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圆周运动中的临界问题

圆周运动中的临界问题

一、水平面内圆周运动的临界问题

关于水平面内匀速圆周运动的临界问题,涉及的是临界速度与临界力的问题,具体来说,主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。 1、与绳的拉力有关的临界问题

圆周运动中的临界问题

例1 如图1示,两绳系一质量为kg m 1.0=的小球, 上面绳长m l 2=,两端都拉直时与轴的夹角分别为

o

30与o

45,问球的角速度在什么范围内,两绳始终张紧,

当角速度为s rad /3时,上、下两绳拉力分别为多大?

圆周运动中的临界问题

2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题 例2 如图2所示,细绳一端系着质量为kg M 6.0= 的物体,静止在水平面上,另一端通过光滑小孔吊着 质量为kg m 3.0=的物体,M 的中心与圆孔距离为m 2.0

并知M 与水平面间的最大静摩擦力为N 2,现让此平面 绕中心轴匀速转动,问转动的角速度ω满足什么条件 可让m 处于静止状态。(2/10s m g =)

3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题

二、竖直平面内圆周运动的临界问题

对于物体在竖直平面内做变速圆周运动,中学物理中只研究物体通过最高点

C

图1

图2

和最低点的情况,并且也经常会出现临界状态。 1、轻绳模型过最高点

如图所示,用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况,与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似,都属于无支撑的类型。

临界条件:假设小球到达最高点时速度为0v ,此时绳子的拉力(轨道的弹力)

刚好等于零,小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力,即r

v

m mg 2

0=,

圆周运动中的临界问题

gr v =0,式中的0v 是小球过最高点的最小速度,即过最高点的临界速度。 (1)0v v = (刚好到最高点,轻绳无拉力) (2)0v v > (能过最高点,且轻绳产生拉力的作用) (3)0v v < (实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道) 例4、如图4所示,一根轻绳末端系一个质量为kg m 1=的小球, 绳的长度m l 4.0=, 轻绳能够承受的最大拉力为N F 100max =, 现在最低点给小球一个水平初速度,让小球以轻绳的一端O 为 圆心在竖直平面内做圆周运动,要让小球在竖直平面内做完整

的圆周运动且轻绳不断,小球的初速度应满足什么条件?(2/10s m g =)

2、轻杆模型过最高点

如图所示,轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况,与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似,都属于有支撑的类型。

临界条件:由分析可知,小球在最高点的向心力是由重力和轻杆(管壁)的

作用力的合力提供的,如果在最高点轻杆(管壁)对小球的作用力与重力刚好平衡,那么此时外界提供的向心力为零,即小球过最高点的瞬时速度可以为零,所以小球过最高点的临界速度为00=v 。

(1)0=v ,轻杆(管壁)对小球有向上的支持力N F ,且mg F N =

(2)gr v <<0,轻杆(管壁)对小球有向上的支持力N F ,由r

v m F mg N 2

=-,

可得r

v m mg F N 2

-=,N F 随v 的增大而减小,mg F N <<0

(3)gr v =,重力单独提供向心力,轻杆(管壁)对小球没有力的作用

(4)gr v >,轻杆(管壁)对小球施加向下的拉力(压力),由r

v m F mg 2

=+拉,

可得mg r

v m F -=2

拉,且拉F 随着v 的增大而增大

例5、如图5所示,半径为R ,内径很小的光滑半圆管竖直放

圆周运动中的临界问题

置,AB 段平直,质量为m 的小球以水平初速度0v 射入圆管。(1)若要小球能从C 端出来,初速度0v 多大?

(2)在小球从C 端出来瞬间,对管壁的压力有哪几种典型情况,初速度0v 各应满足什么条件?

3、汽车过拱桥

如图所示,汽车过拱形桥顶时,由汽车的重力和桥面对汽车的支持力的合力

提供其最高点的向心力,由r v m F mg N 2=-,可得r

v m mg F N 2

-=,由此可见,

桥面对汽车的支持力随着汽车速度的增大而减小,如果速度增大到某一个值0v ,

A

图5

会出现桥面对汽车的支持力为零,即gr v =0是汽车安全过拱桥顶的临界速度。 (1)gr v <<0,汽车不会脱离拱形桥且能过最高点

(2)gr v =,因桥面对汽车的支持力为零,此时汽车刚好脱离桥面做平抛运动

(3)gr v >,汽车将脱离桥面,非常危险

圆周运动中的临界问题

例6、如图6所示,汽车质量为kg m 4105.1?=,以不变的 速率通过凸形路面,路面半径为m R 15=,若要让汽车安全 行驶,则汽车在最高点的临界速度是多少?如果汽车通过最

高点的速度刚好为临界速度,那么接下来汽车做什么运动,

水平运动的位移是多少?(2/10s m g =)

例题1.

解析:(1)当角速度ω很小时,AC 和BC 与轴的夹角都很小,BC 并不张紧。当ω逐渐增大到

o 30时,BC 才被拉直(这是一个临界状态),但BC 绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为1ω,

则有: mg T o

AC =30cos o o AC l m T 30sin 30sin 2

1ω=

将已知条件代入上式解得 s rad /4.21=ω

(2)当角速度ω继续增大时AC T 减小,BC T 增大。设角速度达到2ω时,0=AC T (这又是一个临界状态),

则有: mg T o

BC =45cos o o BC l m T 30sin 45sin 2

2ω=

将已知条件代入上式解得 s rad /16.32=ω

所以当ω满足 s rad s rad /16.3/4.2≤≤ω,BC AC 、两绳始终张紧。 本题所给条件s rad /3=ω,说明此时两绳拉力BC AC T T 、都存在。

则有:o o BC o AC l m T T 30sin 45sin 30sin 2ω=+ mg T T o

BC o AC =+45cos 30cos

将数据代入上面两式解得 N T AC 27.0=, N T BC 09.1= 注意:解题时注意圆心的位置(半径的大小)。

如果s rad /4.2<ω时,0=C B T ,AC 与轴的夹角小于o

30。 如果s rad /16.3>ω时,0=C A T ,BC 与轴的夹角大于o

45。

例题2

解析:由分析可知,如果平面不转动,M 会被拉向圆孔,即m 不能处于静止状态。当平面转动的角速度ω较小时,M 与水平面保持相对静止但有着向圆心运动的趋势,此时水平面对M 的静摩擦力方向背向圆心,根据牛顿第二定律,

对于M 有:r M f F 2

1ω=-静拉,可见随着静摩擦力的增大,角速度逐渐减小,当静摩擦力增大

到最大值时,角速度减小到最小,即当静摩擦力背向圆心且最大,此时的角速度1ω是最小的临界角速度,s rad Mr f F /9.2)()(max 1≈-=

拉ω;

当平面转动的角速度ω较大时,M 与水平面保持相对静止但有着远离圆心运动的趋势,此时水平面对M 的静摩擦力方向指向圆心,根据牛顿第二定律,

对于M 有:r M f F 2

2ω=+静拉,可见随着静摩擦力的增大,角速度逐渐增大,当静摩擦力增大

到最大值时,角速度增大到最大,即当静摩擦力指向圆心且最大,此时的角速度2ω是最大的临界角速度,s rad Mr f F /5.6)()(max 2≈+=

拉ω。

故要让m 保持静止状态,平面转动的角速度满足:s rad s rad /5.6/9.2≤≤ω 例题3

解析:物体在光滑锥面上绕轴线做匀速圆周运动,通常情况下受重力、绳的拉力和锥面的支持力,

正交分解各个力。

水平方向:θ

θθsin cos sin 2

l v m F F N T =- ①

竖直方向:mg F F N T =+θθsin cos ②

由①②得θ

θ

θsin cos sin 2l v m mg F N -= ③

由③式可以看出,当m l 、、θ一定时,v 越大,N F 越小,当线速度增大到某一个值0v 时,能使

0=N F ,此时物体与锥面接触又恰好没有相互作用,那么0v 就是锥面对物体有无支持力的临界

速度,令③式等于零,得6

30gl

v =

(1)因为01v v <,物体在锥面上且锥面对物体有支持力,联立①②两式得

mg l

v

m mg F T 03.1sin 2

11=+=θ

(2)因为02v v >,物体已离开锥面,但仍绕轴线做水平面内的匀速圆周运动,设此时绳与轴线间的夹角为)(θαα>,物体仅受重力和拉力的作用,这时有

α

αsin sin 2

22l v

m F T = ④ mg F T =αcos 2 ⑤

由④⑤两式得o

60=α,mg F T 22=

解析:题目中给出了两个条件,首先要让小球能够做完整的圆周运动,这个条件的实质是要求小球能够过最高点,这是无支撑的类型,小球过最高点的临界条件是重力提供向心力,此时绳子没

有拉力的作用,即l

v m mg 2

=,∴s m gl v /2==,再从最高点到最低点列动能定理方程,则

22

012

1212mv mv mgl -=

, 得s m v /5201=,此即小球在最低点的初速度的最小值。

第二个条件是绳子不断,通过分析很容易知道,绳子在最低点最容易断,只要最低点不断,其它点都不会断。所以在最低点有

2

02max mv mg F =- 得s m v /602=

所以小球的初速度满足的条件是s m v s m /6/520≤≤ 例题5

解析:(1)小球恰好能达到最高点的条件是0=临v ,此时需要的初速度为0v 满足的条件是,由机械能守恒定律得 :

2

202

1221临mv mgR mv +=,得gR v 40=, 因此要使小球能从C 端出来需0>c v ,故入射速度gR v 40>

(2)小球从C 出来端出来瞬间,对管壁压力可以有三种典型情况:

①刚好对管壁无压力,此时重力恰好提供向心力,由圆周运动知识R

v

m mg c 2

=由机械能守恒定

律:

2

202

1221c mv mgR mv += 联立解得gR v 50= ②对下管壁有压力,此时应有R v

m mg c 2

>,相应的入射速度0v 应满足gR v gR 540<<

③对上管壁有压力,此时应有R

v

m mg c 2

<,相应的入射速度0v 应满足gR v 50>

例题6

解析:此题实际上属于轻杆模型,即轨道只能沿某一方向对物体施加作用力,临界条件为汽车在

最高点时对轨道的压力为零,汽车不脱离轨道的临界速度为临v ,则有R

v m

mg 2

临=,可得

s m gR v /65==临,此即汽车在最高点的最大速度,超过了这个速度汽车将飞离桥面,出现

危险。 当gR v =

临时,汽车在轨道最高点只受重力,且速度沿水平方向,所以接下来汽车将做平抛运

动,则有 2

2

1gt R =

,t v x 临= 可得R x 2=