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初中奥林匹克数学竞赛训练题(7套)

数学奥林匹克初中训练题

第一试

一. 选择题.(每小题7分,共42分)

( )1.已知

33333a b c abc

a b c

++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对

任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为: (A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)-

( )3.在ΔABC 中,

211

a b c

=+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案

( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是

5;②2;a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是: (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么:

(A)22S

CP (B)22S CP = (C)22S

CP (D)不确定

( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有:

(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组二. 填空题.(每小题7分,共28分)

1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过

分钟,货车追上了客车. 2.若多项式

2228171642070P a ab b a b =-+--+,那么P

的最

小值是 .

3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P ,且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 .

4.已知二次函数2(1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为1,2-,O 是坐标

原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 .

第二试

一.(20分)已知实数,,a b c 满足不等式,a b c b c a ≥+≥+,c a b ≥+,求a b c ++的值.

二.(25分)如图2,点D 在ΔABC 的边B 小 C 上,且与B,C 不重合,过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E,作AB 的平行线DF 交AC 于点F.又知BC=5.

(1) 设ΔABC 的面积为S.若四边形AEFD 的面积为2

S .求

BD 长.

(2) 若,AC =且DF 经过ΔABC 的重心G,求E,F 两点的距离.

三.(25分)已知定理:”若三个大于3的质数,,a b c 满足关系式

25a b c +=,则a b c ++是整数n 的倍数.”试问:上述定理中整数n 的最大可能值是多少?并证明你的结论。

数学奥林匹克初中训练题(2)

第一试

一、

选择题.(每小题7分,共42分)

( )1.设,a b 是实数,且

11111a b b a -=++-,则11b a

++等于:

(B) (C) ( )2.适合于2(2)20y x yx -++=的非负整数对

(,)x y 的个数是:

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

( )3.如图1,凸五边形ABCDE 内接于半径为1的⊙O,ABCD 是

矩形,AE=ED,且BE 和CE 把AD 三等分.则此五边形ABCDE 的面积是:

( )4.若关于x 的不等式3x a x +≥-的解中包含了”x a ≥”,

则实数a 的取值范围是:(A)3a ≥- (B)1a ≥-或3a =- (C)1a ≥或3a =- (D)2a ≥或3a =-

( )5.如图2,在ΔABC 中,M 是边AB 的中点,N 是边AC 上的点,

且

2AN

=,CM 与BN 相交于点K.若ΔBCK 的面积等于1,则ΔABC 的面积等于: (A)3 (B)

103 (C)4 (D)133

( )6.设,,a b c 为实数,且0a ≠,抛物线2

y ax bx c =++

与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,且抛物线的顶点在直线1y =-上.若ΔABC 是直角三角形,则Rt ΔABC 面积的最大值是:

(A)1 (C)2 (D)3 二、填空题.(每小题7分,共28分)

1.设x 是实数,则函数123y x x x =-+---的最小值是 .

2.方程2

0x ax b ++=的两根为12,x x ,且3322121212,x x x x x x +=+=+,则有序实数组(,)a b 共有个.

3.若

2a b a c b c c a a b c

+==++++,则::a b c = . 4.如图3,正ΔEFG 内接于正方形ABCD,其中E,F,G 分别在边AB,AD,BC 上,若

2,AE EB =则BG

= . 第二试

一.(20分)如图4,在锐角ΔABC 内有一点P,直线AP,BP,CP

分别交对边于Q 1,Q 2,Q 3,且∠PQ 1C=∠PQ 2A=∠PQ 3B.试问:点P 是否必为ΔABC 的垂心?如果是,请证明;如果不是,请举反例说明.

二.(25分)设p 为素数,k 是正整数.

求证:方程210x px kp ++-=至少有一个整数根

的充分必要条件是1k =

三.(25分)是否存在这样的正整数n ,使得2

371n n +-能整除3

1n n n +++?请说明理由

数学奥林匹克初中训练题

奥林匹克数学竞赛训练题（3）

1、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 的中点，

求证：S △CDE =S △ADE +S △BCE.

解：过点E 作EF ∥AD ，设梯形的高为h ，∵点E 为AB 的中点，

∴点F 为CD 的中点 ∴EF 是梯形ABCD 的中位线，即EF= 1/2（AD+BC ），

∵S △DEC =S △DEF +S △EFC = 1/2EF?h=S，∴S 四边形ABCD ═ 1/2（AD+BC ）?h=EF?h=2S

2、已知矩形ABCD ，在CD 的延长线上取一点E ，在BC 的延长

线上取一点F ，使得∠DAE=∠DAF,AF 和CD 交于G, 求证：S 矩形ABCD =S △AEF .

3、已知在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD=AE，AF⊥BE

交BC于F，过F作F G⊥CD交BE的延长线于G，求证：BG=AF+FG.

证明：过C作CH∥AB交AF的延长线于H。设GF交AC于M

则由AB=AC，∠BAC =∠ACH=90°，∠ABE= ∠CAH=90°-∠CAH

知△ABE≌△CAH。BE=AH，易证△AE B≌△ADC∴∠ABE=∠ACD∴∠EBC=∠DCB 又CF=CF,∠MCF =∠HCF=45°，∠MFC =∠HFC=90°-∠EBC，

∴△FMC≌△FPC。∴FM=FH

再由∠GME=∠CMF=∠CHF=∠AEB=∠MEG得GE=GM

∴BG=BE+EG=AH+EG=AF+FH+GM=AF+FM+GM=AF+FG

4、已知正方形ABCD 内有一点P ，且PB ：PC ：PD=3：2：1，求证：

∠CPD=135°.

解：如图，过C 作CM⊥CP，在CM 上截取CE=CP ，（或:将△CDP 绕点C 逆时针方向旋转至△CB E ）连接BE 、PE ．

在正方形ABCD 中，∠BCD=90°，∴∠1=∠2，

∵正方形ABCD 中，BC=CD ，∴△DCP≌△BCE（SAS ），∴BE=DP，设PB=t ，∵PB：PC ：PD=1：2：3， ∴PC=2t，PD=3t ，∴BE=3t；

在Rt△PCE 中，PC=CE=2t ，∴PE=2√2t，∠CPE=45°，在△BPE 中，

PB 2+PE 2=t 2+（2√2t）2=9t 2， BE 2=（3t ）2=9t 2， ∴PB 2+PE 2=BE 2，

∴△BPE 是直角三角形，∠BPE=90°， ∴∠BPC=∠BPE+∠CPE=135°．

数学奥林匹克初中训练题（4）

第一试

一、选择题(每小题7分，共42分)

1.使代数式y=1

x 11

x 2++的值为整数的全体自然数x 的和是( ).

(A)5 (B)6 (C)12 (D)22

2.方程|x|-x

4=x |

x |3实数根的个数为( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

3.如图，∠XOY= 90°，OW 平分∠XOY ，PA ⊥OX ，PB ⊥OY ，PC ⊥OW.若OA+OB+OC=1，则OC=( ). (A)2-

2 (B) 2-1 (C) 6-2 (D)2

3 -3

4.对于每个x ，函数y 是y 1=2x ，y 2=x+2，y 3=-2

x+12这三个函数中的最小值.则

函数y 的最大值是( ). (A)4 (B)6 (C)8 (D)48/7

5.在自变量x 的取值范围59≤x ≤60内，二次函数y=x 2+x+2

的函数值中整数

的个数是( ).

(A)59 (B)120 (C)118 (D)60

6.如图，⊙O 1、⊙O 2交于点E 、F ，AB 、CD 是两条公切

线，直线EF 分别交AB 、CD 于点P 、Q.则AB 、PQ 、EF 的关系是( ).

(A)2AB=PQ+EF(B)AB 2=PQ·EF

(C)AB 2+EF 2=PQ2(D)

PQ EF 1

11+= 二、填空题(每小题7分，共28分) 1.已知

z y x x -z y +++=x -z y y -x z ++ =y

-x z z

-y x ++ =p.则p 3+p 2+p= .

2.设关于x 的方程ax 2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1<1

那么，a 的取值范围是 .

3.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC= 12.以BC 为

直径作⊙O ，CE ⊥AO ，E 在AB 上.则S △BCE = . 4.在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶5.则BC ∶CA ∶AB= .

第二试

一、(20分)某公司用480万元购得某种产品的生产技术后，再次投入资金1 520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工.已知生产这种产品每件还需成本费40元，经过市场调研发现:该产品的销售单价定在100元到00元之间较为合理.当销售单价定为100元时，年销售量为20万件;当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件;当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，年获利为w(万元).

(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式.

(2)求第一年的年获利w 与x 之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢利还是亏损?若赢利，最大利润是多少?若亏损，最少亏损是多少? (3)该公司希望到第二年底，两年的总赢利不低于1 842万元，请你确定此时销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元?

二、(25分)如图4，△A ′BC ∽△AB ′C ∽△ABC ′.求证:AA ′、BB ′、CC ′三线共点.

三、(25分)半圆⊙O 的直径AB 是等腰Rt △ABC 的斜边，点P 在射线BA 上、PQ 切半圆⊙O 于点Q ，∠BPQ 的平分线交AC 、BC 于点E 、F.求证:AE 2+BF 2=EF 2.

数学奥林匹克初中训练题（4）参考答案

第一试

一、1.D. 由于y= =x-1+

1x 12+，为使1

x 12

+为整数，则自然数x 可取0，1，2，3，5，11，其和为22. 2.A.

当x>0时，x-4/x=3，x 2-3x-4=0，x 1=4，x2=-1(舍); 当x<0时，-x-4/x=-3，x 2-3x+4=0，Δ<0，无实根. 综上，原方程只有一个实数根x=4. 3.B.

延长CP 交OY 于点D ，易知BD=PB=OA.则OA+OB=OB+BD=OD= 2OC. 故1=OA+OB+OC=(

+)OC ，即OC=2 -1. 4.B.

分别联立y 1、y 2，y 1、y 3，y 2、y 3得交点A(2，4)，B(24/7，48/7)，C(4，6). 当x ≤2时，min{y 1，y 2，y 3}=y 1=2x ≤4，最大值为4;

当24时，min{y 1，y 2，y 3}=y 3=-2

x+12<6. 综上，函数y 的最大值为6. 5.B.

注意到y=x 2+x+

21 =(x+21 )2+41

，当x>-21 时，y 随x 的增大而增大.

由于59≤x ≤60，则592+59+21 ≤y ≤602+60+21 ，即 3 540 21 ≤y ≤3 660 2

此范围共含有整数3 660-3 541+1=120个.

6.C.

设PE=QF=a ，EF=b.则PQ 2=(2a+b)2=4a 2+4ab+b 2. 而AB 2=4PA 2=4PE ·PF=4a(a+b)=4a 2+4ab ，故 AB 2+EF 2=4a 2+4ab+b 2=PQ 2. 二、1.1.

2.-2/11

依题意，方程的两个不相等的实数根x 1、x 2满足x 1<10， ①Δ=(a+2)2-4×a×9a>0， f(1)=a+a+2+9a<0. ②或(2)a<0，Δ=(a+2)2-4×a×9a>0， f(1)=a+a+2+9a>0.

解不等式组(1)知，式①、②中a 的取值范围没有公共部分，因此，(1)没有解; 解不等式组(2)得a<0，-2/7-2/11. 因此，解集为-2/11

如图，设⊙O 交AB 于点F ，联结CF ，交OA 于点H ，联结EH 并

延长交AC 于点D.则H 是△AEC 的垂心.故ED ⊥AC ，ED ∥BC.又AO 、CF 是△ABC 的两条中线，则H 是△ABC 的重心，此时，AE/EB=AH/HO=2.于是，BE=2

1 AE=31

AB.

故S △BCE =24. 4.2∶6 ∶(

3 +1).见图.

第二试一、(1)y=-

252x+28， 100≤x ≤200; y=-10

x+32， 200

将y=-252x+28代入式①得w=x(-252x+28)-40(-25

2x+28)-2 000.

整理得w=-25

(x-195)2-78. 当200

(x-180)2-40.

故w=-252

(x-195)2-78， 100≤x ≤200; w=-10

(x-180)2-40， 200

若100≤x ≤200，当x=195时，w max =-78;

若200

w=(-252

x+28)(x-40)， 100≤x ≤200; w= (-10

x+32)(x-40)， 200

当两年总利润刚好为1 842万元时，依题意得(-

x+28)(x-40)-78=1 842，

100≤x ≤200

或 (-110x+32)(x-40)-78=1 842，200

故当190≤x ≤200时，总利润不低于1 842万元. 由y=-

x+28(100≤x ≤200)可知，当销售单价定为190元时，销售量最大. 二、如图，设AA ′、BB ′交于点O ，联结OC 、OC ′.由△A ′BC

∽△AB ′C

易推得△AA ′C ∽△B ′BC.则∠AA ′C=∠B ′BC ，即∠OA ′C=∠OBC.

因此，O 、B 、A ′、C 四点共圆.此时，∠A ′OB=∠A ′CB=∠AC ′B.

所以，O 、A 、C ′、B 也四点共圆.

故 ∠AOC ′=∠ABC ′ =∠A ′BC=∠A ′OC.

而C 、C ′两点位于AA ′的异侧，可断C 、O 、C ′三点共线. 从而，AA ′、BB ′、CC ′三线共点.

三、如图，联结QA 、QB 交PF 于点X 、Y ，联结QE 、QF.易知 ∠PQA=∠PBQ ， ∠XQY=∠AQB=90°.

因为∠QXY=

21 ∠BPQ+∠PQA ，∠QYX=2

∠BPQ+∠PBQ ，所以，∠QXY=∠QYX=45°=∠CAB. 又∠QXY=

21∠BPQ+∠PQA ， ∠CAB=2

∠BPQ+∠PEA ，则 ∠PQA=∠PEA. 从而，P 、Q 、E 、A 四点共圆.

但PE 平分∠APQ ，因此，QE=AE.

注意到∠PFB=90°+∠CEF=90°+∠PEA=90°+∠PQA ，

∠PQB=∠AQB+∠PQA=90°+∠PQA. 所以，∠PQB=∠PFB. 从而，P 、Q 、F 、B 四点共圆.但PF 平分∠BPQ ，因此，QF=BF. 又∠BQF=∠BPF=∠APE=∠AQE ，则∠EQF=∠AQB=90°. 在Rt △QEF 中，QE 2+QF 2=EF 2，故AE 2+BF 2=EF 2.

数学奥林匹克初中训练题(5)

第一试

一、选择

1.已知12008x y x ??

-= ??

，其中x 、y 均为正整数.则x y +的最大值与最小

值的和为（） A ．2010

B.2100

C.2008

D.2000

2.设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，{}[]x x x =-.则

200983201083401783200920092009???????

+++=??????????

（）. A.249075 B.250958 C.174696

D.251000

3.在2×3的矩形方格纸上各个小正方形的顶点称为格点.则以格点为顶点的等腰直角三角形有（）个. A.24 B.38 C.46 D.50

4.如图1，在等边△ABC 中，E 为AB 的中点，

D 在AC 上，使得

AD AC =.则有（）.

A ．△AED ∽△BED

B ．△AED ∽△CBD

C ．△AE

D ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD

5．已知直角坐标系中的四点A （-2，4）、B （-2，0）、C （2，-3）、D （2，0）.设P 是x 轴上的点，且联结ＰＡ、ＰＣ后它们与ＡＢ、ＣＤ及x 轴所围成的两个三角形（即△PAB 和△PCD ）相似.则所有符合上述条件的点P 的个数为（）. A.2 B.3 C.4 D.5

6.方程42242250n n m

m m -++++=的正整数解有（）组.

A.1

B.2

C.4

D.无穷二填空 1．

如图2，四边形ABCD 是矩形，且AB=2BC ，

M 、N 分别为边BC 、CD 的中点，AM 与BN 交于点E.若阴影部分的面积为a ，那么，矩形ABCD 的面积为____________. 2．

设a 、b 为整数，且方程210ax bx ++=的两个不同的正数根都小

于1.则a 的最小值为____________. 3．

关于x 的方程()22||30x a x a a R +++-=∈有唯一的实数解.则

a =________.

4．将1~20这20个正整数分成A 、B 两组，使得A 组所有数的

和等于N ，而B 组所有数的乘积也等于N.则N 的所有可能取值是________. 第二试

一、试求出所有的有序整数对（a ，b ），使得关于x 的方程

()42222210x b a x ax b +--+-=的各个根均是整数.

二、 △ABC 的外心关于三边的对称点分别为'A 、'B 、'C .求证：（1）'AA 、'BB 、'CC 交于一点P ；

（2）设△ABC 三边中点分别为1A 、1B 、1C ，则P 为△111A B C 的外心. 三、有2009名运动员，号码依次为1，2，…，2009.从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积.那么，被选为仪仗队的运动员至少有多少人？给出你的选取方案，并简述理由.

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初中数学竞赛专项训练（1）（实数）一、选择题 1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（） A. a ＋1 B. a 2+1 C. a 2+2a+1 D. a+2a +1 2、在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：①对任意实数a 、b 有a *b=（a ＋b ）(b －1)②对任意实数a 有a *2＝a *a 。当x ＝2时，［3*（x *2）］－2*x ＋1的值为（） A. 34 B. 16 C. 12 D. 6 3、已知n 是奇数，m 是偶数，方程? ??=+=+m y x n y 28112004有整数解x 0、y 0。则（） A. x 0、y 0均为偶数 B. x 0、y 0均为奇数 C. x 0是偶数y 0是奇数 D. x 0是奇数y 0是偶数 4、设a 、b 、c 、d 都是非零实数，则四个数-ab 、ac 、bd 、cd （） A. 都是正数 B. 都是负数 C. 两正两负 D. 一正三负或一负三正 5、满足等式2003200320032003=+--+xy x y x y y x 的正整数对的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6、已知p 、q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，由以p ＋3、1－p ＋q 、2p ＋q －4为边长的三角形是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。 A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111 8、在1、2、3……100个自然数中，能被2、3、4整除的数的个数共（）个 A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 二、填空题 1、若2001119811198011 ??++=S ，则S 的整数部分是____________________ 2、M 是个位数字不为零的两位数，将M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N ，若M －N 恰

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世界青少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛 2017春季省级初赛考生须知：本卷考试时间60分钟,共100分。考试期间,不得使用计算工具或手机七年级试题(A 卷) 一、填空(每题3分，共30分) 1、在△ABC 中，高BD 和CE 所在直线相交于O 点，若△ABC 不是直角三角形，且∠A ＝60°，则∠BOC ＝________度. 2、在等腰△ABC 中，AB=AC,一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为___________. 3、凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是____________. 4、凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，则n 的值是________. 5、已知是二元一次方程ay x -2=3的一个解，那么a 的值是________. 6、若关于x 、y 的方程组无解，则a 的值是________. 7、正整数._______,698的最大值是则满足、m mn n m n m +=+ 8、已知关于x 的不等式组无解，则a 的取值范围是________. 9、都是正数，那么N M 、的大小关系是________. 10、若n 为不等式的解，则n 的最小正整数的值是________. 二、选择题(每题5分，共25分) 11、三元方程的非负整数解的个数有（）. A.20001999个 B.19992000个 C.2001000个 D.2001999个 12、如图已知分别为ABC ?的两个外角的平分线，给出下列结论：①CD CP ⊥; ???-==1 1 y x ???=-=+1293y x y ax ???-≥--1250x a x ＞，如果))((),)((,,,200332200421200432200321200421a a a a a a N a a a a a a M a a a ++++++=++++++= 3002006＞n 1999 =++z y x CD BD ACB CP ACB A ABC 、，平分，中，∠∠=∠?

2019年全国初中数学竞赛试题及答案

１全国初中数学竞赛试题及答案考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）（A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则ab c ca b bc a 2 22++的值为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=，所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（）（A ）内心（B ）外心（C ）重心（D ）垂心解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ，即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ，所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上，也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（）（A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。

初中数学竞赛专项训练找规律题

观察——归纳—猜想——找规律给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是：（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题. 一、数字类基本技巧（一）标出序列号：例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0，3，8，15，24，……。序列号： 1，2，3， 4， 5，……。容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n 项是2 n -1 （二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n 、3n 有关。例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n 项为（ 2)12(-n ）， 1，2，3，4，5．。。。。。。，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3 时，正好是2×3-1的平方，以此类推。（三）增副 A ： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且是n 的3次幂，即：n 3 +1 B ：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：n 2 （四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……，序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2 时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n 个数为12-n 。再看原数列是同时减2得到的新数列，则在12-n 的基础上加2，得到原数列第n 项12+n

2017奥林匹克数学竞赛试题及答案

绝密★启用前世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。三年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分，考试时间90分钟）一、填空题。（每题5分，共计50分） 1、仔细观察，想一想接着该怎么画。 2、一只猫吃完1条鱼需要6分钟，5只猫同时吃完5条同样大小的鱼需要分钟。 3、国庆阅兵中，15辆坦克排成一队，从前往后数，战士小李驾驶的坦克是第6辆，那么从后往前数这辆坦克是第_______辆。 4、车站里的汽车每隔15分钟一班，小青想搭8:45的一班车去图书馆，但是她到达车站的时间已经是8:47，那么她还要等_______分钟才能搭乘下一班汽车。 5、一只大白兔的重量是2只松鼠的重量，1只松鼠的重量是3只小鸡的重量，1只大白兔的重量等于_______只小鸡的重量。 6、东村到西村有3条路，西村到南庄有4条路。那么从东村经过西村到南庄一共有_______条路可走。 7、学校招收了一批新生。若编成每班55人的班级，还要招收30人。若编成每班50人的班级，还需招收10名新生。这次共招收了名新生。 8、妈妈买来一块豆腐准备做鱼头豆腐汤，让小军动手切8块，小军最少要切刀。 9、王奶奶有两篮桃子，从第一个篮子里拿3个放入第二个篮子里，两个篮子里桃子就一样多，已知第二个篮子里原来有8个桃子，第一个篮子里原来有______个桃子。 10、下图中有个三角形。二、计算题。（每题6分，共计12分） 11、2015＋201＋20－15＋5 12、1000-9-99-8-98-7-97-6-96-5-95-4-94-3-93-2-92-1-1 三、解答题。（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分） 13、一条大鲨鱼，尾长是身长的一半，头长是尾长的一半，已知头长3米，这条大鲨鱼全长有多少米？ 14、超市新进6箱足球，连续4天，每天卖出8个。服务员重新整理一下，剩下的足球正好装满2箱。原来每箱有几个足球？ 15、小丽和小晴两人比赛爬楼梯，小丽跑到3楼时，小晴恰好跑到2楼，照这样计算，小丽跑到9楼，小晴跑到几楼？ 16、三年级（2）班有46人，新学期开学要从A、B、C、D、E五位候选人中选出一位班长，每人只能投一票。投票结束（没人弃权），A得24票，B得选票占第二位，C、D得票同样多，E得票最少只得4票。那B得多少票？ 17、有两层书架，共有书173本，从第一层拿走38本后，第二层的书是第一层的2倍还多6本，第二层原有多少本书？ 18、小张和小赵两人同时从相距1000米的两地相向而行，小张每分钟行120米，小赵每分钟行80米，如果一只狗与小张同时同向而行，每分钟跑460米，遇到小赵后，立即回头向小张跑去，遇到小张再向小赵跑去，这样不断地来回跑，直到小张和小赵相遇为止，狗共跑了多少米？

2014年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题： 1．已知x ，y 为整数，且满足(1x ＋1y ) (1x 2＋1y 2)＝－23(1x 4－1y 4)，则x ＋y 的可能的值有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．已知非负实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则t ＝2xy ＋yz ＋2xz 的最大值为（） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225 3．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，BE ⊥AC 于E ，交AD 于P ，已知BP ＝3，PE ＝1，则AE ＝（） A ．62 B ．2 C ．3 D ．6 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（） A ．12 B ．25 C ．23 D ．34 5．设[t ]表示不超过实数t 的最大整数，令{t }＝t －[t ].已知实数x 满足x 3＋1x 3＝18，则 {x }＋{1x }＝（） A ．12 B ．3－5 C ．12 (3－5) D ．1 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝1，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, ∠ADE ＝90° ,则BE 的长为（） A ．4－23 B ．2－3 C ．12 (3－1) D ．3－1 二、填空题： 1．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1， 1 a ＋b －c ＋ 1 a ＋c －b ＋ 1 b ＋c －a ＝1，则abc ＝__ 2．使得不等式917＜n n ＋k ＜815 对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为________． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB ＝BC ，∠BPC ＝108°，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则∠P AC ＝________．

数学初中竞赛大题训练：几何专题(含答案)

数学初中竞赛大题训练：几何专题 1．阅读理解：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆．（1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝55°；（2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE 的长；（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长．解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°，故答案为：55°；（2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示： ∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB， ∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°， ∴∠AFD＝135°， ∵BE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°， ∴∠AFD＝∠DBE， ∵AD⊥DE，

∴∠ADE＝90°， ∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°， ∴∠FAD＝∠BDE，在△ADF和△DEB中，， ∴△ADF≌△DEB（ASA）， ∴AD＝DE， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝AD＝2；（3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°， ∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆， ∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°， ∴△ABK是等边三角形， ∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点， ∴KM＝AK?sin60°＝2， ∵AE＝3，AM＝AB＝2， ∴ME＝3﹣2＝1， ∴EK＝＝＝， ∴EF＝＝＝．

数学竞赛全国奥林匹克数学大赛初中数学竞赛试题解答含答案解析

中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题题号一二三总分 1～5 6～10 11 12 13 14 得分评卷人复查人答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设71a =-，则代数式32312612a a a +--的值为( ). （A ）24 （B ）25 （C ）4710+ （D ）4712+ 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，，都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ). （A ）（0，1）（B ）（1，0）（C ）（﹣1，0）（D ）（0，-1） 3．若1x >，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( ). （A ）1 （B ）2 （C ） 92 （D ）112 4．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ???====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为 ( ).

（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3 3331111 123 99 S = ++++ ，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 . 7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 . 8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1 y x = （x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 . 9．若1 12 y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 . 10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 . 三、解答题（共4题，每题20分，共80 分） 11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++ =的两个整数根恰好比方程（第8题）（第10题）

初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-求根公式

初中数学竞赛辅导讲义---走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式a ac b b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有个。思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。【例3】解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。【例5】已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+1111，试求x 的值。思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x 。解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝

2016年全国奥林匹克数学竞赛决赛-

2016年小学数学竞赛决赛试卷（国奥赛决赛）（2016年4月10日下午2:00-3:30）（本卷共15个题，每题10分，总分150分，第1至12题为填空题，只需将答案填入空内；13至15题为解答题，需写出解题过程。） 1.）（）（）（40375.08.041545.2? ÷??? = 。【考点】计算【难度】★ 【答案】9 64 【分析】原式 = 0.5×4×0.2÷（ 43×403） = 52×9 160 = 964 2.1 811611*********－＋－＋－＋－ = 。【考点】计算（平方差公式利用）【难度】★★ 【答案】9 4 【分析】原式 = ) 18()18(1)16(1611414112121＋－＋＋）－（＋）＋（）－（＋）＋（）－（????） = 971751531311????＋＋＋

= （1-31＋31－51＋51－71＋71－91）×2 1 = （1－ 91）×21 = 98×2 1 = 94 3.)]3 2152(347[163)25.016743(＋－＋－÷?÷ = 。【考点】计算【难度】★ 【答案】28 69 【分析】原式 = )1215347(163)4171643(??? －＋－ = 3 16163)41712(?＋－ = 28 41 + 1 = 2869 4.从1，2，3，4，5中选出互不相等的四个数填入[○÷○×（○＋○）]的圆圈中，使其值尽可能地大，那么[○÷○×（○＋○）]的最大值是。【考点】最值问题【难度】★ 【答案】54 【分析】要使值最大，则第二个圆圈的数要最小，第二个圆圈只能为1.第一个圆圈的数尽可能大，第三个圆圈和第四个圆圈的和要大。经验算，算式：6÷1×（4＋5）的值最大，最大为54。

2013年全国初中数学联赛试题及详解

2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算=（）（A 1 （B ）1 （C （D ）2 【答案】（B ）【解析】原式=1)3)1-=-=，故选（B ）. 2.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】（A ）【解析】分三种情况进行讨论：（1）若21m -=，即1m =时，满足已知等式；（2）若21m -=-，即3m =时，()2242(1)1m m m ---=-=满足已知等式；（3）若21m -≠±，即1m ≠且3m ≠时，由已知，得22020 m m m -≠??--=?解得，1m =- 故满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和13(1=3++-），故选（A ）. 3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠= ，ABC ∠的平分线交圆O 于点D ，若CD =，则AB =（）（A ）2 （B （C ）（D ）3 【答案】（A ）【解析】连接OC ,过点O 作ON CD ⊥于点N ，则 CN DN ==,OC OA =,从而15OCA CAB ∠=∠= ,由AB 是圆O 的直径，得90ACB ∠= ,因CD 平分ACB ∠,故45ACD ∠= ,30OCN ACD OCA ∠=∠-∠= , 在Rt ONC ?中，∵cos CN OCN OC ∠= =,1OC =∴,∴22AB OC ==,故选（A ）. 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数解(,)x y 的组数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（B ）

初中数学竞赛专项训练找规律题

观察——归纳—猜想——找规律给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是：（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题. 一、数字类基本技巧（一）标出序列号：例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0，3，8，15，24，……。序列号： 1，2，3， 4， 5，……。容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n 项是2 n -1 （二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n 、3n 有关。例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n 项为（ 2 )12(-n ）， 1，2，3，4，5．。。。。。。，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以此类推。（三）增副 A ： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且是n 的3次幂，即：n 3 +1 B ：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：n 2 （四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……，序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n 个数为12 -n 。再看原数列是同时减2得到的新数列，则在12 -n 的基础上加2，得到原数列第n 项 12+n （五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。例： 4，16，36，64，？，144，196，… ？（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n 项即n 2 ，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n 的公式后再乘以4即，4 n 2 ，则求出第一百个数为4*1002 =40000 (一)等差数列例题：2，5，8，( )。例题5： 12，15，18，( )，24，27。 A.20 B.21 C.22 D.23 (二)等比数列

2019年中国数学奥林匹克国家集训队名单

2019年中国数学奥林匹克国家集训队名单姓名性别年级省市学校潘至璇男高二浙江省浙江省乐清市知临中学袁祉祯男高二湖北省武钢三中骆晗男高三浙江省镇海中学钱一程男高二江苏省江苏省锡山高级中学邓明扬男高一北京市中国人民大学附属中学金及凯男高二上海市华东师范大学第二附属中学黄轶之男高三四川省成都七中戴宇轩男高三浙江省杭州学军中学胡航男高三四川省四川省绵阳中学周鼎昌男高三北京市人大附中胡百川男高三江西省江西师范大学附属中学吴浩然男高二江苏省江苏省扬州中学陈博洋男高三四川省成都七中嘉祥外国语学校杜航男高三四川省成都七中赵文浩男高二上海市上海市上海中学姚缘男高二上海市上海市上海中学卓景彬男高二浙江省浙江省乐清市知临中学胡苏麟男高二广东省华南师范大学附属中学陈子云男高二湖南省长沙市雅礼中学梁敬勋男高二浙江省杭州学军中学何凯辰男高二湖南省长沙市雅礼中学罗云千男高三湖北省湖北省黄冈中学谢柏庭男高三浙江省浙江省乐清市知临中学俞然枫男高二江苏省江苏南京师范大学附属中学杨铮男高二上海市上海市上海中学许福临男高二福建省福建厦门大学附属中学葛宇驰男高三安徽省安徽省含山中学谷肇兴男高二黑龙江省哈尔滨市第三中学熊诺亚男高二重庆市重庆市巴蜀中学黄嘉俊男高一上海市上海市上海中学杜俊辰男高三陕西省西北工业大学附属中学韩新淼男高二浙江省浙江省乐清市知临中学朱天明男高二湖北省武汉二中常弋阳男高三河南省郑州一中贾镐铮男高二河北省石家庄市二中

傅浩桐男高二山西省山西大学附属中学夏一航男高二江苏省扬州中学饶睿男高一广东省华南师范大学附属中学刘元凯男高三浙江省宁波中学宛彦明男高三广东省深圳中学马晓阳男高三安徽省安徽省合肥市第一中学李逸凡男高一上海市上海市上海中学王祯安男高一山东省山东实验中学徐苇杭男高三四川省成都七中陈正男男高三广东省深圳中学尹顺男高二湖南省湖南师大附中陈凡男高三福建省福建省厦门双十中学姜昕澎男高三辽宁省东北育才学校朱容宇男高三安徽省安徽省马鞍山第二中学傅增男高二上海市复旦大学附属中学涂雅欣女高三湖北省武汉外国语学校胡宇轩男高三北京市北京市第八中学李洲子男高三上海市上海市上海中学葛程男高三上海市上海市上海中学陈锐男高二湖北省武汉市第二中学温凯越男高二广东省深圳中学刘明扬男高二广东省华南师范大学附属中学罗煜翔男高一浙江省浙江省镇海中学王义寅男高一广东省广州市执信中学冯时男高三湖北省武汉市第二中学

全国初中数学竞赛试题及答案

2007年全国初中数学竞赛试题班级座号姓名成绩一、选择题（共5题，每小题6分，共30分） 1、方程组12 6 x y x y ?+=??+=??的实数解的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个。现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 3、已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程 2220,0,0ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=恰有一个公共实数根，则 222 a b c bc ca ab ++的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且AB 、AC 分别相交于点D 、E ，若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（） A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 5、方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（） A ．0 B ．1 C ．3 D ．无穷多二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6、如图，点A 、C 都在函数(0)y x x = >的图象上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 . 7、如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，CA= 4，点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB （指半圆和三角形ABC 组成的图形）

初中数学竞赛专项训练之命题及三角形边角不等关系附答案

1 初中数学竞赛专项训练之命题及三角形边角不等关系一、选择题： 1、如图8-1，已知AB ＝10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作两个等边三角形APC 和BPD ，则线段CD 的长度的最小值是（） A. 4 B. 5 C. 6 D. )15(5- 2、如图8-2，四边形ABCD 中∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝8，AB ＝7，则BC ＋CD 等于（） A. 36 B. 53 C. 43 D. 33 3、如图8-3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝9，AB ＝6，CD ＝4，若EF ∥BC ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，则EF 的长为（） A. 745 B. 533 C. 539 D. 2 15 4、已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C 且α＝A+B ，β＝C+A ，γ＝C+B ，则α、β、γ中，锐角的个数最多为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 5、如图8-4，矩形ABCD 的长AD ＝9cm ，宽AB ＝3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为（） A. 4cm cm 10 B. 5cm cm 10 C. 4cm cm 32 D. 5cm cm 32 6、一个三角形的三边长分别为a ，a ，b ，另一个三角形的三边长分别为a ，b ，b ，其中a>b ，若两个三角形的最小内角相等，则b a 的值等于（） A. 2 13+ B. 2 15+ C. 2 23+ D. 2 25+ 7、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 8、若函数)0(>=k kx y 与函数x y 1 =的图象相交于A ，C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为（） A. 1 B. 2 C. k D. k 2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d ，另一组对边的长分别为a ，b ，则d 与2 b a +的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿ 2、如图8-5，AA ′、BB ′分别是∠ 60° A B C D A C D P 图8-1 图8-2 图8-3 图8-7 图 8-4 ′ 图8-5 A ′