第38讲 向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

第38讲 向量的数量积——数量积的投影定义

一、基础知识 1、向量的投影：

（1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB 的值。 （2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'

AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线

l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。所以说，投影往

往伴随着垂直。

（3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'

'

,A B ，则向量''

A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''

A B 称为a 在b 上的投影向量。

2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角

（1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负

3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ=

（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即

cos b λθ=

（3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos

b λθ=

综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：

向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ?=，可变形为(

)

c o s a b a b θ?=?

或

()

cos a b b a θ?=?，进而与向量投影找到联系

（1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→?=?（记a b λ→为a 在b 上的投影）

（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：

a b a b b

λ→?=

即数量积除以被投影向量的模长

5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题

（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题：

例1：已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()a a b ⊥+

，则b 在a 方向上的投影为（ ）

A ．3

B ．3-.

C ．

D 思路：考虑b 在a 上的投影为

a b b

?，所以只需求出a b ?即可。由a a b ⊥+ 可得：

()

2

0a a b a a b ?+=+?=，所以9a b ?=-。进而

223

a b b

?=

=-

答案：C

小炼有话说：本题主要应用投影的计算公式，注意在哪个向量投影，便用数量积除以该向量的模长

例2：如图，在ABC 中，4,30AB BC ABC ==∠=，AD 是边BC 上的高，则AD AC ?的值等于（ ）

A ．0

B ．4

C ．8

D ．4-

思路：由图中垂直可得：AC 在AD 上的投影为AD ，所以

2

AD AC AD ?=，只需求出ABC 的高即可。由已知可得

s i n 2AD AB ABC =?=，所以2

4AD AC AD ?== 答案：B

例3：两个半径分别为12,r r 的圆,M N ,公共弦AB 长为3，如图所示，则

A M A

B A N A B ?+?=__________.

思路：AB 为两个圆的公共弦，从而圆心,M N 到弦AB 的投影为

AB 的中点，进而,AM AN 在AB 上的投影能够确定，所以考虑计

算AM AB ?和AN AB ?时可利用向量的投影定义。

解：取AB 中点T ，连结,MT NT ，由圆的性质可得：,MT AB NT AB ⊥⊥

21922AM AB AT AB AB ∴?=?=

= 219

22

AN AB AT AB AB ∴?=?== 9AM AB AN AB ∴?+?=

例4：如图，O 为ABC 的外心，4,2,AB AC BAC ==∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ?的值为（ ）

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7 思路：外心O 在,AB AC 上的投影恰好为它们的中点，分别设为

,P Q

，所以

AO

在

,AB AC

上的投影为

11,22AP AB AQ AC =

=，而M 恰好为BC 中点，故考虑()

1

2

AM AB AC =+，所以()()

2211111

+522222AM AO AB AC AO AB AO AC AO AB AC ???=+?=?+?== ???

答案：B

小炼有话说：题目中遇到外心时，要注意外心的性质，即到各边的投影为各边的中点，进而在求数量积时可联想到投影法。

例5：若过点()1,1P 的直线l 与2

2

:4O x y +=相交于,A B 两点，则OA OB ?的取值范围

是_______

思路：本题中因为,OA OB 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过B 作直线OA 的垂线， 垂足为D ，通过旋转AB 可发现，当OB OA ⊥时，

0OA OB ?=，AB 位于其他位置时，D 点始终位于OA 的

反向延长线上，OA OB OA OD ?=-?，故0OA OB ?<，故()

m a x

0OA OB

?=，下面寻找

最小值，即DO 的最大值，可得当B 在OA 上的投影与C 重合时，DA 最大，即为AC ，此时直线OP 即为直线AB 。所以()

2min

4OA OB OA OD OA OC r ?=-?=-?=-=-。

进而OA OB ?的范围是[]4,0-

答案：[]4,0- 例6：已知1,3OA OB ==

,OA OB 的夹角为150，点C 是AOB 的外接圆上优弧

AB 上的一个动点，则OA OC ?的最大值是________

思路：题中OA 的模长为定值，考虑OA OC ?即为OA 乘以OC 在OA 上的投影，从而OA OC ?的最大值只需寻找投影的大小，观察图形可得只有当MC 与OA 同向时，投影最大。即

()max

OA OC OA OD ?=?，只需计算OD 的模长即可

解：当MC 与OA 同向时，OC 在OA 上的投影最大

(

)

max

OA OC

OA OD ∴?=?

在AOB 中，2

2

2

2cos 7AB OA OB OA OB AOB =+-=

7AB ∴=

2sin 2

AB R AOB

∴=

=

=

即R =

11

22

OD ON ND OA R ∴=+=+=+()

max

1

2

OA OC

OA OD ∴?=?=+

答案：

1

2

+例7：如图，菱形ABCD 的边长为2,60,A M ∠=为DC 中点，若N 为菱形内任意一点（含

边界），则AM AN ?的最大值为（ ）

A. 3

B.

C. 6

D. 9 思路：在所给菱形中AM 方向大小确定，在求数量积

时可想到投影定义，即AM 乘以AN 在AM 上的投影，所以AM AN ?的最大值只需要寻找AN 在AM 上的投影的最大值即可，而A 点也确定，所以只需在菱形内部和边界寻找在

AM 投影距离A 最远的，结合图像可发现C 的投影距离A 最远，所以

()

m a x

A M A N A M A C ?=?，再由,AD DC 表示后进行数量积运算即可

解：

(

)

()()()

max

12AM AN

AM AC AD DM AD DC AD DC AD DC ??

?=?=+?+=+?+ ???

2

213

922

AD DC AD DC =++?= 答案：9 小炼有话说：

（1）从例7也可以看出投影计算数量积的一个妙用，即在求数量积最值时，如果其中一个向量位置确定，那么只需看另一向量在该向量处的投影即可，这种方法往往能够迅速找到取得最值的情况

（2）在找到取到最值的N 点位置后，发现利用投影计算数量积并不方便（投影，AM 不便于计算），则要灵活利用其他方法把数量积计算出来（寻求基底，建系等）。正所谓：寻找最值用投影，而计算时却有更多方法供选择。

例8：如图，在等腰直角ABC 中，2AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC 的中点，P 点是ABC 内（包括边界）任一点，则AN MP ?的取值范围是____________ 思路：因为P 点为ABC 内任一点，所以很难用定义表示出

AN MP ?，考虑利用投影定义。由AN 长为定值，可得

AN MP ?为AN 乘以MP 在AN 上的投影，所以只需找到投

影的范围即可。如图，过M 作AN 的垂线，则M 点的投影为F ，

当P 在B 点时， MP 在AN 上的投影最大且为线段FE 的长，当P 在A 点时， MP 在AN 上的投影最小，为AF -，分别计算相关模长即可。在

图中有条件可得：1AN CN BN === BE AE ⊥，所以可得：

Rt ACN Rt BEN

，则

AN NE NE CN

BN

=

?

AE AN NE =+=由FM BE ∥，M 为中点可得：F 为AE 中点，从而,MB MA 在AN

方向上的投影分别为

AN =即可求得AN MP ?的范围为[]3,3- 答案：[]3,3- 例9：已知

M 为直角三角形ABC 的外接圆，OB 是斜边AC 上的高，

且

6,AC OB ==AO OC <，点P 为线段OA 的中点，若

DE 是M 中绕圆心M 运动的一条直径，

则PD PE ?=_________ 思路：本题的难点在于DE 是一条运动的直径，所以很难直接用定

义求解。考虑到DE 为直径，所以延长EP 交圆M 于Q ，即可得

DQ QE ⊥，则PD 在PE 上的投影向量为PQ 。所求

P D P E P E P Q ?=-?，而由PE PQ ?联想到相交弦定理，从而

PE PQ AP PC ?=?。考虑与已知条件联系求出直径AC 上的各

段线段长度。由射影定理可得：2

8AO CO OB ?==，且6AO CO AC +==，所以解得2,4A O O C ==，再由P 为OA 的中点可得1,5

A P P C ==，所以

A

B

5PE PQ AP PC ?=?=，进而5PD PE PE PQ ?=-?=-

答案：5-

例10：已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，I 为PC 上一点，满足

4PA PB -=，10PA PB -=，

PA PC PB PC PA

PB

??=

，且

()0A C

A P

B I B A A

C A P λλ?? ?=++

> ???

，则BI BA BA ?的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5

思路：从条件上判断很难用代数方式求解，所以考虑作图观察几何特点，则

10PA PB AB -==。由

PA PC PB PC PA

PB

??=

及所求

BI BA BA

?可想到投影与数量积的关

系，即PC 在,PA PB 上的投影相等，即可得到PC 平分APB ∠。再分析

()0A C A P A C

A P

B I B A A I A

C A P A C A P

λλλ???

? ?

?=++>?=+ ? ?????，且A C

A P A C

A P

+为

,AC AP 的单位向量，由平行四边形性质可得和向量平分

PAC ∠，而AI 与和向量共线，从而AI 平分PAC ∠，由此

可得I 为APB 的内心，作出内切圆。所求

BI BA BA

?也可视

为BI 在BA 上的投影，即BF ，由内切圆性质可得：

PD PE AD AF BF BE

?=?

=??

=?，所以()()

4PA PB PD AD BE PE AF BF -=+-+=-=，且有10AF BF

AB +==，可解得

3BI BA BF BA

?==

答案：C

小炼有话说：本题用到向量运算中的两个几何意义，从而将表达式与图形特征联系起来：一个是向量投影的定义；一个是两个模长相等向量（如单位向量）的和平分向量夹角。

A

三、历年好题精选（数量积三种求法综合）

1、如图：在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =?=，则

AB AD ?的值是 .

2、已知O 的半径为1，

四边形ABCD 为其内接正方形，EF 为

O 的一条直径，M 为正方形ABCD 边界上一动点，则

ME MF ?的最小值为_________

3、已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内（含边界)的一动点，则MA MB ?的取值范围是（ ）

A. []0,1-

B. []2,1-

C. []3,1-

D. []4,1- 4、已知,,P M N 是单位圆上互不相同的三个点,且满足PM PN =，则PM PN ?的最小值为（ ） A ． 14-

B ．12-

C ． 3

4

- D ． 1- 5、如图，,A B 是半径为1的圆O 上两点，且3

AOB π

∠=

，若点

C 是圆O 上任意一点，则OA BC ?的取值范围是__________

6、（2015，福建文）设()()1,2,1,1,a b c a kb ===+，若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ） A. 32-

B. 53-

C. 53

D. 32

7、（2015，天津）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1

,,9BE BC DF DC λλ

== 则AE AF ?的最小值为 ____

答案：2918

8、（2015，山东）已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠=，则BD CD ?=（ ）

A. 2

32

a - B. 2

3

4

a - C.

234a D. 232

a 9、（2015，福建）已知1

,,AB AC AB AC t t

⊥==，若P 点是ABC

所在平面内一点，

A

且4AB AC AP AB

AC

=

+

，则PB PC ?的最大值等于（ ）

A. 13

B. 15

C. 19

D. 21 10、（2016，无锡联考）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F ．若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD ?的最小值为________

11、（2016，南京金陵中学期中）如图，梯形ABCD 中，AB ∥

,6,2CD AB AD DC ===，若12AC BD ?=-，则AD BC ?=_______

12、已知圆O 的直径为BC ，点A 是圆周上异于,B C 的一点，且1AB AC ?=，若点P 是圆O 所在平面内一点，且9

AB AC AP AB

AC

=

+，则PB PC ?的最大值为（

）

A. B. 9 C. 76 D. 81

13、如图，在半径为1的扇形AOB 中，60,AOB C ∠=为弧上的动点，AB 与OC 交于点

P ，则OP BP ?最小值是__________

14、如图，已知圆()()2

2

:444M x y -+-=，四边形ABCD 为圆M 的内接正方形，,E F 分别为边,AB AD

的中点，当正方形

ABCD 绕M 圆心转动时，ME OF ?的取值范围是（ ）

A. ?-?

B.[]8,8-

C. []4,4-

D. ?-?

F E

A C

B M

y

D

15、在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，2

BAD π

∠=

，且1

12

AB AD CD ==

=，M 是AB

的中点，且2BN ND =，则CM AN ?的值为（ ） A. 54 B. 54- C. 76 D. 7

6

-

16、如图，在平行四边形ABCD 中，2,1,3

AB AD A π

==∠=

，点M 在AB 边上，且

1

3

AM AB =

，则DM DB ?=（ ）

A. B. C. 1- D. 1

习题答案： 1、答案：22

解析：14AP AD DP AD AB =+=+

，33

44

BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-， 所以13()()44AP BP AD AB AD AB ?=+?-2213

216

AD AD AB AB =-?-

， 即13

22564216AD AB =-

?-?，解得22AD AB ?=． 2、答案：12

-

解析：以EF 为坐标轴建系，则()()1,0,1,0E F -，设(),M x y

()()1.,1.ME x y MF x y ∴=---=--

221ME MF x y ∴?=+-，所以ME MF ?的最小值只需找到22x y +的最小值

即正方形边上的点到原点距离的最小值，数形结合可得：(

)

22

min

12

x y

+=

()

min

12

ME MF

∴?=-

3、答案：C

解析：考虑如图建立坐标系，可得：()()1,1,1,1A B ---，内切圆方程为：2

2

1x y +=，故

设()[)cos ,sin ,0,2,01M r r r θθθπ∈≤≤，则

()()1cos ,1sin ,1cos ,1sin MA r r MB r r θθθθ=----=--- ()2

222cos 11sin 2sin MA MB r r r r θθθ?=-++=+

设()22sin f

r r θθ=+，可得()222,2f r r r r θ??∈-+??，

再由01r ≤≤可得：[][]2

2

21,0,20,3r r r r -∈-+∈，所以[]1,3MA MB ?∈-

4、答案：B

解析：设()()1,0cos ,sin P M θθ，则由PM PN =可得：()cos ,sin N θθ-

()()cos 1,sin ,cos 1,sin PM PN θθθθ∴=-=--，其中0θπ<<

()2

2

2211cos 1sin 2cos 2cos 2cos 22PM PN θθθθθ?

?∴?=--=-=-- ??

?

当1

cos 2

θ=时，可得(

)

min

12

PM PN

?=-

5、答案：31,22

??-????

解析：方法一：以O 为原点，OA 为x 轴建系，则()11,0,,22OA B ?= ??

，

设()c o s ,s i n C θθ，

则1cos ,sin 22BC θθ?=--

??

。所以131cos ,222OA BC θ???=-∈-???? 方法二：考虑B 在OA 上的投影为OA 中点M ，利用数量积投影定义数形结合可知OA BC ?取最大值时，C 与A 重合；当OA BC ?取最小值时，C 在OA 反向延长线与圆O 的交点处，经计算可得：31,22OA BC ??

?∈-????

6、答案：A

解析：由已知可得：()1,2c k k =++，因为b c ⊥，所以3

1202

b c k k k ?=+++=?=- 7、答案：

2918

解析：因为1,9DF DC λ=

12

DC AB = 119199918CF DF DC DC DC DC AB

λλ

λλλ

--∴=-=-==，

AE AB BE AB BC λ=+=+，

19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλ

λλ

-+=++=++

=+， ()

221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC

λλλλλλλλλ+++???

?∴?=+?+=+++? ? ?????

19199421cos1201818λλ

λλλ

++=

?++????2117172992181818λλ=++≥+= 当且仅当

2192λλ=即23λ=时AE AF ?的最小值为29

18

.

解析：()()

2

2

23cos1202

BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ?=-?-=-?+=-?+= 9、答案：A

解析：以A 为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，则()1,0,0,B C t t

?? ???

，,

AB AC AB

AC

为单

位向量，坐标为()()1,0,0,1，()()1,41,4AP P =?，则

()

11,4,1,4PB PC t t ??

=--=-- ???

所以

111416174PB PC t t t t ?

??=-+-+=-+ ?

?

?，因

为

144t t +≥=，所以17413PB PC ?≤-=

10、答案：5-解析：可依正方形以,AB AD 为坐标轴建系，则()cos ,sin P θθ，其中0,2

πθ??∈????

，

()()0,2,2,2D C ，()()2cos ,2sin ,cos ,2sin PC PD θθθθ=--=--，

(

)()()

2

cos 2cos 2sin 52cos 4sin 5PC PD θθθθθθ???=--+-=--=-+其中1tan ,0,24π????

=

∈ ???

，所以当2πθ?+=时，PC PD

?取到最小值，为5-11、答案：0

解析：依题意可得：1

3

DC AB =

()()()

13AC BD AD DC AD AB AD AB AD AB ??

?=+?-=+?- ???

2

221

1233

AD AB AD AB =-

?-=- 6AB AD ∴?=

()

222033AD BC AD BA AD DC AD AB AD AB AD AD ??

?=?++=?-+=-?+= ???

解析：因为BC 为直径，所以可知AB AC ⊥，设AB t =，则()1

0AC t t

=>，以A 为原点，,AB AC 所在直线为轴建系，可得()1,0,0,B t C t ?? ???

，且

,

AB AC AB

AC

为,AB AC 的单位

向量，则坐标分别为()()1,0,0,1，所以()()()9

1,090,11,9AB AC AP AB

AC

=

+=+=，即

()1,9P ，可得到()11,9,1,9PB t PC t ??=--=-- ???，则982PB PC t t ??

?=-+ ???，由

96t t +

≥=可得76PB PC ?≤ 13、答案：1

16

-

解析：点O 在AB 上的投影为AB 中点M ，故考虑使用投影计算数量积的最值。可知P 在线

段

BM

上时，

OP BP ?<，

设

102BP x x ?

?=≤≤ ?

?

?，则

2

1112416OP BP MP BP x x x ???

??=-?=--=-- ? ????

?，所以OP BP ?的最小值为116-

14、答案：B 解析：()()

111

,222

OF OA OD ME DA OA OD =

+==- ()

221

4

ME OF OA OD ∴?=-

设()42cos ,42sin A θθ++，其中[)0,2θπ∈，则由2

DMA π

∠=

可得：

()42cos ,42sin 42sin ,42cos 22D ππθθθθ?????

?+-+-=+- ? ? ??????

?

()()()()2222142cos 42sin 42sin 42cos 4ME OF θθθθ??∴?=

+++-+--?

? []8cos 8,8θ=∈- 15、答案：D

解析：如图可依直角建立坐标系，则()()()2,0,0,1,1,1C A B ，所以1,12M ??

???

，由2BN ND

=

可知11,33N ?? ???，所以312,1,,233CM AN ????=-=- ? ?????

，所以76

CM AN ?=- 16、答案：D

解析：可知1

3

DM DA AM DA AB =+=+

，DB DA DB =+ ()

22141333DM DB DA AB DA AB DA DA AB AB ??

∴?=+?+=+?+ ???

由已知可得：2cos

13

DA AB DA AB π

?=?=-，代入可得： 1DM DB ?=

投影在向量问题中的妙用

投影在向量问题中的妙用 在人教版高中数学课本必修4《第二章 平面向量》中给出了数量积和投影的概念，如果能够透彻理解并运用投影概念解决问题，会使一些问题变得非常简单。下面我们将举例说明，看例题之前先把握一下概念：OA ·OB =cos OA OB AOB 贩 ，我们把cos OA AOB 沸叫做OA 在OB 方向上的投影。它的几何意义为线段OA 在OB 上的射影长度或射影长度的相反数。即过Ａ点作AN ^OB 于N 。当AOB D为锐角时，投影即ON 长度；当AOB D为钝角时，投影即ON 长度的相反数。于是，OA ·OB =OA 在OB 方向上的投影′OB . 例1、在ABC ?中，C=900 ，CB=3,点M 满足BM =2MA ，则CM ?CB = 解析：CM ? CB =CM ·CB · cosMCB.注意到ＣＭ、DMCB 都是可变的，要分别求出 来是很困难的。那么，只能把CM ·cosMCB 作为一个整体来处理。而CM ·cosMCB 不就是CM 在CB 方向上的投影吗。过M 点作MN ^BC 于N,CM 在CB 方向上的投影即CN.则 CM ?CB =CN ?CB=1′3=3. A N 例1 例2、 如图，在平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=2，DBAD=600 ，E 为BC 边的中点，F 为 平行四边形内（包括边界）一动点，则AE AF ·的最大值为 。 解析：AF 、FAE ∠均为变量，要作成函数来求最值有一定的困难。而如果利用投影概念解 Ｃ O A

决可能会有意想不到的收获。AE AF ·=cos AE AF EAF ??∠=AF 在AE 方向上的投影 ?AE ≤AC 在AE 方向上的投影AE ?＝AG AE ?，而AG 求起来又有一定困难，而如果 对投影能够透彻理解的话，逆向推回去回收到意想不到的效果。AG AE ?＝AC 在AE 方向上的投影AE ?＝AC AE ?＝（A B B C +）12AB BC ? ? ?+ ?? ? ＝223122AB BC BC AB +?+＝９＋ 92＋２＝31 2 ． 河北省雄县中学高级教师 周新华

平面向量数量积练习题

平 面 向 量 数 量 积 练 习 题 一.选择题 1.下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), （2）|a ·b |= | a |·| b |, （3）(a ·b )· c = a · (b ·c ), （4）(a +b ) · c = a ·c +b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2.在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-= ,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3． 已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 4.已知||=1,||=2，且(－)与垂直，则与的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5.设||= 4，||= 3，夹角为60°，则|+|等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 6．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 7． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.????79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79，－73 二.填空题 8.已知e 是单位向量，∥e 且18-=?e a ，则向量a =__________. 9．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 10． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三.解答题 11． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .

平面向量数量积

第三节平面向量数量积及应用重点： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 难点： 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 教学过程： 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网 (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

平面向量的数量积练习题[

§5.3 平面向量的数量积 一、选择题 1．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 解析：由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ， 则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案：D 2．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －? ?? ?? a ·a a · b b ，则向量a 与 c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π 2 解析 ∵a·c ＝a·???? ??a －? ????a·a a·b b ＝a·a －? ?? ?? a 2a· b a·b ＝a 2－a 2＝0， 又a ≠0， c ≠0，∴a⊥c ，∴〈a ，c 〉＝π 2 ，故选D. 答案 D 3. 设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于 （ ） A 2 B 1 2 C .0 D.-1 解析 22,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴?=∴-+=∴=-=正确的是C. 答案C 4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )． A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 解析 设a 与b 的夹角为θ，∵a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，而cos θ＝ a · b |a ||b |＝－2 3 ， ∴|a |cos θ＝6×? ???? －23＝－4. 答案 A

5．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )． A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 解析 由已知条件，向量a ，b ，c 都是单位向量可以求出，a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0，及(a －c )(b －c )≤0，可以知道，(a ＋b )·c ≥c 2＝1，因为|a ＋b － c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以有|a ＋b －c |2＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1， 故|a ＋b －c |≤1. 答案 B 6．已知非零向量a 、b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝1 3x 3＋|a |x 2＋2a·b x ＋1 在x ∈R 上有极值，则〈a ，b 〉的取值范围是( ) A.? ? ????0，π6 B.? ? ???0，π3 C.? ?? ?? π6，π2 D.? ?? ?? π6，π 解析 ∵f (x )＝13x 3＋|a |x 2 ＋2a·b x ＋1在x ∈R 上有极值，∴f ′(x )＝0有两不 相等的实根，∵f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a·b ，∴x 2＋2|a |x ＋2a·b ＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a |2－8a·b ＞0，即a·b ＜12|a |2，∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |， |a |＝3|b |，∴cos 〈a ，b 〉＜1 2|a |2|a ||b |＝3 2，∵0≤〈a ，b 〉≤π， ∴π 6＜〈a ，b 〉≤π. 答案 D 7．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是 ( )．

向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

向量的数量积——数量积的投影定义 一、基础知识 1、向量的投影： （1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段 AB 的值。 （2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。所以说，投影往往伴随着垂直。 （3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在 b 上的投影向量。 2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角 （1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ=

（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ= （3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ= 综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）： 向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ?=，可变形为() cos a b a b θ?=?或 () cos a b b a θ?=?，进而与向量投影找到联系 （1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→?=?（记a b λ→为a 在b 上的投影） （2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： a b a b b λ→?= 即数量积除以被投影向量的模长 5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题：

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平面向量的数量积 一．选择题 1. 已知 a ( 2,3), b ( 1, 1),则 a ?b 等于 （ ） A.1 B.-1 C.5 D.-5 r r r r r r r r 2．向量 a ， b 满足 a 1, b 4, 且 a b 2 ,则 a 与 b 的夹角为（ ） A ． B ． 4 C ． D ． 2 6 3 r r 60 0 r r ） 3．已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 a 3b （ A ． 7 B ． 10 C ． 13 D ． 4 4 ．若平面向量 与向量 的夹角是 ，且 ，则 ( ) A ． B ． C ． D ． 5. 下面 4 个有关向量的数量积的关系式① 0 ?0 =0 ②（ a ?b ） ?c = a ?（ b ? c ） ③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | ≦ a ?b ⑤ | a ?b | | a | ?| b | 其中正确的是（ ） A ． ① ② B 。 ① ③ C 。③ ④ D 。③ ⑤ 6. 已知 | a |=8 ， e 为单位向量，当它们的夹角为 时， a 在 e 方向上的投影为（ ） 3 A ． 4 3B.4 C.4 2 3 D.8+ 2 7. 设 a 、 b 是夹角为 的单位向量，则 2a b 和 3a 2b 的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ． 8. 已知 a =(2,3) , b =( 4 ,7) , 则 a 在 b 上的投影值为（ ） A 、 13 B 、 13 C 、 65 D 、 65 5 5 9. 已知 a (1,2), b ( 3,2), ka b 与 a 3b 垂直时 k 值为 （ ） A 、 17 B 、 18 C 、 19 D 、 20

23 五 向量的模、方向角、投影 第二节 数量积 向量积 混合积

五 向量的模、方向角、投影 1 向量的模与两点间的距离公式 设{}, , x y z =a , 则 设()1111, , M x y z 和()2222, , M x y z 为两点, 则 即12M M 的坐标等于终点()2222, , M x y z 的坐标减去起点()1111, , M x y z 的坐 标. 点()1111, , M x y z 和()2222, , M x y z 之间的距离 特别地, 点(), , M x y z 和原点()0, 0, 0O 的距离 例4 求证:以点()14, 3, 1M 、()27, 1, 2M 和()35, 2, 3M 为顶点的三角形是等腰三角形. 证 因为 12M M == 23M M == 31M M = =故得证. 例5 在z 轴上, 求与点()4, 1, 7A -和()3, 5, 2B -等距离的点. 解 所求的点可设为()0, 0, M z , 于是MA MB =, 即 ,

从而149z = . 于是, 点M 为140, 0, 9M ? ? ??? . 例6 设已知两点()4, 0, 5A 和()7, 1, 3B . 求与AB 方向相同的单位向量 e . 解 {}{}74, 1 0, 353, 1, 2AB =---=-. 于是 23AB ==从而 14 AB AB = =??e . 作业 P.301 4, 5, 13, 14 提示 5 有两解. 13 设该点为()0, , P y z . 2 方向角与方向余弦 非零向量a 的方向角: a 与x 轴正向的夹角α、a 与y 轴正向的夹角β, a 与 z 轴正向的夹角γ. a 的方向角α、β和γ可表示a 的方向, 且0απ≤≤, 0βπ≤≤, 0γπ≤≤. cos α、cos β和cos γ称为a 的方向余弦. 设{}, , x y z =≠0a , 则 方向余弦满足: 2 22cos cos cos 1αβγ++=. 与非零向量a 同方向的单位向量 {}cos , cos , cos αβγ=a e .

向量知识点总结

高中数学第五章-平面向量 考试内容： 向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移． 考试要求： （1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法． （3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件． （4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． （6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式． §05. 平面向量 知识要点 1.本章知识网络结构 2.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ； 坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O . 单位向量a O 为单位向量?｜a O ｜＝1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）???==?2 12 1y y x x (6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算

(1)平面向量基本定理 e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有， 一对实数λ 1 λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)两个向量平行的充要条件 a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝O.

平面向量数量积及运算基础练习题

精品 平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题： 1、下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a · (λb), （2）|a ·b|= | a |·| b |, （3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a ·c+b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a+b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b)和a 垂直,则a 与b 的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5、若2AB BC AB 0?+=,则ΔABC 为 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b, d =λa －b ,若c ⊥d,则实数λ的值为（ ） A ． 74 B ．75 C ．47 D ．5 7 8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是 （ ） ① (a ·b)·c －(c ·a)·b=0 ② | a | －| b |< | a －b | ③ (b ·c)·a －(c ·a)·b 不与c 垂直 ④ (3a+2b) ·(3a －2b)= 9| a | 2－4| b | 2 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 9.（陕西）已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???且12AB AC AB AC ?=, 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10(全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则点O 是ABC △的 .A 三个内角的角平分线的交点 .B 三条边的垂直平分线的交点 .C 三条中线的交点 .D 三条高的交点 11．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )． A ．[－2,2] B ．[－2,3] C ．[－3,2] D ．[－3,3]

高中数学：4 24 利用投影法巧解数量积 教案

利用投影法巧解数量积 片断教案 （ 人教版 第二章 第四节） 广东实验中学 该片断的教学目的、内容分析： 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它既有大小又有方向，是“数”与“形”的统一体，是沟通代数与几何的工具。 数量积是向量这一章的重要内容，它把形转化为数。同时它也是高考的热点内容。考题的设置由求定向量的数量积向动向量数量积的最值或范围转化，难度越来越大。考题多以小题出现，我们希望不仅做对还要做的快，因此，方法的选择是关键。 对于数量积的计算，课本重点介绍了（1）利用定义,cos θ=?（2）建立适当的在直角坐标系后利用2121y y x x +=?去转化。解题时，前者需要知道向量的长度和夹角，有时不能直接用，后者需要知道坐标和准确的运算，而这些往往是命题者设置障碍的关键点。 事实上，数量积具有几何意义，b a ?a b 在θ的乘积。利 用几何意义解题，θ看成一个整体，θ两个未知量的信息用一个未知量“投影”代替，实现了降元的目的，简化运算。这是把数→形的过程，可以揭示变化图形中数量积不变性的本质，形象直观。 可惜，课本和其他资料上对这一部分的介绍篇幅不长，一带而过。学生对这一方法的认识也多数停留在投影的概念和数量积几何意义形式本身，应用投影法解题不多。纵观近几年高考题，如果能合理利用几何意义（投影法）求解数量积，会大大简化运算，提高速度！ 本片段教学的核心，是介绍求数量积还有一个重要方法——投影法。希望学生能理解它的原理并会运用。特别是在处理动向量的数量积时，无论定值还是最值借助投影去转化，形象直观又简化运算。教学中我们先通过一个例题入手，对比三种方法（定义法，坐标法，投影法）求数量积。再由特殊到一般，解决动变量模长变化，夹角θ也变化的条件下求数量积最值的问题，应用投影法更体现其的优越性。最后小结：1投影法的本质；2投影法适用的题型；3选择哪个向量向哪个向量作投影；4注意：投影有正负。 该片断教学的重点和难点： 重点：理解及掌握投影法解数量积，体会此方法的优越性。 难点：掌握投影法适用的题型，把数量积的最值转化成投影的最值。

高中数学有关平面向量的公式的知识点总结.

定比分点定比分点公式(向量P1P=向量PP2 设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数,使向量P1P=向量PP2,叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1(x1,y1,P2(x2,y2,P(x,y,则有 OP=(OP1+OP2(1+;(定比分点向量公式 x=(x1+x2/(1+, y=(y1+y2/(1+。(定比分点坐标公式 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件 若b0,则a//b的重要条件是存在唯一实数,使a=b。 a//b的重要条件是 xy-xy=0。零向量0平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件 ab的充要条件是 ab=0。 ab的充要条件是 xx+yy=0。 零向量0垂直于任何向量.

设a=(x,y,b=(x,y。 1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x,y+y。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b+c=a+(b+c。 2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即共同起点,指向被减 a=(x,y b=(x,y 则 a-b=(x-x,y-y. 4、数乘向量实数和向量a的乘积是一个向量,记作a,且∣a∣=∣∣∣a∣。 当>0时,a与a同方向; 当<0时,a与a反方向; 当=0时,a=0,方向任意。 当a=0时,对于任意实数,都有a=0。 注:按定义知,如果a=0,那么=0或a=0。 实数叫做向量a的系数,乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(>0或反方向(<0上伸长为原来的∣∣倍;

(完整版)平面向量的数量积练习题(含答案)

平面向量的数量积 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ?? ??－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于 ( ) A ．－32 B ．－23 C.23 D.32 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与 向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．

第38炼 向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

第38炼 向量的数量积——数量积的投影定义 一、基础知识 1、向量的投影： （1）有向线段的值：设有一轴l ，AB u u u r 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=u u u r ，且当AB u u u r 与轴同向时，0λ>，当AB u u u r 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB u u u r 的值。 （2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作' AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线 l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。所以说，投影往 往伴随着垂直。 （3）向量的投影：已知向量,a b r r ，若a r 的起点,A B 在b r 所在轴l （与b r 同向）上的投影分别为' ' ,A B ，则向量''A B u u u u r 在轴l 上的值称为a r 在b r 上的投影，向量'' A B u u u u r 称为a r 在b r 上的投影 向量。 2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号， 记θ为向量,a b r r 的夹角 （1）θ为锐角：则投影（无论是a r 在b r 上的投影还是b r 在a r 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以a r 在b r 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=r ，因为0λ>，所以cos b λθ=r （2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-r r ，因为0λ<，所以cos b λθ-=-r 即cos b λθ=r （3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ=r

2019年人教版及高中数学平面向量知识点易错点归纳

§5.1 平面向量的概念及线性运算 三角形法则 3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 方法与技巧 1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD → 且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ； 若AB →∥BC → ，则A 、B 、C 三点共线．

失误与防范 1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. §5.2 平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. 其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋ b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 2 1. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB → |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. 方法与技巧 1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是a ＝λb ，这与x 1y 2－x 2y 1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同． (2)三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定． 失误与防范 1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况． 2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1 y 2 ，因为x 2，y 2有可能等 于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.

求解平面向量数量积的三种方法

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/9f771566.html, 求解平面向量数量积的三种方法 作者：谢伟杰 来源：《读写算》2018年第34期 摘要梅州市高一数学质量抽测题第11题是一道关于平面向量数量积的考题，这道考题引起了笔者的注意。此题很好地考察了学生对数量积概念的理解，也能很好地考察学生对求解平面向量数量积的方法是否掌握到位。 关键词平面向量数量积；解法 中图分类号：O241.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018） 34-0211-01 做题中的“少运算”是建立在对基本概念理解的基础之上的，学生只有对相关的概念、性质有深刻的理解，而不是纯粹的记公式或套方法，才能在做题中真正实现“多思考，少运算”。教师在教学中，要帮助学生去认识相关知识点的核心及实质，而不是认为学生只要能记住相关的公式或会套用某类方法解题就行，否则，在具体的问题情境中，学生极容易在公式与计算中迷失，从而找不到解决问题的有效途径。 一、原题呈现 已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则 的值为（） 二、解法展示与对比 解法一：如图1， 解法二：如图2，以点为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示的直角坐标系。则，， 解法三：如图3，点在上的投影为点，作點在上的投影，则在是的投影为，由向量数量积的含义可知，易得与相似，所以，又，所以，即 . 故 作为选择题，解法三有明显的优点，即我们只需将在上的投影作出，对图中线段的长度作大致估计，就可迅速判断只有选项才是合理的。笔者认为这样并不是投机取巧，恰恰相 反，在考场上会做这样的思考，并采取此策略的学生，说明该生对数量积的概念有更深刻的理解，并有更好的思维能力。这与高考命题中所提倡的“多思考，少运算”的理念也是一致的。

平面向量的数量积知识点整理

平面向量的数量积 一、平面向量数量积的含义 1. 平面向量数量积的运算 1.已知2,5,(1)||a b a b ==若; (2) a b ⊥;(3) a b 与的夹角为030,分别求. 2.△ABC 中，3||=?→?AB ，4||=?→?AC ，5||=?→ ?BC ，则=?_________ 3.在ABC ?中，已知7=AB ，5=BC ，6=AC ，则________ 2.夹角问题 1.已知|a |=4,|b|=3, a ·b=6，求a 与b 夹角 2.已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与的夹角为____ 3.已知3||=→a ，5||=→b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为_____ 4.若1,2,a b c a b ===+,且c a ⊥,则向量a 与向量b 的夹角为 5.已知向量、不共线，且||||=，则+与-的夹角为 __________ 6.在ABC ?中=，= ，=，则下列推导正确的是__ _ ① 若0

备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题27向量的数量积——数量积的投影定义

专题27 向量的数量积——数量积的投影定义 【热点聚焦与扩展】 平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现． 1、向量的投影： （1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时， 0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB 的值. （2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作' AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合.所以说，投影往往伴随着垂直. A （3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为' ' ,A B ，则向量'' A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量'' A B 称为a 在b 上的投影向量. 2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角 （1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ= （2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ= （3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ=

平面向量数量积的性质及其运算-高中数学知识点讲解

平面向量数量积的性质及其运算1．平面向量数量积的性质及其运算 【知识点的知识】 1、平面向量数量积的重要性质： →→→→→→ 设?，?都是非零向量，?是与?方向相同的单位向量，?与?和夹角为θ，则： →（1）??→ ?= → ? ? →→ ?= |?|cosθ； →（2）?⊥→→ ??? ? → ?= 0；（判定两向量垂直的充要条件） →→→（3）当?，?方向相同时，??→→→→→→ ?= |?||?|；当?，?方向相反时，?? →→→ ?=― |?||?|； →特别地：??→→→ ?= |?|2 或|?| =→? ? → ?（用于计算向量的模） （4）cosθ= →→ ??? （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）→→ |?||?| →（5）|??→→→?|≤|?||?| 2、平面向量数量积的运算律 →（1）交换律：??→ ?= → ? ? → ?； →→→ （2）数乘向量的结合律：（λ?）??=λ（??→ ?）= →→ ??（??）； →（3）分配律：（??→→ ?）?? ≠ →→ ??（? ? → ?） 【平面向量数量积的运算】 →→ 平面向量数量积运算的一般定理为①（?±?）2 =→→→ ?2±2??? + →→ ?2．②（? ― →→ ?）（?+ → ?）= → ?2 ― →→→→ ?2．③??（??? ） →→→ ≠（???）??，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【例题解析】 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： 1/ 3

→①“mn＝nm”类比得到“??→ ?= → ? ? → ?” → ②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（?+→→ ?）?? = → ? ? → ?+ → ? ? → ?”； →→③“t≠0，mt＝nt?m＝n”类比得到“?≠0，??→ ?= → ? ? →→ ???= → ?”； →④“|m?n|＝|m|?|n|”类比得到“|??→→→ ?|＝|?|?|?|”； → ⑤“（m?n）t＝m（n?t）”类比得到“（??→→ ?）?? = →→ ??(? ? → ?)”； ??⑥“ ?? = → ? ? ? → ?”类比得到 ? ? → ? → ? = → ? → ? ．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②． 解：∵向量的数量积满足交换律， →∴“mn＝nm”类比得到“??→ ?= → ? ? → ?”， 即①正确； ∵向量的数量积满足分配律， →∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（?+→→ ?）?? = → ? ? → ?+ → ? ? → ?”， 即②正确； ∵向量的数量积不满足消元律， →→∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能类比得到“?≠0，??→ ?= → ? ? →→ ???= → ?”， 即③错误； →∵|??→→→ ?|≠|?|?|?|， → ∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能类比得到“|??→→→ ?|＝|?|?|?|”； 即④错误； ∵向量的数量积不满足结合律， →∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能类比得到“（??→→ ?）?? = →→ ??(? ? → ?)”，

平面向量数量积练习题

平面向量数量积练习题 .选择题 1?下列各式中正确的是 ( ) (1)(入a) b=X a ()=a - b), (2) |a b |= | a | | -b |, (3) (a b) c= a (b c), (4) (a+b) c = a c+b c A ? (1) (3) B ? (2) (4) C . (1) (4) D ?以上都不对? LUU/ UUV LUU/ UUU 2. 在 A ABC 中若(CA CB)?(CA CB) 0,则 A ABC 为 ( ) A ?正三角形 B ?直角三角形 C ?等腰三角形 D ?无法确定 3. 已知|a|= 6, |b|= 3, a b =- 12,则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A . - 4 B . 4 C .- 2 D . 2 4. 已知|a |=1,|b |= 2， 且(a — b )与a 垂直，则a 与b 的夹角为 ( ) A . 60° B . 30° C . 135° D . 45° 5. 设 4, |b |= 3,夹角为 60°,则 |a + b | 等于( ) A . 37 B . 13 C . .37 D . .13 6 .设 x , y € R ，向量 a = (x,1), b = (1, y), c = (2, — 4)，且 a 丄c , b // c ,则 |a + b|等于( ) A. .5 B. .10 C . 2 , 5 D . 10 7. 已知向量 a = (1,2), b = (2, — 3).若向量 c 满足(c + a) / b , c ± (a + b),贝U c 等于( ) 7 二.填空题 8.已知e 是单位向量，a // e 且a e 18，则向量a = _____________ 9 .已知向量 a , b 夹角为 45 °,且 |a|= 1, |2a — ，贝U |b|= _____ . 10. ____________________________________________________________________________ 已知a = (2, — 1), b =(入3)，若a 与b 的夹角为钝角，贝U 入的取值范围是 ______________________ 三.解答题 11. (10 分)已知 a = (1,2), b = (— 2, n) (n>1), a 与 b 的夹角是 45 ° (1) 求 b ; 7 一 9 - D 7 一 9 7 一 3 G 7 一 9 - 7 一 3? - B