高二数学竞赛班一试讲义

高二数学竞赛班一试讲义

第3讲 函数与反函数

班级 姓名

一、知识要点：

1、函数与映射的定义

函数：若A ，B 都是非空数集，依对应法则f ，若对A 中的任意一个数x ，在B 中都有唯一一个数y 与之对应，则称f : A →B 为A 到B 上的一个函数。A 称为它的定义域， 集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。

（1）映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。

（2）单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 （3）满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。

（4）一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 2、反函数

若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。 例如：函数2

21x y a

-=+ 的反函数是1

log 22

a

x y -=+. 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。

定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。

二、例题精析

例1．（1）求函数()f x =

（2）若实数,x y 满足2

2

25x y +=，求函数(,)f x y = 的最大值．

例2．求函数()f x =的最大值．

例3．方程1220112011x ---=L

L 一共有 个解.

例4．设k 是实数，4242

1

()1

x kx f x x x ++=++对任意三个实数c b a ,,存在一个以)(),(),(c f b f a f 为三边长的三角形，求k 的取值范围.

例5．（2014华约）（Ⅰ）求证：))((x g f y =的反函数为))((1

1

x f

g y --=；

（Ⅱ）()()F x f x =-，1

()()G x f x -=-，若1()()F x G x -=，求证：()f x 为奇函数．

例6．（2014华约）已知n N +∈，x n ≤，求证：2(1)n x x

n n e x n

--?≤．

例7．设u 是方程3

3100x x -+= … ①的根，()f x 是系数为有理数的二次多项式，且21

(2),()2

u u f u αα=+-=，求(0)f ．

（2010华约）

三、精选习题

1．已知(),(),()f x g x h x 为一次函数，若对实数x 满足

1,1()()()32,1022,0x f x g x h x x x x x -<-??

-+=+-≤

，则()h x 的表达式为（ ）。

A.1()2h x x =-

B.1()2h x x =--

C.1()2h x x =-+

D.1

()2

h x x =+

2．对a,b ∈R,记max{a,b }=???≥b a b b

a a ＜,,函数f （x ）＝max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是

3．定义,()

max(,),()

a a

b a b b a b ≥?=?

四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是 .

4．设a 是正实数. 若R ∈++++-=

x a ax x a ax x x f ，222252106)(的最小值为

10，则=a .

5．函数f (x )=11363242

4

+--+--x x x x x 的最大值为

6．（2013福建）函数1111

()1232013

f x x x x x =

++++

++++L 图像的对称中心是 7．已知()225319653196f x x x x x =-++-+，求()()()1250f f f +++L 的值。

8．设122011122011,,,,,,,a a a b b b L L 为互不相等的实数，将它们按如下方法填入一张

20112011?的方格表中，即在位于第i 行与第j 列的交叉处的方格中填入数i j a b +； 已知表中任一行的各数的乘积皆是2011，证明：表中任一列的各数的乘积也是2011．

9．设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)2

1

()(++-

=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ， 求b a ,的值．

10．（2011安徽）设c bx ax x f ++=3

)(（c b a ,,是实数），当10≤≤x 时，1)(0≤≤x f . 求b 的最大可能值.

11．（04全国联赛）已知,αβ是方程2

4410()x tx t R --=∈的两个不等实根，

函数2

2()1

x t

f x x -=

+的定义域为[],αβ。 （Ⅰ）求()max ()min ()g t f x f x =-；

（Ⅱ）证明：对于(0,)(1,2,3)2

i u i π

∈=，若123sin sin sin 1,u u u ++=

123111(tan )(tan )(tan )g u g u g u ++<则

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第3讲 函数与反函数

例1．（1）解：由于()

1

3

f x =

…①

令23x y =，此为抛物线方程，其焦点为30,4F ?? ???

，准线方程为34y =-，记点()3,4A ，则①可以改写为 ()

1

3

f x =，它表

示为抛物线上的点(),M x y 到点A 与到焦点F 的距离之

和：

1

3

f MA MF =+，注意点A 在抛物线的上方，由于点M 到焦点的距离等于其到准线的距离：MF MH =，故当点M 移至1M 使在垂线1AH 上

时，MA MH +的值最小，

为111319

444

AM MH AH +==+=，即11934f ≥，所以574f ≥． （2）解：将根式中的50进行适当转换：22

22502525()34x y =+=++

+（），于是

(,)f x y =这样，函数(,)f x y 的

值就可看成是圆2

2

25x y +=上的动点(,)P x y 到圆上的两个定点(3,4),(3,4)A B ---的距离之和，易知，当2PA PB a +=，

（a 为定值）时，点P 的轨迹是一个以,A B 为焦点，a 为半长轴的椭圆，

当点P 位于AB 的中垂线与圆周最远交点(0,5)C

时，a 值为最大，其值为

(0,5)f ===．

例2．

解：()f x =，则定义域为49x ≤≤． 为了从两个根式中移出相同的常数，注意(64)63x

-=，即

2

2

1+=

cos

α=sin α=，α为锐角， 又由(4)(9)5x x -+

-=

，即22

1+=

， sin β

=cos β=

，β为锐角；

,αβ

==

,

α=

β

=，于是，

)()cos cos sin sin )f x αβαβαβ=+=-≤当α

β=时等号

cos cos αβ=== 19(1)(9)

635635

x x x x ---+-==+

826817=

=，126117x -=，12614311717x =+=，而[]143

4,917

∈；

即当143

17

x =，()f x 取得最大值．

≤，

（因为()ab cd ab cd ad bc ++≤+++，即2

()()a c b d ≤++，

两边开方便得上式，其中取等号当且仅当ad bc =）；

因此()f x =

==(1)(4)(9)(64)x x x x --=--，即143

17

x =

． 例3．4 方程11x -=的所有解为02x =±或；

方程221=--x 的所有解为51±±=或x ； 方程1233x ---=的所有解为39x =±±或； 方程12344x ----=的所有解为614x =±±或；

方程

123455x -----=的所有解为1020x =±±或；

一般地，方程12(2)n n n x ---=≥L

L 的所有解为

(1)(3)

22

n n n n x -+=±

±

或. 例4．解：①()0f x >恒成立

4210x kx ++> 令2t x =

对称轴 2k t =- 0,

0min 020

k k k ≥??<>?-<

② 最小值两倍>最大值 2

42(1)()11

k x f x x x -=+++

1k =

()1f x ≡ 1k > min ()1f x = 422max 2

13(),3

k x x x f x +++≥?=故1

<<1

故-2

结论：(,4)1

-2

例5．

例6．

例7．解：因为1,2,5,10±±±±皆不是方程的根，故方程①没有有理根，因此u 是无理数；

设2

()f x ax bx c =++，其中,,a b c 为有理数，0a ≠，据条件，3

310u u =-，

则()2

2243211

(2)234444

u u u u u u α=

+-=+--+ 21(310)2(310)344244

u u u u u u ??=

-+---+=--??，又由条件， 22()(24)(2)2

b

u f a b c a u u u c ααα==++=--++-+；

即2

(42)(822)0bu b a u a b c +---+-= … ②， 改记(42),(822)b a s a b c r --=-+-=，,s r 为有理数，②成为2

0bu su r ++= …③， 因此，2

23

2

0()()()bu s bu su r b u br s u sr =-++=+--

22222(310)()(3)(10)b u br s u sr b br s u b sr =-+--=+--+

即2

2

2

(3)(10)b br s u b sr +-=+ …④，因为u 是无理数，则

222

30100

b br s b sr ?+-=??+=??，若0b ≠，由3232

3103s bsr b s b b s =+=-+ 即3

3100s s b b ????

-+= ? ?????

，这与方程①无有理根矛盾！因此0b =，由③，0su r +=，得0,0s r ==，导致(42)0,(82)0a a c --=--=，1

,22

a c =-=-，于是

21

()22

f x x =--，因此(0)2f =-．

1．答案 C 22(1)1

()22

x h x x -++-==-+。

2．3

2

3．(3,4) 4．2.

5．.10 f (x )=2

22222)0()1()3()2(-+---+-x x x x ，记点P (x , x -2)，A （3，2），

B （0，1），则f (x )表示动点P 到点A 和B 距离的差。 因为|P A |-|P A |≤|AB |=10)12(322=-+,当且仅当P 为AB 延长线与抛物线y =x 2的交点时等号成立。 所以f (x )m ax =.10

6．(10070)-， 设1111

()(1007)1006100510051006

g x f x x x x x =-=

++++

--++L 。 则1111

()()1006100510051006

g x g x x x x x -=++++=------+-+L 。

∴ ()g x 为奇函数，()g x 的图像关于原点(00)，

对称。 ∴ ()f x 的图像关于点(10070)-，对称。

7．()()()()()()()1250122324660f f f f f f f +++=+++=L

8．证：第i 行的各数乘积为：122011()()()2011,1,2,,2011i i i a b a b a b i +++==L L ， 故知122011,,,a a a L 是多项式122011()()()()2011f x x b x b x b =+++-L …… ○1 的2011个相异根，因此该多项式又可表为：122011()()()()f x x a x a x a =---L …○2 取k x b =-，1,2,,2011k =L ，则由○1，()2011k f b -=-， 由○2，122011()()()()k k k k f b b a b a b a -=-+++L ，因此，

122011()()()2011k k k b a b a b a +++=L ，左边恰是表中第k 列各数之积，1,2,,2011k =L ．

9．3

1

,52-=-=b a

10．由13333(0)(1)(f c f a b c

f c ?=??

=++??=??

可知

1

3

233(

)(1)(331)(0)33b f f =--≤)()(3233x x x f -=满足题设，b 的最大可能值为233.

11．解：（Ⅰ）设22

121122,4410,4410,x x x tx x tx αβ≤<≤--≤--≤则

22

1212121214()4()20,2()02

x x t x x x x t x x ∴+-+-≤∴-+-

< 则[]2112122121222

22121()()2222()()11(1)(1)

x x t x x x x x t x t f x f x x x x x -+-+---=

-=++++ 又12121212211

()22()20()()02

t x x x x t x x x x f x f x +-+>+-+>∴->

故()f x 在区间[],αβ上是增函数。.......5分

1

,,

4

t αβαβ+==-Q []

2222()()22()max ()min ()()()1

t g t f x f x f f βααβαββααβαβ-+-+∴=-=-=

+++

22522516

t t ?+???==+ ......10分 （Ⅱ）证： i

i i

i u u u u g 22cos 916)

cos 32(cos 8

)(tan ++

=22(1,2,3)

169cos 169cos i i i u u ≥==++

3

33

2

2111

1(169cos )3939)sin )(tan )i i i i i i u u g u ===∴≤+=?+?-∑∑....15分 3

33

2

21

1

1

sin 1,(0,),1,2,3

3sin (sin )12i i i i i i i u u i u u π

====∈=∴≥=∑∑∑Q 且，而均值不等式

与柯西不等式中，等号不能同时成立，

12311119)(tan )(tan )(tan )3g u g u g u ∴

++<-?=.....20分

2013年全国高中数学联赛、广西高一、高二数学竞赛获奖情况

2013年全国高中数学联赛、广西高一、高二数学竞赛获奖情况通报2013年全国高中数学联赛、2013年广西高一、高二数学竞赛结果已揭晓，现将我市考生获奖 情况通报如下（合浦县自治区、市级奖情况由合浦教研室另行通报），请各有关学校查阅。 附件一：2013年全国高中数学联赛获奖名单 附件二：2013年广西高二数学竞赛获奖名单 附件三：2013年广西高一数学竞赛获奖名单 北海市数学学会 二O一三年十一月 附件一：2013年全国高中数学联赛获奖名单 全国二等奖（7名） 叶太智（北海中学）罗乃荣（廉州中学）吴钟豪（廉州中学）叶发科（廉州中学） 何文栋（北海中学）吴文龙（石康中学）易阳德（廉州中学） 自治区三等奖（30名） 戴霖（北海中学）刘亚佩（北海二中）何丹昀（北海中学）陈颖睿（北海中学） 苏玮钊（北海中学）向凌君（北海中学）陈梓宁（北海中学）劳显东（北海中学） 赖柏君（北海中学）邱天怡（北海七中）庞坤振（北海中学）陶威宏（北海中学） 钟云肖（北海中学）冯歆骅（北海中学）刘颖（北海七中）陈昱蓉（北海中学） 蒋裕园（北海二中）黄春梅（南康中学）马月晗（北海九中）林益民（北海中学） 符开亮（北海中学）何汉铭（北海中学）刘振涛（北海中学）陈达武（北海二中） 杜苹苹（南康中学）袁崇恩（北海二中）李秋荷（北海七中）黄永吉（北海七中） 黄以胜（北海七中）叶佳朋（北海二中） 北海市三等奖（12名） 朱定诚（北海七中）苏文富（北海七中）郑可新（国发高中）付艳芳（国发高中） 钟世军（北海五中）裴文璇（北海九中）李鸿羽（国发高中）黄群芳（国发高中） 李艳鸿（国发高中）潘小芳（北海五中）文永芳（北海五中）许晖（北海五中） 附件二：2013年广西高二数学竞赛获奖名单 自治区一等奖（16名） 陈星寰（北海中学）郑蕾（北海七中）王田源（北海七中）郭鑫（北海七中） 黄安民（北海七中）杨有杰（北海七中）张俊滔（北海中学）欧连云（北海二中）

高中数学竞赛讲义_复数

1 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=2 2b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?；（6）|||||| 2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1=。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n πθπθ+++=，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，

高中数学竞赛讲义_三角函数

三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正 弦函数s in α= r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=α sec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。单调区间：在区间 ?? ????+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间??????++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π时, y 取最小值-1。对称性：直线x =k π+2 π均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ?? +0,2ππk 均为其对称中心。有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2π)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2π ，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1()tan (tan βαβα ±

高中数学竞赛_数列【讲义】

第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,

高二数学竞赛试题及答案

高二年级学科知识竞赛数学试卷 第I 卷（选择题） 一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．命题:p 方程 11 52 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是 A ．53<m C ．51<??? ? ，则A B =I （ ） A ．1(0,)2 B ．(0,1) C ．1(2,)2- D ．1(,1)2 3.若数列{}n a 满足()21115,22 n n n n a a a a n N a +++==+∈，则其前10项和为（ ） A ．200 B.150 C.100 D.50 4．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为6，左顶点到一条渐近线的距离为26 ，则该双 曲线的标准方程为（ ） A ．22184x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．22 1128 x y -= 5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ①若,m ααβ⊥⊥，则//m β； ②若,//,m n ααββ⊥?，则m n ⊥； ③若,,//m n m n αβ??，则//αβ； ④若,,n n m αββ⊥⊥⊥，则m α⊥. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 6.设0,01x y a b >><<<，则下列恒成立的是（ ） A.a b x y > B.a b x y < C.x y a b > D.x y a b < 7．已知函数()sin()f x A x ω?=+（0A >，0ω>，02 π ?<<）的部分图像如图所示，则函数()f x 的 解析式为（ ） A ．()2sin(2)3f x x π= + B ．()2sin(2)6 f x x π =+ C ．()2sin(2)3f x x π =+ D ．()2sin(2)6 f x x π =+

高中数学竞赛标准教材讲义函数教案

第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射． 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x ， y ∈A ， x ≠y ， 都有f (x )≠f (y )则称之为单射． 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射． 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1 : A →B ． 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数．A 称为它的定义域，若x ∈A ， y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y 则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象．集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域．通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0，x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1 : A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x ， y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域．例如：函数y = x -11的反函数是y =1-x 1 (x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称． 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数． 定义7 函数的性质． （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1， x 2∈I 并且x 1< x 2，总有 f (x 1)f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间． （2）奇偶性：设函数y =f (x )的定义域为D ，且D 是关于原点对称的数集，若对于任意的x ∈D ，都有f (-x )=-f (x )，则称f (x )是奇函数；若对任意的x ∈D ，都有f (-x )=f (x )，则称f (x )是偶函数．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． （3）周期性：对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内每一个数时，f (x +T )=f (x )总成立，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T 0，则这个正数叫做函数f (x )的最小正周期． 定义8 如果实数a a }记作开区间（a ， +∞集合{x |x ≤a }记作半开半闭区间（-∞，a ]. 定义9 函数的图象，点集{(x ，y )|y =f (x )， x ∈D}称为函数y =f (x )的图象，其中D 为f (x )的定义域．通过画图不难得出函数y =f (x )的图象与其他函数图象之间的关系(a ，b >0)；（1）向右平移a 个单位得到y =f (x -a )的图象；（2）向左平移a 个单位得到y =f (x +a )的图象；（3）向下平移b 个单位得到y =f (x )-b 的图象；（4）与函数y =f (-x )的图象关于y 轴对 称；（5）与函数y =-f (-x )的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y =f -1 (x )的图象关于直线y =x 对称；（7）与函数y =-f (x )的图象关于x 轴对称． 定理3 复合函数y =f [g (x )]的单调性，记住四个字：“同增异减”．例如y = x -21 ， u=2-x 在（-∞，2）上是减函数，y = u 1在（0，+∞）上是减函数，所以y =x -21在（-∞，2）上是增函数． 注：复合函数单调性的判断方法为同增异减．这里不做严格论证，求导之后是显然的． 二、方法与例题

高二数学竞赛班一试讲义(精品文档)

高二数学竞赛班一试讲义 第七讲 复数与单位根 班级 姓名 一、知识要点： 1．复数模、共轭 复数模运算符合乘除运算，模的加减符合三角不等式121212z z z z z z -≤±≤+ 模与共轭的联系2 zz z = 2．复数的几何（向量）意义 z x yi =+在复平面上对应点(,)Z x y ，也对应着向量 OZ 复数z 满足z a z b -=-，轨迹表示复数,a b 对应的点,A B 组成的线段的中垂线 复数z 满足0z z r -=，轨迹表示以0z 为圆心，r 为半径的圆 复数z 满足,1,z a z b R λλλ+ -=-≠∈，轨迹表示圆（阿波罗尼斯圆） 3．复数的三角形式(cos sin ),0z r i r θθ=+≥， θ是复数的辐角，[0,2)θπ∈时称为复数的辐角主值 运算法则：11111(cos sin ),0z r i r θθ=+≥，22222(cos sin ),0z r i r θθ=+≥ 乘法121212121(cos()sin()),0z z r r i r θθθθ=+++≥ 除法 11 1212122 (cos()sin()),0z r i r z r θθθθ=-+-≥ 乘方(cos sin ),0n n z r n i n r θθ=+≥ 开方(cos sin ),0z r i r θθ=+≥， z 有n 个n 次方根：22sin ),0,1,2,...,1k k k z i k n n n πθπθ ++= +=- 4．单位根：记222cos sin i n e i n n πππζ==+，其中i 为虚数单位，多项式1n x -有n 个互不 相等的根2,,,(1)n ζζζ???=，它们称为n 次单位根。易于看到，在复平面上，n 个n 次 单位根对应的点恰是单位圆的内接正n 边形的顶点。 5．n 次单位根的性质： （1）设k 和l 是整数，则k l ζζ=的充分必要条件是(mod )k l n ≡ （2）任意两个n 次单位根的乘积仍是一个n 次单位根；任意一个n 次单位根的倒数也是一 个n 次单位根。 （3）设k 是整数，(,)1k n =，则()(1,2,,)k l l n ζ=???恰给出全体n 次单位根。 证明：因为(,)1k n =，所以,2,,k k nk ???是模n 的一个完系 6．因2,,,(1)n ζζζ???=是1n x -的n 个不同的根，故有11(1)()()n n x x x x ζζ--=--???-， 又)1)(1(12 21+++???++-=---x x x x x x n n n ，所以 （1）)())((11 2221----???--=+++???++n n n x x x x x x x ζζζ （2）011 2=+???+++-n ζ ζζ 7．3 10x -=的根为2 1,,x ωω=，（可设122 ω=-+） ，有 （1）2 10ωω++=，（2）3313221,,n n n ω ωωωω++===，（3） 221 ,1ωωωω ==--

高中数学竞赛标准讲义---排列组合与概率

高中数学竞赛标准讲义----排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为11--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有11--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+

高二数学竞赛试题Word版

高二数学试题 一,选择题(每题5分) 1.在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是 ( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121 2.若(1-2x )9 展开式的第3项为288，则∞→n lim (n x x x 1112?++)的值是 ( ) （A ）2 （B ）1 （C ）21 （D ）52 3.整数组﹛X1,X2,X3,X4﹜适合00时, f ，(x)>0,且f(-3)=0.则不等式xf(x)>0 的解集是 ( ) （A ）(-3,0)U(3,+∞) （B ）(-3,0)U(0,3) （C ）（-∞,3)U(3,+∞) （D ）（-∞,3)U(0,3) 二,填空题(每题5分) 8．湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm 的空穴，则该球的半径为___________. 9．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中， 第________左至右第14与第15个数的比为3:2. 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……

高中数学竞赛讲义_平面几何

平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则 .1''''''=??B C AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。 塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','CC BB AA 三线平行或共点，则.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠?∠∠?∠∠BA B CBB CB C ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABC D 为任意凸四边形，则AB ?CD+BC ?AD ≥AC ?BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点，P 不同于B ，C ，则有 AP 2=AB 2?BC PC +AC 2?BC BP -BP ?PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴） 欧拉定理 ΔABC 的外心O ，垂心H ，重心G 三点共线，且.2 1GH OG = 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC 中，∠ABC=700，∠ACB=300，P ，Q 为ΔABC 内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠ PBQ=∠PCB=200，求证：A ，P ，Q 三点共线。 [证明] 设直线CP 交AQ 于P 1，直线BP 交AQ 于P 2，因为∠ACP=∠PCQ=100，所以 CQ AC QP AP =1 ，①在ΔABP ，ΔBPQ ，ΔABC 中由正弦定理有

高中数学竞赛 函数【讲义】

高中数学竞赛标准教材 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间。 （2）奇偶性：设函数y =f (x )的定义域为D ，且D 是关于原点对称的数集，若对于任意的x ∈D ，都有f (-x )=-f (x )，则称f (x )是奇函数；若对任意的x ∈D ，都有f (-x )=f (x )，则称f (x )是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 （3）周期性：对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内每一个数时，f (x +T )=f (x )总成立，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T 0，则这个正数叫做函数f (x )的最小正周期。 定义8 如果实数a a }记作开区间（a , +∞），集合{x |x ≤a }记作半开半闭区间（-∞,a ]. 定义9 函数的图象，点集{(x ,y )|y =f (x ), x ∈D}称为函数y =f (x )的图象，其中D 为f (x )的定义域。通过画图不难得出函数y =f (x )的图象与其他函数图象之间的关系(a ,b >0)；（1）向右平移a 个单位得到y =f (x -a )的图象；（2）向左平移a 个单位得到y =f (x +a )的图象；（3）向下平移b 个单位得到y =f (x )-b 的图象；（4）与函数y =f (-x )的图象关于y 轴对称；（5）与函数y =-f (-x ) 的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称；（7）与函数y =-f (x ) 的图象关于x 轴对称。 定理3 复合函数y =f [g (x )]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y = x -21, u=2-x 在（-∞,2）上是减函数，y =u 1在（0，+∞）上是减函数，所以y =x -21在（-∞,2）上是增函数。 注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。 二、方法与例题 1．数形结合法。 例1 求方程|x -1|=x 1的正根的个数 .

高中数学竞赛讲义_平面向量

平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λ f 定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。 定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos，也称内积，其中|b|cos θ叫做b 在a 上的投影（注：投影可能为负值）。 定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2)， 1．a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2)， 2．λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c ， 3．a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)= 22 22 21 21 2121y x y x y y x x +?++(a, b ≠0), 4. a//b ?x 1y 2=x 2y 1, a ⊥b ?x1x2+y 1y 2=0. 定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1，p 2的一点，则存在唯一实数λ，使21PP P P λ=，λ叫P 分2 1P P 所成的比，若O 为平面内任意一点，则λ λ++= 12 1OP OP 。由此可得若P 1，P ，P 2的坐标分别为(x 1, y 1), (x, y), (x 2, y 2)，则..1121212 121y y y y x x x x y y y x x x --=--=??? ????++=++=λλλλλ 定义6 设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=2 2k h +个单位得到图形'F ，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F 上任意一点，平移到'F 上对应的点为)','('y x p ，则? ??+=+=k y y h x x ''称为平移公式。 定理5 对于任意向量a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2), |a ·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为|a|2·|b|2-|a ·b|2=))((2 222212 1 y x y x ++-(x 1x 2+y 1y 2)2=(x 1y 2-x 2y 1)2≥0， 又|a ·b|≥0, |a|·|b|≥0， 所以|a|·|b|≥|a ·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注：本定理的两个结论均可推广。1）对n 维向量，a=(x 1, x 2,…,x n )，b=(y 1, y 2, …, y n )，同样有|a ·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：≥++++++))((2 22212222 1 n n y y y x x x (x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n )2≥0， 又|a ·b|≥0, |a|·|b|≥0， 所以|a|·|b|≥|a ·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注：本定理的两个结论均可推广。1）对n 维向量，a=(x 1, x 2,…,x n ), b=(y 1, y 2, …, y n )，同样有|a ·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：≥++++++))((2 22212222 1 n n y y y x x x (x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n )2。 2）对于任意n 个向量，a 1, a 2, …,a n ，有| a 1, a 2, …,a n |≤| a 1|+|a 2|+…+|a n |。 二、方向与例题 1．向量定义和运算法则的运用。

高中数学竞赛讲义

高中数学竞赛讲义（十五） ──复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsin θ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isinθ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数围一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2e i(θ1+θ2), 5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ). 6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Z nq+r=Z r；（2）对任意整数m，当n≥2时，有=特别1+Z1+Z2+…+Z n-1=0；（3）x n-1+x n-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Z n-1)=(x-Z1)(x-)…(x-). 8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等。 9．复数z是实数的充要条件是z=;z是纯虚数的充要条件是：z+=0（且z≠0）. 10.代数基本定理：在复数围，一元n次方程至少有一个根。 11．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。 12．若a,b,c∈R,a≠0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当Δ=b2-4ac<0时方程的根为 二、方法与例题 1．模的应用。 例1 求证：当n∈N+时，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有纯虚根。 [证明] 若z是方程的根，则(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化简得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是纯虚数。 例2 设f(z)=z2+az+b,a,b为复数，对一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。