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高中数学参数方程应用大题(带答案)

高中数学参数方程应用大题(带答案)
高中数学参数方程应用大题(带答案)

参数方程极坐标系解答题

一、圆上的点到直线的距离最大值

1.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为:

,曲线C的参数方程为:(α为参数).

(I)写出直线l的直角坐标方程;

(Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.

的极坐标方程为:

cos,

y+1=0

d=,

的距离的最大值.

,直线l的参数方程为(t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C

上不同于A,B的任意一点.

(Ⅰ)求圆心的极坐标;

(Ⅱ)求△PAB面积的最大值.

的极坐标方程为

,利用三角形的面积计算公式即可得出.

的极坐标方程为,把

∴圆心极坐标为;

(t

=

距离的最大值为

3.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=,圆C的参数方程为,(θ为参数,r>0)

(Ⅰ)求圆心C的极坐标;

(Ⅱ)当r为何值时,圆C上的点到直线l的最大距离为3.

+=

得:圆心(﹣,﹣

的圆心到直线

时,圆

4.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的参数方程为,(t为参数),曲

线C1的方程为ρ(ρ﹣4sinθ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.

(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;

(2)直线l与直线C2交于A,B两点,若|AB|≥2,求实数a的取值范围.

]

5.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+).

(Ⅰ)求圆心C的直角坐标;

(Ⅱ)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.

,∴,

的直角坐标方程为

即,∴圆心直角坐标为

距离是

二、椭圆上的点到直线的距离的最大值

1.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)

(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.

(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.

+=1

的距离为

取得最小值,最小值为

2.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).

(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.

:(化为普通方程得:+

t=代入到曲线

sin

=,),﹣时,取得最小值

3.在平面直角坐标系xoy中,椭圆的参数方程为为参数).以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.

由题意椭圆的参数方程为为参数),直线的极坐标方程为

解:将化为普通方程为

所以椭圆上点到直线距离的最大值为,最小值为

4.在直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=4.

(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;

(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.

)求得椭圆上的点

,可得,两式两边平方相加得:

的普通方程为:

得:,

无公共点,椭圆上的点

∴当的坐标为

三、弦长公式

1.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐

标系.

(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;

(Ⅱ)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.

+.l,OM

=3=

,射线

联立,解得,即Q

联立,解得或

=2

2.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ,曲线C2的极坐标方程为θ=(p∈R),曲线C1,C2相交于A,B两点.

(Ⅰ)把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角坐标方程;

(Ⅱ)求弦AB的长度.

=

的长度

四、点到点的距离

1.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.

(Ⅰ)写出⊙C的直角坐标方程;

(Ⅱ)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.

=2

,又C|PC|=

sin

配方为=3

,又C

=2

2

2.在直角坐标系xOy中,l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线;在极坐标系(以坐标原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ

(Ⅰ)写出直线l的参数方程,并将曲线C的方程化为直角坐标方程;

(Ⅱ)若曲线C与直线相交于不同的两点M、N,求|PM|+|PN|的取值范围.

的参数方程为

的取值范围是

(=2

的参数方程为

x﹣

得或

,),)

x+1

4.在直角坐标系xoy中,直线I的参数方程为(t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极

坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=cos(θ+).

(1)求直线I被曲线C所截得的弦长;

(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.

cos+(

,其圆心为(,﹣),

d=,

2=2;

)可设圆的参数方程为:

,)

=sin(

5.选修4﹣4:参数方程选讲

已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为,曲线C的极坐标方程为.

(Ⅰ)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程;

(Ⅱ)若Q为C上的动点,求PQ中点M到直线l:(t为参数)距离的最小值.

点的极坐标为

=3,

代入可得,即

的直角坐标方程为.

的中点

.的最小距离为

高中数学:应用题练习

高中数学:应用题练习 1.某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图).设计要求彩门的面积为S (单位:m 2),高为h (单位:m)(S ,h 为常数).彩门的下底BC 固定在广场底面上,上底和两腰由不锈钢支架组成,设腰和下底的夹底为α,不锈钢支架的长度之和记为l . (1)请将l 表示成关于α的函数l =f (α); (2)问:当α为何值时l 最小,并求最小值. 解 (1)过D 作DH ⊥BC 于点H ,则∠DCB =α? ? ???0<α<π2,DH =h ,设AD =x . 则DC = h sin α ,CH = h tan α ,BC =x + 2h tan α . 因为S =12? ? ???x +x + 2h tan α·h , 则x =S h -h tan α, 则l =f (α)=2DC +AD =S h +h ? ????2 sin α-1tan α? ????0<α<π2. (2)f ′(α)=h ·? ????-2cos αsin 2 α--1sin 2α=h ·1-2cos αsin 2α, 令f ′(α)=h · 1-2cos αsin 2α=0,得α=π3 . 当α变化时,f ′(α),f (α)的变化情况如下表: α ? ? ???0,π3 π 3 ? ????π3 ,π2

f ′(α) - 0 + f (α) ↘ 极小值 ↗ 所以l min =f ? ???? π3=3h +S h . 答 当α= π3时,l 取最小值3h +S h (m). 2.某宾馆在装修时,为了美观,欲将客户的窗户设计成半径为1 m 的圆形,并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域,其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形,现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口. (1)若窗口ABCD 为正方形,且面积大于14 m 2 (木条宽度忽略不计),求四根木条总长的取值范围; (2)若四根木条总长为6 m,求窗口ABCD 面积的最大值. 解 (1)设一根木条长为x m, 则正方形的边长为2 1-? ?? ?? x 22=4-x 2 m. 因为S 四边形ABCD >14,所以4-x 2>14,即x <15 2. 又因为四根木条将圆分成9个区域,所以x >2, 所以42<4x <215. 答 四根木条总长的取值范围为(42,215). (2)方法一 设AB 所在的木条长为a m,则BC 所在的木条长为(3-a )m. 因为a ∈(0,2),3-a ∈(0,2),所以a ∈(1,2). 窗口ABCD 的面积S =41-a 2 4 · 1-(3-a )24 4-a 2·4-(3-a )2 a 4-6a 3+a 2+24a -20, 设f (a )=a 4-6a 3+a 2+24a -20,

高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题

极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题(每小题5分,共25分) 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π,,下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是( )。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π, 2、直线:3x-4y-9=0与圆:? ??==θθ sin 2cos 2y x ,(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x (t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点,它们对应的参数值分别为t 1、 t 2,则线段BC 的中点M 对应的参数值是( ) 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数),则曲线是( ) A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 +2y 2 =6x ,则x 2 +y 2 的最大值为( ) A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题(每小题5分,共30分) 1、点()22-, 的极坐标为 。 2、若A ,B ?? ? ? ? -64π, ,则|AB|=___________,___________。(其中O 是极点) 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。

6、直线l 过点()5,10M ,倾斜角是 3 π ,且与直线032=--y x 交于M ,则0MM 的长为 。 三、解答题(第1题14分,第2题16分,第3题15分;共45分) 1、求圆心为C ,半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=, (1)写出直线l 的参数方程。 (2)设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ,求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x )之间距离的最小值,与定点(上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题:1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题:1、??? ? ?-422π, 或写成?? ? ? ? 4722π,。 2、5,6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==,即,它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图,设圆上任一点为P ( ),则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=,, ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中, 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解:(1)直线的参数方程是是参数)t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= (2)因为点A,B 都在直线l 上,所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解,从而t 1t 2=-2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|=|-2|=2。 3、(先设出点P 的坐标,建立有关距离的函数关系)

最新高中数学参数方程大题(带答案)精选

参数方程极坐标系 解答题 1.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数) (Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程. (Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. +=1 , , 的距离为 则 取得最小值,最小值为 2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为: ,曲线C的参数方程为:(α为参数). (I)写出直线l的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值. 的极坐标方程为: cos= ∴

y+1=0 ( d= 的距离的最大值. 3.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数). (1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值. :(化为普通方程得:+ t=代入到曲线 sin =,),﹣

4.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C的极坐标方程为 ,直线l的参数方程为(t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C 上不同于A,B的任意一点. (Ⅰ)求圆心的极坐标; (Ⅱ)求△PAB面积的最大值. 的极坐标方程为,把 ,利用三角形的面积计算公式即可得出. 的极坐标方程为,化为= 把 ∴圆心极坐标为; (t , = 距离的最大值为 5.在平面直角坐标系xoy中,椭圆的参数方程为为参数).以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值. 由题意椭圆的参数方程为为参数)直线的极坐标方程为

高中数学应用题汇总

高中数学应用题汇总 1.两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B 的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065. (1)将y表示成x的函数; (11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由。 解(1)如图,由题意知AC⊥BC,, 其中当时,y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为 (2)令得所以即当时,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数 有最小值 (注:该题可用基本不等式求最小值。)

2.某化工厂生产某种产品,每件产品的生产成本是3元,根据市场调查,预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11-x)2万件;若该企业所生产的产品全部销售,则称该企业正常生产;但为了保护环境,用于污染治理的费用与产量成正比,比例系数为常数k (1≤k≤3)。 (1)求该企业正常生产一年的利润F(x)与出厂价x的函数关系式;(2)当每件产品的出厂价定为多少元时,企业一年的利润最大,并求最大利润. (1)依题意,F(x)=(x-3)(11-x)2-k(11-x)2=(x-3-k)(11-x)2,x∈[7,10]. (2)因为F′(x)=(11-x)2-2(x-3-k)(11-x)=(11-x)(11-x -2x+6+2k) =(x-11)[3x-(17+2k)]. 由F′(x)=0,得x=11(舍去)或x=.(6分) 因为1≤k≤3,所以≤≤. ①当≤≤7,即1≤k≤2时,F′(x)在[7,10]上恒为负,则F(x)在[7,10]上为减函数,所以[F(x)]max=F(7)=16(4-k).(9分) ②当7<≤,即2

高中数学直线参数方程测试题

三直线的参数方程 (课前部分) 编写者: 【学习目标】 理解直线的参数式方程以及明确它的形式特征,明确参数t 的几何意思。 【学习重点】 直线的参数式方程以及参数t 的几何意义。 【学习难点】 理解直线的参数方程中t 的几何意义. 【学法指导】通过探究直线上两点间的距离及利用向量的有关知识,让学生积极、主动地参与观察,分析、进而得出直线的参数式方程,培养了学生运用类比法的数学思想方法解决问题 通过本节课的学习,不仅要让学生学会知识,更重要的是由学会变为会学,让学生在探究活动中,自主探究知识,逐步掌握自主获得知识的学习方法。 【复习回顾】 1 、我们知道经过平面内的定点M0(x0,y 0)及斜率k 应用直线方程的点斜式就可以写出直线方程,那么你认为有几种办法能确定斜率k 值呢? 2 、直线方程的方向向量如何确定?平面向量的共线定理是什么? 3 、数轴上两点对应的数分别为t1,t 2 ,则两点间的距离是什么? 【自主学习】 大家都知道,当我们把平面向量中所有的单位向量的起点放在坐标原点,那么他们的终点的轨迹是以坐标原点为圆心的单位圆。那么你能写出一个倾斜角为α的直线的一个方向单位向量吗? 已知直线上定点M 0,M 是直线上的任意一点,当M 移动时,M0M 发生了哪些变化?与直线L 的单位方向向量e 之间什么关系? 设直线l的倾斜角为,定点M 0、动点M 的坐标 分别为M0(x0,y0)、M (x,y) 如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M的坐标? 通过对上面的问题的分析,你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好?又应当怎样选择参数呢?请同学们自己动手推导一下直线的参数方程的标准式,对比教材P35 的推导过程. 请同学们进一步思考直线的参数方程中哪些是变量?哪些是常量?每一个量的几何意义又是什么?形式上有什么要求? 根据直线的参数方程的公式请大家写出经过点M0(-2,3),倾斜角为30°的直线L 的参数方程? 通过这个方程请大家求出:(1)当t=1 时对应的点P1的坐标。(2)当t= -1 时对应的点P2的坐标。(3)当t=0 时对应的点P3的坐标。(4)求出直线L 上与点M0相距为 2 的点的坐标。 画图找到这些点,做好标注! 有人说t>0 时,t 表示向量M 0M 的长度,你同意吗?t<0 时又如何呢?通过对以上的分析你能总结出参数t 的几何意义吗?如有困难参看教材P36例 1 的上面部分。 由于直线的倾斜角α [0 ,),所以这个方向单位向量很特别,方向如何?请同学们自己动手 画出图形,写出这个向量e 的坐标。 当你竭尽全力,时间自会主持公道1

最新高考数学解题技巧-极坐标与参数方程

2018高考数学解题技巧 解答题模板3:极坐标与参数方程 1、 题型与考点(1){极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 (2) {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程:直线参数方程:00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点, t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量; 圆锥曲线参数方程:圆的参数方程:cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心,r 为半径; 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数; 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数; 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式: 若以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系,点P 的极坐标为(,)ρθ,直角坐标为(,)x y , 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 (1)、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法;化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数,即选定合适的参数t ,先确定一个关系()x f t =(或()y g t =,再代入普通方程(),0F x y =,求得另一关系()y g t =(或()x f t =).一般地,常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标) 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222(t 为参数)表示的曲线是( ) A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析:注意到2t t 与2t -互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含t 的项,4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ,即有422=+y x ,又注意到 02>t ,222222=?≥+--t t t t ,即

高中数学应用题

函数、不等式型 1、某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y (单位:千克)与销售价格x (单位:元/千克)满足关系式210(6)3 a y x x = +--,其中3

(完整)2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》

2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》 【题型归纳】 题型一 曲线的极坐标方程 例1 、在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x =-2,圆C 2:(x -1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1,C 2的极坐标方程; (2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π4 (ρ∈R ),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积. 【答案】(1)C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0; (2)面积为12 . 【解析】(1)因为x =ρcos θ,y =ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2, C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. (2)将θ=π4 代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0, 得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2= 2.故ρ1-ρ2=2,即|MN |= 2. 由于C 2的半径为1,所以△C 2MN 的面积为12 . 【易错点】互化公式:x =ρcos θ,y =ρsin θ,ρ2=x 2+y 2,tan θ=y x (x ≠0),要注意ρ,θ的取值范围及其影响. 【思维点拨】1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式:x =ρcos θ,y =ρsin θ,ρ2 =x 2+y 2,tan θ=y x (x ≠0),要注意ρ,θ的取值范围及其影响,灵活运用代入法等技巧. 2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解. 题型二 参数方程及其应用 例2、已知曲线C :x 24+y 29=1,直线l :? ????x =2+t ,y =2-2t (t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程; (2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|P A |的最大值与最小值. 【答案】(1)2x +y -6=0;(2)最大值为2255,最小值为255. 【解析】(1)曲线C 的参数方程为? ????x =2cos θ,y =3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x +y -6=0. (2)曲线C 上任意一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为

高中数学全参数方程知识点大全

高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程,会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中,参数t 不具备标准式中t 的几何意义,若a 2 +b 2 =1,②即为标准式,此 时, | t |表示直线上动点P 到定点P 0的距离;若a 2+b 2 ≠1,则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +|t |. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) 若P 1、P 2是l 上的两点,它们所对应的参数分别为t 1,t 2,则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α); (2)|P 1P 2|=|t 1-t 2|; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ,则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离|PP 0|=|t |=|2 2 1t t +| (4)若P 0为线段P 1P 2的中点,则 t 1+t 2=0.

【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题(含答案解析)

【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题 1.在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的参数方程为? ?? ?? x =cos θ, y =sin θ(θ为参数),过点(0,-2) 且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点. (1)求α的取值范围; (2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. 2.平面直角坐标系xOy 中,倾斜角为α的直线l 过点M(-2,-4),以原点O 为极点,x 轴的正 半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程; (2)若直线l 与C 交于A ,B 两点,且|MA|·|MB|=40,求倾斜角α的值.

3.在直角坐标系xOy 中,已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1).以坐标原点为极点,x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线l 与曲线C 分别交于P ,Q 两点. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)若|PQ|2 =|AP|·|AQ|,求直线l 的斜率k. 4.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为?? ? x =3cos α, y =3sin α (α为参数),以坐标原点O 为 极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρcos ? ????θ+π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程; (2)若点M 在曲线C 1上,点N 在曲线C 2上,求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标.

高中数学极坐标与参数方程试题精选(8套)选修4-4

极坐标与参数方程单元练习3 一.选择题(每题5分共60分) 1.设椭圆的参数方程为()πθθ θ ≤≤?? ?==0sin cos b y a x ,()1 1 ,y x M ,()2 2 ,y x N 是椭圆上两点,M ,N 对应的参数为2 1 ,θθ且21 x x <,则 A .21 θθ < B .21θθ> C .21θθ≥ D .21θθ≤ 2.直线:3x-4y-9=0与圆:?? ?==θ θ sin 2cos 2y x ,(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3.经过点M(1,5)且倾斜角为3 π的直线,以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A.???????-=+=t y t x 235211 B. ???????+=-=t y t x 235211 C. ???????-=-=t y t x 235211 D. ??? ????+=+=t y t x 235211 4.参数方程????? -=+ =2 1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( ) A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线

5.若动点(x ,y )在曲线1422 2=+b y x (b >0)上变化,则 x 22y 的最大值为 (A) ?????≥<<+)4(2)40(442b b b b ; (B) ?????≥<<+)2(2) 20(442 b b b b ;(C) 442+b (D) 2b 。 6.实数x 、y 满足3x 2+2y 2=6x ,则x 2+y 2的最大值为( ) A 、2 7 B 、4 C 、2 9 D 、5 7.曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数),则曲线是 A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 8. 已知动园: ),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ,a b a by ax y x ≠=--+,则圆心的 轨迹是 A 、直线 B 、圆 C 、抛物线的一部分 D 、椭圆

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

一、极坐标系 1.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系:如图4-4-1所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标.其中ρ称为点M 的极径,θ称为点M 的极角. 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为,则点P 的直角坐标为 ( ) A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(-1,-1) 2、设点的直角坐标为,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点的极坐标为( ) A . B . C . D . 3.若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________. 4.在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A .ρ=cos θ B .ρ=sin θ C .ρcos θ=1 D .ρsin θ=1 5.曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为________. 6. 在极坐标系中,求圆ρ=2cos θ与直线θ=π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标. 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.

高考数学参数方程大题

高考数学参数方程大题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高三最后一题 1、以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,设点A 的极坐标为)6 ,2(π ,直线l 过点A 且与极轴成角 为 3π,圆C 的极坐标方程为)4 cos(2πθρ-=. (1)写出直线l 参数方程,并把圆C 的方程化为直角坐标方程; (2)设直线l 与曲线圆C 交于B 、C 两点,求AC AB .的值. 【答案】(1)直线l C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ;(2 2、已知曲线C 的参数方程为31x y α α ?=+??=+??(α为参数),以直角坐标系原点 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹. (2)若直线的极坐标方程为1 sin cos θθρ -= ,求直线被曲线C 截得的弦长. 【答案】(1)6cos 2sin ρθθ=+(2 3、在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为t t y t x (22522 5??? ??? ?+=+ -=为参数),若以 O 点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为 θρcos 4=。 (1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程; (2)将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的 2 1 ,再将所得曲线向左平移1个单位,得到曲线1C ,求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值 【答案】(1)() 422 2 =+-y x ,052=+-y x (2 )

高中数学 《参数方程的概念》教案 新人教A版选修4-4

参数方程 目标点击: 1.理解参数方程的概念,了解某些参数的几何意义和物理意义; 2.熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别,掌握他们的互化法则; 3.会选择最常见的参数,建立最简单的参数方程,能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义; 4.灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题. 基础知识点击: 1、曲线的参数方程 在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数,?? ?==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值,由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数. 2、求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序: (1) 设点:建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标; (2) 选参:选择合适的参数; (3) 表示:依据题设、参数的几何或物理意义,建立参数与x ,y 的关系 式,并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论:用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程 相对与参数方程来说,把直接确定曲线C 上任一点的坐标(x,y )的方程F (x,y )=0叫做曲线C 的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题 (1) 消去参数,把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程 (ⅰ)过点P 0(00,y x ),倾斜角为α的直线的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x (t 为参数)t 的几何意义:t 表示有向线段P P 0的数量,P(y x ,) 为直线上任意一点. (ⅱ)过点P 0(00,y x ),斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 (t 为参数) (2)圆的参数方程

高中数学 抛物线知识点归纳总结与经典习题

抛物线经典结论和例题

方程 1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ,抛物线 , ,消y 得: (1)当k=0时,直线l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当k ≠0时, Δ>0,直线l 与抛物线相交,两个不同交点; Δ=0, 直线l 与抛物线相切,一个切点; Δ<0,直线l 与抛物线相离,无公共点。 (3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定) 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l :b kx y += 抛物线 ,)0(φp ① 联立方程法: ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ,则有0φ?,以及2121,x x x x +,还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+,

2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += , 2 2 10y y y += ② 点差法: 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ,代入抛物线方程,得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减,可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+-所以 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时,2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时,设线段AB 的中点为),(00y x M , 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--,即0y p k AB =, 同理,对于抛物线)0(22≠=p py x ,若直线l 与抛物线相交于B A 、两点,点 ),(00y x M 是弦AB 的中点,则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= (注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于零) 一、抛物线的定义及其应用

高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)

高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1.在直角坐标系xoy 中,圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数) .以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 的极坐标方程; (2)直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ,求线段PQ 的长. 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=,又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标,则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标,则有 由于12θθ=,所以,所以线段PQ 的长为2. 2.已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? (t 为参数),在直角坐标系xOy 中,以O 点为极 点, x 轴的非负半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-. (1)求圆M 的直角坐标方程; (2)若直线l 截圆M a 的值. 解:(1)∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=, ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=;(5分)

(2)把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? (t为参数)化为普通方程得:34340 x y a +-+=, ∵直线l截圆M所得弦长 为,且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=,∴ 37 6 a=或 9 2 a=.(10分)3.已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数),以直角坐标系原点为极点,Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求曲线c的极坐标方程 (2)若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1,求直线l被曲线c截得的弦长。 解:(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得: ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4.已知曲线C: 2 21 9 x y += ,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= (1)写出曲线C的参数方程,直线l的直角坐标方程; (2)设P是曲线C上任一点,求P到直线l的距离的最大值.

高考数学参数方程所有经典类型

高考数学参数方程所有经典类型(必刷题) 1.极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为1222 x t y ?=+????=??(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=. (Ⅰ)求C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求弦长||AB . 2.已知直线l 经过点1 (,1)2P ,倾斜角α=6 π,圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程,并把圆C 的方程化为直角坐标方程; (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ,求点P 到A 、B 两点的距离之积. 3.在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线1C :cos sin θθ=??=? x y (θ为参数),将1C 上的所有 和2倍后得到曲线2C .以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l :sin )4ρθθ+=. (1)试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程; (2)在曲线2C 上求一点P ,使点P 到直线l 的距离最小,并求此最小值. 4.在直角坐标系xoy 中,直线l 的方程为40x y -+=,曲线C 的参数方程为

x 3cos y sin ααα ?=??=??(为参数). (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xoy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4,)2π ,判断点P 与直线l 的位置关系; (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值. 5.在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ? ?- ??? ,M ,N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点. (1)写出曲线C 的直角坐标方程,并求M ,N 的极坐标; (2)求直线OM 的极坐标方程. 6.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 (为参数),(为参数). (1)化 的方程为普通方程; (2)若上的点P 对应的参数为为上的动点,求中点到直线 (为参数)距离的最小值.

2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第二讲 参数方程

第二讲 参数方程 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.判断以下各点,哪一个在曲线2 3 14 32 x t t y t t ?=++??=-+?? (t 为参数)上( ) A.(0,2) B.(-1,6) C.(1,3) D.(3,4) 解析:∵x=1+t 2 +t 4 =2 213124t ? ?++ ?? ?≥∴点(0,2),(-1,6)不在曲线上 对于点(1,3),当x=1时,t=0,y=2. ∴点(1,3)不在曲线上, 验证知(3,4)在曲线上,选D. 答案:D 2.能化为普通方程x 2+y-1=0的参数方程为 ( ) 2 .12.A .2 x sint x tan B y tan y cos t x cos x C D y sin y t θθφ φ==???? =-=???=?=?? ?==??? 。 解析:由x 2+y-1=0,知x∈R,y≤1. 排除A ?C ?D,只有B 符合. 答案:B 3.若直线的参数方程为1223x t y t =+?? =-? (t 为参数),则直线的斜率为( ) 2233 (3) 3 2 2 A B C D -- 解析:由参数方程,消去t,得3x+2y-7=0.

∴直线的斜率k=- . 答案:D 4.过点M(2,1)作曲线C: 4 4 x cos y sin θ θ = ? ? = ? (θ为参数)的弦,使M为弦的中点,则此弦所在直线的方程为 ( ) A.y-1=- (x-2) B.y-1=-2(x-2) C.y-2=- (x-1) D.y-2=-2(x-1) 解析:由于曲线表示的是圆心在原点,半径为r=4的圆,所以过点M的弦与线段OM垂直, ∵k OM = , ∴弦所在直线的斜率是-2, 故所求直线方程为y-1=-2(x-2). 答案:B 5.(2010·安徽)设曲线C的参数方程为 23 13 x cos y sin θ θ=+ ? ? =-+ ? (θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为 10 的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:曲线C表示以(2,-1)为圆心,以3为半径的圆,则圆心C(2,-1)到直线l的距离d=3 10 =<, 所以直线与圆相交.所以过圆心(2,-1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意,又 10 ,故满足题意的点有2个. 答案:B 6.(2010·上海)直线l的参数方程是 12 2 x t y t =+ ? ? =- ? (t∈R),则l的方向向量d可以是( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(-2,1) D.(1,-2)

极坐标与参数方程经典练习题含答案详解

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是( ). A .21(0,)(,0)5 2 、 B .11(0,)(,0)5 2 、 C .(0,4)(8,0)-、 D .5(0,)(8,0)9 、 2.把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是( ). A .1 21 2x t y t -?=???=? B .sin 1sin x t y t =???=?? C .cos 1cos x t y t =???=?? D .tan 1tan x t y t =???=?? 3.若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数,则直线的斜率为( ). A . 23 B .23- C .32 D .32 - 4.点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ =-+?? =?的( ). A .内部 B .外部 C .圆上 D .与θ的值有关 5.参数方程为1()2 x t t t y ? =+ ???=?为参数表示的曲线是( ). A .一条直线 B .两条直线 C .一条射线 D .两条射线 6.两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与???==θ θ sin 3cos 3y x 的位置关系是( ). A .内切 B .外切 C .相离 D .内含 7.与参数方程为()21x t t y t ?=?? =-??为参数等价的普通方程为( ). A .22 14y x += B .221(01)4 y x x +=≤≤ C .22 1(02)4y x y +=≤≤ D .221(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤

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