什么是母钱

什么是母钱

雕母是雕刻出来的模具，生产母钱。钱母是由母钱所制作成的模具，然后钱母生产流通钱。关系为：

钱样〉雕母〉母钱〉钱母（样钱）〉流通钱

母钱是古时翻铸大量钱币时，中央和地方财政所制作的标准样板钱。母钱作为样板的用途，可分为三种，即钱样、雕母钱和铸母钱。

钱样是根据钱币的设计，用锡、象牙或红木等材料精心雕制的钱币实物样板，它的用途是呈送朝廷，供皇帝审定。从严格意义上讲，钱样还不能算作钱币，因为它只作为送审报批的实物图样，不能流通。钱样是给皇帝审定用，一类钱币的钱样理论上应该只有一枚，所以数量极为稀少，一般在交易市场上几乎不能见到。

雕母又叫祖钱，是按照朝廷规定的规范性钱币，面、背要求很严格，而且请当时最有名的书法家或者是皇帝本人来写钱文，用铜块或锡、铅块直接雕刻成钱的模子。现存最早的雕母钱，是南京博物院所藏的明代嘉靖“通宝当十”雕母大钱。

铸母钱也称样钱，是用雕母钱翻砂铸成的，是正式大量铸造流通钱币之前铸造的样品。清代的样钱分为两种：一种是部颁样钱，另一种是进呈样钱。上海博物馆藏有一枚被鉴定为铸母钱的唐代“乾元重宝”，表明当时已经开始使用母钱翻砂法的铸造工艺，这种工艺直接影响到以后历代铸币技术。

雕母和铸母的区别，最明显表现在钱币的文字内容上，雕母钱文精美，字口深峻，每个字的笔划都非常清晰，绝无粘连模糊，而且笔划比同版本的流通钱要细瘦，从细部看还保有手工镂刻的痕迹。铸母钱的钱文笔划也非常清晰，纹路较为挺拔深峻，但因为铸母钱是翻铸所成，为了使它的外缘轮廓和内廓穿口光洁，一般会经过冷加工，因此钱面上还会有锉磨的痕迹，并且钱的边缘上还保留有拔模的斜度。

根据明代宋应星《天工开物》的记载，利用铸母钱翻砂铸钱，大致工艺如下：用4根木条作空框，中间填上土，上面放若干雕母钱，再把同样一框合在上面，即成钱的背面，这样完成数十框，上面留出浇口，用绳捆紧加固，将熔化的铜液浇灌进去，待冷却后开框，则成树枝形的钱，然后逐一截断磨锉加工，便完成了一枚枚铜钱，也就是行用钱。

铸母钱与行用钱的明显区别，是钱币的大小和厚度有区别。由于古时翻铸钱币采用刻模灌铸的方法，因此制造出来的行

用钱的体积会比作为刻模样本的母钱稍小。铸母钱的大小、厚度都超出常品。在钱币的收藏中，首先要留神体积超出常品的大钱，其次要注意分量异于常品的厚重钱。

铸母钱不像出名的钱币名贵珍品，它往往混迹于常见的行用钱之中，而且过去的集藏者没有足够的重视，因此不乏有捡漏的可能。由于铸母钱的材质都异于常品，所以品相一般较好，但是由于数量稀少，专家提醒鉴别铸母钱还得从做工、体积上多下工夫，不要简单将品相好的钱币当成铸母钱。

母钱这个概念是需要区别来对待得的。第一类的母钱是实际重量超过子钱，所以有比子钱高的实际价值。第二类是子钱和母钱相差无几。一般来说无论是哪一种，子钱和母钱的关系都是极其复杂的，这里面存在着古代经济中货币思想的全貌。

母钱的特点

1、任何清母钱都不修地章。所有修过的都可以认定是后刀！

2、所有的母钱都不修文字。同治钱有例外，故宫惟独没有同治钱雕母，只有一些木样，经过考察，确认这些就是铸钱的祖钱，在当时的背景下同治朝的铸造有别于前朝。到光绪时又改回来了，但具体原因，我没有精力再去考证，而故宫的钱币也确实没人整理。在其他博物馆见到过同治雕母，多数是不开穿的，从铜质到风格和那些真正的相去甚远！肯定不到代！

大家可以注意一下真正的同治母钱，看是不是文字比较粗，没有纤细高挺的字锋，看看它和光绪母钱是多么大的区别！因为木做的雕母不能象铜雕母一样雕到那么精细，是木头的材质木纤维决定的！这样的木雕母铸造的母钱文字就更粗了，再铸子钱，效果更差，所以有些同治的母钱铸工当时就对文字加以修理以方便其铸子钱的效果！这就是同治母钱有修文字现象的原因，在故宫我见到了一些实物可以考证！

3、母钱必须修穿，穿口不修铸出的子钱穿口全是粘连。所

以母钱修穿是必然程序！

穿口的修法是从背面四角下刀，其他修法基本可以断伪！钱局修穿的工具是一套小挫，但早期的一些母钱也存在刀修现象，早刀晚挫！另山西宝泉有两面对开穿的，且多为刀修无挫痕，大家注意铁母的穿口！

再多说一句不要怀疑铁母有山西母钱的风格就是假，铁钱本身都是山西铸造的！山西的假母多数是真母翻铸的，但不能把这种风格否定了，山西宝泉铜铁都铸！象戴书真书本来就不是北京出的，戴书真书的风格和京局差多远，自己看吧！另外一些母钱有穿口打桩现象，是因母坯穿口流铜粘连比较严重，所以先打桩再修穿！

4、不是所有的母钱都修鱼脊背，鱼脊背普遍存在小型母钱

身上，是因为小钱自重轻不易脱模，大钱和小平大样里都有

不修边的现象。甚至一些小钱也没有修，但确实是母钱！

在中国古代长期存在着这样的一个问题。比如说南北长时期的女钱，这一类钱币往往是剪廓或是使用什么手段使得原本为一个钱，变成两个钱。这样劣币在无形之中就使得社会上流通的钱增加，造成通货膨胀。从这个例子给我的一个很大的启发就是中国古代应当是经历了一个从重量钱到数量钱

的过程。秦统一中国之后，统一了六国的货币，规定无论半两的质量好坏一律按标重重量计算。

也就是说到秦代，半两实际上成为了计数的货币，而不再是称量的货币。这一点很重要，对于研究子母相权的问题。

权在古代的解释是代表一种重量单位的总称。“权有五曰铢、两、斤、钧、石”。从这样的一个角度来看，权是一个名词。但是在这里我所要讲得权是一个动词的概念就是现在所谓

的兑换。而子母相权就是子钱和母钱如何对换的问题。

雕母母钱与样钱

我国是世界上使用货币最早的国家之一，钱币是指退出流通使用的货币。很早就有人在收集和研究中国钱币。钱币可以分为纲钱和目钱。纲钱是指以国号、年号、面值或者重量及其它方式命名的，可以将中国货币史纵贯起来的钱币。如国号钱有大唐通宝、大蜀通宝、宋元通宝、民国通宝等用国

号命名的；年号钱自唐朝起在中国古钱中占主导地位，如乾元重宝、宣和元宝、嘉靖通宝、康熙通宝等；以面值为钱文命名的有王莽的六泉十布、三国时刘备的直百五铢、孙吴的大泉五十直至大泉五千；以重量命名的有半两、两锱、三铢、四铢、五铢、太货六铢等；其它方式命名的有布泉、五行大布、永通万国等。目钱是由纲钱横向派生出的，如一种纲钱中的不同字体，象宋钱中的真、草、隶、篆、行体；不同面值，如小平、折二、折五、当十等；不同的宝文如元宝、通宝、重宝，南宋四川所铸的嘉定铁钱宝文达十六种以上；不同铸造特征，如阔缘狭缘，广穿狭穿；不同文字特征，如大字、小字；不同钱局钱炉所铸的如会昌开元通宝背文有二十余种，宣和通宝背陕，清朝钱也都在钱背面铸有局名；不同的用途，如钱样、祖钱、母钱、样钱、流通钱（行用钱）、镇库钱、挂灯钱、厌胜钱等繁多的名目，内容极其丰富。

随着钱币学知识在我国日益普及，各种钱币学专著、资料和刊物的大量出版发行，我国的钱币研究水平不断提高，钱币收藏的规模也不断扩大。当前不仅对纲钱进行研究和收藏，对目钱的研究和收藏也蔚然成风。其中钱样、祖钱、母钱、样钱在工艺中起重要作用，存世量很少甚至极少，铸工精湛，所以是较受重视的研究和收藏专题之一。但在对它们研究和收藏中，由于对一些资料的片面理解，囿于研究者和收藏者个人知识水平或地域的局限性，在鉴别收藏中还存在

一些问题甚至误解。本文愿意提供笔者在这方面的研究和收藏心得，以资参考。由于历代中国货币史和钱币学专著中对它们的形制鲜有论述，所以本文以年代最近，实物存世最多，钱币形制记载也最多的清朝钱币为主要论述对象。

清代鲍康所著《大钱图录》所载：“每改元铸新钱，先选至洁之象牙刻作钱样，呈钱法堂侍郎鉴定，然后以精铜凿成祖钱。其穿孔（局呼金口）非钱局人不能凿，再用祖钱翻砂铸母钱。以后开铸，则悉用母钱印范。颁发各省者，亦谓之母钱。”从以上叙述中，我们可以知道，清朝铸钱的程序如下：钱样—祖钱—母钱—样钱（实际上是选取质量较好的，轻重合适的流通钱作为进呈样钱）—流通钱，以下分别加以叙述。

一、钱样

钱样是在政府决定铸造发行某种货币后，由工匠按照需要铸行的货币文字尺寸，用象牙雕刻而成，呈送中央货币铸造发行的主管部门——户部钱法堂侍郎验看。从记载看清代钱样主要是由上等象牙雕成，也有以其它材料雕制的，如罗伯昭《沐园四十泉拓》中就收有由硬木雕成的咸丰元宝当五十宝河局钱样（图1）。近人罗振玉笔记《俑庐日札》中记载曾见过有人持硬木雕制的北宋崇宁通宝求售，精美过于铜钱。惜当时未买，现不知其下落。钱样的存世量极少，多数是清朝中期以后的。近人张炯伯收藏清钱甚丰，收藏有乾隆以来的清朝雕母百余枚，但是钱样则只见到过咸丰、光绪二朝的。

由于钱样在铸钱过程中仅起到鉴定通过的作用，并不在铸钱实际过程中起作用，所以它们的制作一般都不如祖钱精美（图2、图3）。钱样的制作材料特殊，比较容易辨认，这里不再展开论述。

二、雕母

雕母亦称为祖钱，是由钱局或指定的铜匠铺子用精铜雕刻而成，其中央的穿孔，钱局的行话称为“金口”，为小方孔或小圆孔（图4、图5），经过有关部门的鉴定通过后，再由钱局的匠人将其扩大完成。存世的雕母中有不少是金口未开的。就是当年尚未通过鉴定的或是未能通过鉴定被淘汰的，严格说它们不属于正式的雕母。完成的雕母具有铜质好、文字笔划清晰细瘦、字口较深、字口间没有粘连不清之处、一些部位如笔划基部或外轮内侧留有雕痕、通身上下没有任何铸造的痕迹等特征。

近年来，各地不断有发现雕母的报道，其中不少是珍品，甚至是创见品。但也有一些从介绍的特征结合拓片看，尚不能轻易地定为雕母。确定它们为雕母的主要依据是字口深，文字细瘦，钱体上有雕刻痕迹。这些特点符合雕母的要求和制作特征，故认为应当判断为雕母。其中有几点值得探讨。（一）雕痕

撇开它们在铸钱工艺中的作用不提，雕母和母钱以至普通钱就其本身来说最主要的区别在于它们产生的方法不同。

前者是雕刻出来的，后二者是铸造出来的。雕母的产生方法从以上论述中可知是用上等铜材雕刻而成。故不可能有铸造时才会有的痕迹，如表面的砂眼，流铜，内部的气孔，夹灰等。后者是铸造出来的，不可避免地会在钱体上留下铸造痕迹。铸造痕迹是雕母的否定因素，一枚钱，不论制作如何精美，只要发现一处，甚至一点点铸造痕迹，就可以排除其雕刻而成的可能，也就不可能是雕母。由于刻工的技术水平及各朝代的要求不同，有的雕母可能雕工精湛，已经看不出刀痕，即所谓的“刀痕化尽”；有的上留有明显的雕刻痕迹。有人就是根据某些钱上留有的刀痕而认为是雕成的，进而定其为雕母。在实践中，留有刀痕的钱是不难见到的，但是要具体分析刀痕产生的因素，才能下结论。

1、确为雕刻而成：这其中有两种情况

（1）由于雕母和母钱价格相差很大，有些铸造较好的母钱或普通钱被牟利者改刻为雕母，所以刀痕清晰可见。但是由于是用铸造而成的母钱改刻而成，在母钱身上必然会留有铸痕。这样的钱只要仔细观察，还是能够发现破绽的。如字口间等刻刀不易加工的地方就会留有砂眼。有人作伪时将母钱上的砂眼全部刻掉，但由于砂眼的分布是不规律的，有可能在笔划边缘也有砂眼，所以改刻者不免顾此失彼，仍会留下漏洞。若力求刻去全部砂眼，反而会破坏原有的字型，更显得不伦不类。图6本是一枚咸丰重宝宝泉局当十铁母，被

人改刻为雕母。改刻者为刻去砂眼而明显地破坏了原有的字型。如咸之“口”字和丰字收笔处等。而且一般雕母笔划封闭

中空处如“目”字内部需要刻去的地方通常是从四边向中间斜

下方切入，形成的局部剖面为“V”型，而改刻者为了刻去这些地方的砂眼，将“V”型挖成了“U”型。

（2）有些钱上留有明显的刻痕，甚至有的钱通体都是雕成的，但钱的加工工艺不精，笔划粗、刀痕乱，且笔划之间还可能粘连；笔划密集处字口往往只是随意挖一浅坑而已。这种钱一般都是阔缘钱。它们实际上是挑选行用钱中较精美的清理刮削干净准备刻花的，但由于某些原因未雕花就放弃了。如图7是一枚这种钱，与图8的加工方法完全一致，只是尚未雕花而已。

（3）专门刻制的假钱。近年由于收集钱币的人数大增，加上原有的雕母已经基本被收罗殆尽，雕母的价格一涨再涨，所以伪作的极多。其中一些确实达到了可以乱真的程度，一些专业人员和老收藏家也屡屡上当受骗。

2、铸成的雕痕。由于有些祖钱上留有较明显的刀痕，

在翻砂工艺较好时，较多地保留了雕母的特征，也会留下雕痕。就可能会被对金属加工工艺不熟的人误认为是雕成的。这种情况在母钱上较常见，如图9为一枚咸丰重宝宝泉局当五十母钱，铸成后地张上的雕痕仍清晰可见。在某些普通钱如明朝嘉靖、万历，以至清朝顺治、康熙等钱上也较常见。

因为它们有可能为雕母直接翻铸而成的，如宋应星在《天工开物》中说铸钱时以“母钱百文，以锡雕成…”来印模。宋应

星是明末人，他谈到的铸钱方法非常可能沿用到清初。也就是说，有相当部分的钱不是由雕母翻铸出一些母钱，再用母钱大量翻铸流通钱，而是由雕母直接按范铸钱。一个印模工匠至少需要一百枚母钱，江南民谚“板板六十四”，可见在生

产过程中需要较多的雕母，求多就容易图快而忽视质量，所以会影响到部分雕母的雕刻工艺较差，留下某些刀痕，甚而有的事先未摆放安排好文字，致使文字侵入外郭，如图10

嘉靖通宝的“靖”字下方无处可摆，于是将外郭挖去部分，摆

放文字，以保证文字完整。这样在翻铸过程中，刀痕也就会留在铸成的钱体上。（二）字口深

与有无雕刻痕迹不同，字口深浅是一相对概念，中国几千年来一直沿袭着铸造方法生产货币，其间虽然经过了范铸、翻砂法的不同工艺（也有可能采取过失蜡法铸造），但在清

朝末年采用机器冲压法制作之前，手工操作一直占主要地位。由于受当时的工具、量具等生产检验手段和工匠的操作水平的限制，手工操作不可能保证所有的成品完全一致，加上各朝、各局对铸钱质量的要求也不完全一致，所以铸造的钱币字口深浅不一是理所当然的。如清朝嘉庆通宝宝泉局钱中样、小样钱的字口普遍较浅。有些钱币就因其字口深峻而被定名为“深字”版，见图11、图12。所以字口的深浅不能一概而论，

只能在同一版别中进行对比，得出相对的比较结果。三）文字笔划细瘦

同理，文字笔划的肥瘦也是相对的概念。历代钱文中不少是出自皇帝、书法家之手，如北宋的淳化元宝、崇宁通宝，金朝的泰和重宝，元朝的至正之宝等；钱文拟订、写成后再由钱局而工匠，几经人工摹写，而且描摹者书写水平也不尽一致，在没有先进的复印设备的古代，前文笔划发生变形是在所难免的。在同样版别的母钱身上也会产生肥瘦不同的笔划，图13、14是两枚咸丰重宝宝泉局当五十母钱，其中一

枚的文字笔划明显比另一枚肥腴。说明它们是由两枚具有不同文字特征的雕母印模铸造出来的。

通过以上分析，笔者认为对具有文字笔划细瘦、字口深峻、雕刻而成或留有雕痕的钱要进行深入的分析。首先，确定它们确实为雕刻而成的，其次，要在尽可能多的同版别钱中反复比较，确定它们的特征确实在同版别钱中都是突出的，才能作出正确的判断。

三、母钱

母钱，顾名思义是用以印模后翻砂铸造子钱（流通钱）的。清朝以前的母钱具体产生方式目前尚未发现记载，仅在北宋《山堂考察》中载有“大观二年，宋乔年言：‘……臣令

工匠铸到锡母五文足。’”可知北宋的母钱有用金属锡铸造的。明朝雕制而成的钱有嘉靖通宝背十·一两（图15）、万历通宝、

崇祯通宝背敕二等，且都有其行用钱。据宋应星《天工开物》所说，用锡雕母来按模铸钱。说明明朝的母钱是雕成的，而且有相当数量是锡的。目前尚不知以上几枚雕制钱实物是直接印模翻铸流通钱的雕制母钱，还是用来印模铸造母钱的祖钱。锡熔点低，比较柔软，可以随时熔化重新刻制新母钱。用锡雕母印模铸钱很可能沿袭到清初。从记载看清朝母钱是经过祖钱印模翻砂铸造而成的，实物中顺治、康熙、雍正三朝流通钱的存世量都比较大，但是雕母和母钱均极为少见，少得与它们流通钱的存世比例极不相称，应当与当时主要采用锡雕母印模铸钱有关。

为了保证印模效果，铸造出合格的流通钱，对母钱有较高的质量（品相）要求。钱样由特殊材料雕成，可以从材料和加工方式上加以区别，雕母在铸钱工艺中规定了货币的形制，还用来印模翻铸母钱。雕母是雕刻而成的，而且数量较少，一般到不了流通钱铸造环节，不易与流通钱混淆。母钱初了作用不同于流通钱以外，在铸造方法（铸造）与材料（主要为铜质）、文字、材质、基本加工工艺等与流通钱基本一致，在铸钱过程中存在一定程度的分辨难度。就要求母钱除了具有与雕母相同的外观要求如铜质好、文字笔划清晰无粘连、字口深的特点外，还应有其特征，以区别于流通钱。由于母钱的辩识比钱样和雕母都要困难，所以本文的重点放在母钱上。

要在大量的杂钱中进行拣选，最基本的一条要求就是拣

选者不仅要对纲钱熟悉，也必须熟悉目钱。有些人的注意力集中在纲钱上，满足于按照中国历史年表收集古钱中的纲钱品种。尤其注重一些大名誉品，如大齐、靖康、重和、贞佑等和时间短、存世少朝代钱如辽钱、元朝钱、地方割据政权、农民起义军的钱，对目钱仅知道一些著名的版别钱如缩水淳化元宝、九叠篆皇宋通宝、篆书光定元宝等，而对存世量大的宋钱、清钱往往重视不够。实际上几乎每一种纲钱都可以派生出大量的目钱，而目钱中的珍稀钱币数量远远超出纲钱。尤其宋钱、清钱由于存世量大，是目钱中珍稀品种最多的两个朝代。

要熟悉目钱，又必须做到以下几点：

1、大量接触古钱实物，在接触中熟悉历代古钱的特征。有些珍稀钱币不易见到，就应利用各种展出、交流机会观摩。不仅要注意珍稀钱币，更要注意普通钱币。努力熟悉每种钱的版别、当值、宝文和不同钱局钱炉成品的区别。只要熟悉了历代普通钱币，在拣选过程中一枚与众不同的古钱拿在手中，即使是匆匆一瞥，也会立即感觉到它的特殊，可能是一枚值得研究或收藏的古钱。

2、积极积累资料，包括各种实物资料和钱币学专著，加以认真的消化吸收和实践，就可能将别人多年的古钱研究经验和心得变为自己的。

3、多与其它钱币收藏者和研究人员交流收藏和研究心得，没有特殊原因对资料不保密，坦诚地互相观摩评价藏品，包括受骗上当得来的假钱赝品。虚心向一切人请教，不断扩大眼界，得到迅速提高。否则非常可能一辈子也入不了古钱研究的门。实际上有相当数量的古钱爱好者由于不同原因，从不与人交流，仅自己对照钱谱或历代年表进行古钱收集，其结果是可想而知的。

历代母钱有何种特征，目前还不十分明了。从发现的两

宋铁母来看，除了材料与流通钱不同之外，就是穿孔修琢得十分光洁，其它方面与流通钱没有什么明显的区别。两宋的铜钱母钱目前只能看其与同版别钱的加工区别来加以确认。

历代母钱的特征很少有文字记载，仅在《大钱图录》中

提到：“咸丰元宝当五百、当千大钱户工两局铸者并紫铜，此乃黄铜，或云当系母钱”，“咸丰元宝当千钱，幕有星月……

其边隆起如虬脊，取便印范，亦母钱也。”可知清朝母钱的边（外轮）呈隆起尖削状，质地为黄铜质。实物中外轮尖削的清钱很多，不可能都是母钱，而且有的质量很差。如何从中拣选出母钱，需要对实物仔细观察，进行分析。如果它们的外轮没有经过严重的磨损磕碰，可以发现其尖削外轮的形成可以分为铸造而成的和修锉、车削而成（冷加工）两种。以下分别分析论述。雕母、母钱和样钱的鉴定（一）铸成的尖削外轮

这类钱在具有尖削外轮钱中占绝大多数，清朝铁钱大部具有尖削外轮。其外轮形状尖削而略呈浑圆，铸工一般，有些由于印模后合模不严，致使正背两钱面在分型面处错动，钱形略呈椭圆，穿孔内也有错动，导致穿孔变小。在上串打磨外轮时，椭圆形两长轴处外轮所受的锉磨多于短轴处外轮，分型面错出部分受的锉磨多于缩进的。所以在同一钱外轮上有的部分已经锉磨平滑，有的局部仍保留尖削外轮。铁钱由于质地坚硬，不易加工，而且大量发行铁钱是在内外交困的咸丰年间，目的是为了支付巨额的军饷，所以要求快，图快最简捷的方法就是偷工减料，所以大部分清朝铁钱的外轮没有经过很好的锉磨，有的甚至保留着浇铸口。这些尖削外轮上留有的铸造痕迹，说明了它们的母钱也具有尖削的外轮。雕母、母钱和样钱的鉴定（二）冷加工方法形成的尖削外轮这类钱的数量很少，品相均较好，铜质细密，文字笔划清晰，字口较深。在没有经过磨损和磕碰的钱上可以明显地看出车削或锉削的痕迹，甚至有些在车削加工过程中发生的“啃刀”现象都清晰可见。同时它们中的大部穿孔也是由锉削

完成的。从它们的铸造特点和加工精细来看，它们就是母钱了。笔者尽可能多举一些例子，以支持以下的分析说明。

图16乾隆通宝背满文宝泉平钱。直径2.85厘米、穿孔0.55厘米、厚0.16厘米，重6.88克。黄铜质，制作精细，地张光滑，文字笔划清晰，无任何含糊不清之处，部分笔划

旁尚能看出雕刻痕迹。外轮尖削，穿孔无任何铸造痕迹，系冷加工完成。

图17嘉庆通宝背满文宝泉平钱。直径2.4厘米、穿孔0.55厘米、厚0.14厘米，重4.4克。黄铜质，铸工较好，文字笔划清晰，笔划间尚留有雕痕。背满文“*”字之半圈同其下横钩铸成时尚有粘连，经刀清理分开。穿孔系锉成，外轮浑圆，磨损严重。

图18道光通宝背满文宝泉。直径3.05厘米、穿孔6厘米，重9.6克。黄铜制作，品相精好，明显的削尖外轮，穿孔为修锉而成，笔划和外郭内缘基部留有铸成的雕痕。

图19道光通宝背满文宝源。直径2.3厘米、穿孔0.55

厘米，重5.6克，黄铜质，铸工精好，外轮锉成尖削状，穿孔为铸成。

图9咸丰重宝背满文当五十。直径4.8厘米、穿孔0.85

厘米、厚0.4厘米，重43.9克。铜质金黄，铸工精湛。文字规整，文字笔划细瘦高挺，笔划边、外郭内侧、内郭外侧都有很深的雕痕。这在金属切削工艺中称为“清根”，内孔系锉成，无铸造痕迹。由于曾参与流通，磕碰磨损严重，但其外轮仍可看出尖削状。文字之间地张上有铜块高高隆起，但不象通常所见的光滑凸起，而是满布刀痕，快面转折生硬分明。仿佛取一块厚圆铜版，在文字笔划外、外郭内缘、内廓外缘处深刻几刀形成钱的样子，又将地张随便稍稍铲低即告完工。

同样版别的钱并不难见，而且不少钱的地张都是这种样子，但是雕刻情况却不尽相同。

图20咸丰元宝缶宝背满文宝泉汉文当百。直径5.08厘米、穿孔0.95厘米、厚0.42厘米，重52.5克。此钱铜色金黄，铸工精良，文字高挺细瘦，地张平坦光滑。穿孔用锉修成。外轮尖削，车削痕迹明显。

图21咸丰元宝缶宝背满文宝泉汉文当百。较厚重，直径5.1厘米、穿孔1.0厘米、厚0.52厘米，重62.5克。黄铜质，铸工精良。文字细瘦高挺，地张光滑略有隆起。外轮为尖削状，系用车床车成。外轮有啃刀之处9即由于车成的夹具或刀具的刚度不足，进刀时工件或工刀略向后退让，不能随时车掉铜料，称之为让刀。直至无法再让时会突然车掉一大块，车出的痕迹要深于正常的切削）。两平面也留有明显的车削痕迹。穿孔为铲削而成。此钱元字左下角，即第一横划左尖端，第二横划的左半部及撇划，自左上方至左下方形成光滑的弧状凹陷。似乎受过坚硬的圆形物体的打击。但细看元字表面无任何伤痕，铸成时即是这个样子。这一圆弧似乎与人的大拇指恰巧吻合，联系到清人笔记中有进呈蜡样之说，可能即为用捏变形的蜡样印模翻铸而成的。若果真如此，则清钱中确有蜡样矣。

图22咸丰重宝尔宝背满文宝泉汉文当百。直径5.05厘米、穿孔0.95厘米、厚0.41厘米，重48.9克。铜色金黄，

铸工较精，文字笔划细瘦高挺，宝字从“尔”不从“缶”。字口地张上还留有少量翻砂后的型砂。穿孔为铸成。外轮尖削，系车制而成。车痕上留有震颤形成的纹路，并有啃刀现象。

图23咸丰元宝背满文宝泉汉文当百大样。直径5.3厘米、穿孔1.0厘米、厚0.4厘米，重56.8克。黄铜质，铸工一般，文字细瘦，宝字贝字下二点距目字较远。穿孔系铸出后修光。外轮尖削，系用锉刀修成。

图24咸丰元宝背满文宝泉汉文当百。直径5.28厘米、穿孔0.85厘米、厚0.4厘米，重51.5克。黄铜质，铸工较精，文字高挺有力，宝字明显向左倾斜。穿孔无铸造痕迹。系用锉刀修成。外轮尖削，为车制而成。

图25咸丰元宝背满文宝泉汉文当百。直径5.15厘米、穿孔1.1厘米、厚0.42厘米，重54克。背满文宝字出头，铜色金黄，铸工较精，文字笔划高挺，外轮尖削，为锉削而成，穿孔是锉成。

图26咸丰通宝楷书背满文宝泉，直径2.33厘米、穿孔0.5厘米，重4.8克。铸工精好，文字生动，与其它宝泉局使用的馆阁体明显不同。黄铜质。最早见于《泉币》杂志第十四期。由马定祥最早发现于北平，多见于山西，为宝泉局铁钱分局在山西平定使用的铁母，其同类铁钱如图27。

图28咸丰通宝背满文宝河铁母。咸丰时宝河局没有铸行小平铜钱，铜钱中有一种较少见到的瘦金书小字（图29），

绝大多数品相极差，可能为未被采用的样钱。见到的多为铁钱，此为铁母，外轮尖削。

图30、图31、图32为咸丰通宝小平宝直局尔宝、缶宝、珍宝三种铁母。咸丰时宝直局基本没有铸造小平铜钱，所见的大多为铁母或铁范铜钱。该三枚钱铸造精良，穿孔和外轮都为锉成，当为母钱无疑。

图33光绪通宝背满文宝泉平钱。直径2.16厘米、穿孔0.55厘米、厚0.15厘米，重3.9克。铜色金黄，铸工较精，文字纤细高挺，外轮尖削，尚留有锉痕，穿孔为锉成。

确定了清朝母钱具有不同于流通钱的，以冷加工制成的尖削外轮之后，就可以比较准确的给出母钱的特征了。母钱应当具有铜质好、文字笔划清晰无粘连、字口深、略大于同版流通钱的特点。铜质好，合金配制合理，铸成的母钱不会产生变形、缺损和漏洞，影响印模的质量；文字笔划清晰无粘连，可以印出清晰完整的钱模；字口深一方面能够保证浇铸时铜液的流动性，也可以提高文字的深度，以免在铸成后打磨时将文字磨平；母钱印模作出流通钱毛坯后要清除表面粘附的型砂，对毛坯表面进行打磨处理，磨去毛坯的粗糙表层，会使流通钱的尺寸和重量都小于母钱。雕母、母钱和样钱的鉴定有了母钱的特征之后在实际拣选过程中还要注意以下几点：

1、铜质好只是一种说法，尽管已经有人将母钱的成分进

母函数

母函数 （生成函数）（发生函数）（发生函数） 英文：generating function 我们已知道了解决组合的计数问题的几种方法，从基本的加法原理和乘法原理开始，导出了排列与组合的各种公式，证明了容斥原理，并且已用它来解决某些计数问题。这里将论证一种方法是属于Eular 的生成函数法。（对工程师来说，数列的母函数通称为z-变换） §1 母函数 利用生成函数可以说是研究计数问题的一个最主要的一般方法：其基本思想很简单：为了获得一个数列{} 210,,0:a a a k a k =≥的知识，我们用一个母函数 +++=∑=≥2 2100 )(x a x a a x a x g k k k 这里x k 是指数函数 来整体地表示这个数列，称g （x ）是数列{}0:kx a k 的普通母函数，这样原数列就转 记为成函数。 假如能求得这个函数，则不仅原则上已确定了原数列，还可以通过对函数的运算和分析得到这个数列的许多性质。 这里如果把x k 提成)(x k μ亦称普通母函数 指数函数通常选来使得没有两个不同的序列令产生同一个母函数，故序列的 母函数仅只是序列的另一种表示。如1，cos x ，cos2x ，…为指数函数，序列{} 2,,1ωω的母函数为 +++++=rx x x x F r cos 2cos cos 1)(2ωωω 另一方面，用，1，1+x ，1-x ，1+x 2，1-x 2，…，1+x r ，1-x r …作为指数函数，序列（3，2，6，0，0）的普通母函数是3+2（1+x ）+6（1-x ）=11-4x ，而序列（1，3，7，6，0）和（1，2，6，1，1）会产生同一母函数即，1+3（1+x ）+7（1-x ）=11-4x ， x x x x x 411)1()1()1(6)1(212 2 -=-+++-+++ 故函数 ,1,1,1,1,122x x x x -+-+不应做为指数函数，)(x r μ的最近常用的是r x ，以下我们仅讨论这种情况的指数函数。

2014年最新清朝古钱币收藏价格表

古钱收藏价格 小平-----指的是直径在2.3---2.6厘米直径的钱币。 折二----是直径3厘米左右的钱币。 折十----直径3.8---4厘米。 顺治通宝楷书小平光背5元 顺治通宝楷书小平背“二” 600元 顺治通宝楷书小平背上“户” 80元 顺治通宝楷书小平背“一” 40元 顺治通宝楷书小平背右“户” 4元 顺治通宝楷书小平背右“工” 10元 顺治通宝楷书小平背上“工” 120元 顺治通宝楷书小平背右“同” 7元 顺治通宝楷书小平背上“浙” 15元 顺治通宝楷书小平背上“福” 20元 顺治通宝楷书小平背上“阳” 70元 顺治通宝楷书小平背左“延” 400元 顺治通宝楷书小平背上“延” 2500元 顺治通宝楷书小平背右“延” 450元 顺治通宝楷书小平背上“南” 5000元 顺治通宝楷书小平背右“宣” 15元

顺治通宝楷书小平背上“宣” 150元 顺治通宝楷书小平背右“宁” 15元 顺治通宝楷书小平背上“昌” 60元 顺治通宝楷书小平背右“东” 15元 顺治通宝楷书小平背右“荆” 80元 顺治通宝楷书小平背上“荆” 200元 顺治通宝楷书小平背“河” 20元 顺治通宝楷书小平背“同一厘” 600元 顺治通宝楷书小平背“东”上下“一厘” 1300元顺治通宝楷书小平背“东一厘” 15元 顺治通宝楷书小平背“福一厘” 25元 顺治通宝楷书小平背“户一厘” 5元 顺治通宝楷书小平背“工一厘” 8元 顺治通宝楷书小平背“江一厘” 25元 顺治通宝楷书小平背“原一厘” 20元 顺治通宝楷书小平背“宣一厘” 20元 顺治通宝楷书小平背“蓟一厘” 30元 顺治通宝楷书小平背“浙一厘” 15元 顺治通宝楷书小平背“河一厘” 15元 顺治通宝楷书小平背“昌一厘” 15元 顺治通宝楷书小平背“阳一厘” 15元 顺治通宝楷书小平背十二种监局4元 顺治通宝楷书大样背上“福” 500元 顺治通宝楷书折二背宝泉局5000元 顺治通宝楷书折二雕母背“原” 20000元 顺治通宝楷书折十背“十一两” 5000元

概率论上的母函数

概率论上的母函数（genera t ing fucnc t ion ）定义： 若随机变量ξ取非负整数值，且相应的分布列为： （ 0，1，2） （ p 0，p 1，p 2 ） 则p k *s k （k 从0到无穷）的和为s 的函数，此函数称为的母函数。 特征函数 (概率论) 在概率论中，任何随机变量的特征函数完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X 是任何具有该分布的随机变量： ()()itX X t E e ?= 其中t 是一个实数，i 是虚数单位，E 表示期望值。 用矩母函数M X (t )来表示（如果它存在），特征函数就是iX 的矩母函数，或X 在虚数轴上求得的矩母函数。 ()()()X iX X t M t M it ?== 与矩母函数不同，特征函数总是存在。 如果F X 是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出： ()()itX itx X E e e dF x ∞ -∞=? 在概率密度函数f X 存在的情况下，该公式就变为： ()()itX itx X E e e f x dx ∞ -∞=? 如果X 是一个向量值随机变量，我们便取自变量t 为向量，tX 为数量积。 R 或R n 上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。 一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足f X (x ) = f X (-x )）是实数，因为从x >0所获得的虚数部分与从x <0所获得的相互抵消。 性質 连续性

勒维连续定理 勒维连续定理说明，假设1()1n n X ∞ ==为一个随机变量序列，其中每一个X n 都有特征函数?n ，那么 它依分布收敛于某个随机变量X ： D n X X ??→当 n →∞ 如果 pointwise n ??????→ 当 n →∞ 且? (t )在t =0处连续，?是X 的特征函数。 莱维连续定理可以用来证明弱大数定律。 反演定理 在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。 给定一个特征函数?，可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数F ： 1()()()lim 2itx ity X X X e e E y E x t dt it τττ?π--+-→+∞--=? 一般地，这是一个广义积分；被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的，也就是说，它的绝对值的积分可能是无穷大。[1] 博赫纳-辛钦定理/公理化定義 博赫纳定理 任意一个函数?是对应于某个概率律μ的特征函数，当且仅当满足以下三个条件： 1. ? (t )是连续的； 2. ? (0)=1； 3. ? (t )是一个正定函数（注意这是一个复杂的条件，与? (t )>0不等价）。 計算性质 特征函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如，如果X 1、X 2、……、X n 是一个独立（不一定同分布）的随机变量的序列，且 1n n i i i S a X ==∑

咸丰通宝鉴赏及价格行情

咸丰通宝，清咸丰三年福建宝福局当十型试铸钱。青铜质直径3.9厘米，穿孔0.7厘米，重16克，因其“咸”字两侧有“大清”国号。 “咸丰”是清文宗的年号，咸丰年间正值太平天国革命运动的高潮时期。此时民怨沸腾，清政府为了苟延残喘，在钱币铸行上大做文章，将财政危机转嫁到老百姓身上。相继推出“咸丰通宝”、“咸丰重宝”、“咸丰元宝”种类繁多的钱币。 咸丰元年首先准备开铸“咸丰通宝”制钱。由于鸦片战争、列强的掠夺和太平天国革命运动的发生，钱局铸造制钱已很难正常进行，很多省钱局实际上处于停顿状态，即使开铸，也是偷工减料。因而造成咸丰通宝制钱精好者少，而粗制滥造的多，大都质劣而轻小，或造成铁钱、铅钱代替铜钱。咸丰元年时，规定钱重一钱二分，至第二年，变为一钱，但具体铸行大多轻于规定重量。“咸丰通宝”面文有楷书等，背文满文局名有：宝源、宝泉、宝河、宝德、宝东、宝伊、宝济、宝晋、宝陕、包巩、宝苏、宝浙、宝昌、宝福、宝台、宝武、宝南、宝广、宝桂、宝川、宝云阿克苏、宝黔，等二十四个局。其中宝台、宝德、宝广、阿克苏等局数量极少。 咸丰通宝之王 此后在大平军连捷，各地反清起义风起云涌下，清军疲于奔命，清廷惊慌失措。这时，清朝的军费开支大增，而税额收入大减，再加上鸦片战争的影响，导致财政拮据，为了筹款继续镇压太平军，缓解财政危机，于咸丰三年（公元1853年）清廷被迫鼓铸大钱。《大钱图录》说：“咸丰三年（公元1853年），军务日滋，清饷不能继，寿阳相国权户部议，请铸当十大钱，兼增铁冶以供度支。旋推及当五十，当百钱。巡防王大臣续请铸当五百，当千两种。”说明咸丰大钱是在迫不行已的情况下铸行的。“咸丰重宝”始铸当十大钱，继而又开铸当五十、当百和当百以上，并令全国各省迅速铸造推行。“咸丰重宝”铸行情况十分混乱复杂，当值等次，大小轻重，铸造材质，铸造工艺，文字书体，钱文等，在各局甚至在同一局监内铸造时，都差异很大，以至有当值大小和钱体大小轻重倒置的，此外还有铁钱和铅钱。 咸丰通宝正面

母钱、样钱和“铁范铜”

母线、样钱和“铁范铜 母钱，实际上就是钱模，按照加工方法的不同，可分为雕母和铸母两种。 雕母有木、牙、锡和铜四种质地。木、牙雕母主要是作为样钱，供呈请皇帝选审之用。铜、锡雕母主要用于翻铸铸母，称为“祖钱”。锡雕母则多用于直接铸钱，《天工开物》明确记载有“以母钱百文，用锡雕成。” 铜雕母的特征是：钱径比同样版别的流通钱略大，铜质精良，钱缘轮和钱文字口深峻。钱文精美，笔划比同样版别的流通钱略瘦挺。钱穿和内郭亦颇规整。通常，铜雕母上的雕刻痕迹已经修饰掉了，习称“刀痕化尽”，但经过细审，仍能寻到刻镂的痕迹。目前已经掌握的资料当中，我国最早的铜雕母实物是明代嘉靖通宝折十钱，年代略晚的还有崇祯通宝。到了清代，钱币铸造中大量采用铜雕母，传世的有雍正通宝背满文福泉、宝源，乾隆通宝背满文宝苏，嘉庆通宝背满文宝苏，咸丰重宝宝德当五、宝直当十，咸丰通宝宝苏小平，同治通宝宝苏小平、宝苏小平大样、宝泉小平，光绪通宝宝源宇字小平等。 铸母，质地有锡、铜二种。《山堂考索》载：“大观三年，宋乔年言诸路钱监现铸小平钱，并依旧料例，仍令崇宁监铸样，臣令工匠铸到锡母五文足……，”可见北宋已经有了锡母钱。现存最早的锡母是元代的大元国宝。 铜铸母钱的特征是：钱径小于雕母，但略大于一般流通钱。铜质较好。钱的外缘轮廓、内廓穿口和字口深峻不及雕母。钱文笔划较好为纤细挺拔，但粗于雕母。钱体上不见刀痕。现存铜铸母钱年代较早者有宋大观通清高当五、篆书淳熙元宝折二等。 样钱，分进呈样钱和部颁样钱。 进呈样钱有木、牙、铜雕和铜铸母，是呈送皇帝钦定后下颁的样式。《咸淳临字志》载：“户部，长贰厅，在于官厅前之左，西出第一位。有高宗皇帝颁降铸钱式御札，曰“大小钱样付卿。乌背者，制作颇精，与开元崇宁所铸相似，然恐费工难办。素背者，似可作式样。”……部颁样钱，是工部和户部用雕母翻铸的铜锡母钱。用于颁发外地钱监或钱局，作为铸钱的依据。 铁范铜，是钱币学上的一个特定术语。北宋初年，四川雅州百丈县始铸宋元通宝铁钱，之后，四川地区的宋代铁钱铸行不衰。铁钱的形制和钱文特征和同样钱文的铜钱不尽相同。有少数铜钱形制和钱文特征与铁钱完全相同，旧钱币界人士分析其中原因，解释成当时制成铁钱的砂型后，为了观察砂型的效果， 先将铜液注入，浇铸出一批铜钱作为试验。因为铸造这种铜钱的目的是实验铁钱的范，故称“铁范铜”。

雕母‘母钱和样钱的鉴别

（一）铸成的尖削外轮 这类钱在具有尖削外轮钱中占绝大多数，清朝铁钱大部具有尖削外轮。其外轮形状尖削而略呈浑圆，铸工一般，有些由于印模后合模不严，致使正背两钱面在分型面处错动，钱形略呈椭圆，穿孔内也有错动，导致穿孔变小。在上串打磨外轮时，椭圆形两长轴处外轮所受的锉磨多于短轴处外轮，分型面错出部分受的锉磨多于缩进的。所以在同一钱外轮上有的部分已经锉磨平滑，有的局部仍保留尖削外轮。铁钱由于质地坚硬，不易加工，而且大量发行铁钱是在内外交困的咸丰年间，目的是为了支付巨额的军饷，所以要求快，图快最简捷的方法就是偷工减料，所以大部分清朝铁钱的外轮没有经过很好的锉磨，有的甚至保留着浇铸口。这些尖削外轮上留有的铸造痕迹，说明了它们的母钱也具有尖削的外轮。 雕母、母钱和样钱的鉴定 （二）冷加工方法形成的尖削外轮 这类钱的数量很少，品相均较好，铜质细密，文字笔划清晰，字口较深。在没有经过磨损和磕碰的钱上可以明显地看出车削或锉削的痕迹，甚至有些在车削加工过程中发生的“啃刀”现象都清晰可见。同时它们中的大部穿孔也是由锉削完成的。从它们的铸造特点和加工精细来看，它们就是母钱了。笔者尽可能多举一些例子，以支持以下的分析说明。

图16乾隆通宝背满文宝泉平钱。直径2.85厘米、穿孔0.55厘米、厚0.16厘米，重6.88克。黄铜质，制作精细，地张光滑，文字笔划清晰，无任何含糊不清之处，部分笔划旁尚能看出雕刻痕迹。外轮尖削，穿孔无任何铸造痕迹，系冷加工完成。 图17嘉庆通宝背满文宝泉平钱。直径2.4厘米、穿孔0.55厘米、厚0.14厘米，重4.4克。黄铜质，铸工较好，文字笔划清晰，笔划间尚留有雕痕。背满文“*”字之半圈同其下横钩铸成时尚有粘连，经刀清理分开。穿孔系锉成，外轮浑圆，磨损严重。 图18道光通宝背满文宝泉。直径3.05厘米、穿孔6厘米，重9.6克。黄铜制作，品相精好，明显的削尖外轮，穿孔为修锉而成，笔划和外郭内缘基部留有铸成的雕痕。 图19道光通宝背满文宝源。直径2.3厘米、穿孔0.55厘米，重5.6克，黄铜质，铸工精好，外轮锉成尖削状，穿孔为铸成。 图9咸丰重宝背满文当五十。直径4.8厘米、穿孔0.85厘米、厚0.4厘米，重43.9克。铜质金黄，铸工精湛。文字规整，文字笔划细瘦高挺，笔划边、外郭内侧、内郭外侧都有很深的雕痕。这在金属切削工艺中称为“清根”，内孔系锉成，无铸造痕迹。由于曾参与流通，磕碰磨损严重，但其外轮仍可看出尖削状。文字之间地张上有铜块高高隆起，但不象通常所见的光滑凸起，而是满布刀痕，快面转折生硬分明。仿佛取一块厚圆铜版，在文字笔划外、外郭内缘、内廓

清代雕母、母钱必然涨价!1月古钱行情

清代雕母、母钱必然涨价！1月古钱行情 本文为天眷堂特约撰稿人徐灵岩（金刀客）老师原创。欢迎转载，转载请注明出处！ 目录行情综述清代雕母、母钱行情看涨精品咸丰大钱的母钱是亮点精品清代宫钱是亮点王莽钱依然坚挺先秦货币亮 点频出行情预判先秦-汉古钱成交欣赏隋唐-元古钱成交欣赏明、清古钱成交欣赏镇库、宫钱、花钱成交欣赏 行情综述：本月的成交主要以著名拍卖会和知名网拍为主，成交总量是近期之最，品种涵盖了历朝历代的古钱和花钱。从整体的成交状况分析，稀缺品种和极其精美的古钱成交最好。 清代雕母、母钱行情看涨：清代采用翻砂工艺铸造钱币。每当钱局开始铸币时，首先由钱局工匠手工雕刻制成祖钱（雕母），然后再以祖钱翻铸若干母钱，最后再用母钱来翻铸普通子钱。因此，雕母都是孤品，即便近似版也不可能多。母钱的制造量稍多，但经历上百年的历史变迁，现存量极其稀少。清代雕母、母钱铜质精良，制作精美，完全符合现在收藏家的审美观点。从各大拍卖会的成交可以看出，极美的雕母和母钱是顶级收藏家的最爱。尤其是精品清代雕母，未来的上涨幅度不可估量。精品雕母成交欣赏：清同治通宝天下太平宫钱雕母（43.7*2.9mm），此品同治天下太平雕母为

民国大藏家杜纯旧藏，且是更为稀见的方头通版（子钱仅见不过五品）北京古玩城1495000元 咸丰重宝宝源当十雕母，台湾清钱收藏家陈鸿禧旧藏，本品包浆呈褐色，犹如一层巧克力壳，雕工精工细作，劲气十足，棱角分明。西冷1069500元 清“光绪通宝宝源当拾”未开穿雕母，直径：30.75mm，厚：1.85mm，钱文精美，字口深峻，铜质金黄，刀法精湛。光绪雕母中，以小平者存世为多，此枚“光绪通宝宝源当拾”大写未开穿雕母钱是同类钱币中的珍稀品。北京保利1092500元 乾隆通宝折十型开炉大钱，从目前发现的实物来看，直径大小并不相同，小者在38毫米左右，大型在44毫米左右，钱文书法、铸造风格则完全相同。开炉纪念性质，除上博等国家博物馆藏外，民间所见寥寥，能被认可的真品数量在十枚以内。 此枚大型雕母，直径41.8-41.9毫米，厚2.4-2.5毫米，重24.3克，创见大珍。由于是开炉纪念性质，所以和通常行用钱雕母意义不同。钱体地张光洁平滑，雕工严谨一丝不苟，早期乾隆钱的典型风格。保存状况极佳，钱文犀利挺拔，包浆匀实。它的横空出世可以说为岁末钱币市场写下来浓墨重彩的一笔。天眷堂756000元 清乾隆通宝宝源小平雕母(镏金），（26.7*1.6mm），此品乾

清代钱币价目表

清代钱币价目表

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清钱币名称书体币形特征参考价(元) 祺祥通宝楷书小平背宝泉局 3800 祺祥通宝楷书小平背宝源局 2800 祺祥通宝楷书小平背宝苏局 20000 祺祥通宝楷书小平背宝云局 1000 祺祥通宝楷书小型背宝巩局 35000 祺祥重宝楷书折五背宝源局“当十” 3500 祺祥重宝楷书折五背宝泉局“当十” 6800 祺祥重宝楷书折五背宝巩局“当十” 35000 同治通宝楷书小平多局监造普品 2 同治通宝楷书小平背宝云局“八” 15 同治通宝楷书小平背宝泉局雕母 7000 同治通宝楷书小平部颁各局样钱 700 同治通宝楷书小平背“新十” 8 同治通宝楷书小平背阿无苏局“当五” 5 同治通宝楷书折五背宝泉局“当十” 10 同治通宝楷书折五部颁各局样钱 1200 同治通宝楷书折五背宝伊局“当四”2000 同治通宝楷书折三背宝巩局“当五” 800 光绪通宝楷书小平背“金”、“宇” 8 乾隆通宝楷书小平多局监造普品1 乾隆通宝楷书小平背上“福” 250

乾隆通宝楷书小平背右“福” 220 乾隆通宝楷书小平背阿克苏局 5 乾隆通宝楷书小平背宝泉局雕母 4500 乾隆通宝楷书小平合背 150 乾隆通宝楷书小平背宝陕局雕母 8000 乾隆通宝楷书小平背宝泉局母钱 1500 乾隆通宝楷书折十背宝巩局5000 乾隆通宝楷书特大型背宝泉局 3800 嘉庆通宝楷书折二背宝泉局 10 嘉庆通宝楷书小平背“桂” 500 嘉庆通宝楷书折二背“桂” 10000 嘉庆通宝楷书折二背宝直局 400 嘉庆通宝楷书折二背宝苏局宽缘 100 嘉庆通宝楷书小平背宝泉局雕母 5000 嘉庆通宝楷书折二背宝源局雕母 6000 嘉庆通宝楷书小平背宝源局雕母 6000 嘉庆通宝楷书折十背宝川局 3500 道光通宝楷书折二背宝泉局 10 道光通宝楷书小平背“壹分” 300 道光通宝楷书小平背“十八年” 20 道光通宝楷书小平背阿克苏局精铸 500 道光通宝楷书折三背阿克苏局1000

2013年最新清朝古钱币收藏价格表

古钱收藏价格顺治通宝楷书小平光背5元 顺治通宝楷书小平背“二” 600元 顺治通宝楷书小平背上“户” 80元顺治通宝楷书小平背“一” 40元 顺治通宝楷书小平背右“户” 4元 顺治通宝楷书小平背右“工” 10元顺治通宝楷书小平背上“工” 120元顺治通宝楷书小平背右“同” 7元 顺治通宝楷书小平背上“浙” 15元顺治通宝楷书小平背上“福” 20元顺治通宝楷书小平背上“阳” 70元顺治通宝楷书小平背左“延” 400元顺治通宝楷书小平背上“延” 2500元顺治通宝楷书小平背右“延” 450元顺治通宝楷书小平背上“南” 5000元顺治通宝楷书小平背右“宣” 15元顺治通宝楷书小平背上“宣” 150元顺治通宝楷书小平背右“宁” 15元顺治通宝楷书小平背上“昌” 60元顺治通宝楷书小平背右“东” 15元

顺治通宝楷书小平背右“荆” 80元 顺治通宝楷书小平背上“荆” 200元 顺治通宝楷书小平背“河” 20元 顺治通宝楷书小平背“同一厘” 600元 顺治通宝楷书小平背“东”上下“一厘” 1300元 顺治通宝楷书小平背“东一厘” 15元 顺治通宝楷书小平背“福一厘” 25元 顺治通宝楷书小平背“户一厘” 5元 顺治通宝楷书小平背“工一厘” 8元 顺治通宝楷书小平背“江一厘” 25元 顺治通宝楷书小平背“原一厘” 20元 顺治通宝楷书小平背“宣一厘” 20元 顺治通宝楷书小平背“蓟一厘” 30元 顺治通宝楷书小平背“浙一厘” 15元 顺治通宝楷书小平背“河一厘” 15元 顺治通宝楷书小平背“昌一厘” 15元 顺治通宝楷书小平背“阳一厘” 15元 顺治通宝楷书小平背十二种监局4元 顺治通宝楷书大样背上“福” 500元 顺治通宝楷书折二背宝泉局5000元 顺治通宝楷书折二雕母背“原” 20000元

习题2 母函数

习 题 二 2-1 求下列数列的母函数（n ＝0,1,2，…）： （1）()??? ? ?????? ??-n n α1 ； （2）{ n ＋5 } （3）{ n (n －1) } ； （4）{ n (n ＋2) } （解）（1）()x G ＝()∑∞ =??? ? ??-01n n n x n α＝()∑∞ =-? ??? ??0n n x n α＝()αx -1 （2）()x G ＝()∑∞=+05n n x n ＝()∑∑∞ =∞=++0 41n n n n x x n ＝() x x n n -+' ∑∞ =+1401＝x x n n -+'???? ??∑∞ =+1401 ＝x x -+' ??? ??--14111＝()x x -+-14112 ＝ () 2 145x x -- （3）()x G ＝ ()∑∞=-01n n x n n ＝()∑∞ =--++2 2 2 100n n x n n x ＝()()∑∞ =++0 212n n x n n x ＝()∑ ∞ =+"0 2 2 n n x x ＝"???? ??∑∞ =+022n n x x ＝"??? ? ??-x x x 122 ＝ ()3212x x - （4）()x G ＝ ()∑∞ =+02n n x n n ＝ ()()()∑∑∑∞ =∞=∞ =-+-++0 121n n n n n n x x n x n n ＝ () () x x x n n n n --' -" ∑∑∞ =+∞ =+11 1 2 ＝x x x n n n n --' ??? ? ??-"???? ??∑∑∞=+∞=+110102 ＝x x x x x --' ??? ??--"???? ??-11112 ＝()()x x x -----11111223＝() 3 2 13x x x --

令人眼花缭乱的咸丰钱

令人眼花缭乱的咸丰钱 清文宗咸丰皇帝在位十一年（公元1851-1861年），因鸦片战争及洪秀全太平天国农民起义引发的外忧内患，加上干旱及水患等自然灾害，使得政令壅滞，经济恶化，中央政府无暇规范铸钱事宜，钱局铸钱各自为政，以致咸丰钱种类繁杂、大小不一，版别达数千种之多，是我国年号钱中的品种之冠。 综合来看，咸丰钱大抵有三大特点：其一，面值复杂，大额钱多。咸丰年间，全国共有29家钱局，共出品了16种面值的钱币，计有小平、当二、当四、当五、当八、当十、当二十、当三十、当四十、当五十、当八十、当百、当二百、当三百、当五百、当千等，由于重量、大小无统一规定，同一面值的钱币，往往因为钱局不同而差别很大，或者同一钱局出品的钱币，因为铸期不同而大小轻重不一，甚至出现同一钱局的大面额比小面额的还要小而轻的怪现象。 其二，钱文有显著变化。咸丰年号之前，各钱局多以宋体字书写钱文，比较单调，到了咸丰期间，钱文渐臻精美，字体多样，不少为善书者及名家手笔，可谓争奇斗艳。如：宝泉局有一种小平钱的钱文为当时的著名学者、书法家戴熙所书，书风飘逸潇洒；宝河局当十至当千钱的钱文系河南名

士周尔墉所书，书风娟美隽秀。 其三，珍贵钱币多。咸丰钱品种虽多，但良莠混杂，多寡不一，其间咸丰年号的流通币中既有铸工不精、至今较易集到的普通品，又有存世量不多的珍稀品，还有多种样钱、母钱以及珍贵的雕母祖钱等非流通币，同时，还有一些特殊品种的珍泉被发现。如：宝福局有一种面文为“集换局票”、背为“一十当用”的钱币，存世量仅为数枚；宝泉局镇库大钱面文为“咸丰元宝”，背文直读“镇库”，左右为满文宝泉，钱径达11.3厘米；宝源局镇库大钱面文为“宝源局造”，背文“镇库”，钱径达11.5厘米。 图1-12为笔者集藏的咸丰钱中的珍稀品，供广大泉友鉴赏。 （责编：丁丑）

试析宝福局咸丰大钱的铸造工艺_黄林华

试析宝福局咸丰大钱的铸造工艺 ◎黄林华（福建博物院 福建福州 ３５０００１） 【提 要】从中国古代铸币史、宝福局咸丰大钱的铸造背景、铸造工艺的延续性及唐至清末历代遗存的钱币实物测量分析，说明清咸丰大钱的外形符合母钱翻砂工艺的铸造特点，之所以与同时期其他铸币局铸造的大钱外形存在明显不同，是铸造时砂型造型采用不同的分型面所致：宝福局铸钱是以母钱的正面为分型面，因而钱缘侧面与穿口均呈坡形，脱模斜度明显；其他铸币局则是以母钱的厚度中间为分型面，穿口较圆润，钱币外缘侧面呈“虬脊”状。【关键词】宝福局咸丰大钱 母钱翻砂工艺 脱模斜度 分型面 用范铸法时是必要的，而翻砂法铸钱只要操作仔细、保持砂箱垂直上升，母钱有无拔模斜度都能保证脱模质量”；也有观点认为“穿口由面向背倾斜的宝福局咸丰重宝大钱，是采用范铸造技术而非同模翻砂所铸造的大钱。” 这些现象和观点的存在是否表示宝福局是采用范铸技术来铸造大钱的呢？ 笔者对此有不同看法，　咸丰朝宝福局铸造大钱采用的应是翻砂工艺。 一、　从中国古代铸币史的角度来分析宝福局应采用母钱翻砂工艺铸造大钱 学术界普遍认为，从中国古代铸币史来看，先秦时期由于青铜冶炼技术的发展，在约公元前六百年左右的春秋中晚期就开始以冶铸法来铸造钱币，直至清末采用机器制造货币。根据生产工艺的发展鼓铸货币大致可分为三个时期：先秦至西汉时期，以平板范竖式浇铸工艺为主；新莽至南北朝时期，卧式叠铸工艺盛极一时；唐以后至清末机制币出现以前，则主要采用母钱翻砂工艺铸钱。 母钱翻砂技术的使用是由社会商品经济发展的需求决定的，是古代工匠们智慧的结晶，是生产力大发展的表现，极大地满足了社会对铸钱的大量需求。该工艺以母钱为模，砂为造型材料，造型后砂型不需干燥与焙烧便直接用于浇铸，使生产效率得到极大的提高，砂型用后即毁，无法保留，现在已很少发现唐以后有钱范出土，它是平板范竖式浇注工艺的延伸与发展。 ２００４年宝鸡发现唐乾元重宝钱树具有明确的母钱翻砂铸造特征。唐宋时期铸钱留有的重印特征也是母钱翻 清道光至咸丰初年，由于长期以来吏治败坏、水利失修、自然灾害频繁，加之鸦片输入造成的白银外流、镇压太平天国起义所需的庞大军费开支以及第一次鸦片战争的巨额赔款等问题导致国家财政濒临崩溃的边缘，咸丰帝不得已打破祖制开铸大钱以弥补亏空，最多时全国共有二十几个铸币局开炉铸造。期间，为追求利益的最大化，通过不断的减重、以铝铁充铜等手段铸造大钱，造成铸币版式复杂、币制混乱。大钱是一种虚值货币，靠扩大铸币面值的办法来增加国家财政收入，因币值过大，严重违背一般等价物的货币原则，违反客观经济规律，结果造成官钱信用不存、物价飞涨、各地百姓纷纷拒用的局面。 与全国各地铸行的大钱因不断贬值受到市场抵制甚至出现停铸局面不同的是，地处偏远的福建宝福局铸造的大钱却以谨慎的态度、坚持不减重的铸行原则，受到了百姓的拥护，顺利进入流通领域，对稳定市场货币流通起到了积极的作用。宝福局铸造的大钱用材精良考究、钱体雄浑厚硕、形制优美端庄、钱文别具一格、书法苍劲有力，至今仍为收藏爱好者所追捧。 仔细对比宝福局与其他铸币局铸造的大钱，外形明显不同：宝福局大钱多以紫铜铸造，钱型硕大厚重，钱币面径略大于背径，面穿边长略小于背穿边长，钱缘及内穿均呈坡形，有明显的脱模斜度；而其他铸币局如宝泉局、宝源局、宝苏局、宝河局、宝昌局等铸造的大钱外缘中高而两边向下斜削，呈“虬脊”状，穿口面背均向内倾斜，形成棱形凸起。这是否说明二者采用的铸造工艺有所不同呢？ 有研究认为“铸币所用的母钱具有脱模斜度，在使

母函数和特征函数简介

§1 母函数（生成函数）简介 对于取值非负整数的随机变量，其母函数有极其良好的性质且又便于计算和分析，因此引入母函数是非常必要的。母函数又称生成函数(Generating function)。 母函数的定义 ● 定义：对于数列}0,{≥n a n ，称幂级数 )1(0 ≤∑∞ =s s a n n n 为}0,{≥n a n 的母函数。 ● 定义：设X 为取值于非负整数随机变量，分布率为 ,2,1,0,}{===k p x X P k k ，则 称 1)(?)(0 ≤==∑∞ =s s p s E s g k k k X 为随机变量X 的概率母函数，简称母函数。 一些常用分布的母函数 （1） 若).(~p n B X ，则n sp q s g )()(+= （2） 若)(~λPo X ，则)1()(-=s e s g λ （3） 若)(~p G X ，则qs ps s g -=1)( 母函数的基本性质 （1）X 的母函数与其分布率是一一对应的，且有! ) 0()(k g p k k = （2）设非负整值随机变量n X X X ,,,21 相互独立，而n g g g ,,,21 分别是它们的母函数，则∑== n k k X Y 1 的母函数为： )()()()(21s g s g s g s g n Y = （3）设随机变量X 的母函数为)(s g ，则有： （a ）)1()(g X E '=

（b ）2)]1([)1()1()()(g g g X Var X D '-'+''== 母函数的应用 （4） 设n X X X ,,,21 独立同分布，且).1(~p B X i ，求∑== n k k X Y 1 的分布。 （5） 设21,X X 独立，且2,1,).(~=i p n B X i i ，证明),(~2121p n n B X X ++。 （6） 设21,X X 独立，且2,1,)(~=i Po X i i λ，证明)(~2121λλ++Po X X 。 §2 特征函数 1． 特征函数的定义 ● 定义：如果Y X ,均为概率空间),,(P ∑Ω上的实值随机变量，则称Y i X +=ξ为一复 随机变量，且定义复随机变量的数学期望为EY i EX E +=ξ。 由以上定义，有}{sin }{cos }sin {cos }{X t iE X t E X t i X t E e E X t i +=+=。 ● 定义：若随机变量X 的分布函数为)(x F X ，则称： )()sin (cos ?)(?)(x dF tx i tx x dF e Ee t X X itx itX ??∞ ∞ -∞∞ -+===? 为随机变量X 的特征函数（c.f.） ● 特征函数其实就是随机变量函数的数学期望。 ● 特征函数的简单性质 （1）由于1≤itX e ，所以对任意随机变量，特征函数都有意义 （2）特征函数是一实变量的复值函数 （3）特征函数只与分布函数有关，因此又称为某一分布的特征函数 （4）若X 的特征函数为)(t ?，则bX a +的特征函数为)(}exp{ bt ita ?函数 （5）1)0(=? （6）对离散型的随机变量X ，其分布率为 2,1}{===j p x X P j j ，则其特征函数为∑∞ == 1 }exp{)(j j j itx p t ?，若是连续型随机变量，概率密度为)(x f ，则其特征函数为 ?∞ ∞ -=dx x f itx t )(}exp{)(?。

母函数

母函数 母函数思想的起源可以追溯到18世纪Jacob B的《猜度术》一书。这本书是在作者去世8年后的1713年出版的，它是早期概率论中最重要的著作。《猜度术》一书共分四个部分，其中在第二部分中，作者讨论了组合论问题。主要是运用伯努利数通过完全归纳法证明了n 为正整数时的二项式定理。在第三部分中，作者把排列和组合的理论运用到概率论中，给出了24种有关在各种赌博情形中利益预测的例子。在第四部分中作者给出了著名的伯努利大数定律:若P是事件发生一次的概率，q是该事件不发生的概率，则在n次实验中该事件至 少出现m次的概率等于的展开式中从项到包括为止的各项之和。 母函数是组合数学的一个重要理论。Jacob B考虑掷n粒骰子时所得点数总和等于m，这种场合的数目等于 的展开式中这一项的系数，开了母函数研究的先河。在18世纪，Euler L对组合方法的发 展做出了重大贡献。他关于自然数的分解与合成的研究为母函数方法奠定了基础。 1812年，法国数学家Laplace P.S. 出版了《概率的分析理论》一书。这本书第一部分的小标题为“母函数的计算”，这一部分致力于母函数计算的数学方法及其一般数学理论，这是对Euler L所提出的母函数理论的发展。所以现代学术界认为母函数方法是由Euler L和Laplace P.S. 共同发现的。由此，组合数学中的母函数理论基本建立起来了。 在当代组合学理论中，母函数是解决计数问题的重要方法。一方面，母函数可以看成是代数对象，其形式上的处理使得人们可以通过代数手段计算一个问题的可能性的数目；另一个方面，母函数是无限可微分函数的Taylor级数。如果能够找到函数和它的Talor级数，那么Taylor级数的系数则给出了问题的解。 本章主要介绍母函数的两种形式：普通型母函数和指数型母函数。然后通过一些典型问题的分析，帮助读者加深对这一方法的理解。并且在分析中，有的问题采用多种方法求解。通过对比，读者可以明显地看到用母函数的方法解决问题具有较高的效率，并且程序具有非常规范的形式，易于实现。在本章的最后，我们就组合计数的常用方法加以归纳，并用母函数的方法来描述SAT问题和顶点覆盖问题，以帮助读者更好地理解母函数的方法。 1普通型母函数 大家对图1所示的三角形一定不会感到陌生，这个三角形就是通常所说的杨辉下角形，在西方则称之为帕斯卡三角形。世界上最早研究帕斯卡二角形的是中国的贾宪。贾宪生活在大约11世纪上半叶。他发展了中国古代数学的算法理论，在算法的抽象化、程序化，一般化方面做出了极大贡献。贾宪总结了《九章算术》以来的开方程序，并创造了“开方作法本源”。在《释锁》一书中，贾宪将0~6次的二项式展开式的系数，从上而下排成三角形，并提出了增乘方求廉法作为造表法，这是世界上最早的帕斯卡三角形。继贾宪后，在杨辉(1261)、朱世杰(1303)、吴敬(1450)的著作中，都有关于帕斯卡三角形的研究。在欧洲，15世纪的阿拉伯数学家Al-KashiG于1427年在《算术之钥》一书中给出了一个二项式展开式的系数表，这是欧洲对帕斯卡三角形的最早研究；而法国数学家Pascal B则于1654年在《算术三角形》中给出了如图2所示的三角形，但没有给出证明。

组合数学 2章 母函数

第二章 母函数及其应用 问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。 新方法：母函数方法。 基本思想：把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而 把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。 2.1 母 函 数 （一）母函数 （1）定义 定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞ =≡0n n n x a x G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。 （2）例 例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是。 ()x G ＝n n n n n n x C x C x C C ++++Λ2210＝()n x +1

例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是 ()x G ＝ΛΛ+++++n x x x 21＝ x -11 （3）说明 ● n a 可以为有限个或无限个； ● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定； 例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是 ΛΛ+++++n x x x 20＝ x x -1 ● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。 （4）常用母函数 （二）组合问题 （1）组合的母函数

定理2.1.1 组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ???=,,,2211Λ,且n 1＋ n 2＋…＋ n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为 ()x G ＝∏∑==? ??? ??m i n j j i x 10＝∑=n r r r x a 0 (2.1.1) 其中，r 可重组合数为r x 之系数r a ，r ＝0,1,2, …,n . 定理2.1.1的优点： ● 将无重组合与重复组合统一起来处理； ● 使处理可重组合的枚举问题变得非常简单。 （2）特例 推论1 {}n e e e S ,,,21Λ=，则r 无重组合的母函数为 G (x )＝ (1＋x )n (2.1.2) 组合数为r x 之系数C (n ,r )。 推论2 {}n e e e S ?∞?∞?∞=,,,Λ21，则r 无限可重组合的母函数为 G (x )＝ ()n n j j x x -=??? ? ??∑∞=110 (2.1.3) 组合数为x r 之系数C (n ＋r -1,r )。 推论3 {}n e e e S ?∞?∞?∞=,,,21Λ，每个元素至少取一个，则r 可重组合（r ≥n ）的母函数为 G (x )＝n n j j x x x ??? ??-=??? ? ??∑∞ =11 (2.1.4) 组合数为x r 之系数C (r -1, n -1)。 推论4 {}n e e e S ?∞?∞?∞=,,,21Λ， 每个元素出现非负偶数次，则r 可重组合的母函数为 G (x )＝( ) () n n n x x x x 224211 1-= +++++Λ Λ (2.1.5)

母函数

母函数（Generating function）详解 前段时间写了一篇《背包之01背包、完全背包、多重背包详解》，看到支持的人很多，我不是大牛，只是一个和大家一样学习的人，写这些文章的目的只是为了一是希望让大家学的轻松，二是让自己复习起来更方便。 （PS：大家觉得我的文章还过的去就帮我支持下我的个人独立博客---Tanky Woo 的程序人生：，谢谢） (以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科) 在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。 母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。 这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看： "把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来" "母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. " 我们首先来看下这个多项式乘法： 由此可以看出: 1. x的系数是a1,a2,…a n的单个组合的全体。 2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。 ……… n. x n的系数是a1,a2,….a n的n个组合的全体（只有1个）。 由此得到： 母函数的定义：

对于序列a 0，a 1 ，a 2 ，…构造一函数： 称函数G(x)是序列a 0，a 1 ，a 2 ，…的母函数 这里先给出2个例子，等会再结合题目分析： 第一种： 有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量每种重量各有几种可能方案 考虑用母函数来接吻这个问题： 我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样： 1个1克的砝码可以用函数1+x表示， 1个2克的砝码可以用函数1+x2表示， 1个3克的砝码可以用函数1+x3表示， 1个4克的砝码可以用函数1+x4表示， 上面这四个式子懂吗 我们拿1+x2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么1代表重量为2的砝码数量为0个。（理解！） 不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话： "把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来" 1+x2表示了两种情况：1表示质量为2的砝码取0个的情况，x2表示质量为2的砝码取1个的情况。 这里说下各项系数的意义： 在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个，而1就表示相应砝码取0个，这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x2(想下为何结合数学式子)。Tanky Woo 的程序人生： 所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧 几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示： (1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4) =(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)

矩母函数

累积量生成函数 随机变量的累积量生成函数κn X是定义为：对动差生成函数（动差母函数）取自然对数的函数，如果符合定义，将如下所示： 将累积量生成函数g(t)对t等于零之处微分 累积量生成函数与机率分布的动差值有很强的关联性。假如随机变量X存在期望值μ = E(X) 及变异数σ2 = E((X?μ)2)，则累积量生成函数g(t)的一阶 与二阶微分刚好是上述数值: μ = κ 1及σ2= κ 2 。第c个累积量表达的方式 为 使用累积量生成函数优于动差值的情况在于独立变量X和Y， 如此一来相加累积量的合可表达成累积量的相加，也就是具有加成性。 一个分布的累积量κn可以使用Edgeworth series来近似。 有些作者[1][2]偏好定义累积量生成函数为对特征函数取自然对数，或者有人称为第二特征函数，[3][4] 使用此函数的好处在于，即便可能随机变量X是一大变量仍被完整定义。尽管他的累积量生成函数或者是动差母函数是存在的，但在这种情况下，通常不允许被展开成累积量生成函数或者是动差母函数而表达成线性级数数列的模式。Cauchy distribution（也称作Lorentzian）和stable distribution（与“Lévy distribution”有关）是生成函数无法被展开的两个例子。

一些离散随机变量的累积量 ?退化的随机变量X = 1 的累积量生成函数为g (t) = 1. 第一累积量为κ1 = g '(0) = 1 ，其他的累积量为零，κ2 = κ3 = κ4 = ... = 0. ?退化的随机变量X = μ. 每一个累积量是退化的随机变量X = 1 的μ倍。其积量生成函数为g '(t) = μ. 第一累积量为κ = g '(0) = μ，其他的累积量为零，κ2 = κ3 = κ4 = ... = 0. 1 ?伯努利分布，特殊情形为p = 1 时是退化的随机变量X = 1. 累积量生成函数为g '(t) = ((p?1?1)·e?t + 1)?1。第一累积量为κ = g '(0) = p，κ2 = g ' '(0) = p·(1 ?p) . 其累积量可以整理 1 成下面形式 ?几何分布，累积量生成函数为g '(t) = ((1 ?p)?1·e?t? 1)?1。第一 = g '(0) = p?1? 1 ，κ2 = g ' '(0) = κ1·p? 1. 代换累积量为κ 1 p = (μ+1)?1可得g '(t) = ((μ?1 + 1)·e?t? 1)?1及κ = μ. 1 ?卜瓦松分布，累积量生成函数为g '(t) = μ·e t. 所有的累积量均为: κ1 = κ2 = κ3 = ...=μ. ?二项分布，其特殊情形是n = 1 时为伯努利分布. 每一累积量是n倍相对应的伯努利分布。累积量生成函数为g '(t) = n·((p?1?1)·e?t + 1) ?1。第一累积量为κ = g '(0) = n·p及κ2 = g ' '(0) = κ1·(1?p). 1 代换p = μ·n?1可得g '(t) = ((μ?1?n?1)·e?t + n?1)?1及κ1 = μ。 极限值逼近情形则为n?1 = 0 之卜瓦松分布。 ?负二项分布，其特殊情形为n = 1 时是为几何分布。每一累积量是n倍相对应的几何分布。累积量生成函数为g '(t) = n·((1?p)?1·e?t?1) ?1。第一累积量为κ = g '(0) = n·(p?1?1), 及κ2 = g ' '(0) = κ 1 ·p?1. 代换p = (μ·n?1+1)?1可得g '(t) = ((μ?1+n?1)·e?t?n?1)?1及κ 1