情景挂板法(storyboard)

情景挂板法(storyboard)

又名：思维展示法( displayed thinking)

概述

情景挂板法是一种将想法可视化的工具，它可以让很多人同时形象地了解到一个过程、一个组织、一个计划或者一个概念的方方面面。这种工具可以激发右脑的创造力和左脑的分析能力，从而产生突破性的想法。

适用场合

·当设想新思路时；

·当规划一个项目时；

·当设计过程流程图时；

·当准备一场演说时；

·当陈列提出的建议时；

·当需要列出并整理项目的各项活动和结果时。

实施步骤

所需材料：尺寸不同的卡片或商务帖、大张新闻纸或插针板，另外每个参加者都要有一只记号笔。

1确定情景挂板的主题。把它写在一个大卡片上并放在新闻纸或插针板的顶部。

2用头脑风暴法来确定即将讨论的重要标题并把它们写在大标题卡片上。第一张卡片应当是“目的”或“原因”。继续运用头脑风暴法一直到再没有新的想法产生。

3认真讨论每一个标题，找出那些重复的或不太重要的并把它们删除。有些标题可能从属于另外一个，也要把它删除。小组成员可以反对任何—个标题，然后小组应通过强调这一想法的重要性来努力消除大家的反对。如果反对被消除，则应讨论下一张卡片；如果不能被消除，就要删掉这个标题。继续讨论直到小组确定出了所有重要标题为止。

4选择其中一个标题用头脑风暴法将其展开。把这些想法写在小卡片上并放在该标题的下边，这些小卡片叫“子项”。继续运用头脑风暴法一直到再没有新的想法产生。

5像步骤3一样认真讨论子项，在需要作选择的时候可以用其他工具（如决策矩阵、列表削减法或多轮投票法）以使之缩减。

6依次对每个标题生成子项。要记住，每个标题都要先运用头脑风暴法，然后再进行讨论。

7添加一些细节使挂板更加完整：

·对重要的图表、照片或概要加以备份和进行简短的标记；

·用箭头和连线将各种想法连接起来以表明其相互关系；

·写有注释内容的小卡片叫“边项”，可以放在被注释卡片的旁边以便作评论或进一步的详细阐述。

8版面设计完成后，在形成完整的情景挂板之前，还可以进行一定的精简，以及将措辞和图表完善，以便于计算机识别。

示例

这个例子是第4章ZZ-400制造小组改进案例的一部分。ZZ-400研究纯度小组制作了一份情景挂图板(图表5. 178)，对公司的其他员工解释他们是如何解决质量问题的，以及将他们从项目中学到的经验传播到整个公司。主题卡片是“减少铁的含量”，重要标题是“问题是什么？”“如何才能找到问题的本质原因？”“我们如何修复它？”和“如何阻止问题再一次发生？”在每一个重要标题下都有描述其具体做法的子项。

那些帮助他们解决问题的关键图表和文档的备份只阐述了工程的步骤。边项则把信息很好地关联起来。

注意事项

·情景挂板法是由沃特·迪斯尼制片厂发明，用来制作卡通电影的一种工具，现在仍然被

制片厂所运用。谨记在使用情景挂图板说明设计的故事或项目时一定要充分发挥你的创造力。主要的故事、布景、角色、冲突和解决办法到底是什么？

·情景挂板法要由一个小组来实施，4～10个成员是比较理想的规模。

·情景挂板法要交替运用创造性头脑风暴法和正确的评估，而保持这两种模式的独立性是至关重要的。将这两种模式混合在一起将是一个致命的错误：小组内一些人持批评态度时其他人就不能很好地发挥他们的创造力。保持小组处于正确的模式下运行是小组辅导者的角色。避免这个问题的一个有效方法就是将白板划分为两部分，一边是“创造区”，另一边是“评论区”，由贴在白板上的商务贴来向全组发出信号：现在进行的是哪种模式？

·要由小组辅导者作出创造模式与评论模式之间转换的决定，也可由小组成员提出建议。

·主题确定得越好，最终得到的结果越好，而且得到结果也就越容易。

·通常的重要标题包括目标、预期状况、做什么、由谁来做、什么时候做、怎样做以及成本核算等，而这些题目是由所讨论的主题来决定的。

·为了加速这一创造性过程，可以让参加者本人把他们的想法写在卡片上。

·色彩的运用。总用固定颜色的笔很难表达不同层面的意思。

·不同的题目写在不同颜色的卡片上会有利于人眼睛和思维的区分。

·要了解更多有关该过程的情况可以参阅“头脑风暴法”。

·情景挂板法可以用来构建其他一些工具。参阅相关章节，可以用情景挂板法进一步开发“细节流程图”和“需求测量树”等工具。

·“心智图”电是一种与情景挂板法相似的用来建立计划和观点之间可视化联系的工具。

END

排列组合问题教师版

二十种排列组合问题的解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理． 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理． 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题．提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =???种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事． 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或 是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类． 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 排法； 然后排首位，从２，４和剩余的两个奇数中任选一个共有1 4C 种排法； 最后排中间三个数，从剩余四个数中任选３个的排列数共有34A 种排法； ∴由分步计数原理得113 4 34288C C A = 443

排列组合问题之 插板法应用小结!

数算]排列组合问题之插板法应用小结！ 插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。 应用插板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 分享一点个人的经验给大家，我的笔试成绩一直都是非常好的，不管是行测还是申论，每次都是岗位第一。其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。公务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题的能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急的决策）。非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，这在考试中是非常不得了的。QZZN有个帖子专门介绍速读的，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了笔试的好成绩。其实，不只是行测，速读对申论的帮助更大，特别是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。有条件的朋友可以到这里用这个软件训练速读，大概30个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非常大的一个网站，极力的推荐给大家（给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字）。大家好好学习吧！最后，祝大家早日上岸。此段是纯粹个人经验分享，可能在多个地方看见，大家读过的就不用再读了，只是希望能和更多的童鞋分享。 =================================================== 举个很普通的例子来说明 把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？ 问题的题干满足条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 a 凑元素插板法（有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法） 例1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？ 3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入 1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？ 显然就是c12 2=66 ------------------------------------------------- 例2：把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？

高中数学排列组合难题十一种方法教师版

高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有 m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花 盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素， 再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法

排列组合--插板法、插空法、捆绑法32415

排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻） 插板法（m为空的数量） 【基本题型】 有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？ ”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的， 【总结】 需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。 注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。 插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 举个很普通的例子来说明 把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况? 问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 e 二次插板法 例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况? -o - o - o - o - o - o - 三个节目abc 可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位 所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种 【基本解题思路】 将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。

高考数学专题七：排列组合二项式定理教师版教师原创 全国通用

高考数学专题七：排列、组合、二项式定理 一、高考考试说明 计数原理 （１）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题． （２）理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. （３）理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. （４）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 二、核心知识点归纳： 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 １．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第１类方案中有m种不同的方法，在第２类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同方法． ２．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第１步有m种不同的方法，做第２步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 注意： １．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． ２．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的． 二、排列与组合 １．排列与排列数 （１）排列： 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出

m个元素的一个排列． （２）排列数： 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作A错误!. ２．组合与组合数 （１）组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合． （２）组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C错误!. ３．排列数、组合数的公式及性质 注意： １．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关． ２．计算A错误!时易错算为n（n—１）（n—２）…（n—m）． ３．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数． ４．排列问题与组合问题的识别方法：

插板法插空法解排列组合问题

插板法、插空法解排列组合问题 华图教育 邹维丽 排列组合问题是行测数学运算中的经常碰到的一类问题，试题具有一定的灵活性、机敏性和综合性，也是考生比较头疼的问题。掌握排列组合问题的关键是明确基本概念，熟练基本题型。解决排列组合问题的方法很多，有插板法，捆绑法，优先法等等，本文主要介绍插板法、插空法在行测数学运算中的应用，以供大家参考。 所谓插板法，就是在n 个元素间的n-1个空中插入若干个（b ）个板，可以把n 个元素分成b+1组的方法，共有b n C 1-种方法。 应用插板法必须满足三个条件： (1) 这n 个元素必须互不相异； (2) 所分成的每一组至少分得一个元素； (3) 分成的组别彼此相异 举个普通的例子来说明。 把8个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题 干满足条件（1），（2），（3），所以适用插板法。在8个小球间的7个空插入3个板，共有3537=C 种情况。 上面介绍的插板法主要是用解决相同元素的名额分配问题，而对于排列组合中常出现的几个元素的不相邻问题，我们可以用插空法来解决，对这种问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。 下面我们通过几道题来熟悉这两种方法的应用。 例1 某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（ ）（国2010 -46） A.7 B.9 C.10 D.12 【解析】C 。本题乍一看不满足应用插板法的条件，插板法的条件（2）要求所分成的每一组至少分得一个元素，可本题要求每个部门至少发放9份材料。事实上，我们可以分两步来解这道题： 1. 先给每个部门发放8份材料，则还剩下30-8*3=6份材料。 2. 本题即可转化为：将6份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放1份材料。 问一共有多少种不同的发放方法？应用插板法可得共有1035=C

人教版的高中的数学《排列组合的》教案设计

排列与组合 一、教学目标 1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 三、活动设计 1.活动：思考，讨论，对比，练习． 2.教具：多媒体课件． 四、教学过程正 1．新课导入 随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．

2．新课 我们先看下面两个问题． (l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 板书：图 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法． (2) 我们再看下面的问题： 由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A 村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 板书：图 这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一

人教版高中数学排列组合教案设计

实用文档 排列与组合 一、教学目标 1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 三、活动设计 1.活动：思考，讨论，对比，练习． 2.教具：多媒体课件． 四、教学过程正 1．新课导入 随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．

实用文档 2．新课 我们先看下面两个问题． (l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 板书：图 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法． 一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在第二类办法中有m种不同的方法，……，21在第n 类办法中有m种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m十m2n1十…十m种不同的方法．n(2) 我们再看下面的问题： 由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 板书：图

(推荐)排列组合问题之插板法

排列组合问题之插板法： 插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组至少一个元素；若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢？ 例1．现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法? 【解析】：题目中球的分法共三类： 第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。其分法种数为C37=35。 第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。其分法种数2*C27=42。第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。其分法种数C17=7。 所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为84：。 由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种虚拟的情境——插板。 将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法。 由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9个空档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组），其方法种数为C39=84。 由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以 下3个条件： ①所要分的元素必须完全相同； ②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余； ③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。 下面再给各位看一道例题： 例2．有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法. A．35 B．28 C．21 D．45 【解析】：这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用上面所讲的“插板法”，而忽略了“插板法”的适用条件。例2和例1的最大区别是：例1的每组元素都要求“非空”，而例2则无此要求，即可以出现空盒子。

六年级奥数试题-排列组合(教师版)

第十九讲排列组合 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 一般地，从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 排列的基本问题是计算排列的总个数． 从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素 P． 的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做m n 根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成： 步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法； 步骤2：从剩下的(1 n-)种方法； n-)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1

…… 步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有 11n m n m --=-+（）(种)方法； 由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是 121n n n n m ?-?-??-+L （）（）（） ，即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘． 二、排列数 一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-????L （ ）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =?-?-????L L （）（）　． 在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算． 三、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取 出m 个不同元素的组合数．记作m n C ． 一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =?．

排列组合--插板法、插空法、捆绑法

排列组合问题——插板法(分组)、插空法(不相邻)、捆绑法(相邻) 插板法(m为空得数量) 【基本题型】 有ｎ个相同得元素,要求分到不同得m组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法？ 图中“"表示相同得名额,“”表示名额间形成得空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板",则将这１0 个名额分割成七个部分,将第一、二、三、……七个部分所包含得名额数分给第一、二、三……七所学校,则“挡板"得一种插法恰好对应了１0 个名额得一种分配方法,反之,名额得一种分配方法也决定了档板得一种插法,即挡板得插法种数与名额得分配方法种数就是相等得, 【总结】?需满足条件:ｎ个相同元素,不同个ｍ组,每组至少有一个元素,则只需在ｎ个元素得n－1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。? 注意:这样对于很多得问题,就是不能直接利用插板法解题得。但,可以通过一定得转变,将其变成符合上面3个条件得问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到得效果。 插板法就就是在n个元素间得(n—１)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+１)组得方法. 应用插板法必须满足三个条件: (1) 这n个元素必须互不相异 (2)所分成得每一组至少分得一个元素?(3)分成得组别彼此相异 举个很普通得例子来说明 把1０个相同得小球放入3个不同得箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况？ 问题得题干满足条件(1)(２),适用插板法,c9 2＝36 ?下面通过几道题目介绍下插板法得应用 e二次插板法?例8:在一张节目单中原有６个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况？?－o — o －ｏ－o -ｏ—o —三个节目ａｂｃ 可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位 所以一共就是c71×ｃ８１×c9 1=50４种 【基本解题思路】 将n个相同得元素排成一行,n个元素之间出现了(n－１)个空档,现在我们用(m—１)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把ｎ个元素隔成有序得ｍ份,每个组依次按组序号分到对应位置得几个元素(可能就是１个、2个、3个、4个、…。),这样不同得插入办法就对应着n个相同得元素分到m组得一种分法,这种借助于这样得虚拟“档板”分配元素得方法称之为插板法。

排列组合中染色问题(教师用)

排列组合中的染色问题 辅导教师：朱屿 电话： 染色问题的基本要求：每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色 注意问题：颜色的种类，是否有颜色限制。必要时可对颜色进行分类。 1.将A 、B 、C 三种不同的颜色，填到如图所示区域中，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，颜色不能有剩余，则不同的涂法种数为（90） 解：9061 21212121213=-C C C C C C （详解:先从三种不同的颜色中选出一种填到第一个小格 中,后面每小格都有两种不同的选法,所以共有1 21212121213C C C C C C 种,但由于每种颜色都用到且不能有剩余有以下重复的现象出现共六种,所以总计有:90种,） 如果方格数有变化，应该怎样解？ 2.如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分颜色不同，则不同的栽法种数为（120） 5 6 23 4 1 解：先安排1、2、3有243 4=A 种，不妨已分别栽A 、B 、C ，则4、5、6的栽法有 B-C-D B-D-C D-B-C D-B-D D-C-D 共计五种。所以共计有24*5=120种。 3.用五种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的填法种数为（260） 解：①.如果用4种颜色，有1204 5=A 种

1 43 2 ②.如果用3种颜色，选色的103 5=C ，填色方案有2*2*3=12种，共计10*12=120种， B B B C C C A A A B C A ③.用2色图，2022 5=?C ，综上共计120+120+20=260种。 4.用五种颜色涂如图所示的区域，有多少种不同的涂法？（180） 解： 1 4 3 2 ①.如果用3种颜色，603 335=?A C ； ②. .如果用4种颜色，有1204 5=A 种。所以共计180种。 5.用六种广告色着色图中区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色。（480） 14 3 2 解：4804456=??? 6.用n 种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，不同的图法种数为120种，则n=（120）。

巧用隔板法解排列组合题

巧用隔板法解排列组合题 徐帮利 临沂市第二中学 解决排列组合问题的方法很多,从解题形式来看,可分为直接法和间接法两种;根据具体问题情景又有：相邻问题“捆绑法”;不相邻问题“插空法”;特殊定位“优限法”(优先排列受限制的位置或元素);同元问题“隔板法”等.这里我们重点看一下“隔板法”. “隔板法”适用于相同元素的分配问题,如投球进盒、名额或指标的分配、部分不定方程的整数解的组数等,解决时通常设计一个问题情景,构造一个隔板模型,将复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,从而实现解题的目的.下举例述之. 例1.某运输公司有7个车队,每个车队的车多于4辆,现从这7个车队中抽出10辆车,且每个车队至少抽1辆,组成一个运输队,则不同的抽法有（ ）种. 解析:此题若使用其它方法,则需要分类,都比较麻烦,若用“隔板法”,则就轻而易举了.首先将10辆车排好,这样形成9个空,从这9个空中选6个,插入隔板,即将这10辆车分成7 份,每一种插法对应一种抽法,故共有6984C =种不同的抽法.所以选A. 例2.方程123410x x x x +++=共有多少组正整数解 解析:此题乍看上去,好象思路不太好找,那就只好列举了(麻烦啊！).殊不知,巧构隔板模型,即可化繁为简.将10个完全相同的小球排成一列,形成9个空,从中选3个,插入隔板,将球分成4份,每一种插法所得4份球的各份的数目,分别对应1234x x x x 、、、,即为原方程 的一组正整数解.故原方程组共有3984C =组不同的整数解. 例3．将10个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中所放的球数不少于其编号数,问不同的放法有多少种 解析:由于条件要求每个盒子中所放的球数不少于其编号数,我们不妨先“找平了”,即先在第1,2,3个盒中各放0,1,2个球.问题即转化为求:将7个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒中至少1个球的不同放法.将7个小球排成一排,形成6个空,从中选2个,插入隔板,把球分成三组,放入对应的盒子里,每一种插法,对应一种放法,故共有2615C =种不同的放法. 强化训练:

柱平法施工图识读

柱平法施工图识读 柱平法施工图系在柱平面布置图上采用列表注写方式或截面注写方式表达柱构件的截面形状、几何尺寸、配筋等设计内容，并用表格或其他方式注明包括地下和地上各层的结构层楼(地)面标高、结构层高及相应的结构层号(与建筑楼层号一致)。 1)列表注写方式 列表注写方式，就是在柱平面布置图上，分别在不同编号的柱中各选择一个(有时需几个)截面，标注柱的几何参数代号；另在柱表中注写柱号、柱段起止标高、几何尺寸与配筋具体数值；同时配以各种柱截面形状及其箍筋类型图的方式，来表达柱平法施工图(图1)。一般情况下，一张图纸便可以将本工程所有柱的设计内容(构造要求除外)一次性表达清楚。 如图1所示，列表注写方式绘制的柱平法施工图包括以下三部分具体内容： 第一部分：结构层楼面标高、结构层高及相应结构层号。此项内容可以用表格或其他方法注明，用来表达所有柱沿高度方向的数据，方便设计和施工人员查找、修改。如表1所示：层号为2的楼层，其结构层楼面标高为3.87 m，层高为3.9 m。 第二部分：柱平面布置图。在柱平面布置图上，分别在不同编号的柱中各选择一个(或几个)截面，标注柱的几何参数代号：b1、b2、h1、h2，用以表示柱截面形状及与轴线关系。 第三部分：柱表。柱表内容包含以下六部分： ①柱编号：由柱类型代号(如：KZ…)和序号(如：1、2…)组成，应符合表2的规定。给柱编号一方面使设计和施工人员对柱种类、数量一目了然；另一方面，在必须与之配套使用的标准构造详图中，也按构件类型统一编制了代号，这些代号与平法图中相同类型的构件的代号完全一致相，使二者之间建立明确的对应互补关系，从而保证结构设计的完整性。

排列组合教学设计

全县小学骨干教师送 教下乡观摩研讨活动 」学设计~I数学广角一一排列组合 教学内容： 人教版数学三年级上册P112例1、例2。 教学分析： 排列与组合不仅是组合数学的最初步知识和学习概率统计的基础，而且也是日常生活中应用比较广泛的数学知识。在二年级上册教材中，学生已经接触了一点排列与组合知识，学生通过观察、猜测、操作可以 找出最简单的事物的排列数和组合数。本册教材就是在学生已有知识和经验 的基础上，继续让学生通过观察、猜测、实验等活动找出事物的排列数和组合 数。 教学目标： 1、学生通过观察、猜测、操作、合作交流等活动，找出简单事物的排列 数和组合数。 2、初步培养有序地全面地思考问题的能力，发展学生的符号感。 3、学生在丰富的生活情境中感受数学与生活的紧密联系，增强 对数学学习的兴趣和用数学的眼光观察生活的数学素养。 教学重点： 经历探索简单事物排列与组合规律的过程，能有序地找出简单事物的排列数和组合数。 教学难点：培养学生有序地、全面地思考问题的能力。 教具、学具准备：课件、数字卡片 教学过程： 、激情引趣

想和我一起去数学广角吗？相信凭借你们的智慧，今天一定会玩的非常开心！ 二、操作探究 1、破译密码——体会排列。 （1）初步体会课件出示：请输入密码密码提示：用1、2、3 组成的三位数。 有多少种可能性？ （2）深入探究用手中的数字卡片摆一摆，共有几种可能？一人摆数字卡片，一人写在答题卡上。 学生活动，教师巡视。实物投影仪展示不同写法。 （3）比较优化：你喜欢哪一种？为什么？ （4）输入密码，开启数学广角 2、握手庆贺——体会组合 （1）实际感知同桌互相握手庆贺合作愉快。两个人握手几次？如果每两个人握一次手，三人一共要握手多少次呢？猜猜看？ 现在四人一小组，请小组长作指挥，小组内的另外三个同学握一握，看看一共握手多少次？ 学生活动，教师巡视。选择小组上台展示有序握手的方法。 （2）提炼符号有没有好方法把这个结果简单而有条理地记录下来呢？用自己喜欢的方式记录下来。 学生活动，教师巡视。 实物投影仪展示多种表示方法。学生互相评价比较优化——符号代替。 3、对比分析 为什么从3个数字可以摆成6个不同的三位数，而3个同学每两个握一次手，就一共只握了3 次呢？ 小结：排数，交换数的位置，就变成另一个数了，这和顺序有关。

梁平法施工图识读

梁平法施工图识读 ?梁平法施工图系在梁平面布置图上采用平面注写方式或截面注写方式表达。在梁平法施工图中，也应注明结构层的顶面标高及相应的结构层号(同柱平法标注)。需要提醒注意的是：在柱、剪力墙和梁平法施工图中分别注明的楼层结构标高及层高必须保持一致，以保证用同一标准竖向定位。通常情况下，梁平法施工图的图纸数量与结构楼层的数量相同，图纸清晰简明，便于施工。 ?1)平面注写方式 ?平面注写方式系在梁平面布置图上，分别在不同编号的梁中各选一根梁，在其上注写截面尺寸和配筋具体数值的方式来表达梁平法施工图，见图18。 ?平面注写包括集中标注和原位标注，集中标注表达梁的通用数值，即梁多数跨都相同的数值；原位标注表达梁的特殊数值，即梁个别截面与其不同的数值。当集中标注中的某项数值不适用于梁的某部位时，则将该项数值原位标注，施工时，原位标注取值优先。既有效减少了表达上的重复，又保证了数值的惟一性。 ?(1)梁集中标注的内容，有五项必注值及一项选注值，规定如下： ?①梁编号，该项为必注值。由梁类型代号、序号、跨数及有无悬挑代号组成。根据梁的受力状态和节点构造的不同，将梁类型代号归纳为六种，见表8的规定。 ?②梁截面尺寸，该项为必注值。等截面梁时，用b×h表示；当为加腋梁时，用b×h 表示;当为加腋梁时，用b×h 1×C1表示，其中C1为腋长，C2为腋高(图19)；当有悬挑梁且根部和端部的高度不同时，用斜线分隔根部与端部的高度值，即b×h12(图 20)。

梁类型代号序号跨数、是否带悬挑 楼层框架梁()、()或() 屋面框架梁()、()或() 框支梁()、()或() 非框架梁L ()、()或() 悬挑梁 井字梁()、()或() ?③梁箍筋包括钢筋接别、直径、加密区与非加密区间距及肢数，该项为必注值。箍筋加密区与非加密区的不同间距及肢数需用斜线分隔；当梁箍筋为同一种间距及肢数时，则不需用斜线；当加密区与非加密区的箍筋肢数相同时，则将肢数注写一次；箍筋肢数应写在括号内。加密区范围见相应抗震级别的构造详图。 ?例如：“中10@100／200(4)”，表示箍筋为235级钢筋，直径10 ，加密区间距为100，非加密区间距为200，均为四肢箍。又如：“Φ8@100(4)／150(2)”，表示箍筋为235级钢筋，直径8 ，加密区间距为100，四肢箍；非加密区间距为150，双肢箍。 ?④梁上部通长筋或架立筋配置(通长筋可为相同或不同直径采用搭接连接、机械连接或对焊连接的钢筋)，该项为必注值。应根据结构受力要求及箍筋肢数等构造要求而定。当同排纵筋中既有通长筋又有架立筋时，应采用加号“+”将通长筋和架立筋相连。注写时须将角部纵筋写在加号的前面，架立筋写在加号后面的括号内，以示不同

五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).教师版知识讲解

一、 排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列． 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 排列的基本问题是计算排列的总个数． 从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出 m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ． 根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成： 步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法； 步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法； …… 步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种) 方法； 由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ?-?-??-+L （）（）（） ，即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘． 二、 排列数 一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-????L （ ）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积， 知识结构 排列组合

行测答题技巧：插板法解决排列组合问题

行测答题技巧：插板法解决排列组合问题 一、直接使用插板型 例1、把9个苹果分给5个人，每人至少一个苹果，那么不同的分法一共有多少种?()(2010年河南政法干警考试A卷第41题) A.30 B.40 C.50 D.60 答案：D。该问题用分类计数法较复杂，但可以将9个苹果排成一行,9个苹果中间就出现8个空挡，再用,4个挡板把9个苹果分成有序的5份，每个人就依次按序分到对应的n个苹果(可能是1个﹑2个﹑3个﹑4个、5个)。即在8个空挡中插入4个挡板，由4个挡板把球分成5份,共有C84种方法。 在这道题目中，直接符合了使用插板法的2点要求：(1)每个苹果都相同;(2)每个人都至少拿到1个苹果。 二、一组多元素型 例2、某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法?()(2010年国家公务员考试行测第46题) A.12 B.10 C.9 D.7 答案：B。先拿出24份材料，每个部分发8份，这时变成"6份材料发给3个部门，每个部门至少发1份"，再利用插板法，在5个空中插上2个挡板：C52=10(种)发放办法。 在这道题中，显然不符合使用插板法的第二点要求："每组中至少分得一个元素"。题目要求"每个部分至少发放9份材料"，因此可以把题目稍作变形，先给每个部分发8份材料，题目就变成了"每个部分至少发1份材料"，符合使用插板法的2个要求，可以使用插板法。 三、允许空组型

例3、6个相同的苹果分给3个小朋友，请问一共有多少种分配方法?() A.16 B.20 C.24 D.28 答案：D。先"借"给每个小朋友一个苹果，现在一共有6+3=9个苹果。我们现在将这9个苹果分给3个小朋友，为了偿还刚才"借"的苹果，要求现在分配的时候"每个小朋友至少得到1个苹果"，在8个空中插上2个挡板：C82=28(种)方法。 这道题中，题目要求"6个相同的苹果分给3个小朋友"，允许有空组的存在，显然不符合使用插板法的第二点要求："每组中至少分得一个元素"，因此，先"借"给每个小朋友一个苹果，之后要求每个小朋友至少分得1个苹果，再把分得的苹果中拿出一个偿还，这就使题目变形符合使用插板法的2点要求，可以使用插板法。 从上面几道题目中不难看出，元素分组问题使用插板法后能变得较为简单。而使用插板法有2个要求：①元素相同;②每组中至少分一个元素。如果题目中的要求不符合其中一项，可将题目变形，使题意符合这2个要求，再使用插板法。

排列组合概率(教师版)

排列组合，二项式定理 排列组合 高考：要求不是很高，排列，组合，二项式，概率，期望，方差。 知识点： 1. 组合数性质 C C m n m n n -=，11C C C m m m n n n -++=，0C 2n r n n r ==∑，11C C r r n n r n --=，1 121C C C C C r r r r r r r r n n +++++++ +=． 2. 二项式展开的通项公式 1C r n r r r n T a b -+=（0,1,2,,r n =）． 3. 几何概型 【例1】 6个人站成一排： ⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？ ⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？ ⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？ ⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？ 【例2】有6本不同的书 ⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？ ⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？ ⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？ ⑷分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？ ⑸分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？ ⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？ ⑺摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？ 【解析】 ⑴在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给 丙， 共有222642C C C 90??=（种）．这是均匀编号分组问题 ⑵6本书平均分成3堆，用⑴中方法重复了33 Α倍，故共有2 264 3 3 C C 15?=Α（种）．这是 均匀分组问题． ⑶从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一 堆，共有123 653C C C 60??=（种） ．这是非均匀分组问题 ⑷在（3）的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有12336533C C C 360 ???=Α（种）． 这是非均匀编号分组问题．