第一部分数与代数
(一)数的认识
知识点一:数的意义和分类
自然数、整数、正数和负数、分数、百分数、小数
分数的含义:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。
(1)分数单位:把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份的数就是这个分数的分数单位。一个分数的分母是几,它的分数单位就是几分之一;分子是几,它就有几个这样的分数单位。(注意:带分数只有化成假分数后,它的分子才能是这个带分数中含有分数单位的个数。)
(2)分数的分类:分数可以分为真分数和假分数。
真分数:分子比分母的小分数叫做真分数。真分数小于1。
假分数:分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或者等于1。带分数实际上就是大于1的假分数的另一种表示形式。
(3)最简分数:分子与分母的公因数只有1 的分数叫做最简分数。
知识点二:计数单位和数位
1、计数单位:个、十、百……以及十分之一、百分之一、千分之一……都是计数单位。“一”是基本单位,其他单位又叫做辅助单位。
2、十进制计数法:每相邻的两个计数单位之间的进率都是十。
3、数位:在计数时,计数单位要按照一定的顺序排列起来,它们所在的位置叫做数位。
4、数位顺序表
知识点三:数的大小比较
1.整数大小比较
①位数多的整数大于位数少的整数。如七位数大于六位数。
②位数相同,从高位到低位依次进行比较,最高位大的数较
大;如果最高位相同,再比较左起第二位,第二位大的数较大,依此类推。
2.小数大小比较
先看整数部分(按整数大小比较), 整数部分大的小数比较大; 如果整数部分相同, 就看十分位, 十分位大的小数比较大…….
3.分数大小比较
(1)真假分数或整数部分相同的带分数:分母相同,分子大则分数大;分子相同,则分母小的分数大;分子和分母都不相同,通分后化成同分母的分数再比较大小。
(2)整数部分不同的带分数,整数部分大的则分数大。
知识点四:数的性质
1、分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外),分数的大小不变。2、小数的基本性质:
小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变。
3、小数点位置移动引起小数大小变化的规律
知识点五:数的改写与近似数
1.把数改写成以“万”或“亿”为单位的数
对于一个比较大的整数来说,为了便于读写方便,往往可以把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。具体方法是:
(1)把一个数改写成用“万”作单位的数。将该数的小数点向左移动四位,再在后面加上“万”字。如43000= 4.3万。
(2) 把一个数改写成用“亿”作单位的数。将该数的小数点向左移动八位,再在后面加上“亿”字。如576000000= 5.76亿。注意:改写应得到准确值,所以用等号。
2.取近似数的几种方法:
(1)四舍五入法:看要保留的那一位后面一位,如果后面一位的数字大于或等于5,就去掉这一位和它后面所有的数,再向前进1,得到要求的近似数;如果要保留的那一位后面一位的数字小于或等于4,就去掉这一位和它后面所有的数,从而得到要求的近似数。
例:求下列各数的近似数
3.54963≈3.5(保留到十分位) 3.54963≈3.55(保留百分位)
3.54963≈3.550(保留到千分位) 注意,3.550末尾的0为什么不能去掉?
(2)去尾法:根据需要,不管要保留数位后面是多少,都将它去掉,这种取近似数的方法叫做“去尾法”。
(3)进一法:根据实际需要,不管保留的数位后面是多少,都要向前进一,这种取近似数的方法叫做进一法。
小数、分数、百分数的互化
知识点五:因数、倍数、质数、合数
1、因数和倍数
已知a、b、c均为正整数,且a×b=c,那么c就是a和b的倍数,a和b就是c的因数。倍数和因数是相互依存的。
一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它的本身;一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。一个数既是它自身的因数,又是它自身的倍数。
2、最大公因数和最小公倍数
最大公因数:几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数。
最小公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
3、质数和合数
质数:一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数
最小的质数是2。
合数:一个数,如果除了1和它本身两个因数外还有别的因数,这样的数叫做合数。最小的合数是4。
1既不是质数,也不是合数。
(二)数的运算
知识点一:四则运算的意义
1、加法的意义:把两个数合并成一个数的运算。
2、减法的意义:已知两个数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
3、整数乘法的意义:求几个相同加数的和的简便运算。
4、小数乘法的意义:
小数乘整数与整数乘法的意义相同,也是求几个相同加数的和的简便运算;
一个数乘小数求这个数的十分之几、百分之几……是多少。
5、分数乘法的意义:
分数乘整数与整数乘法的意义相同,也是求几个相同加数的和的简便运算;
一个数乘分数就是求这个数的几分之几是多少。
6、除法的意义:已知两个因数的积和其中的一个因数,求另一个因数的运算。
知识点二:四则运算的法则
整数加减法,小数加减法,分数加减法,整数乘法,分数乘法,整数除法,小数除法,分数除法
知识点三:四则混合运算
加法和减法叫做第一级运算,乘法和除法叫做第二级运算。
在一个没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,要从左往右依次计算;如果含有两级运算,要先做第二级运算,再做第一级运算。
在一个有括号的算式里,要先算小括号里面,再算中括号里面的,最后算大括号里面的。
知识点四:运用定律,使计算简便
加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律:ab=ba 乘法结合律:(ab)c=a(bc) 乘法分配律:a(b+c)=ab+ac 除法的性质:a÷b÷c=a÷c÷b=a÷(b×c)
减法的性质:a-b-c=a-c-b=a-(b+c)
知识点五:通过运算解决问题
(三)式与方程
知识点一:用字母表示数、运算定律和计算公式
知识点二:方程和等式
1、等式:表示相等关系的式子叫等式。
2、方程:含有未知数的等式叫方程。
3、等式和方程的关系:所有的方程都是等式,但等式不一定是方程。
4、方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解。
5、解方程:求方程的解的过程,叫解方程。
知识点三:列方程解应用题的一般步骤
1、弄清题意,找出未知数并用x表示。
2、找出题中数量间的相等关系,并根据等量关系列出方程。
3、解方程,求出未知数的值。
4、检验并作答。
(四)常见的量
知识点:常见的计量单位及其进率
1、长度单位:
常见长度单位:
千米(km)米(m)分米(dm)厘米(cm)毫米(mm)
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米
2、面积单位:
常见的面积单位:
平方千米(km2)公顷(hm2)平方米(m2)平方分米(dm2)平方厘米(cm2)1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米
3、体积单位:
常见的体积单位:
立方米(m3)立方分米(dm3)立方厘米(cm3)升(L) 毫升(ml)
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方厘米=1立方毫米1升=1000毫升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升
4、质量单位:
常见的质量单位:
吨(t)千克(kg)克(g)
1吨=1000千克 1千克=1000克
5、时间单位:
常见的时间单位:世纪年月日时分秒
不能被4整除的年份叫做平年。能被4整除的年份叫做闰年。(公历年份是整百数的,必须是400的倍数才是闰年)。
1世纪=100年 1年=12个月 1天=24小时 1小时=60分 1分=60秒
28天(平年二月)
1个月= 29天(闰年二月)
30天(四、六、九、十一月)
31天(一、三、五、七、八、十、十二月)
1天=24小时 1小时=60分 1分=60秒
6、人民币的单位:
常用的人民币:
元角分 1元=10角 1角=10分
名数的改写:高级单位的名数化成低级单位的名数乘以进率,低级单位的名数化成高级单位的名数除以进率。
(五)比和比例
(四)、比例尺
一幅图的比例尺是指图上距离和实际距离的比。
比例尺有数值比例尺和线段比例尺。
正比例和反比例的意义和判断方法
1.正比例的意义
2.反比例的意义
3.判断正反比例的方法
一找二看三判断
(1)找变量:分析数量关系,确定那两种量是相关联的量
(2)看定量:分析这两种相关联的量,它们之间的关系是商一定,还是积一定。(3)判断:如果商一定,就是正比例;如果积一定,就成反比例;如果商或积都不是定量,就不成比例。
第二部分空间与图形
(一)图形的认识与测量
知识点一:平面图形的认识
1、直线、射线和线段
a、垂直和垂线:两条直线相交成直角时,这两条直线互相垂直。其中一条直线
叫做另一条直线的垂线,这两条直线的交点叫做垂足。
b、平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的
距离相等。
同一平面内的两条直线不是平行,就是相交。
c、点到直线的距离:从直线外的一点向该直线引垂线,从这点到垂足的线段的
长,叫做这个点到直线的距离。
2、角的认识
(1)角的意义:
从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。角的大小与边的长短无关,与两边叉开的大小有关。
(2)角的分类:
锐角:小于90°的角
直角:等于90°的角
角钝角:大于90°而小于180°的角
平角:等于180°的角
周角:等于360°的角
3、三角形
(1)三角形的意义:三角形是由三条线段首尾相接围城的图形。
(2)三角形的特性:三角形具有稳定性。
(3)三角形的分类:
锐角三角形:三个角都是锐角的三角形
按角分直角三角形:有一个角是直角的三角形
三角形
钝角三角形:有一个角是钝角的三角形
等腰三角形:两条边相等的三角形
等边三角形:三条边都相等的三角形,每个内角都是60°
不等边三角形:三条边都不相等的三角形
5、圆
(1)圆的意义:
圆是平面上的一种曲线图形。圆上任意一点到圆心的距离都相等。
(2)圆的各部分名称:
圆心(o)、直径(d)、半径(r)
(3)圆的特征:
a、在同圆或等圆中,d=2r或r=d
2
。
b、圆是轴对称图形,圆的直径所在的直线都是它的对称轴,因此圆有无数条对称轴。
知识点二:平面图形的周长和面积
1、周长的意义:围成一个图形的所有边长的总和,叫做这个图形的周长。
按边分
3、圆周率:
圆的周长与直径的比值叫做圆周率,用“π”表示。圆周率是一个无限不循环小数,它是一个固定的值,π=3.14159……,在计算时一般只取它的两位小数,即π≈3.14.
4、面积的意义:物体的表面或围成的平面图形的大小,叫做它们的面积。
知识点三:立体图形的认识
1、长方体和正方体的特点:
相同点:长方体和正方体都有6个面,8个顶点和12条棱。
不同点:长方体至少有4个面是长方形,而正方体6个面都是正方形。
联系:正方体可以看作是特殊的长方体。
2、圆柱和圆锥的特点:
(1)圆柱:
圆柱的两个圆面叫底面,周围的面叫侧面。上、下两底面之间的距离叫圆柱的高。圆柱有无数条高。
(2)圆锥:
圆锥的圆面叫底面,周围的曲面叫侧面。顶点到底面圆心的距离叫圆锥的高。圆锥只有一条高。
3、从不同方向看到的立体图形的形状:
(1)长方体:从上、下、前、后、左、右看一般会看到长方形,特殊情况下可能看到正方形。
(2)正方体:从上、下、前、后、左、右看,都会看到一个正方形。
(3)圆柱:
从上或下看,会看到一个圆。
从侧面看,会看到一个长方形或正方形。
(4)圆锥:
从上面看,会看到:从下面看,会看到:
从侧面看,会看到:
知识点四:立体图形的表面积和体积
1、表面积的意义:
一个立体图形所有面的面积总和,叫做它的表面积。
2、体积的意义:
一个立体图形所占空间的大小,叫做它的体积。
名称图形侧面积表面积体积长方体S=2(a+b)h S=(ab+ah+bh)×2V=abh 正方体S=4a2S=6 a2V=a3
圆柱S=Ch
=2πrh
S=Ch+2πr2
V=Sh
=πr2h
圆锥
V=
1
3
Sh =
1
3
πr2h
(二)图形与变换
知识点一:轴对称图形
轴对称图形的意义:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形叫做轴对称图形。
这条折痕所在的直线叫做对称轴。
知识点二:平移和旋转
1、平移:物体或图形在同一平面内沿直线移动,而本身没有发生方向上的改变,像这样的物体或图形所做的直线运动叫做平移。
平移的两个要素:一是移动的方向,二是移动的距离。
2、旋转:物体或图形以一个点或一个轴为中心进行圆周运动,像这样的物体或图形所做的运动叫做旋转。
旋转的三个要素:一是围绕的定点或轴,二是旋转方向(逆时针方向或顺时针方向),三是旋转角度。
利用图形的平移和旋转,可以设计出美丽的图案。
知识点三:图形的扩大与缩小
图形按照一定的比例扩大或缩小后,大小改变,形状不变。
知识点四:设计图案
(三)图形与位置
知识点一:辨认方向
知识点二:绘制示意图
在绘制某地点的示意图时,需要把实际距离按一定比例缩小,再画在图纸上,还要确定图上距离和相对应的实际距离的比。
知识点三:确定物体的位置
1、根据行、列用数对表示物体的位置。
竖排叫做列,横排叫做行,确定第几列一般是从左往右数,确定第几行一般是从前往后(从下往上)数。数对:(列数,行数)
2、根据物体的方向和距离可以确定物体的位置。
第三部分统计与可能性
知识点一:统计
1、统计表
统计表分为单式统计表和复式统计表。
2、统计图:
常用的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。
(1)条形统计图能清楚地看出各数量的多少。
(2)折线统计图能清楚地看出数量增减变化的情况,也能看出数量的多少。(3)扇形统计图能清楚地看出各部分占总数的百分比,以及部分与部分之间的关系。
知识点二:平均数、中位数、众数
平均数、中位数和众数是三个常见的统计量。
(1)平均数:求平均数的实质就是将几个数量,在总量(和)不变的情况下,
通过移多补少,使它们变为相等。
总数量÷总份数=平均数。
(2)中位数:把调查得到的一组数据,按照大小顺序排列起来,其中处于正中间的那一个数叫做这组数据的中位数。如果数据是偶数个时,则取正中间的两个数的平均数。
(3)众数:在一组数据中,出现次数最多的那个数叫做这组数据的众数。如果一组数据出现次数最多的数据有多个,那么这组数据的众数就有多个。
知识点三:可能性
可能性知识主要包括:
(1)体验事件发生的等可能性及游戏规则的公平性。
(2)会求一些简单事件发生的可能性。
(3)能设计一个方案,符合指定的要求。这是对等可能性的一种逆向思维。(4)对简单事件发生的等可能性做出预测。
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