重要极限
题目：两个重要极限
学生姓名：刘强麟
学生学号：201603180125
专业班级：市场营销A1班
一、两个重要极限的认识
两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。
《经济数学基础》课程在讲述关于两个重要极限时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。
二、极限存在的准则
为了得出两个重要极限公式，先给出两个判定极限存在的准则： 准则I ：如果函数 f （x ），g （x ），h （x ）在同一变化过程中满足 g （x ）≤f （x ）≤h （x ），
且()=x g lim ()A =x h lim ，那么()x f lim 存在且等于A. 准则II ：如果数列{n x }单调有界，那么n n X lim ∞
→一定存在.
三、两个重要极限的证明
两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法, 在学生的学习中, 起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它的证明过程也是对“夹逼”定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。
1、重要极限一：1sin
lim 0
=→x x x 证： 因为()x -x -sin =x sinx --=x sinx ，既x 改变符号时，x
sinx 的值不变，所以只讨论x 有正值趋于零的情形。
作单位圆O ，如图：
设圆心角x =∠AOB ，延长OB 交过A 点的切线与D ，则
AOB ?面积<扇形AOB 面积 三项都为正数，取它们的倒数，得 x x x cos sin 1>> 即 1sin cos < x x . 另一方面，1cos =x -22 2112sin 2x x ->，于是有 .1sin cos 2112<<<-x x x x 因为1)2 11(lim 20=-→x x ，由准则I 可得 .1sin lim 0=→x x x 2、重要极限二：e x x x =??? ??+∞→11lim 四、两个重要极限在微分学中的重要性 在函数的学习中，我们熟悉的基本初等函数有以下五类： ○1幂函数y x α=(R α∈), ○2指数函数(0,1)x y a a a =>≠， ○3对数函数log a y x =(0,1a a >≠)， ○4三角函数y=sin x, y=cos x ，y=tan x, y=cot x, ○5反三角函数y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx 。 由基本初等函数经过有限次四则混合运算与符合运算所得到的函数，统称为初等函数，微积分中我们经常需要计算初等函数的导数，微分学的基本概念——导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数f (x )在点x 处的导数()x f '，就是计算极限 ()()x x f x x f x ?-?+→?0lim （1.2.1） 当这一极限存在时，其值就是 ()x f ' 。但这仅仅是停留在导数定义上的，如果求函数的导数都要计算极限1.2.1的话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导数的广泛应用。事实上，在求函数的导数时，并不都需要计算极限1.2.1，而只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。因此，两个重要极限对于以上六类基本初等函数的求导起到了至关重要的作用。 五、总结 关于两个重要极限的公式本身十分简单，但由它们上面却引出许多的话题. 关于它的证明方法还有很多，本文选取了最能体现数学思想的证法，还谈及了它们的一些应用，这些话题都反映一个共同思想: 在研究函数在一点的无穷小领域内的变化性态时, 用某个与自变量增量成比例的量( 即微分) , 替代函数的增量, 常常是简化并解决问题的办法. 这就是微分学的基本思想, 对于微积分, 只有深入理解和掌握了这一思想, 才会深刻理解和学习。 1-7 两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限x x x sin lim → 问题1：观察当x →0时函数的变化趋势： 当x 取正值趋近于0时， x x sin →1，即+ →0 lim x x x sin =1； 当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () s i n (lim sin lim 0 x x x x x x --=+ - →-→． 综上所述，得 一．1si n l i m =→x x x ． 1sin lim =→x x x 的特点： (1)它是“0 0”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 0； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂． 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)， 则 a x →l i m ()[] () x x ??s i n =()()[]() x x x ???sin lim 0 →=1． 例1 求x x x tan lim →． 解 x x x tan lim →=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0 =?=?=? =→→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例2 求x x x 3sin lim 0 →． 解 x x x 3sin lim →=3sin lim 3)3(33sin 3lim 0==→→t t t x x x t x 令． 例3 求2 cos 1lim x x x -→． 解 2 cos 1lim x x x -→=212 2sin 2 2sin 21lim )2 (22sin lim 2sin 2lim 02 2 2 2 =? ? ==→→→x x x x x x x x x x x ． 例4 求x x x arcsin lim →． 1.求证：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ /(2n+1))=√(2n +1)/2^n, Sol:复数方法： 复数方程 z^(2n＋1)＝1的根是 a1，a2，a3，...，a(2n)，1。 其中，ak＝cos(2kπ/(2n+1))＋i sin(2kπ/(2n+1))，k＝1，2，...，2n。 所以，ak＝(a1)^k 所以，z^(2n＋1)－1＝(z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))(z－1)，即 (z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))＝(z^(2n＋1)－1)/(z－1)＝z^(2n)＋z^(2n－1)＋...＋z＋1。 两边令z＝1，并取模，则： |1－a1|×|1－a2|×......×|1－a2n|＝2n＋1.........（*) 因为，|1－ak|＝√|(cos(2kπ/(2n+1))－1))＋i sin(2kπ/(2n+1))|＝2× sin(kπ/(2n+1))，所以由(*)式得： 2^n×sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1)) ＝2n＋1。 所以，sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))＝√(2n＋1)/2^n 2.三角函数 求证：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ /(2n+1))=√(2n +1)/2^n. 证:sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ /(2n+1))=√(2n +1)/2^n 设Z=cos2π/(2n+1)+ isin2π/(2n+1) 则x^(2n+1)=1的根为1,z,...z^2n 得x^2n+...+x+1=(x-z)(x-z^2)...(x-z^2n) 2n+1=｜(1-z)｜｜(1-z^2)｜...｜(1-z^2n)｜ (1) 又｜(1-z^k)｜=2sinkπ/(2n+1) (2) |1-z^k| = |1-(cos(2kπ/(2n+1)) +sin(2kπ/(2n+1)) )| =|1-cos(2kπ/(2n+1))) -sin(2kπ/(2n+1)) )| =√((1-2cos(2kπ/(2n+1)) +cos^2 (2kπ/(2n+1))) + sin^2 (2kπ/(2n+1))) =√(2-2cos(2kπ/(2n+1)) ) =√(4sin^2(kπ/(2n+1)) =2sin(kπ/(2n+1) 故 2n+1 =( n(π/(2n+1)). n(2π/(2n+1)) n(3π/(2n+1))........ n(2nπ/(2n+1)) 两边开方,得 sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ/(2n+1)) =√(2n+1) / 2^n 另外那个类似,可以尝试自己证一下. 3.为什么sinπ／n+sin2π／n......+sin(n-1)π／n=cotπ／2n? 1-7 两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限x x x sin lim 0 → 当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x x x sin =1； 当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () sin(lim sin lim 00x x x x x x --=+ -→-→． 综上所述，得 一．1sin lim 0=→x x x ． 1sin lim 0=→x x x 的特点： (1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 ； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂． 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)， 则 a x →lim ()[]()x x ??sin =()()[]() x x x ???sin lim 0→=1． 例1 求x x x tan lim 0→． 解 x x x tan lim 0→=111cos 1 lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例2 求x x x 3sin lim 0→． 解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→t t t x x x t x 令． 例3 求20cos 1lim x x x -→． 解 2 0cos 1lim x x x -→=2 12 2sin 22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02 202 2 0=??==→→→x x x x x x x x x x x ． 例4 求x x x arcsin lim 0→． 两个重要极限的证明第六节极限存在准则、两个重要极限 教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限； 2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法； 教学重点：利用两个重要极限求极限 教学过程： 一、讲授新课： 准则I：如果数列满足下列条件： (i)对 ; (ii) 那么，数列的极限存在，且。 证明：因为，所以对，当时，有，即 ，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有， 即有：，即，所以。 准则I′如果函数满足下列条件： (i)当时，有。 (ii)当时，有。 那么当时，的极限存在，且等于。 第一个重要极限： 作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：。 证明：作单位圆，如下图： 设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即， (因为，所以上不等式不改变方向) 当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切 ，有。 又因为， 所以而，证毕。 【例1】。 【例2】。 【例3】。 【例4】。 准则Ⅱ：单调有界数列必有极限 如果数列满足：，就称之为单调增加数列;若满足：，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。 如果，使得：，就称数列为有上界;若，使得：，就称有下界。 准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。 准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。 注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。 2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。 第二个重要极限： 作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限是不存在的。 先考虑取正整数时的情形：对于，有不等式：，即：， 即： (i)现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列。 (ii)又令，所以， 即对，又对所以{ }是有界的。 由准则Ⅱ或Ⅱ′知存在，并使用来表示，即 2.5.1 两个重要极限（第一课时） ——新浪微博：月牙 LHZ 一、教学目标 1. 复习该章的重点内容。 2. 理解重要极限公式。 3. 运用重要极限公式求解函数的极限。 二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。难点：多种变形的应用。 三、教学过程 1、复习导入 （1）极限存在性定理： lim f (x ) = A ? x → x lim x → x 0+ f (x ) = lim x → x 0- f (x ) = A （ 2） 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 互 为 倒 数 ， 若 f (x ) → ∞（x → x 0）， 则 1 f (x ) → （0 x → x 0） （3） 极限的四则运算： lim [ f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) lim [ f (x ) ? g (x )] = lim f (x ) ? lim g (x ) lim f (x ) = lim f (x ) (lim g (x ) ≠ 0) g (x ) lim g (x ) （4） lim [cf (x )] = c lim f (x ) （加法推论） （5） lim [ f (x )]k = [lim f (x )]k （乘法推论） （6） lim [无穷小量? 有界变量] = 0 （无穷小量的性质） eg: lim sin x = lim ? 1 ? sin x ? = 0 x →∞ x ? x →∞? x ? lim ? = lim ? ? 那么， lim sin x = ？呢，这是我们本节课要学的重要极限 x →0 x 2、掌握重要极限公式 lim sin x = 1 x →0 x 公式的特征：（1） 0 型极限； （2） 分子是正弦函数； （3） sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题 【例 1】 求 lim sin x (k ≠ 0) x →0 kx 解： lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 kx k x →0 x k k 【例 2】 求 lim tan x x →0 x 解： lim tan x = ? sin x 1 ? = lim sin x ? lim 1 = 1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos x ? x →0 x x →0 cos x （推导公式： lim tan x = 1 ） x →0 x 【例 3】 求 lim sin 5x x →0 x 解： lim sin 5x = lim 5 ? sin 5x = 5 ? lim sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 x x →0 5x x →0 5x 4、强化练习 （1） lim sin x （2） lim sin kx (k ≠ 0)（3） lim sin 5x (4) lim tan 2x x →0 3x x →0 x x →0 3x x →0 x 解：（1） lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 3x 3 x →0 x 3 3 （2） lim sin kx = lim k ? sin kx = k ? lim sin kx = k ?1 = k x →0 x x →0 kx x →0 kx （3） lim sin 5x = ? sin 5x 5 ? lim ? 5 ? l im sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 3x x →0 ? 5x 3 ? 3 x →0 5x 3 3 （4） lim tan 2x = ? sin 2x 1 ? = 2 ? lim sin 2x ? lim 1 = 2 ?1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos 2x ? x →0 2x x →0 cos 2x 四、小结: 两个重要的极限 1．证明：0sin lim 1x x x →= 证明：如图（a ）作单位圆。当0 重要极限的证明 重要极限的证明极限是ea0在n比较大时，(1 (1-a)/n)^n=原式=(1 1/n)^n取极限后，e》=原式的上极限》=原式的下极限》=e^(1-a)由a的任意性，得极限为e利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;(2)证明数列{Xn}，其中a0，Xo0,Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x^20,故lnx/x^20且lnx1),lnx/x^2(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0故(Inx/x^2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1) (a/Xn-1)]/20,单调递减且Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=[A (a/A)]/2.解得A=√a同理可求x0√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义( 和. )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5 验证例6验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有: 例10证明: 极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= §2 函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质):Th 4若和都存在, 且存在点的空心邻域,使，都有证设= ( 现证对有)註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:( 只证“ ”和“ ”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1( 利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 [ 利用公式]例5例6例7 两个重要的极限的证明 引言： 两个重要极限是高等数学极限理论中的经典内容，第一个重要极限0sin lim 1x x x →=的证明，现行教材中 通常采用在单位圆中利用面积关系构造不等式sin cos 1x x x < <，再用夹逼原理证明得到结论。用极限理论计算圆或扇形面积都涉及到0sin lim 1x x x →=的结论运用，或者运洛比达法则证明极限0sin lim 1x x x →=，要利 用导数公式()sin cos x x '=，而这个公式恰是利用0sin lim 1x x x →=，因此，这些方法都有循环证明的嫌疑； 第二个主要极限01lim x x x e x →? ?+= ???的证明，通常作法是，先考虑x 取正整数n 而趋于+∞的情形，设 1n n x x n ? ?=+ ?? ?，用牛顿二项式证明{}n x 单调有界，再用单调有界数列必有极限的准则，证明数列{}n x 的 极限存在，方法比较复杂，特别是有界性的证明需要一定的技巧，所以本文只对两个重要极限作一个简单 的证明。 1．证明：0sin lim 1x x x →= 证明：如图（a ）作单位圆。当0 公开课教案 教者龚桂琼科目数学班级12级数一班课题两个重要极限（一）课型 时间地点 教材分析 《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。 学情分析 一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“ 0型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。 教学目标 知识与技能：让学生了解公式1 sin lim = →x x x 的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。 过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。 情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。 教学重点 正确理解公式1 sin lim = →x x x ，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。 教学难点 公式1sin lim 0=→x x x 的证明、公式及其变形式灵活运用。 教法学法 本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函 数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。 课前准备 教师：多媒体课件；学生：计算器。 教学环节 教 学 内 容 师生双边活动 复习导入 1、说说当0x x →时，函数)(x f 的极限的定义。 如果当x 无限接近于定值0x 时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作A x f x x =→)(lim 0 。 2、A x f x x =→)(lim 0 的充要条件是什么？ A x f x x =→)(lim 0 ? )(lim 0 x f x x -→=A x f x x =+→)(lim 0 3、说出函数极限的四则运算法则。 B A x g x f x g x f B x g A x f +=+=+==)(lim )(lim )]()(lim[, )(lim ,)(lim :1则设法则 B A x g x f x g x f B x g A x f ?=?=?==)]([lim )]([lim )]()(lim[, )(lim ,)(lim 2则：设法则 B A x g x f x g x f B B x g A x f = =≠==)(lim )(lim )()(lim ,0,)(lim ,)(lim 3则且：设法则 教师引导， 学生回忆口述，为了解公式的证明、正确计算有关函数极限作铺垫，达到温故知新的目 的。 2.5.1两个重要极限（第一课时） ——新浪微博：月牙LHZ 一、教学目标 1.复习该章的重点内容。 2.理解重要极限公式。 3.运用重要极限公式求解函数的极限。 二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。 难点：多种变形的应用。 三、教学过程 1、复习导入 （1）极限存在性定理：A x f x f A x f x x x x x x ==?=- +→→→)(lim )(lim )(lim 000 （2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若）（0)(x x x f →∞→，则 ）（00) (1 x x x f →→ （3）极限的四则运算： [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=± [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ?=? ) (lim ) (lim )()(lim x g x f x g x f = ()()0lim ≠x g （4）[])(lim )(lim x f c x cf =（加法推论） （5）[][]k k x f x f )(lim )(lim =（乘法推论） （6）[]0lim =?有界变量无穷小量（无穷小量的性质） eg: 0sin 1lim sin lim =?? ? ???=∞→∞ →x x x x x x 那么，？ =→x x x sin lim 0呢，这是我们本节课要学的重要极限 2、掌握重要极限公式 1sin lim 0=→x x x 公式的特征：（1）0 型极限； （2）分子是正弦函数； （3）sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题 【例1】 求 kx x x sin lim 0→()0≠k 解：kx x x sin lim 0→=k k x x k x 1 11sin lim 10=?=→ 【例2】 求 x x x tan lim 0→ 解：x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=?=?=?? ? ??→→→x x x x x x x x x （推导公式：1tan lim 0=→x x x ） 【例3】 求 x x x 5sin lim 0→ 解：51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim 000=?=?=?=→→→x x x x x x x x x 4、强化练习 （1）x x x 3sin lim 0→（2）x kx x sin lim 0→()0≠k （3）x x x 35sin lim 0→ (4) x x x 2tan lim 0→ 解：（1）x x x 3sin lim 0→=3 1 131sin lim 310=?=→x x x （2） k k kx kx k kx kx k x kx x x x =?=?=?=→→→1sin lim sin lim sin lim 000 （3）3513555sin lim 35 3555sin lim 35sin lim 000=?=?=??? ???=→→→x x x x x x x x x （4）x x x 2tan lim →=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=??=??=?? ? ??→→→x x x x x x x x x 四、小结: 重要极限的证明 重要极限的证明极限是e a>0 在n比较大时，(1+(1-a)/n)^n取极限后，e》=原式的上极限》=原式的下极限》=e^(1-a) 由a的任意性，得 极限为e 利用极限存在准则证明： (1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0; (2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。 1)用夹逼准则: x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0 且lnx1),lnx/x^2故(Inx/x^2)的极限为0 2)用单调有界数列收敛: 分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a x0>√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2>√a,√a为数列下界,则极限存在. 设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A. 对原始两边求极限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a 同理可求x0综上,数列极限存在,且为√ (一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号: 的意义, 的直观意义. 定义( 和. ) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证…… (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“ ”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4 验证例5 验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有 例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的 2.单侧极限与双侧极限的关系: Th类似有: 例10证明: 极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有 = §2 函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 两个重要极限的推广与应用 摘要：极限在数学分析中占有很重要的地位，不但是一个基本的数学概念，而且也是数学分析的基石。两个重要极限又是极限中的重点和难点，所以对于我们数学专业的学生尤其的重要。我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式，还要能够熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。当然这部分内容学习起来有一定的难度，为了帮助同学们更容易掌握这部分内容，本文将结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广与应用。 关键词： 重要极限 推广形式 应用 Two important limits of popularization and application Abstract : Limit in the mathematical analysis occupies a very important position, but a basic math concepts, but also the cornerstone of mathematical analysis. Two important limit and limit the key and difficult point for us, so mathematics majors is especially important. We should not only remember two important limit and extending forms, but also can skilled using these formulae in solving the problems of the limit. Of course this section study up has the certain difficulty, in order to help the classmates much easier to master this section, the paper will be combined with its further analysis, to explore the basic form of two important limit its popularization and application. Keywords:Important limit Extended form application 极限在数学分析中占有很重要的位置，它贯穿了整个数学分析的内容，是积分和微分的基石，也是一个基本概念，而利用两个重要极限1sin lim 0 =→x x x 和e x x x =+∞→)11(lim 来求极限是极限内容中的重点和难点。运用两个重要极限解某一类极限问题时不仅可以简化极限计算的步骤，节约时间，而且过程清晰明了，使人易懂。对于数学专业的学生，更应该熟练掌握这部分内容，并且能够灵活运用它。为了使大家更容易掌握这部分内容，本文将运用多个实例来对两个重要极限及其推广形式进行一些分析、归纳和探讨。 1.两个重要极限的基本形式及其推广形式 1.1 1sin lim 0=→x x x (1) 运用1sin lim 0=→x x x 这个极限时我们一定要注意以下几个方面： 两个重要极限的推广与应用 摘要：极限在数学分析中占有很重要的地位，不但是一个基本的数学概念，而且也是数学分析的基石。两个重要极限又是极限中的重点和难点，所以对于我们数学专业的学生尤其的重要。我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式，还要能够熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。当然这部分内容学习起来有一定的难度，为了帮助同学们更容易掌握这部分内容，本文将结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广与应用。 关键词： 重要极限 推广形式 应用 Two important limits of popularization and application Abstract : Limit in the mathematical analysis occupies a very important position, but a basic math concepts, but also the cornerstone of mathematical analysis. Two important limit and limit the key and difficult point for us, so mathematics majors is especially important. We should not only remember two important limit and extending forms, but also can skilled using these formulae in solving the problems of the limit. Of course this section study up has the certain difficulty, in order to help the classmates much easier to master this section, the paper will be combined with its further analysis, to explore the basic form of two important limit its popularization and application. Keywords:Important limit Extended form application 极限在数学分析中占有很重要的位置，它贯穿了整个数学分析的内容，是积分和 微分的基石，也是一个基本概念，而利用两个重要极限1sin lim 0 =→x x x 和e x x x =+∞→)1 1(lim 来求极限是极限内容中的重点和难点。运用两个重要极限解某一类极限问题时不仅可 e x x x =+∞→)11(lim 1sin lim 0=→x x x 对两个重要极限的重要性的认识 摘要 ：通过对两个重要极限重要性的理解和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性。 关键词 ： 重要极限；重要性；证明；应用 1.绪论 两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目 前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。 《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限 和 时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。 它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。 2.两个重要极限的证明 两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法, 在学生的学习中, 起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。 2.1第一个重要极限：1sin lim 0=→x x x 证明：作单位圆，如图1： 第一章第六节 极限存在准则 两个重要极限 【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。 难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（3分钟）。首先给出极限存在准则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（10分钟）；课堂练习（5分钟）。 【授课内容】 引入：考虑下面几个数列的极限 1、∑ =∞ →+1000 12 1lim i n i n 1000个0相加，极限等于0。 2、∑ =∞ →+n i n i n 1 21lim 无穷多个“0”相加，极限不能确定。 3、n n x ∞ →lim ，其中n x = 1x = 对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则： 一、极限存在准则 1. 夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件: , lim ,lim )2() 3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n n n n ===≤≤∞ →∞ →Λ 那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞ →lim . 证：,, a z a y n n →→Θ使得,0,0,021>>?>?N N ε ,1ε<->a y N n n 时恒有当 ,2ε<->a z N n n 时恒有当 两个重要极限试题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 1-7 两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限x x x sin lim 0 → 问题1：观察当x →0时函数的变化趋势： x (弧度) 0.50 0.10 0.05 0.04 0.03 0.02 ... x x sin 0.9585 0.9983 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 ... 当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x x x sin =1； 当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () sin(lim sin lim 00x x x x x x --=+ -→-→． 综上所述，得 一．1sin lim 0=→x x x ． 1sin lim 0=→x x x 的特点： (1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 ； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂． 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)， 则 a x →lim ()[]()x x ??sin =()()[]() x x x ???sin lim 0→=1． 例1 求x x x tan lim 0→． 解 x x x tan lim 0→=111cos 1 lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例2 求x x x 3sin lim 0→． 解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→t t t x x x t x 令． 例3 求20cos 1lim x x x -→． 解 2 0cos 1lim x x x -→=2 12 2sin 22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02 202 2 0=??==→→→x x x x x x x x x x x ． 例4 求x x x arcsin lim 0→． 1-7-两个重要极限练习题 1-7 两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限x x x sin lim 0 → 问题1：观察当x →0时函数的变化趋势： 当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+ →0lim x x x sin =1； 当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () sin(lim sin lim 00 x x x x x x --=+ - →-→． 综上所述，得 一．1sin lim 0 =→x x x ． 1sin lim 0 =→x x x 的特点： (1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 0； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂． 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)， 则 a x →lim ()[] () x x ??sin =() ()[]() x x x ???sin lim 0→=1． 例1 求x x x tan lim 0 →． 解 x x x tan lim 0→= 111cos 1 lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例2 求x x x 3sin lim 0 →． 解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 0 ==→→t t t x x x t x 令． 例3 求2 cos 1lim x x x -→． 解 2 0cos 1lim x x x -→=2 1 2 2sin 22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02 202 2 =??==→→→x x x x x x x x x x x ． 例4 求x x x arcsin lim 0 →． 解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0． 所以x x x arcsin lim 0 →=1sin lim 0 =→t t t ． 例5 求3 sin tan lim x x x x -→． 解 3 0sin tan lim x x x x -→= 3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim x x x x x x x x x x -? =-→→1-7 两个重要极限练习题
重要极限的证明
(完整版)1-7两个重要极限练习题
两个重要极限的证明
两个重要极限(可编辑修改word版)
两个重要极限的证明
重要极限的证明_1
两个极限的简单证明
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两个重要极限-重要极限
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两个重要极限的推广与应用
两个重要极限的推广与应用
对两个重要极限的重要性的认识
(完整版)1极限存在准则-两个重要极限
两个重要极限试题
1-7-两个重要极限练习题