辅助角公式应用
辅助角公式应用
在三角函数的学习过程中，有一个和差角公式的变形式：辅助角公式要引起重视。. 为便于研究，下文中辅助角公式一律化为正弦和角公式：()sin cos f x a x b x =+
sin cos x x ?=+
()x ?=+，[,)?ππ∈-
其中cos ??=
=
（?几何意义：(),p a b 所在终边对应的中心角）
当定义域为R 时，(
)f x ?∈?.
当定义域有限定时，要根据辅助角公式?的几何意义得到?的估计范围，再根据x ?+的区间范围及三角函数的单调性（或三角函数线）来作出判断，求出函数的最值或值域. 1.求函数()sin 2cos ,0,
2f x x x x π??
=+∈????
的值域. 【解析】由辅助角公式可得：(
)()f x x x x ??
=+=+??
，
（其中sin ??=
=. sin 0,cos 00,2π??????
>>∴∈ ???
为第一象限角，可令
0,,22x x ππ???????∈∴+∈+???????? ，又
+22ππ?π<<,
[],0,2π?
?π??
∴+?????
， 而
sin cos 2π?????
=
+==
???，()f x ?∴∈??
. 2.求函数()22sin 3cos ,,63f x x x x ππ??
=-∈?
???
的值域.
【解析】解法一：辅助角公式:(
)() sin cos13sin
1313
f
x x x x?
=+=+
?
?
.
其中sin??
==，?为第四象限角.
又
1
sin sin
62
π
???
<-=-
?
??
，可令,
26
ππ
???
∈--
?
??
，
22
,,
6363
x x
ππππ
???
????
∈∴+∈++
????
????
，而
2
0,
632
πππ
??
+<+
<.
函数sin,,
22
y x x
ππ
??
=∈- ?
??
单调递增，2sin
3cos1
6662
f
πππ
??
=-=-
?
??
，2
223
2sin3cos
33
32
f
πππ
??
=-=+
?
??
()3
1,
22
f x
?
∴∈-+
?
?
解法二：数形结合法:令()23
f
x t v u
==-
，如右
图圆弧与直线
31
22
v u t
=-有交点，则直线如右图
12
,l l位置过圆弧左右端点时是直线平移的界限.
圆弧两个端点坐标为
1
1
,,,
2
222
????
-
? ?
? ?
????
，
代入直线方程的
3
1,
22
t
?
∈-+
?
?
(
)3
1,
22
f x
?
∴∈-+
?
?
3.函数3cos 4sin ,[
,]63
y x x x ππ
=+∈的值域__________.
4[
,5]2+【解析】4sin 3cos 5sin()y x x x ?=+=+,其中34sin ,cos 55
??== 且估算(
,)64ππ
?∈,而[,]63x ππ∈,估算7()(,)312
x ππ
?+∈
所以,当6
x π
=
时,函数有最小值min 43cos
4sin
6
6
2
y π
π
+=+=
当2
x π
?+=
时,函数有最大值max 5y =,即函数值域4[
,5]2
y +∈ 4.设x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =+ 取得最大值，则cos θ=__________.
【解析】解法一：辅助角公式:由辅助角公式可得：()()sin 2cos f x x x x ?=+=+， 其中sin
??=
=，当x θ=时，()f x 取得最大值. 则2,2
k k Z π
θ?π+=+
∈，即2,2
k k Z π
θπ?=+
-∈ .
cos cos sin
2πθ????
=-==
???
.
解法二：导数法:()cos 2sin 0,f θθθ'=-= sin 2cos θθ+= ，得cos
θ=
解法三：解方程组:由条件可得()max
f x =，即22
sin 2cos sin cos 1
θθθθ?+=??+=??，消去sin θ
得
)
2
22cos cos 1θ
θ-+=，解得cos
θ=
. 解法四：向量法 :令()()2,1,cos ,sin a b x x ==r r ，则()cos f x a b a b ?==r r r r
g
当cos ?取得最大值时，()f x 取得最大值，此时a r 与b r
同向共线，易得cos θ=.
解法五：数形结合法
令2
2
cos ,sin ,1u x v x u v ==+=则
()2f x t v u ==+，如右图圆弧与直线
2v u t =-+（t 为纵截距）有交点，则
直线如右图1l 位置与圆相切时t 取最大值，切点()cos ,sin A θθ.此时1l 斜率为2-，
易得cos θ=5.设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=__________.
5-
【解析】
因()2sin cos )f x x x x α=-=-，
其中cos ,sin 55
αα==，又当x θ=时，函数()f x 取得最大值，所以22k θαπ-=
+π，
即2()2
k k Z θαπ
=+π+∈，所以cos cos(
2)2k θαπ=+π+
＝sin 5
α-=-
． 6.若x θ=时，函数()2sin 3cos f x x x =- 取得最大值，则tan θ=__________.
23-【解析】(
)2sin 3cos )f x x x x ?=-=+
其中cos ??==
, 又当x θ=时，函数()f x 取得最大值，所以22k θ?π+=+π，
即2()2
k k Z θ?π
=+π-∈， 所以cos 2
tan tan(
2)cot 2sin 3
k ?θ???π=+π-===-. 7．已知方程2sin cos x x c +=在(0,)π上有两个根α和β，则sin()αβ+=_________．
1
4
5cos x c += 其中(cos
??=
=,sin()sin x t ?+==
依题意方程在(0,)π上有两个根α和β，故只能有2k t α?π+=+，2k t β?ππ+=+-， 所以4
sin()sin(2)sin 22sin cos
5
αβπ????+=-====
方法二：用特殊值2
c =
则6t π=或56t π=．
8．已知函数()sin()2cos()f x x x πφπφ=+-+（0φπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2φ=（ ） A ．45-
B ．35-
C ．35
D ．4
5
A 【解析】()sin()2cos()f x x x πφπφ=+-+)]x πφα=+-， 其中sin
α=
，cos α=．又函数的图象关于直线1x =对称， 所以2
k π
πφαπ+-=+
（k Z ∈），即2
k π
φπα=+-
，
则sin 2sin(22)k φπαπ=+-sin(2)sin 22sin cos απααα=-=-=-
4
5=-=-．
【点评】利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解
即可．
9. 若()2015sin 2016cos f x x x =-的一个对称中心为(),0a ，则a 的值所在区间可以是 （ ）
A ．(0,
)4π
B ．(,)43ππ
C ．(,)32ππ
D ．3(,)24
ππ
【解析】方法一:利用辅助角公式: 由于()2015sin 2016cos f x x x =-
()
cos f x x x ∴=+
)x ?=+,其中2016
tan 2015
?=-
,且(,0)2π?∈-
所以可得2016
tan 12015
?<=-
<-,估算(,)34ππ?∈--
又(),0a 是()f x 的一个对称中心,)0x ?+=
sin()0a ?∴+=,得,(Z)a k k ?π+=∈,即,(Z)a k k π?=-∈
由(,)34
π
π?∈-
-知: ,(Z)43k a k k ππ
ππ+<<+∈
故当0k =时, (
,)43
a ππ
∈.
方法二:直接应用零点定义: 由(),0a 是()f x 的一个对称中心,得()0f a =
∴ ()2015sin 2016cos 0f a a a =-=,得2016
tan 2015
a =
∈ ∴,(Z)4
3
k a k k π
π
ππ+
<<+
∈,故当0k =时, (,)43a ππ
∈.