE ．已知∠BAC =30o，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ． （1）试说明AC =EF ； （2）求证：四边形ADFE 是平行四边形． 4如图，在△ABC 中，点P 是边AC 上的一个动点，过点P 作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点 E ，交∠BCA 的外角平分线于点 F ． (1)求证：PE ＝PF ； (2)*当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？说明理由； (3)*若在AC 边上存在点P ，使四边形AECF 是正方形，且 AP BC ＝3 2 ．求此时∠A 的大小． 图3 A B C D M E A C D E F 第20题图

二、证明两角相等、三角形相似及全等 1、（9分）AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是BE 延长线上 的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。 （1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD （2）（4分）连HB ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。 2、（本题8分）如图9，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE=BF ，EF 与BC 交于点G 。 （1）求证：△ABE≌△CBF ；（4分） （2）若∠ABE =50o，求∠EGC 的大小。（4分） 3、（本题7分）如图8，△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o，D 在AB 上． （1）求证：△AOC ≌△BOD ；（4分） （2）若AD ＝1，BD ＝2，求CD 的长．（3分） 2、类题演练 1、 (8分)如图，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，CE 与AB 相交于F ． (1)求证：△CEB ≌△ADC ； (2)若AD ＝9cm ，DE ＝6cm ，求BE 及EF 的长． 2、已知，在平行四边形ABCD 中，EFGH 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且AE=CG ，BF=DH ，求证：AEH ?≌CGF ? 三、证明两直线平行 A B C D F E 图9 A O D B H E C B F C

证明两角相等的方法20170727

徐老师模型数学20170727 证明两角相等的方法 百汇学校徐国纲 一、相交线、平行线 1、对顶角相等； 2、同角或等角的余角（或补角）相等； 3、两直线平行，同位角相等、内错角相等； 4、两边分别对应平行（或垂直）的两角相等或互补； 5、凡直角都相等； 6、角的平分线分得的两个角相等； 二、三角形 7、等腰三角形的两个底角相等； 8、三线合一：等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角； 9、三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和； 10、全等三角形的对应角相等； 11、相似三角形的对应角相等； 12、角平分性质定理的逆定理：到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上； 三、四边形 13、平行四边形的对角相等； 14、菱形的每一条对角线平分一组对角； 15、等腰梯形在同一底上的两个角相等； 四、圆 16、同弧或等弧（或两条相等的弦）所对的圆心角相等； 17、同弧或等弧所对的圆周角相等； 18、圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 19、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角； 20、三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角； 21、弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角； 22、从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 五、三角函数 23、如果两个锐角的同名三角函数值相等，则这两个锐角相等； 六、等式性质 24、等量代换：若∠1=∠2，且∠2=∠3，则∠1=∠3； 25、等式性质：等量加等量，其和（或差）相等：若∠1=∠2，则∠1+∠3=∠2+∠3或∠1-∠3=∠2-∠3. 第1 页共1 页

中考数学证明题

中考数学证明题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

一、证明题 1. 在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于E．将点C 翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F． （1）求证：四边形BFDE为平行四边形； AB=，求BC的长． （2）若四边形BFDE为菱形，且2 2. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作 PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N. (1) 求证：∠ADB=∠CDB； (2) 若∠ADC=90?，求证：四边形MPND是正方形.

3. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE 平分ADC ∠交AB 于点E ，BF 平分ABC ∠交CD 于点F . （1）求证：DE BF =； （2）连接EF ，写出图中所有的全等三角形.（不要求证明） 4. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点.连结AE 、BD ，且AE=AB . （1）求证：ABE EAD ∠=∠； （2）若2AEB ADB ∠=∠，求证：四边形ABCD 是菱形.

5. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高． (1)求证：四边形ADEF是平行四边形； (2)求证：∠DHF=∠DEF． 6．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO． 7.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．

证明角相等的方法

证明两角相等的方法 黄冈中学初三数学备课组【重点解读】 证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。 【相关定理或常见结论】 1、相交线、平行线： （1）对顶角相等； （2）等角的余角（或补角）相等； （3）两直线平行，同位角相等、内错角相等； （4）凡直角都相等； （5）角的平分线分得的两个角相等. 2、三角形 （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）； （3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和 （4）全等三角形的对应角相等； （5）相似三角形的对应角相等. 3、四边形 （1）平行四边形的对角相等； （2）菱形的每一条对角线平分一组对角； （3）等腰梯形在同一底上的两个角相等. 4、圆 （1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等.

（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. （4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角. （5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角. （6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角. （7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等. 6、利用三角函数计算出角的度数相等 【典题精析】 （一） 利用全等相关知识证明角相等 例1 已知：如图，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，BE 与CD 交于点O ，且BD CE =． 求证：AO 平分BAC ∠． 分析：要证AO 平分BAC ∠，因为CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，所以只要证明OD=OE ；若能证明若能证△OBD ≌△OCE 即可，因为可证 ∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE ，而BD=CE ，故问题得到解决． 证明：∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴∠ODB=∠OEC=90° 在△O BD 和△OCE 中 ∠ODB=∠OEC ∠BOD=∠COE BD=CE ∴△OBD ≌△OCE ∴OD=OE ∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴AO 平分BAC ∠． 说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆定理 例2 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是梯形内一点，ED ⊥AD ，BE=DC ，∠ECB=45 o ． 求证：∠EBC ＝∠EDC 分析：要证明∠EBC ＝∠EDC ，容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果

中考数学证明题

中考数学证明题 第一篇：中考数学证明题中考数学证明题o是已知线段ab上的一点，以ob为半径的圆o交ab于点c，以线段ao为直径的半圆圆o于点d，过点b作ab的垂线与ad的延长线交于点e (1)说明ae切圆o于点d (2)当点o位于线段ab何处时，△odc恰好是等边三角形〉?说明理由 答案：一题：显然三角形doe是等边三角形： 理由： 首先能确定o为圆心 然后在三角形obd中：bo=od，再因角b为60度，所以三角形obd为等边三角形; 同理证明三角形oce为等边三角形 从而得到：角bod=角eoc=60度，推出角doe=60度 再因为od=oe，三角形doe为等腰三角形，结合上面角doe=60度，得出结论： 三角形doe为等边三角形 第三题没作思考，有事了，改天再解 二题： 要证明三角形ode为等边三角形，其实还是要证明角doe=60度，因为我们知道三角形ode是等腰三角形。 此时，不妨设角abc=x度，角acb=y度，不难发现，x+y=120度。

此时我们要明确三个等腰三角形：ode;bod;oce 此时在我们在三角形bod中，由于角obd=角odb=x度 从而得出角bod=180-2x 同理在三角形oce中得出角eoc=180-2y 则角bod+角eoc=180-2x+180-2y，整理得：360-2(x+y) 把x+y=120代入，得120度。 由于角eoc+角bod=120度，所以角doe就为60度。 外加三角形doe本身为等腰三角形，所以三角形doe为等边三角形! 图片发不上来，看参考资料里的 1如图，ab⊥bc于b，ef⊥ac于g，df⊥ac于d，bc=df。求证：ac=ef。 2已知ac平分角bad，ce垂直ab于e，cf垂直ad于f，且bc=cd (1)求证：△bce全等△dcf 3. 如图所示，过三角形abc的顶点a分别作两底角角b和角c的平分线的垂线，ad垂直于bd于d，ae垂直于ce于e，求证：ed||bc. 4. 已知，如图，pb、pc分别是△abc的外角平分线，且相交于点p。 求证：点p在∠a的平分线上。 回答人的补充20xx-07-1900:101.在三角形abc中,角abc为60度,ad、ce分别平分角bac角acb,试猜想,ac、ae、cd有怎么样的数

初中阶段证明线段相等的方法

初中阶段证明线段相等的方法 （一）常用轨迹中： ①两平行线间的距离处处相等. ②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等. ③角平分线上任一点到角两边的距离相等. ④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其它直线上截得的线段也相等(图1）. （二）三角形中： ①同一三角形中,等角对等边.（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等） ②任意三角形的外心到三顶点的距离相等. ③任意三角形的内心到三边的距离相等. ④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边. ⑤直角三角形中,斜边的中线等于斜边一半. ⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形. ⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边(图2）. ⑧同底或等底的三角形,若面积相等,则高也相等.同高或等高的三角形,若面积相等,则底也相等(图3）. （三）四边形中： ①平行四边形对边相等,对角线相互平分.

②矩形对角线相等,且其的交点到四顶点的距离相等. ③菱形中四边相等. ④等腰梯形两腰相等、两对角线相等. ⑤过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰(图4）. （四）正多边形中： ①正多边形的各边相等.且边长an = 2Rsin (180°/ n) ②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R )相等、各边的距离(边心距rn ) 相等. 且rn = Rcos (180°/ n) （五）圆中： ①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等. ②同圆或等圆中,等弦所对的弦心距相等,等弦心距所对的弦相等. ③任意圆中,任一弦总被与它垂直的半径或直径平分. ④自圆外一点所作圆的两切线长相等. ⑤两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等. ⑥两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分（图5）. ⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等（图6）. ⑧两同心圆中,内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都

专题复习：证明角相等的方法

《专题复习：证明角相等的方法》导学案 学习目标 1、系统归纳已经学习过的结论是“角相等”的几何定理； 2、能够初步应用这些定理证明角相等； 3、养成执果索因的习惯，提高分析、解决问题的能力。 学习重、难点熟悉几何定理的文字、符号表述，依据问题的条件恰当选择证明方法。 问题引入证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。 一、自主学习： 归纳已经学习过的结论是“角相等”的几何定理(能结合图形用符号语言表述) （1）对顶角； （2）角的余角（或补角）相等； （3）两直线平行，相等、内错角； （4）凡直角都； （5）角的平分线分得的两个角； （6）等腰三角形的两个底角 (简称 ) （7）等腰三角形底边上的高（或中线）顶角（三线合一）； （8）三角形外角和定理：三角形外角等于的内角之和； （9）全等三角形的对应角； 二、典例精析

1、利用平行线的判定与性质证明角相等 例1、如右图在△ABC 中，EF ⊥AB ，CD ⊥AB ，G 在AC 边上并且∠GDC=∠EFB ， 求证：∠AGD=∠ACB 注：如果要证相等的两角是两条直线被第三条直线所截得的同位角或内错角，可考虑用此方法。 2、利用“等(同)角的补角相等”证明角相等 例2、如右图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，求证：∠A=∠C 3、利用“等(同)角的余角相等”证明角相等 例3、如右图，在锐角△ABC 中，BD 、CE 是它的两条高，求证：∠ABD=∠ACE 变式：若果∠A 是钝角，其它条件不变，仍然有∠ABD=∠ACE 为什么 4、利用全等△性质证明角相等 例4、 已知：如图，AC 和BD 相交于点O ，DC AB =，DB AC =。 求证：C B ∠=∠。

证明线段相等或成倍数关系的巧妙方法

如何证明线段相等或成倍数关系 一 【典型例题】 （一）线段相等：证明线段相等的方法很多，主要有三角形全等、等腰三角形的判定、线段垂直平分线定理、角平分线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。另外证明线段相等还有一类题型，就是证明两条线段的和或差等于某一条线段，此种类型往往采用截长补短的方法进行证明。在例题讲解中，会出现此种类型的题目，请同学们注意。下面，我们就分析几个例题，希望能通过讲解，使同学逐步掌握证明线段相同的方法。 例1. 已知：四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AC ＝BD 。 求证：OA ＝OB 2. △ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，DE 交 BC 于F 。 求证：DF ＝ EF 例 3. 已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上 的点，且AE ＝CF 。 求证：DE ＝BF 例5. 已知：在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于E ，若AB ＝8，DE ＝3，求BE 两点间的距离。

6. 在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠ACB ＝2∠B ，求证：AB ＝AC ＋CD 。 （二）线段倍、倍或、倍的关系：24121 4 这部分证明中常用到的定理有： （1）直角三角形中，30°的角对的直角边等于斜边的一半。 （2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 （3）中位线定理。 下面就以几个例子来说明如何使用这三个定理解决线段倍数关系的证明。 例1. 已知：在△ABC 中，M 是BC 的中点，CE ⊥AB ，BF ⊥AC 。 求证：EM ＝FM 例2. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD 是AB 边上的高。 求证：BD AB 14 例3. 已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，EF 是△ABC 的中位线，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，连接CD 。

中考数学证明题

中考数学证明题 中考数学证明题 ~N累~!!回答人的补充 201X-07-19 00:34 1已知ΔABC，AD是BC边上的中线。E在AB边上，ED平分∠ADB。F在AC边上，FD平分∠ADC。求证：BE+CFEF。 2已知ΔABC，BD是AC边上的高，CE是AB边上的高。F在BD 上，BF=AC。G在CE延长线上，CG=AB。求证：AG=AF，AG⊥AF。 3已知ΔABC，AD是BC边上的高，AD=BD，CE是AB边上的高。AD 交CE于H，连接BH。求证：BH=AC，BH⊥AC。 4已知ΔABC，AD是BC边上的中线，AB= 2，AC= 4，求AD的取值范围。 5已知ΔABC，ABAC，AD是角平分线，P是AD上任意一点。求证：AB-ACPB-PC。 6已知ΔABC，ABAC，AE是外角平分线，P是AE上任意一点。求证：PB+PCAB+AC。 7已知ΔABC，ABAC，AD是角平分线。求证：BDDC。 8已知ΔABD是直角三角形，AB=AD。ΔACE是直角三角形， AC=AE。连接CD，BE。求证：CD=BE，CD⊥BE。 9已知ΔABC，D是AB中点，E是AC中点，连接DE。求证：DE‖BC，2DE=BC。 10已知ΔABC是直角三角形，AB=AC。过A作直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E。求证：DE=BD-CE。

等形 2 1已知四边形ABCD，AB=BC，AB⊥BC，DC⊥BC。E在BC边上， BE=CD。AE交BD于F。求证：AE⊥BD。 2已知ΔABC，ABAC，BD是AC边上的中线，CE⊥BD于E，AF⊥BD 延长线于F。求证：BE+BF=2BD。 3已知四边形ABCD，AB‖CD，E在BC上，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，若AB= 2，CD=3，求AD。 4已知ΔABC是直角三角形，AC=BC，BE是角平分线，AF⊥BE延长线于F。求证：BE=2AF。 5已知ΔABC，∠ACB=90°，AD是角平分线，CE是AB边上的高，CE交AD于F，FG‖AB交BC于G。求证：CD=BG。 6已知ΔABC，∠ACB=90°，AD是角平分线，CE是AB边上的高，CE交AD于F，FG‖BC交AB于G。求证：AC=AG。 7已知四边形ABCD，AB‖CD，∠D=2∠B，若AD=m，DC=n，求AB。 8已知ΔABC，AC=BC，CD是角平分线，M为CD上一点，AM交BC 于E，BM交AC于F。求证：ΔCME≌ΔCMF，AE=BF。 9已知ΔABC，AC=2AB，∠A=2∠C，求证：AB⊥BC。 10已知ΔABC，∠B=60°。AD，CE是角平分线，求证：AE+CD=AC 全等形 4 1已知ΔABC是直角三角形，AB=AC，ΔADE是直角三角形， AD=AE，连接CD，BE，M是BE中点，求证：AM⊥CD。 2已知ΔABC，AD，BE是高，AD交BE于H，且BH=AC，求∠ABC。

专题复习证明线段相等角相等的基本方法

专题复习证明线段相等角相等的基本方法(一) 一、教学目标： 知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法. 过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生的学习经验；培养学生推理论证能力. 情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的发展. 二、教学重点： 掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法. 教学难点： 分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法. 三、教学用具：三角板、学案等 四、教学过程： （一）引入： 相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考15题左右的位置，是北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中. （二）例题： 例1已知：如图1，△ABC中，AB=AC，BC为最大边，点D、 E分别在BC、AC上，BD=CE，F为BA延长线上一点，BF=CD.求证：∠DEF=∠DFE . 分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对等角）来证；因要证的两条相等的边在两个三角形中，故利用三角形全等来证线段相等． 证明：∵AB=AC∴∠B=∠C． 图1

在△BDF 和△CED 中， 点拨：抓住图形的特征（两角在一个图形中）常用等边对等角证明，这是证两角相等的常用方 法． 例2 已知：如图1，在△ABC 中，∠ACB=，于点D,点E 在 AC 上，CE=BC,过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证AB=FC. 分析：观察AB 与FC 在图形中的位置，发现这两条线段分别位于两个三角形中，考虑用三角形全等来证明．准备三角形全等的条件时，已知一对角一对边对应相等，还需证另一对对应角相等；已知条件有直角，故利用同角的余角相等来证. 证明：∵于点， ∴， 易证． ∴. ∴． 点拨：根据图形特征，要证明相等的两边分别在两个三角形中，常利用证明两边所在的两个三角形全等来 证．在证明两角相等时，利用了同角的余角相等证明，也可用等角的余角相等来证，但较复杂． 例3 两个大小不同的等腰直角三角板如图1-1所示放置，图1-2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．求证：∠ABE=∠ACD ． 分析：图1-2是由两个大小不同的等腰直角三角板构成的旋转图形，分别从一个等腰三角形取一条腰，夹角为等角加同角，就 ,,,... BD CE B C BF CD BDF CED DF ED DEF DFE =?? ∠=∠??=? ∴???∴=∴∠=∠图1 图1-2 图1-1

21.圆中证明线段相等和相似

O E D C B A 圆中证明线段相等和相似 1.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是弧AB 上两点，AB ＝25，AC ＝7. (1) 如图(1)，若点P 是弧AB 的中点，求PA 的长 (2) 如图(2)，若点P 是弧BC 的中点，求PA 得长 2.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=600，D 、E 分别为AB 和AC 的中点，连结DE ． （1）求证：BC ＝DE ； ^ （2）若tan ∠ADE ＝1 2 ，求sin ∠AED 的值． 3.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，D 在AC 上，∠ABD=45°． （1）如图1，BD 交AC 于E ，连CD ，若AB=BD ，求证2CD DE ； 、 （2）如图2，连AD 、CD ，已知tan ∠CAD=1 5 ，求sin ∠BDC 的值． { 4.如图，已知⊙O 的半径为5，⊙P 与⊙O 外切于点A ，经过点A 的直线与⊙O 、⊙P 分别交于点B 、C ，tan ∠OAB= ． 【 ~ A B C D O 图2 A B C D E O 图1

（1）求AB的长； （2）当∠OCA=∠OPC时，求⊙P的半径． 5.如图1，锐角△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，若⊙O的半径为2． （1）求BC的长度； （2）如图2，过点A作AH⊥BC于点H，若AB+AC=12，求AH的长度． ~ 6.如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O 上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若PC=2，OA=5，求⊙O的半径和线段PB的长． 7.如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E．（1）如图1，若∠ABC=90°，求证：OE∥AC； （2）如图2，已知AB=AC，若sin∠ADE=，求tanA的值． ~

证明线段相等的技巧

证明线段相等的技巧 要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况： （1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。 一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中 一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。 例1 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。 二、如果要证明的两条线段在同一三角形中 一般的思路是利用等角对等边。 例2 已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。 三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况 一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。

例3 已知：如图3，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。 例4 已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求证：AG=CH。 分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一三 角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然在两 个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法作，由 于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，这时就应该想到 面积法，作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边形，很显然 结合已知条件可知构成平行四边形，延长AD到S使DS=AE，连结CS。 延长ACD到R使DR=CF，连结AR证明略。