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数学:2.2.1《综合法和分析法》教案(新人教A版选修2-2)

数学:2.2.1《综合法和分析法》教案

教学目标:

(一)知识与技能:

结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合 法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。

(二)过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力;

(三)情感、态度与价值观:

通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。

第一课时 2.2.1 综合法和分析法(一)

教学要求:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.

教学重点:会用综合法证明问题;了解综合法的思考过程.

教学难点:根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法. 教学过程:

一、复习准备:

1. 已知 “若12,a a R +∈,且121a a +=,则12114a a +≥”,试请此结论推广猜想. (答案:若12,.......n a a a R +∈,且1

2....1n a a a +++=,则12111....n a a a +++≥ 2n ) 2. 已知,,a b c R +∈,1a b c ++=,求证:1119a b c ++≥. 先完成证明 → 讨论:证明过程有什么特点? 二、讲授新课:

1. 教学例题:

① 出示例1:已知a , b , c 是不全相等的正数,求证:a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析:运用什么知识来解决?(基本不等式) → 板演证明过程(注意等号的处理) → 讨论:证明形式的特点

② 提出综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.

框图表示: 要点:顺推证法;由因导果.

③ 练习:已知a ,b ,c 是全不相等的正实数,求证

3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>. ④ 出示例2:在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且A 、B 、C 成等差数列,a 、b 、c 成等比数列. 求证:为△ABC 等边三角形.

分析:从哪些已知,可以得到什么结论? 如何转化三角形中边角关系? → 板演证明过程 → 讨论:证明过程的特点.

→ 小结:文字语言转化为符号语言;边角关系的转化;挖掘题中的隐含条件(内角和)

2. 练习:

① ,A B 为锐角,且tan tan 3tan 3A B A B +=60A B +=o . (提示:算tan()A B +)

② 已知,a b c >> 求证:114.a b b c a c +≥--- 3. 小结:综合法是从已知的P 出发,得到一系列的结论12,,Q Q ???,直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习:

1. 求证:对于任意角θ,44cos sin cos2θθθ-=. (教材P 100 练习 1题)

(两人板演 → 订正 → 小结:运用三角公式进行三角变换、思维过程) 2. ABC ?的三个内角,,A B C 成等差数列,求证:113a b b c a b c +=++++. 3. 作业:教材P 102 A 组 2、3题.

第二课时 2.2.1 综合法和分析法(二)

教学要求:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.

教学重点:会用分析法证明问题;了解分析法的思考过程.

教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法.

教学过程:

一、复习准备:

1. 提问:基本不等式的形式?

2. 讨论:如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. (讨论 → 板演 → 分析思维特点:从结论出发,一步步探求结论成立的充分条件)

二、讲授新课:

1. 教学例题:

① 出示例1:求证3526+>+.

讨论:能用综合法证明吗? → 如何从结论出发,寻找结论成立的充分条件? → 板演证明过程 (注意格式)

→ 再讨论:能用综合法证明吗? → 比较:两种证法

② 提出分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止. 框图表示:

要点:逆推证法;执果索因. ③ 练习:设x > 0,y > 0,证明不等式:11223332()()x y x y +>+.

先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.

④ 出示例2:见教材P 97. 讨论:如何寻找证明思路?(从结论出发,逐步反推) ⑤ 出示例3:见教材P 99. 讨论:如何寻找证明思路?(从结论与已知出发,逐步探求)

2. 练习:证明:通过水管放水,当流速相等时,如果水管截面(指横截面)的周长相等,那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.

提示:设截面周长为l ,则周长为l 的圆的半径为2l π,截面积为2()2l ππ,周长为l 的正方形边长为4l ,截面积为2()4l ,问题只需证:2()2l ππ> 2()4

l . 3. 小结:分析法由要证明的结论Q 思考,一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ???,直到

所有的已知P 都成立;

比较好的证法是:用分析法去思考,寻找证题途径,用综合法进行书写;或者联合使用分析法与综合法,即从“欲知”想“需知”(分析),从“已知”推“可知”(综合),双管齐下,两面夹击,逐步缩小条件与结论之间的距离,找到沟通已知条件和结论的途径. (框图示意)

三、巩固练习:

1. 设a , b , c 是的△ABC 三边,S 是三角形的面积,求证:222443c a b ab S --+≥. 略证:正弦、余弦定理代入得:2cos 423sin ab C ab ab C -+≥,

即证:2cos 23sin C C -≥,即:3sin cos 2C C +≤,即证:sin()16C π+

≤(成立).

2. 作业:教材P 100 练习 2、3题.

第三课时 2.2.2 反证法

教学要求:结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点.

教学重点:会用反证法证明问题;了解反证法的思考过程.

教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法.

教学过程:

一、复习准备:

1. 讨论:三枚正面朝上的硬币,每次翻转2枚,你能使三枚反面都朝上吗?(原因:偶次)

2. 提出问题: 平面几何中,我们知道这样一个命题:“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题?

3. 给出证法:先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点,

则O 在AB 的中垂线l 上,O 又在B C 的中垂线m 上,

即O 是l 与m 的交点。

但 ∵A 、B 、C 共线,∴l ∥m (矛盾)

∴ 过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆.

二、讲授新课:

1. 教学反证法概念及步骤:

① 练习:仿照以上方法,证明:如果a >b >0,那么b a >

② 提出反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.

证明基本步骤:假设原命题的结论不成立 → 从假设出发,经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立,从而原命题的结论成立

应用关键:在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等).

方法实质:反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,即由一个命题与其逆否命题同真假,通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题真实.

注:结合准备题分析以上知识.

2. 教学例题: O B C P

① 出示例1:求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.

分析:如何否定结论? → 如何从假设出发进行推理? → 得到怎样的矛盾?

与教材不同的证法:反设AB 、CD 被P 平分,∵P 不是圆心,连结O P , 则由垂径定理:O P ⊥AB ,O P ⊥CD ,则过P 有两条直线与OP 垂直(矛盾),∴不被P 平分.

② 出示例2:求证3是无理数. ( 同上分析 → 板演证明,提示:有理数可表示为/m n ) 证:假设3是有理数,则不妨设3/m n =(m ,n 为互质正整数),

从而:2(/)3m n =,223m n =,可见m 是3的倍数.

设m =3p (p 是正整数),则 22239n m p ==,可见n 也是3的倍数.

这样,m , n 就不是互质的正整数(矛盾). ∴3/m n =不可能,∴3是无理数. ③ 练习:如果1a +为无理数,求证a 是无理数.

提示:假设a 为有理数,则a 可表示为/p q (,p q 为整数),即/a p q =.

由1()/a p q q +=+,则1a +也是有理数,这与已知矛盾. ∴ a 是无理数.

3. 小结:反证法是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围(“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题)

三、巩固练习: 1. 练习:教材P 102 1、2题 2. 作业:教材P 102 A 组4题.